모티브 코호몰로지

1. 개요

모티브 코호몰로지는 대수다양체에 사용되는 새로운 호모토피 이론으로, 블라디미르 보예보츠키가 호모토피 이론과 K이론을 대수기하학에 적용하여 모형 범주의 형태로 만들었다. 이는 대수다양체의 차우 군을 계산하는 데 사용되며, 차우 군의 국소화 열을 일반화한 모티빅 호몰로지 군을 포함한다. 모티브 코호몰로지는 모티빅 코호몰로지, 콤팩트 지지 모티빅 코호몰로지, 보렐-무어 모티빅 호몰로지, 콤팩트 지지 모티빅 호몰로지의 네 가지 버전이 있으며, K-이론, 밀너 K-이론, 에탈 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론과 연관되어 있다. 또한, 베일린슨의 추측과 같은 모티브와의 관계가 있으며, L-함수의 특수값과 관련된 수론기하학에 응용된다. 다니엘 퀼렌의 대수적 K-이론 정의 이후, 블로흐, 보예보츠키 등의 연구를 통해 발전해왔다.

2. 모티프 (코)호몰로지

모티프 코호몰로지는 대수다양체의 부분다양체에 대한 정보를 담고 있는 차우 군을 일반화한 개념이다.

블라디미르 보예보츠키는 호모토피 이론과 K이론을 대수기하학에 적용하여 대수다양체에 사용할 수 있는 새로운 모티프 식 호모토피 이론을 모형 범주의 형태로 만들었다. 이를 통해 대수다양체를 위한 모티프 코호몰로지 이론의 한 가지 모델을 만들 수 있었다.

X가 체 k 위에서 유한 타입인 환일 때, 대수기하학의 주요 목표는 X의 차우 군을 계산하는 것이다. 차우 군은 X의 모든 부분다양체에 대한 정보를 제공하기 때문이다. X의 차우 군은 위상수학의 보렐-무어 호몰로지와 유사하지만, 몇 가지 부족한 점이 있다. 예를 들어, X의 닫힌 부분 체계 Z에 대해, 다음과 같은 차우 군의 완전열인 국소화 열이 존재한다.

:$CH\_i(Z)\; \backslash rightarrow\; CH\_i(X)\; \backslash rightarrow\; CH\_i(X-Z)\; \backslash rightarrow\; 0,$

하지만 위상수학에서는 이것이 긴 완전열의 일부이다.

이 문제는 차우 군을 고차 차우 군으로 일반화하여 해결되었다. 스펜서 블로흐가 처음 명명한 (보렐-무어) 모티빅 호몰로지 군은 차우 군의 일반화된 형태이다.

보예보츠키는 모티빅 코호몰로지, 콤팩트 지지 모티빅 코호몰로지, 보렐-무어 모티빅 호몰로지, 콤팩트 지지 모티빅 코호몰로지의 네 가지 이론을 구성했다. 이 이론들은 위상수학의 해당 이론과 유사한 성질을 갖는다. 예를 들어, 모티빅 코호몰로지 군 Hⁱ(X,Z(j))는 체 k 위의 유한 타입 체계 X에 대한 환을 형성한다. X가 k 위에서 차원 n의 매끄러운 경우, 다음과 같은 푸앵카레 쌍대성 동형이 존재한다.

:$H^i(X,\backslash mathbf\{Z\}(j))\backslash cong\; H\_\{2n-i\}(X,\backslash mathbf\{Z\}(n-j)).$

특히, X가 k 위에서 매끄러울 때, 코드차원-i 사이클의 차우 군 CHⁱ(X)는 H²ⁱ(X,Z(i))와 동형이다.

모티빅 호몰로지 및 코호몰로지의 네 가지 버전은 임의의 아벨 군을 계수로 정의할 수 있으며, 다른 계수를 가진 이론은 보편 계수 정리에 의해 관련되어 있다.

2.1. 모티프 호몰로지의 정의

체 k 위의 유한형 스킴 X와 정수 i, j에 대해 아벨 군 H_i(X,Z(j))가 정의되며, 차우 군은 이들의 특수한 경우이다.

::$CH\_i(X)\; \backslash cong\; H\_\{2i\}(X,\backslash mathbf\{Z\}(i)).$

X의 닫힌 부분 스킴 Z에 대해, 차우 군의 국소화 열을 확장하는 모티프 호몰로지의 긴 완전열이 존재한다.

::$\backslash cdots\backslash rightarrow\; H\_\{2i+1\}(X-Z,\backslash mathbf\{Z\}(i))\backslash rightarrow\; H\_\{2i\}(Z,\backslash mathbf\{Z\}(i))\backslash rightarrow\; H\_\{2i\}(X,\backslash mathbf\{Z\}(i))\backslash rightarrow\; H\_\{2i\}(X-Z,\backslash mathbf\{Z\}(i))\backslash rightarrow\; 0.$

2.2. 모티프 코호몰로지의 정의

모티프 코호몰로지 군 Hⁱ(X,Z(j))는 2중 차수 부착 환을 이룬다. X가 k 위에서 매끄러운 경우, 푸앵카레 쌍대성 동형사상이 성립하여 CHⁱ(X) ≅ H²ⁱ(X,Z(i))가 된다.

