멩거 스펀지

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1. 개요
2. 구성
- 2.1. 단계별 구성
- 2.2. 멩거큐브 단계
3. 성질
4. 엄밀한 정의
5. 응용
6. 유사 프랙탈
7. MegaMenger 프로젝트
참조

1. 개요

멩거 스펀지는 정육면체에서 시작하여 각 면을 루빅스 큐브처럼 아홉 개의 정사각형으로 나누고, 가운데 정사각형을 제거하는 과정을 무한히 반복하여 만들어지는 프랙탈이다. 이 과정은 각 면의 가운데와 정육면체의 중앙에 있는 작은 정육면체를 제거하는 방식으로 진행된다. 멩거 스펀지는 2.727의 하우스도르프 차원과 1의 르베그 피복 차원을 가지며, 부피는 0에 수렴하고 표면적은 무한대로 증가하는 특징을 보인다. 멩거 스펀지는 재료 공학, 수학 분야에서 연구되며, 예루살렘 큐브, 모즐리 스노우플레이크, 시에르핀스키 사면체 등 유사한 프랙탈 구조와 함께 연구된다. '메가멩거' 프로젝트를 통해 대규모 멩거 스펀지 모델이 제작되기도 했다.

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멩거 스펀지
기본 정보
멩거 스펀지 구성
유형	프랙탈
차원	3차원
하우스도르프 차원	ln 20 / ln 3 ≈ 2.727
위상수학적 차원	1
생성자	정육면체
역사
이름의 유래	카를 멩거
발견 시기	1926년
성질
특징	무한한 표면적 0의 부피
다른 이름	멩거 스펀지, 멩거-시에르핀스키 스펀지, 시에르핀스키 큐브
같이 보기
관련 항목	시에르핀스키 삼각형 칸토어 집합 프랙탈 목록

2. 구성

멩거 스펀지는 다음과 같이 구성된다.

1. 정육면체에서 시작한다.

2. 정육면체의 각 면을 루빅스 큐브처럼 아홉 개의 정사각형으로 나눈다. 이렇게 하면 정육면체가 27개의 작은 정육면체로 나뉜다.

3. 각 면의 가운데에 있는 작은 정육면체를 제거하고, 더 큰 정육면체의 중앙에 있는 작은 정육면체를 제거하여 20개의 작은 정육면체를 남긴다. 이것이 레벨-1 멩거 스펀지(보이드 큐브와 유사)이다.

4. 남아 있는 각 작은 정육면체에 대해 2단계와 3단계를 반복하는 과정을 무한대까지 반복한다.

두 번째 반복은 레벨-2 스펀지를, 세 번째 반복은 레벨-3 스펀지를 생성하며, 이런 식으로 계속된다. 멩거 스펀지 자체는 무한히 많은 반복 후 이 과정의 극한값이다.

2. 1. 단계별 구성

멩거 스펀지는 정육면체에서 시작하여 각 면을 9개의 정사각형으로 나누고, 가운데 정사각형과 중앙 정육면체를 제거하는 과정을 무한히 반복하여 만들어지는 프랙털 구조이다. 이러한 구성 방식은 다음과 같이 단계별로 설명할 수 있다.

} ||

|-

| 2 || 400 || 13.037037... || ||

|-

| 3 || 8000 || 24.75720164... || ||

|-

| n ||

(20)^n

||

2\left( \frac{20}{9} \right)^n+ 4\left( \frac{8}{9} \right)^n

||

\left( \frac{20}{27} \right)^n

||

|}

0단계: 한 변의 길이가 1인 정육면체에서 시작한다. (멩거 큐브)
1단계: 정육면체의 각 면을 루빅스 큐브처럼 9개의 정사각형으로 나눈다. 각 면의 가운데 정사각형과 정육면체 중앙에 있는 정육면체를 제거하여 20개의 작은 정육면체를 남긴다. (보이드 큐브)
2단계: 1단계에서 남은 20개의 작은 정육면체 각각에 대해 1단계와 같은 과정을 반복한다.
3단계: 2단계에서 남은 정육면체들에 대해 다시 같은 과정을 반복한다.
이 과정을 무한히 반복하면 멩거 스펀지가 된다.

멩거 스펀지는 각 단계마다 정육면체의 개수는 20배씩 증가하고, 부피는 배씩 감소한다. 멩거 큐브 2단계만으로도 멩거 큐브는 단위정육면체(멩거 큐브 0단계) 면적의 2배를 넘어서며, 부피는 1/2배에 접근한다.

