유도 범주

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1. 개요

유도 범주는 아벨 범주의 사슬 복합체 범주를 국소화하여 얻는 범주로, 함자를 정의하고 연구하는 데 사용된다. 유도 범주는 삼각 분할 범주 구조를 가지며, 층 코호몰로지, 세르 쌍대성, 리만-힐베르트 대응, D-가군 등 다양한 수학 분야와 관련이 있다. 유도 범주는 모형 범주 이론을 통해 정의될 수 있으며, 두 아벨 범주가 다를지라도 유도 범주는 동치일 수 있는데, 이는 두 범주 사이의 흥미로운 관계를 나타낸다.

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유도 범주
정의
한국어 명칭	유도 범주
영어 명칭	Derived category
프랑스어 명칭	Catégorie dérivée
설명	가환 대수학 및 호몰로지 대수학에서 유도 범주는 아벨 범주에서 준동형 사상을 반전시켜 얻은 범주이다.
동기
설명	유도 범주는 준 아이소몰피즘을 형식적으로 반전시켜 얻어진다. 이 과정은 원래 범주의 대상과 사상에 대한 추가 정보를 보존하면서, 호몰로지적 관점에서 동등한 대상을 식별하는 데 사용된다. 이는 복합체의 준 아이소몰피즘을 동형사상으로 취급하여 문제를 단순화한다.
역사
기원	유도 범주의 개념은 1960년대 알렉산더 그로텐디크와 그의 제자들이 층 코호몰로지를 연구하는 과정에서 도입되었다.
발전	장루이 베르디에는 1967년 그로텐디크의 지도를 받으며 유도 범주에 대한 그의 논문을 썼다.
초기 응용	유도 범주는 믹스드 호지 구조의 연구에 사용되었다.
중요성	유도 범주는 수학의 여러 분야에서 중요한 도구로 자리 잡았으며, 특히 호몰로지 대수학과 대수기하학에서 널리 활용된다.
구성
기본 단계	아벨 범주 A의 대상의 복합체 K(A)를 구성한다.
준동형 사상 반전	K(A)에서 준동형 사상(quasi-isomorphisms)을 형식적으로 반전시켜 D(A)를 얻는다.
삼각 범주 구조	D(A)는 자연스러운 삼각 범주 구조를 갖는다.
응용
호몰로지 대수학	유도 범주는 호몰로지 대수학의 다양한 문제를 해결하는 데 사용된다.
대수기하학	유도 범주는 대수기하학에서 층 코호몰로지를 연구하는 데 중요한 역할을 한다.
표현론	유도 범주는 표현론에서 대수적 구조를 연구하는 데 사용된다.
이론물리학	유도 범주는 끈 이론과 같은 이론물리학 분야에서도 응용된다.
예시
완비 특이점 몫	완비 특이점 몫은 유도 범주를 사용하여 연구된다.

2. 정의

아벨 범주에서의 사슬 복합체, 사슬 사상, 사슬 호모토피 등의 기본 개념은 다음과 같다.

아벨 범주 $\mathcal A$ 속의 두 (공)사슬 복합체 $C$ , $D$ 사이의 두 (공)사슬 사상 $f,g\colon C\to D$ 사이의 '''(공)사슬 호모토피'''는 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 '''사슬 복합체 호모토피 범주'''( $K(\mathcal A)$ )라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 $\operatorname D(\mathcal A)$ 를 얻는다.

아벨 범주 $\mathcal C$ 의 유도 범주 $\operatorname D(\mathcal C)$ 는 다음과 같이 구성된다.

$\operatorname D(\mathcal C)$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 사슬 복합체이다.
$\operatorname D(\mathcal C)$ 에서 사슬 복합체 $C_\bullet$ 에서 $D_\bullet$ 로의 사상은 $C_\bullet\xleftarrow{q_\bullet}E_\bullet\xrightarrow{f_\bullet}D_\bullet$ 꼴의 사슬 사상 쌍 $(q_\bullet,f_\bullet)$ 의 동치류이다. 여기서,
$q_\bullet\colon E_\bullet\to C_\bullet$ 는 유사동형이다.
$f_\bullet\colon E_\bullet\to D_\bullet$ 는 임의의 사슬 사상이다.
두 순서쌍은 특정 조건을 만족하면 같은 동치류로 간주한다.

이 정의는 집합론적인 문제를 야기할 수 있지만, 모형 범주 이론을 통해 이러한 문제를 피할 수 있다.