체 k 위의 매끄러운 스킴 X의 모티프 코호몰로지 Hⁱ(X, Z(j))는 X에서 자리스키 위상에서 특정 복합체의 층 Z(j)를 계수로 하는 코호몰로지이다. 예를 들어, Z(j)는 j < 0일 때 0이고, Z(0)는 상수 층 Z이며, Z(1)은 G_m[−1]과 X의 도출된 범주에서 동형이다. 여기서 G_m(곱셈군)은 가역 정규 함수의 층을 나타내며, 시프트 [−1]은 이 층이 차수 1의 복합체로 간주됨을 의미한다.

3. 다른 코호몰로지 이론과의 관계

최근에는 호모토피 이론과 K이론을 대수기하학에 적용하여, 블라디미르 보예보츠키가 대수다양체에 쓰일 수 있는 새로운 모티브 식 호모토피 이론을 모형 범주의 형태로 만들어 내었다. 이를 통해 대수다양체를 위한 모티브 코호몰로지 이론의 한 가지 모델을 만들 수 있었다.

3.1. K-이론과의 관계

블로흐, 리히텐바움, 프리들랜더, 수슬린, 레빈은 모든 체 위의 매끄러운 스킴 X에 대해 모티브 코호몰로지에서 대수적 K-이론으로 가는 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열과 유사한 스펙트럼 열이 존재함을 보였다.

:$E\_2^\{pq\}=H^p(X,\backslash mathbf\{Z\}(-q/2))\; \backslash Rightarrow\; K\_\{-p-q\}(X).$

이 스펙트럼 열은 유리수를 텐서하면 퇴화한다. 체 위의 유한 타입의 임의의 스킴에 대해, 모티브 호몰로지에서 G-이론(벡터 다발 대신 가환층의 K-이론)으로 가는 유사한 스펙트럼 열이 존재한다.

3.2. 밀너 K-이론과의 관계

체 k의 모티브 코호몰로지 H^j(k, Z(j))는 k의 j번째 밀너 K-군 K_j^M(k)와 동형이다. 즉, 다음 관계가 성립한다.

:$K\_j^M(k)\; \backslash cong\; H^j(k,\; \backslash mathbf\{Z\}(j))$

체의 밀너 K-이론은 생성자와 관계를 통해 명시적으로 정의되므로, 이는 체 k의 모티브 코호몰로지의 한 부분을 이해하는 데 유용하다.

3.3. 에탈 코호몰로지와의 관계

체 k 위의 매끄러운 스킴 X와, k에서 가역적인 양의 정수 m에 대해, 모티브 코호몰로지에서 에탈 코호몰로지로 가는 사이클 사상이라 불리는 자연스러운 준동형 사상이 존재한다.

:$H^i(X,\backslash mathbf\{Z\}/m(j))\backslash rightarrow\; H^i\_\{et\}(X,\backslash mathbf\{Z\}/m(j))$

여기서 우변의 Z/m(j)는 1의 m 제곱근 μ_m으로 이루어진 에탈 층 (μ_m)^⊗j이다. 이는 차우 환에서 에탈 코호몰로지로의 사이클 사상을 일반화한 것이다.

대수기하학이나 수론에서 모티브 코호몰로지를 계산하는 것이 목표인 경우가 많지만, 에탈 코호몰로지가 더 이해하기 쉬운 경우가 많다. 예를 들어, 밑 체 k가 복소수체라면, 에탈 코호몰로지는 (유한 계수를 갖는) 특이 코호몰로지와 일치한다. 블라디미르 보예보츠키가 증명한 베일린슨-리히텐바움 추측은 많은 모티브 코호몰로지 군이 실제로 에탈 코호몰로지 군과 동형사상이라는 강력한 정리이다. 이는 노름 잉여 동형 정리의 결과이다. 즉, 베일린슨-리히텐바움 추측(보예보츠키의 정리)에 따르면, 체 k 위의 매끄러운 스킴 X와 k에서 가역적인 양의 정수 m에 대해, 사이클 사상

:$H^i(X,\backslash mathbf\{Z\}/m(j))\backslash rightarrow\; H^i\_\{et\}(X,\backslash mathbf\{Z\}/m(j))$

은 모든 j ≥ i에 대해 동형 사상이고, 모든 j ≥ i − 1에 대해 단사 사상이다.