2. 2. 멩거큐브 단계

큐브의 단위 길이를 '1'로 둘 경우, 멩거 큐브 내에서

\frac{1}{3}

분할로 3등분하는 단계적 반복으로 증가하는 빈 공간의 정육면체의 개수와 빈 공간으로 인해 증가하는 큐브의 면적, 그리고 상대적으로 줄어드는 부피와의 관계는 아래와 같다.

프랙털 차원은

\frac{\ln 20}{\ln 3}=2.726833027...

차원이다.

단계	남은 정육면체	겉넓이	부피	이미지
0	1	6	1
1	20	8	{{cvt\|20\|K\|}

단계	정육면체-빈공간 정육면체 개수= 남은 정육면체	겉넓이	부피
0	$1-0=1$	$1\times 1\times 6=6$	$1\times 1\times 1=1^3=1$
1	$27-7=20$	$\left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \right) \times \left((2\times 20)+(4\times 8)\right) = \frac{2\times 20}{9}+\frac{4\times 8}{9}=\frac{72}{9}=8$	$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times 20=\frac{20}{27}= 0.740740...$
2	$20\times (27-7)=400$	$\left( \frac{1}{3^2} \times \frac{1}{3^2} \right) \times \left((2\times 20^2)+(4\times 8^2)\right) = 2\left( \frac{20}{9} \right)^2+ 4\left( \frac{8}{9} \right)^2=\frac{1056}{81}=13.037037...$	$\frac{1}{3^2}\times\frac{1}{3^2}\times\frac{1}{3^2}\times 400=\frac{400}{729}=0.5486968449...$
3	$400\times (27-7)=8000$	$2\left(\frac{20}{9} \right)^3+ 4\left( \frac{8}{9} \right)^3=\frac{18048}{729}=24.75720164...$	$\frac{1}{3^3}\times\frac{1}{3^3}\times\frac{1}{3^3}\times 8000=\frac{8000}{19683}= 0.406442107...$
$n$	$(20)^n = N$	$2\left(\frac{20}{9} \right)^n+ 4\left( \frac{8}{9} \right)^n$	$\left( \frac{20}{27}\right)^n$

총 부피 = 부피 x 개수

: $V=L^3 \times N=\left(\frac{1}{3}\right)^{3n} (20)^n= \left( \frac{20}{27}\right)^n$

멩거 큐브 2단계만으로 멩거 큐브는 단위정육면체(멩거 큐브 0단계) 면적의 2배를 넘어서며, 부피에서 $\frac{1}{2}$ 배에 접근한다.

멩거 스펀지의 구성은 다음과 같이 설명할 수 있다.

# 정육면체로 시작한다.

# 정육면체의 각 면을 루빅스 큐브와 유사한 방식으로 아홉 개의 정사각형으로 나눈다. 이렇게 하면 정육면체가 27개의 작은 정육면체로 세분된다.

# 각 면의 가운데에 있는 작은 정육면체를 제거하고, 더 큰 정육면체의 중앙에 있는 작은 정육면체를 제거하여 20개의 작은 정육면체를 남긴다. 이것이 레벨-1 멩거 스펀지이다(보이드 큐브와 유사).

# 남아 있는 각 작은 정육면체에 대해 2단계와 3단계를 반복하고, 무한대까지 반복한다.

두 번째 반복은 레벨-2 스펀지를, 세 번째 반복은 레벨-3 스펀지를 생성하며, 이런 식으로 계속된다. 멩거 스펀지 자체는 무한히 많은 반복 후 이 과정의 극한값이다.

3. 성질

멩거 스펀지는 독특한 기하학적 성질을 가진 프랙탈 구조이다. 멩거 스펀지의 *n*번째 단계( $M_n$ )는 3의 거듭제곱(1/3)^''n''의 변 길이를 가지는 $20^n$ 개의 작은 정육면체로 구성된다.^[6]^[7] 이 때,

$M_n$ 의 총 부피는 $\left(\frac{20}{27}\right)^n$ 으로, 0에 수렴한다.
$M_n$ 의 총 표면적은 $2(20/9)^n + 4(8/9)^n$ 으로 표현되며, 무한대로 발산한다.