2. 1. 사슬 호모토피

아벨 범주

\mathcal A

속의 두 (공)사슬 복합체

C

,

D

사이의 두 (공)사슬 사상

f,g\colon C\to D

사이의 '''(공)사슬 호모토피'''((co)chain homotopy^영어)는 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.

같은 정의역과 공역을 갖는 두 (공)사슬 사상 사이에 (공)사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 '''호모토픽'''한 (공)사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 동치 관계이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 (공)사슬 사상

0\in\hom_{\operatorname{Ch}(\mathcal A)}(C,D)

과 호모토픽한 (공)사슬 사상은 '''널호모토픽''' (공)사슬 사상이라고 한다.

호모토픽 관계는 사슬 사상 집합의 아벨 군 구조와 호환되며, 특히 널호모토픽한 사슬 사상들의 부분 집합은 부분군을 이룬다. 두 사슬 사상

f,g\colon C\to D

이 서로 호모토픽하다는 것은 두 사슬 사상의 차

f-g

가 널호모토픽하다는 것과 동치이다. 사슬 사상 집합의 호모토픽 관계에 대한 동치류들은 모든 사슬 사상들로 구성된 아벨 군의, 널호모토픽 사슬 사상으로 구성된 부분군에 대한 몫군이다.

두 개의 호모토픽한 사상은 코호몰로지 군에 동일한 사상을 유도한다.

f \colon X^\bullet \to Y^\bullet

와

g \colon Y^\bullet \to X^\bullet

가 존재하여

g \circ f

와

f \circ g

가 각각

X^\bullet

와

Y^\bullet

위의 항등 사상에 사슬 호모토픽하면,

f

를 '''사슬 호모토피 동치'''라고 한다.

사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 '''사슬 복합체 호모토피 범주'''(homotopy category of chain complexes^영어)

K(\mathcal A)

라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 국소화하면 유도 범주

\operatorname D(\mathcal A)

를 얻는다. 모형 범주의 관점에서 유도 범주 ''D''(''A'')는 복합체 범주의 진정한 '호모토피 범주'이며, ''K''(''A'')는 '단순한 호모토피 범주'라고 불릴 수 있다.

2. 1. 1. 사슬 호모토피의 구체적 정의

아벨 범주

\mathcal A

속의 두 사슬 복합체

C

,

D

사이의 두 사슬 사상

f,g\colon C\to D

사이의 '''사슬 호모토피'''

h \colon f \Rightarrow g

는 다음과 같이 정의된다.

각 정수 $i$ 에 대하여, $\mathcal A$ 속의 사상 $h_i\colon C_i\to D_{i+1}$ 가 존재한다. (이때, $h_i$ 는 일반적으로 사슬 사상 $C[1]\to D$ 를 이루지 않는다.)

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$f_i-g_i=\partial^D_i\circ h_i+h_{i-1}\circ\partial^C_i$

공사슬 복합체의 경우, 아벨 범주

\mathcal A

속의 두 공사슬 복합체

C^\bullet

,

D^\bullet

사이의 두 공사슬 사상

f,g\colon C^\bullet\to D^\bullet

사이의 '''공사슬 호모토피'''는 다음과 같이 정의된다.

각 정수 $i$ 에 대하여, $\mathcal A$ 속의 사상 $h^i\colon C^i\to D^{i-1}$ 가 존재한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$f^i-g^i=\mathrm d_D^{i-1}\circ h^i+h^{i+1}\circ\mathrm d_C^i$

2. 1. 2. 사슬 호모토피의 추상적 정의 (왼쪽 호모토피)

아벨 범주

\mathcal A

속의 사슬 복합체

C

가 주어졌을 때, '''기둥 사슬 복합체'''(cylinder chain complex^영어)를 다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname{Cyl}(C)_\bullet \in \operatorname{Ch}(\mathcal A)

:

\operatorname{Cyl}(C)_n = C_n \oplus C_n \oplus C_{n-1}

:

\partial^{\operatorname{Cyl}(C)}_n \colon C_n \oplus C_n \oplus C_{n-1} \to C_{n-1} \oplus C_{n-1} \oplus C_{n-2}

:

\partial^{\operatorname{Cyl}(C)}_n = \begin{pmatrix}\partial_n^C & 0 & 1\\0 & \partial_{n-1}^C & -1\\0 & 0 & -\partial_{n-2}^C\end{pmatrix}

여기에는 자연스러운 포함 사상

:

\iota, \iota' \colon C \to \operatorname{Cyl}(C)

:

\iota = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

:

\iota' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}

이 주어진다.