4. 모티프와의 관계

보예보츠키는 주어진 체 k와 가환환 R에 대해, '계수가 R인 k 위의 모티프의 유도 범주' DM(k; R)를 정의했다. 이 범주에서 각 스킴 X는 모티프 M(X)와 콤팩트 지지 모티프 M^c(X)라는 두 객체를 결정한다. 모티프 (코)호몰로지는 이 범주 내의 사상 집합으로 나타낼 수 있다.

모티브의 유도 범주의 기본적인 점은, 네 가지 유형의 모티브 호몰로지와 모티브 코호몰로지가 모두 이 범주 내의 사상 집합으로 나타난다는 것이다. 모든 정수 j에 대해 DM(k; R)에는 테이트 모티브 R(j)가 존재하며, 사영 공간의 모티브는 테이트 모티브의 직합이다.
:$M(\backslash mathbf\{P\}^n\_k)\backslash cong\; \backslash oplus\_\{j=0\}^n\; R(j)[2j]$
여기서 M ↦ M[1]은 DM(k; R)에서 이동 또는 "변환 함자"이다. 예를 들어 모티브 코호몰로지는 다음과 같다.
:$H^i(X,R(j))\backslash cong\; \backslash text\{Hom\}\_\{DM(k;\; R)\}(M(X),R(j)[i])$
이는 유한 타입의 모든 스킴 X에 대해 성립한다.

4.1. 베일린슨의 추측

베일린슨의 추측에 따르면, 유리수 계수(R = Q)를 사용할 때, DM(k; Q)의 콤팩트 객체 부분 범주는 k 위에서의 혼합 모티브 범주인 아벨 범주 MM(k)의 유계 유도 범주와 동등하다. 이 추측은 모티브 코호몰로지 군이 혼합 모티브 범주에서 Ext 군으로 식별될 수 있음을 시사한다.

더 구체적으로, 베일린슨의 추측은 i < 0에 대해 Hⁱ(X,Q(j))가 0이라는 베일린슨-솔레 추측을 내포하는데, 이는 극히 일부 경우에만 증명되었다.

반면, 베일린슨-솔레 추측의 변형은 그로텐디크의 표준 추측 및 머레의 차우 모티브에 관한 추측과 결합하여, DM(k; Q)에 대한 t-구조의 핵으로서 아벨 범주 MM(k)가 존재함을 유도한다. 그러나 이것만으로는 MM(k)에서의 Ext 군과 모티브 코호몰로지를 동일시할 수 있다는 결론을 내릴 수는 없다.

복소수체의 부분체 k에 대해서는, 노리가 혼합 모티브의 아벨 범주에 대한 후보를 제시했다. 만약 예상되는 성질(특히, MM(k)에서 Q-벡터 공간으로의 베티 실현 함자가 충실)을 갖는 범주 MM(k)가 존재한다면, 이는 노리의 범주와 동등해야 한다.

5. 수론기하학에의 응용

수론기하학에서 모티브 코호몰로지는 L-함수의 특수값과 관련된 여러 추측들을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다.

5.1. L-함수의 특수값

유리수체 위의 매끄러운 사영 다양체 X를 고려해 보자. L-함수의 값에 대한 블로흐-카토 추측은 정수점에서 X의 L-함수의 영점의 차수가 적절한 모티브 코호몰로지 군의 계수와 같다고 예측한다. 이는 딜리뉴와 베일린슨의 이전 추측을 포함하는 수론의 핵심적인 문제 중 하나이다. 버치-스위너턴-다이어 추측은 이 추측의 특수한 경우이다. 더욱 정확하게는, 이 추측은 레귤레이터와 모티브 코호몰로지 상의 height pairing^영어을 사용하여 L-함수의 정수점에서의 선두 계수를 예측한다.

6. 역사

다니엘 퀼렌이 대수적 K-이론을 정의하고 발전시킨 연구(1973)에서, 대수적 다양체의 차우 군을 더 일반적인 모티브 코호몰로지 이론으로 확장할 수 있다는 가능성이 처음 나타났다. 1980년대 초, 벨린슨과 술레는 아담스 연산을 사용하여 유리수 계수 대수적 K-이론을 분해할 수 있음을 발견했다. 벨린슨과 리히텐바움은 모티브 코호몰로지의 존재와 성질을 예측하는 추측을 제기했는데, 이 추측의 대부분은 증명되었지만 전부는 아니다.

블로흐는 체 k 위의 준사영적 다양체에 대한 보렐-무어 모티프 호몰로지를 정수적으로 처음 정의했다(1986). 1990년대에 블라디미르 보예보츠키는 수슬린과의 공동 연구를 바탕으로 모티프 호몰로지와 모티프 코호몰로지를 정의하고, A¹-호모토피 이론의 틀 안에서 모티프의 삼각 범주를 정의했다.

최근에는 엘만토와 모로우, 켈리와 사이토의 연구를 통해 모티프 코호몰로지의 구성이 확장되었다.