이러한 부피와 표면적의 변화는 멩거 스펀지가 극한에서 고체도 표면도 아닌 독특한 구조임을 보여준다. 멩거 스펀지의 각 면은 시에르핀스키 카펫과 유사하며, 입방체의 대각선 또는 면의 중간선과 스펀지의 교차점은 칸토어 집합을 이룬다. 중심점을 통과하고 공간 대각선에 수직인 단면은 6중 대칭으로 배열된 육각별이 뚫린 정육각형이다.^[8]

멩거 스펀지는 하우스도르프 차원이 약 2.727이고, 르베그 피복 차원은 1인 보편 곡선이다. 멩거는 1926년에 멩거 스펀지가 모든 곡선의 부분 집합에 위상 동형임을 증명하였다.^[9] 2024년에는 모든 매듭이 멩거 스펀지 내에서 발견될 수 있다는 것이 밝혀졌다.^[10]

멩거 스펀지는 닫힌 집합이자 콤팩트 집합이며, 르베그 측도는 0이고, 비가산 집합이다. 또한, 멩거 스펀지 유사 구조를 가진 입방체가 일반 입방체보다 충격파를 5배 더 효과적으로 분산시킬 수 있다는 연구 결과도 있다.^[11]

3. 1. 겉넓이와 부피

멩거 스펀지는 각 단계마다 겉넓이는 증가하고 부피는 감소하는 독특한 성질을 가지고 있다. 멩거 스펀지의 겉넓이와 부피는 다음 표와 같이 요약될 수 있다.

단계	정육면체-빈공간 정육면체 개수= 남은 정육면체	겉넓이	부피
0	1 - 0 = 1	$1 \times 1 \times 6 = 6$	$1 \times 1 \times 1 = 1^3 = 1$
1	27 - 7 = 20	$\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) \times \left((2 \times 20) + (4 \times 8)\right) = \frac{72}{9} = 8$	$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 20 = \frac{20}{27} = 0.740740...$
2	$20 \times (27 - 7) = 400$	$\left(\frac{1}{3^2} \times \frac{1}{3^2}\right) \times \left((2 \times 20^2) + (4 \times 8^2)\right) = 2\left(\frac{20}{9}\right)^2 + 4\left(\frac{8}{9}\right)^2 = \frac{1056}{81} = 13.037037...$	$\frac{1}{3^2} \times \frac{1}{3^2} \times \frac{1}{3^2} \times 400 = \frac{400}{729} = 0.5486968449...$
3	$400 \times (27 - 7) = 8000$	$2\left(\frac{20}{9}\right)^3 + 4\left(\frac{8}{9}\right)^3 = \frac{18048}{729} = 24.75720164...$	$\frac{1}{3^3} \times \frac{1}{3^3} \times \frac{1}{3^3} \times 8000 = \frac{8000}{19683} = 0.406442107...$
$n$	$(20)^n = N$	$2\left(\frac{20}{9}\right)^n + 4\left(\frac{8}{9}\right)^n$	$\left(\frac{20}{27}\right)^n$

멩거 큐브 2단계만으로도 멩거 큐브는 단위정육면체(멩거 큐브 0단계) 면적의 2배를 넘어서며, 부피는 $\frac{1}{2}$ 배에 접근한다.^[6]^[7]
멩거 스펀지의 $n$ 번째 단계 $M_n$ 에서 총 부피는 $\left( \frac{20}{27} \right)^n$ 이고, 총 표면적은 $2 \left( \frac{20}{9} \right)^n + 4 \left( \frac{8}{9} \right)^n$ 으로 표현된다.
멩거 스펀지는 반복될수록 부피는 0으로 수렴하고, 표면적은 무한대로 증가한다.^[6]^[7]
구멍을 뚫는 횟수를 $n$ 이라고 하면, 그 표면적은 $2 \left( \frac{20}{9} \right)^n + 4 \left( \frac{8}{9} \right)^n$ 으로 나타낼 수 있으며, 이는 무한히 반복할 때 무한대로 발산한다.
멩거 스펀지의 차원은 3보다 작기 때문에(2.7268... 차원), 3차원적인 크기인 부피는 0이다.

3. 2. 차원

멩거 스펀지는 프랙털 차원을 가지는데, 이는 log|로그^영어 20/log|로그^영어 3 (약 2.727) 차원이다.^[6]^[7]

멩거 스펀지의 ''n''번째 단계(

M_n

)는 3의 거듭제곱(1/3)^''n''의 변 길이를 가진

20^n

개의 작은 입방체로 구성된다.

M_n

의 총 부피는

\left(\frac{20}{27}\right)^n

이고, 총 표면적은

2(20/9)^n + 4(8/9)^n

으로 표현된다.^[6]^[7] 따라서 멩거 스펀지는 부피가 0으로 수렴하는 동안 표면적은 무한히 증가하는 특징을 보인다.