임의의 두 사슬 복합체

C

,

D

사이의 두 사슬 사상

f,g\colon C\to D

사이의 '''사슬 호모토피'''는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상

h \colon \operatorname{Cyl}(C) \to D

이다.

:

\begin{matrix}C &\overset{\iota}\to & \operatorname{Cyl}(C) & \overset{\iota'}\leftarrow & C \\\| & & {\color{White}\scriptstyle h}\downarrow{\scriptstyle h} && \| \\C & \underset f\to & D & \underset g\leftarrow & C \\\end{matrix}

이 정의는 사슬 복합체의 모형 범주에서의 왼쪽 호모토피의 정의를 풀어 쓴 것이다.

2. 1. 3. 사슬 호모토피의 추상적 정의 (오른쪽 호모토피)

아벨 범주

\mathcal A

속의 사슬 복합체

D

가 주어졌을 때, 다음과 같은 '''경로 사슬 복합체'''(經路사슬複合體, path chain complex^영어)를 정의할 수 있다.

:

\operatorname{Path}_n(D) = D_n \oplus D_n \oplus D_{n+1}

:

\partial_n^{\operatorname{Path}(D)} = \begin{pmatrix}\partial^D_n & 0 & (-)^n \\0 & \partial^D_n & (-)^{n+1} \\0 & 0 & \partial^D_{n+1}\end{pmatrix}

여기에는 자연스러운 사상

:

\pi,\pi'\colon \operatorname{Path}(D)\to D

:

\pi = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

:

\pi' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

이 존재한다.

임의의 두 사슬 복합체

C

,

D

사이의 두 사슬 사상

f,g\colon C\to D

사이의 '''사슬 호모토피'''는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상

h \colon C \to \operatorname{Path}(D)

이다.

:

\begin{matrix}D &\overset f\leftarrow & C & \overset g\to & D \\\| & & {\color{White}\scriptstyle h}\downarrow{\scriptstyle h} && \| \\D & \underset\pi\leftarrow & \operatorname{Path}(D) & \underset{\pi'}\to & D \\\end{matrix}

이 정의는 사슬 복합체의 모형 범주에서의 오른쪽 호모토피의 정의를 풀어 쓴 것이다.

2. 1. 4. 구간 사슬 복합체를 통한 사슬 호모토피의 정의

가군 범주에서 구간 사슬 복합체를 이용하여 사슬 호모토피를 정의할 수 있다. 우선, 어떤 가환환

K

위의 결합 대수

A

위의

(A,A)

-쌍가군들의 아벨 범주

\mathcal A = {}_A\operatorname{Mod}_A = {}_{A\otimes_KA}\operatorname{Mod}

를 생각하자.

여기서 '''구간 사슬 복합체'''(interval chain complex^영어)

I_\bullet

를 다음과 같이 정의한다.

:

I_n = \begin{cases}0 & n \not\in\{0,1\} \\A & n = 1 \\A\oplus A & n = 0\end{cases}

:

\partial_1 \colon A \to A\oplus A

:

\partial_1 = \binom 1{-1}

또한, 자명한 사슬 복합체는 다음과 같다.

:

1_n = \begin{cases}0 & n \ne 0 \\A & n = 0\end{cases}

이는 텐서곱의 항등원이다.

두 개의 자명한 사슬 사상

:

\binom10, \binom01 \colon 1_\bullet \to I_\bullet

이 존재한다. (여기서

\textstyle\binom10

와

\textstyle\binom01

는 등급 0의 성분의 2×1행렬 표현이다.)

이제 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Cyl}_\bullet(C) = I\otimes_\bullet C

:

\operatorname{Path}_\bullet(D) = \hom_\bullet(I,D)

사슬 사상

f,g\colon C\to C

사이의 '''사슬 호모토피'''는 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상

:

h \colon I\otimes C \to D

이다.

:

\begin{matrix}1\otimes C &\overset{\binom10}\to & I\otimes C & \overset{\binom01}\leftarrow & 1\otimes C\\\| & & {\color{White}\scriptstyle h}\downarrow{\scriptstyle h} && \| \\C & \underset f\to & D & \underset g\leftarrow & C \\\end{matrix}

만약

f

와

g

가

\operatorname{Kom}(\mathcal{A})

에서 두 개의 사상

X^\bullet \to Y^\bullet

이라면, '''사슬 호모토피''' 또는 간단히 '''호모토피'''

h \colon f \to g

는 모든 ''i''에 대해

f^i - g^i = d_Y^{i-1} \circ h^i + h^{i+1} \circ d_X^i

를 만족하는 사상

h^i \colon X^i \to Y^{i-1}

의 모음이다.

