K이론

3. 정의

K이론은 여러 가지 정의가 있는데, 모두 어떤 기하학적 대상 위에 존재할 수 있는 벡터 다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 그로텐디크 군을 취하면 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 '''K군'''(K群, K-group^영어)이라고 하며, $K\_n(M)$과 같이 쓴다. 여기서 $M$은 다루는 기하학적 대상이고, $n$은 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. $K\_n$은 아벨 군의 범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 작용소 K이론 등이 있다. 위상 K이론은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터 다발들을 다룬다. 대수적 K이론은 환 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 작용소 K이론은 C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다루며, 비가환 기하학을 통해 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

K이론의 기본 정의에는 여러 가지가 있으며, 그중 두 가지는 위상수학에서, 두 가지는 대수 기하학에서 유래되었다.^[1] 알렉상드르 그로텐디크가 Grothendieck–Riemann–Roch theorem^영어을 정식화할 때 고안되었으며, K이론의 K는 "류(類)"를 의미하는 독일어 "Klasse"의 머리글자에서 유래되었다.^[15]

3. 1. 그로텐디크 군 (Grothendieck group)

3. 2. 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 K이론

3. 3. 대수기하학에서의 K이론

3. 4. 작용소 K이론

4. 그로텐디크 완비

아벨 모노이드에서 아벨 군을 구축하는 그로텐디크 완비는 K이론에서 핵심적인 역할을 한다. K이론의 모든 정의는 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고, 이 보편적인 구성을 통해 아벨 군으로 변환하는 것으로 시작하기 때문이다.

4. 1. 정의

4. 2. 성질

4. 3. 예시: 자연수

5. 예 및 성질

K이론은 다양한 공간과 대수에 대한 K군을 다룬다. 이 군은 특정한 기하학적 대상 위에 존재하는 벡터 다발과 같은 구조들로부터 유도된다. K군은 아벨 군을 이루며, $K\_n(M)$과 같이 표기한다. 여기서 $M$은 기하학적 대상, $n$은 지수를 나타낸다. K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 작용소 K이론 등이 있으며, 각각 국소 콤팩트 하우스도르프 공간, 환, C* 대수 위의 구조들을 다룬다.

주어진 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대해, $X$ 위의 유한 차원 선형 다발의 동치류 집합 $\backslash text\{Vect\}(X)$를 생각할 수 있다. 선형 다발의 동치류에 대한 직합 연산을 통해 아벨 모노이드를 구성하고, 그로텐디크 군 완비화를 통해 아벨 군 $K^0(X)$를 얻는다. 이는 세르-스완 정리를 통해 연속 복소 함수 환에 대한 사영 가군으로 설명될 수 있다.^{[18] 페이지 51-110}

대수기하학에서는 뇌터 스킴 $X$ 위의 대수적 선형 다발의 동치류 집합 $\backslash text\{Vect\}(X)$를 이용하여 비슷한 방식으로 그로텐디크 군 $K^0(X)$를 정의한다. 또한, 연접층의 짧은 완전열을 이용하여 $K\_0(X)$를 정의할 수 있으며, 매끄러운 스킴의 경우 $K^0(X)$와 동형이다. $K\_0(X)$는 그로텐디크-리만-로흐 정리를 통해 교차 이론에 사용될 수 있다.^[19]

5. 1. 체의 K₀

5. 2. 아틴 대수의 K₀

5. 3. 사영 공간의 K₀

5. 4. 사영 다발의 K₀

5. 5. 특이 공간의 K₀

5. 6. 매끄러운 사영 곡선의 K₀

6. 응용

K이론은 가상 선형 다발을 정의하는 데 유용하게 응용된다. 예를 들어, 매끄러운 공간 \(Y\)를 매끄러운 공간 \(X\)에 삽입하면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: \( 0 \to \Omega_Y \to \Omega_X|_Y \to C_{Y/X} \to 0\)

여기서 \(C_{Y/X}\)는 \(X\)에서 \(Y\)의 여법 다발이다. 특이 공간 \(Y\)가 있다면 매끄러운 공간 \(X\)에 묻힌 가상 여법 다발은 \([\Omega_X|_Y] - [\Omega_Y]\)와 같이 정의할 수 있다.

가상 다발은 공간 교차점의 가상 접다발을 정의하는 데에도 사용된다. \(Y_1, Y_2 \subset X\)를 매끄러운 사영 다형체의 사영 부분 다형체라고 하면, 교집합 \(Z = Y_1 \cap Y_2\)의 가상 접다발은 \([T_Z]^{vir} = [T_{Y_1}]|_Z + [T_{Y_2}]|_Z - [T_{X}]|_Z\)와 같이 정의된다. 콘체비치는 이 구성을 자신의 논문에서 사용했다.^[32][12]

천 특성은 공간의 위상 K-이론에서 유리 코호몰로지(의 완비)로 가는 환 동형사상을 구성하는 데 사용된다. 선다발 $L$의 경우 천 특성 ch는 \(\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}\)와 같이 정의된다.