멩거 스펀지의 각 면은 시에르핀스키 카펫과 같은 모양을 가지며, 스펀지의 교차점은 칸토어 집합이 된다. 중심점을 지나고 공간 대각선에 수직인 단면은 6중 대칭으로 배열된 육각별이 뚫린 정육각형이다.^[8]

멩거 스펀지는 하우스도르프 차원이 약 2.727이며, 르베그 피복 차원은 1이다. 멩거는 1926년에 멩거 스펀지가 모든 곡선이 멩거 스펀지의 부분 집합에 위상 동형인 ''보편 곡선''임을 보였다.^[9]

2024년에는 모든 매듭이 멩거 스펀지 내에서 발견될 수 있다는 것이 증명되었다.^[10]

멩거 스펀지는 닫힌 집합이며 콤팩트하고, 르베그 측도는 0이며, 비가산 집합이다.

멩거 스펀지 유사 구조를 가진 입방체가 충격파를 더 잘 소산시킬 수 있다는 연구 결과도 있다.^[11]

3. 3. 자기 유사성

멩거 스펀지의 ''n''번째 단계(

M_n

)는 3의 거듭제곱(1/3)^''n''의 변 길이를 가진

20^n

개의 작은 입방체로 구성된다. 따라서

M_n

의 총 부피는

\left(\frac{20}{27}\right)^n

이다.

M_n

의 총 표면적은

2(20/9)^n + 4(8/9)^n

로 표현된다.^[6]^[7] 따라서 구조물의 부피는 0에 접근하는 반면 표면적은 무한정 증가한다. 그러나 구조물이 계속 진행됨에 따라 구조물 내 임의로 선택된 표면은 완전히 뚫리게 되어 극한은 고체도 표면도 아니게 된다. 위상 차원은 1이고, 이에 따라 곡선으로 식별된다.

구조물의 각 면은 시에르핀스키 카펫이 되고, 입방체의 대각선 또는 면의 중간선과 스펀지의 교차점은 칸토어 집합이다. 중심점을 통과하고 공간 대각선에 수직인 스펀지의 단면은 6중 대칭으로 배열된 육각별이 뚫린 정육각형이다.^[8]

스펀지의 하우스도르프 차원은 ≅ 2.727이다. 멩거 스펀지의 르베그 피복 차원은 1이며, 이는 모든 곡선과 같다. 멩거는 1926년 구조에서 스펀지가 모든 곡선이 멩거 스펀지의 부분 집합에 위상 동형인 ''보편 곡선''임을 보였다. 여기서 ''곡선''은 르베그 피복 차원이 1인 모든 콤팩트 거리 공간을 의미한다.

3. 4. 기타 성질

멩거 스펀지의 ''n''번째 단계 ''M''_''n''은 3의 거듭제곱(1/3)^''n''의 변 길이를 가진 20^''n''개의 작은 입방체로 구성된다. 따라서 ''M''_''n''의 총 부피는 (20/27)^''n''이다. ''M''_''n''의 총 표면적은 2(20/9)^''n'' + 4(8/9)^''n''로 표현된다.^[6]^[7] 구조물의 부피는 0에 접근하는 반면 표면적은 무한정 증가한다. 그러나 구조물이 계속 진행됨에 따라 구조물 내 임의로 선택된 표면은 완전히 뚫리게 되어 극한은 고체도 표면도 아니게 된다. 위상 차원은 1이고, 이에 따라 곡선으로 식별된다.

구조물의 각 면은 시에르핀스키 카펫이 되고, 입방체의 대각선 또는 면의 중간선과 스펀지의 교차점은 칸토어 집합이다. 중심점을 통과하고 공간 대각선에 수직인 스펀지의 단면은 6중 대칭으로 배열된 육각별이 뚫린 정육각형이다.^[8] 이러한 육각별의 개수는 내림차순으로 다음 재귀 관계에 의해 주어지는데, ''a''_''n''=9''a''_''n''-1-12''a''_''n''-2, ''a''₀=1, ''a''₁=6일 때이다.^[9]

스펀지의 하우스도르프 차원은 ≅ 2.727이다. 멩거 스펀지의 르베그 피복 차원은 1이며, 이는 모든 곡선과 같다. 멩거는 1926년 구조에서 스펀지가 모든 곡선이 멩거 스펀지의 부분 집합에 위상 동형인 ''보편 곡선''임을 보였다. 여기서 ''곡선''은 르베그 피복 차원이 1인 모든 콤팩트 거리 공간을 의미한다. 여기에는 임의의 가산 수의 모서리, 꼭짓점 및 닫힌 루프가 임의의 방식으로 연결된 트리 및 그래프가 포함된다. 마찬가지로 시에르핀스키 카펫은 2차원 평면에 그릴 수 있는 모든 곡선에 대한 보편 곡선이다. 3차원으로 구성된 멩거 스펀지는 이 아이디어를 평면적이지 않은 그래프로 확장하며, 이는 임의의 수의 차원에 포함될 수 있다.

2024년, 브로덴, 나사렛, 보스는 모든 매듭이 멩거 스펀지 내에서 발견될 수 있음을 증명했다.^[10]

멩거 스펀지는 닫힌 집합이다. 또한 경계가 있으므로 하이네-보렐 정리는 이것이 콤팩트임을 의미한다. 르베그 측도는 0이다. 연속적인 경로를 포함하기 때문에 비가산 집합이다.

실험 결과, 멩거 스펀지 유사 구조를 가진 입방체가 어떤 구멍도 없는 입방체보다 동일한 재료에 대해 충격파를 5배 더 잘 소산시킬 수 있음이 밝혀졌다.^[11]

4. 엄밀한 정의

멩거 스펀지는 다음과 같이 엄밀하게 정의할 수 있다.

: $M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$

여기서 $M_0$ 는 단위 정육면체이고,

: $M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: &\begin{matrix}\exists i_1,i_2,i_3\in\{0,1,2\}. (3x-i_1,3y-i_2,3z-i_3)\in M_n \\ \#\{i_j\mid i_j=1\}\leqq 1\end{matrix}\end{matrix}\right\}.$

5. 응용

(요약과 원본 소스가 제공되지 않았으므로, 이전 결과물을 수정할 수 없습니다. 원본 소스와 요약 정보가 제공되어야 합니다.)

6. 유사 프랙탈

모즐리 스노우플레이크는 모서리를 재귀적으로 제거하여 만든 정육면체 기반 프랙탈이다.^[16]
테트릭스는 네 개의 작은 사본으로 만들어진 사면체 기반 프랙탈로, 사면체 형태로 배열된다.^[17]
시에르핀스키-멩거 스노우플레이크는 정육면체 기반 프랙탈로, 재귀 단계가 낮아질 때마다 여덟 개의 모서리 정육면체와 하나의 중앙 정육면체가 유지된다. 이 특이한 3차원 프랙탈은 평면과 같은 2차원 객체의 하우스도르프 차원(=2)을 갖는다.^[16]

6. 1. 예루살렘 큐브

"예루살렘 큐브"는 2011년 에릭 베어드가 처음 설명한 프랙탈 객체이다.^[13]^[14] 이는 십자형 구멍을 큐브에 재귀적으로 뚫어서 생성된다. 이 구조는 멩거 스펀지와 유사하지만 두 개의 서로 다른 크기의 큐브를 사용한다. 이름은 큐브의 면이 예루살렘 십자 패턴을 닮았기 때문에 붙여졌다.^[15]

예루살렘 큐브의 구성은 다음과 같이 설명할 수 있다.

# 큐브로 시작한다.

# 큐브의 각 면에 십자 모양으로 구멍을 뚫어, 원래 큐브의 모서리에 8개의 큐브(랭크 +1)와 랭크 +1의 큐브 사이에 원래 큐브의 모서리에 중심을 둔 12개의 더 작은 큐브(랭크 +2)를 남긴다.

# 랭크 1과 2의 큐브에 대해 이 과정을 반복한다.

무한히 반복하면 예루살렘 큐브가 생성된다.

랭크 N의 큐브의 변의 길이는 랭크 N+1의 큐브 2개와 랭크 N+2의 큐브 1개와 같으므로, 스케일링 인수는 k² + 2k = 1을 만족해야 하며, 따라서 k = √2 - 1이 되므로 프랙탈은 유리수 격자의 점을 사용하여 구성할 수 없다.

랭크 N의 큐브가 랭크 N+1의 큐브 8개와 랭크 N+2의 큐브 12개로 세분되기 때문에, 하우스도르프 차원은 8k^d + 12(k²)^d = 1을 만족해야 한다. 정확한 해는 다음과 같다.

:d=log(√7/6-1/3)/log(√2-1)

이는 약 2.529이다.