일반적으로, $V\; =\; L\_1\; \backslash oplus\; \backslash dots\; \backslash oplus\; L\_n$가 첫 번째 천 특성류 $x\_i\; =\; c\_1(L\_i)$를 갖는 선다발의 직합이면, 천 특성은 \(\operatorname{ch}(V) = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + \dots + x_n^m)\)와 같이 가법적으로 정의된다. 천 특성은 텐서곱의 천 특성류 계산을 용이하게 하며, 히르체부르흐-리만-로흐 정리에서 사용된다.

6. 1. 가상 다발 (Virtual bundles)

6. 2. 천 특성 (Chern characters)

7. 등변 K이론 (Equivariant K-theory)

등변 대수적 K-이론은 선형 대수 군의 작용이 있는 대수적 스킴에 대한 K-이론이다. 선형 대수적 군 작용 $G$의 작용을 갖는 대수적 스킴 $X$ 위의 등변 코히어런트 층의 범주 $\backslash operatorname\{Coh\}^G(X)$와 관련된 대수적 K-이론을 퀼렌의 Q-구조를 통해 정의한다.

정의에 따라,

:$K\_i^G(X)\; =\; \backslash pi\_i(B^+\; \backslash operatorname\{Coh\}^G(X)).$

특히, $K\_0^G(C)$는 $\backslash operatorname\{Coh\}^G(X)$의 그로텐디크 군이다. 이 이론은 1980년대에 R. W. 토마슨에 의해 개발되었으며^[13][17][33], 국소화 정리와 같은 기본적인 정리의 등변 유사물을 증명했다.

참조

_[1] arXiv K-Theory Past and Present
_[2] 서적 Complex topological K-theory https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2008
_[3] 웹사이트 SGA 6 - Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres http://library.msri.[...]
_[4] 문서 Karoubi, 2006
_[5] arXiv K-theory and Ramond–Ramond Charge https://arxiv.org/ab[...]
_[6] 웹사이트 Grothendieck group for projective space over the dual numbers https://mathoverflow[...] 2017-04-16
_[7] 웹사이트 kt.k theory and homology - Grothendieck group for projective space over the dual numbers https://mathoverflow[...] 2020-10-20
_[8] 저널 Lectures on the K-functor in algebraic geometry 1969-01-01
_[9] 웹사이트 ag.algebraic geometry - Is the algebraic Grothendieck group of a weighted projective space finitely generated ? https://mathoverflow[...] 2020-10-20
_[10] 저널 K-theory and the singularity category of quotient singularities
_[11] 서적 Algebraic K-theory https://www.worldcat[...] Birkhäuser 1991
_[12] 인용 The moduli space of curves (Texel Island, 1994) Birkhäuser Boston
_[13] 문서 Robert W. Thomason (1952–1995) https://www.ams.org/[...]
_[14] Citation K-Theory Past and Present
_[15] 문서 Karoubi, 2006
_[16] arXiv K-theory and Ramond–Ramond Charge http://xxx.lanl.gov/[...]
_[17] 문서 Robert W. Thomason (1952–1995) http://www.ams.org/n[...]
_[18] 서적 Complex topological K-theory https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2008
_[19] 웹인용 SGA 6 - Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres http://library.msri.[...] 2023-06-29
_[20] 서적 Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972 Springer
_[21] arXiv K-theory and Ramond–Ramond Charge https://arxiv.org/ab[...]
_[22] 저널 Constructing D-branes from ''K''-theory 1999
_[23] 저널 Overview of ''K''-theory applied to strings 2001
_[24] 저널 What does(n’t) ''K''-theory classify? 2006
_[25] 저널 D-branes and bivariant ''K''-theory 2008
_[26] 웹인용 Grothendieck group for projective space over the dual numbers https://mathoverflow[...] 2017-04-16
_[27] 웹인용 kt.k theory and homology - Grothendieck group for projective space over the dual numbers https://mathoverflow[...] 2020-10-20
_[28] 저널 Lectures on the K-functor in algebraic geometry 1969-01-01
_[29] 웹인용 ag.algebraic geometry - Is the algebraic Grothendieck group of a weighted projective space finitely generated ? https://mathoverflow[...] 2020-10-20
_[30] 저널 K-theory and the singularity category of quotient singularities
_[31] 서적 Algebraic K-theory https://www.worldcat[...] Birkhäuser 1991
_[32] 인용 Maxim Kontsevich Birkhäuser Boston
_[33] 문서 Robert W. Thomason (1952–1995) https://www.ams.org/[...]