멩거 스펀지와 마찬가지로 예루살렘 큐브의 면은 동일한 스케일링 인수를 가진 프랙탈이다.^[15] 이 경우, 하우스도르프 차원은 4k^d + 4(k²)^d = 1을 만족해야 한다. 정확한 해는 다음과 같다.

:d=log((√2-1)/2)/log(√2-1)

이는 약 1.786이다.

6. 2. 모즐리 스노우플레이크

모즐리 스노우플레이크는 모서리를 재귀적으로 제거하여 만든 정육면체 기반 프랙탈이다.^[16]

6. 3. 시에르핀스키 사면체 (테트릭스)

테트릭스는 네 개의 작은 사본으로 만들어진 사면체 기반 프랙탈로, 사면체 형태로 배열된다.^[17]

6. 4. 시에르핀스키-멩거 스노우플레이크

시에르핀스키-멩거 스노우플레이크는 정육면체 기반 프랙탈로, 재귀 단계가 낮아질 때마다 여덟 개의 모서리 정육면체와 하나의 중앙 정육면체가 유지된다. 이 특이한 3차원 프랙탈은 평면과 같은 2차원 객체의 하우스도르프 차원(log 9/log 3=2)을 갖는다.^[16]

7. MegaMenger 프로젝트

메가멩거(MegaMenger)는 런던 퀸 메리 대학교의 맷 파커(Matt Parker)와 제임스 매디슨 대학교의 로라 탈만(Laura Taalman)이 주도한 프로젝트로, 가장 큰 프랙탈 모델을 만드는 것을 목표로 하였다. 각 작은 큐브는 여섯 개의 맞물린 접힌 명함으로 만들어지며, 레벨 4 스펀지의 경우 총 960,000개가 사용된다. 외부 표면은 더 미학적으로 보이기 위해 시어핀스키 카펫 디자인으로 인쇄된 종이나 판지로 덮여 있다.^[12] 2014년에는 20개의 레벨 3 멩거 스펀지가 제작되었으며, 이들을 결합하면 분산된 레벨 4 멩거 스펀지를 형성한다.^[18]

2015년 케임브리지 과학 축제에서 케임브리지 레벨 3 메가멩거의 중심을 통해 본 테트릭스 모델

참조

_[1] 서적 Thermodynamics of Chaotic Systems: An Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press 1995
_[2] 서적 Fractals in Science https://books.google[...] Springer 2013
_[3] 서적 Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013
_[4] 간행물 Dimensionstheorie B.G Teubner
_[5] 간행물 Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.
_[6] 웹사이트 Volume and Surface Area of the Menger Sponge http://demonstration[...] Wolfram Demonstrations Project
_[7] 웹사이트 Mathematics Geometry: Menger Sponge http://scienceres-ed[...] University of British Columbia Science and Mathematics Education Research Group
_[8] 뉴스 The Mystery of the Menger Sponge https://nytimes.com/[...] 2017-05-08
_[9] 웹사이트 A299916 - OEIS https://oeis.org/A29[...] 2018-08-02
_[10] 웹사이트 Teen Mathematicians Tie Knots Through a Mind-Blowing Fractal https://www.quantama[...] 2024-11-29
_[11] 학술지 Shockwave dissipation by interface-dominated porous structures 2020-07-01
_[12] 웹사이트 A Million Business Cards Present a Math Challenge https://huffingtonpo[...] 2015-04-07
_[13] 웹사이트 Cross Menger (Jerusalem) Cube Fractal http://www.robertdic[...] Robert Dickau 2017-05-08
_[14] 웹사이트 The Jerusalem Cube http://alt-fractals.[...] Alt.Fractals 2013-03-13
_[15] 웹사이트 The Jerusalem Square http://alt-fractals.[...] Alt.Fractals 2021-12-09
_[16] 잡지 Folding Fractal Art from 49,000 Business Cards https://www.wired.co[...] 2017-05-08
_[17] 웹사이트 Tetrix http://mathworld.wol[...] 2017-05-08
_[18] 웹사이트 MegaMenger http://www.megamenge[...] 2015-02-15
_[19] 간행물 Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.
_[20] 서적 Thermodynamics of Chaotic Systems: An Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press 1995
_[21] 서적 Fractals in Science https://books.google[...] Springer 2013
_[22] 서적 Reminiscences of the Vienna Circle and the Mathematical Colloquium https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013
_[23] 간행물 Dimensionstheorie B.G Teubner Publishers
_[24] 간행물 Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.

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