2. 2. 유도 범주

아벨 범주의 유도 범주는 원래 층 코호몰로지를 더 추상적인 수준에서 다루기 위해 도입되었으며, 그 과정에서 코헨-매컬리 환 조건은 비특이성의 약화이며 단일 쌍대화 층의 존재에 해당한다는 것이 밝혀졌다. 또한 '실제' 텐서 곱과 ''Hom'' 펀터는 유도된 수준에서 존재하며, Tor와 Ext는 계산 장치와 더 비슷해진다는 개념이 도입되었다.

유도 범주는 추상적인 수준에도 불구하고, 특히 층 코호몰로지에 편리한 설정으로 수십 년 동안 받아들여졌다. 1980년경에는 유도된 용어로 리만-힐베르트 대응을 1보다 큰 차원에서 공식화되었으며, 사토 학파는 유도 범주의 언어를 채택했고, 그 후의 D-가군 역사는 그러한 용어로 표현된 이론이었다.

병렬적인 발전은 호모토피 이론에서 스펙트럼의 범주였다. 스펙트럼의 호모토피 범주와 환의 유도 범주는 모두 삼각 범주의 예이다.

아벨 범주

\mathcal{A}

의 유도 범주

D(\mathcal{A})

는

\mathcal{A}

의 항을 갖는 사슬 복합체의 범주인

\operatorname{Kom}(\mathcal{A})

에 관하여 보편적인 성질에 의해 정의된다.

\operatorname{Kom}(\mathcal{A})

의 대상은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\cdots \toX^{-1} \xrightarrow{d^{-1}}X^0 \xrightarrow{d^0}X^1 \xrightarrow{d^1}X^2 \to \cdots,

여기서 각 ''X''^''i''는

\mathcal{A}

의 대상이고, 각 합성

d^{i+1} \circ d^i

는 0이다. 복합체의 ''i''차 코호몰로지 군은

H^i(X^\bullet) = \operatorname{ker} d^i / \operatorname{im} d^{i-1}

이다. 만약

(X^\bullet, d_X^\bullet)

과

(Y^\bullet, d_Y^\bullet)

가 이 범주의 두 대상이라면, 사상

f^\bullet \colon (X^\bullet, d_X^\bullet) \to (Y^\bullet, d_Y^\bullet)

는

f_{i+1} \circ d_X^i = d_Y^i \circ f_i

를 만족하는 사상들의 모임

f_i \colon X^i \to Y^i

로 정의된다. 이러한 사상은 코호몰로지 군

H^i(f^\bullet) \colon H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)

에 사상을 유도하며, 만약 이 사상들의 각자가

\mathcal{A}

에서 동형사상이라면,

f^\bullet

을 '''준동형사상'''이라고 부른다.

유도 범주의 보편적인 성질은 준동형사상에 대한 복합체 범주의 국소화라는 것이다. 구체적으로, '''유도 범주'''

D(\mathcal{A})

는 범주이고, 다음의 보편적인 성질을 갖는 함자

Q \colon \operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})

와 함께한다. 만약

\mathcal{C}

가 다른 범주이고,

F \colon \operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to \mathcal{C}

가

f^\bullet

이

\operatorname{Kom}(\mathcal{A})

에서 준동형사상일 때마다, 그 상

F(f^\bullet)

이

\mathcal{C}

에서 동형사상이 되는 함자라면;

F

는

Q

를 통과하여 인수분해된다. 이 보편적인 성질을 갖는 임의의 두 범주는 동치이다.

만약

f

와

g

가

\operatorname{Kom}(\mathcal{A})

에서 두 개의 사상

X^\bullet \to Y^\bullet

이라면, '''사슬 호모토피'''

h \colon f \to g

는 모든 ''i''에 대해

f^i - g^i = d_Y^{i-1} \circ h^i + h^{i+1} \circ d_X^i

를 만족하는 사상

h^i \colon X^i \to Y^{i-1}

의 모음이다. 호모토픽한 사상은 코호몰로지 군에 동일한 사상을 유도한다.

f \colon X^\bullet \to Y^\bullet

가

g \colon Y^\bullet \to X^\bullet

가 존재하여

g \circ f

와

f \circ g

가 각각

X^\bullet

와

Y^\bullet

위의 항등 사상에 사슬 호모토픽하면,

f

를 '''사슬 호모토피 동치'''라고 한다. '''코사슬 복합체의 호모토피 범주'''

K(\mathcal{A})

는

\operatorname{Kom}(\mathcal{A})

와 동일한 대상을 갖지만 사상이 사슬 호모토피 관계에 대한 복합체의 사상의 동치류인 범주이다.

\operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})

의 자연스러운 함자가 있으며, 이는 대상에 대해서는 항등이고, 각 사상을 해당 사슬 호모토피 동치류로 보낸다. 모든 사슬 호모토피 동치는 준동형사상이므로

Q

는 이 함자를 통해 인수분해된다. 결과적으로

D(\mathcal{A})

는 호모토피 범주의 국소화로 간주될 수 있다.

유도 범주를 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다.

$\mathcal{A}$ 가 작은 범주일 때, 준동형사상의 역을 형식적으로 추가하여 유도 범주를 직접 구성할 수 있다.^[1]
$\mathcal{A}$ 가 큰 범주일 경우, 집합론적 이유로 인해 이 구성은 작동하지 않는다.
$\mathcal{A}$ 가 작더라도 생성자와 관계를 통해 구성하면 일반적으로 구조가 불투명한 범주가 생성된다.

유도 범주의 사상 합성은 합성될 두 지붕 위에 세 번째 지붕을 찾는 것으로 이루어지며, 결합적이다.

''K(A)''는 삼각 범주이므로, 그 국소화 ''D(A)'' 역시 삼각 범주이다. 정수 ''n''과 복합체 ''X''에 대해, 복합체 ''X''[''n'']을 ''n''만큼 아래로 이동한 ''X''로 정의하면,

:

X[n]^{i} = X^{n+i},

미분은

:

d_{X[n]} = (-1)^n d_X.

정의에 따르면, ''D(A)''에서 특별한 삼각형은 일부 복합체 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''에 대해 삼각형 ''X'' → ''Y'' → Cone(''f'') → ''X''[1]과 ''D(A)''에서 동형인 삼각형이다. 여기서 Cone(''f'')는 ''f''의 매핑 콘을 나타낸다. 특히, 짧은 완전열

:

0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0

''A''에서, 삼각형 ''X'' → ''Y'' → ''Z'' → ''X''[1]는 ''D(A)''에서 특별하다.

''A''의 객체를 0차에 집중된 복합체로 간주함으로써, 유도 범주 ''D(A)''는 ''A''를 전체 부분 범주로 포함한다. 유도 범주의 사상에는 모든 Ext 군에 대한 정보가 포함된다. 즉, ''A''의 임의의 객체 ''X''와 ''Y'' 및 임의의 정수 ''j''에 대해,

:

\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(X,Y[j]) = \operatorname{Ext}^j_{\mathcal{A}}(X,Y).

유도 범주는 유도 함자를 정의하고 연구하기 위한 자연스러운 틀을 제공한다.

2. 2. 1. 유도 범주의 일반적 정의

아벨 범주

\mathcal C

의 유도 범주

\operatorname D(\mathcal C)

는 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname D(\mathcal C)$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 사슬 복합체이다.
$\operatorname D(\mathcal C)$ 에서 사슬 복합체 $C_\bullet$ 에서 $D_\bullet$ 로의 사상은 $C_\bullet\xleftarrow{q_\bullet}E_\bullet\xrightarrow{f_\bullet}D_\bullet$ 꼴의 사슬 사상 쌍 $(q_\bullet,f_\bullet)$ 의 동치류이다. 여기서,
$q_\bullet\colon E_\bullet\to C_\bullet$ 는 유사동형이다. 즉, 호몰로지에 대한 유도 사상 $q_\bullet^*\colon H_\bullet(E)\to H_\bullet(C)$ 가 동형사상이다.
$f_\bullet\colon E_\bullet\to D_\bullet$ 는 임의의 사슬 사상이다.
두 순서쌍 $f_\bullet q^{-1}$ 과 $f'_\bullet q'^{-1}$ 가 다음을 만족하면 같은 동치류로 간주한다.
$E_\bullet=E'_\bullet$
$f_\bullet$ 와 $f'_\bullet$ 는 서로 호모토픽하다.
$q_\bullet$ 와 $q'_\bullet$ 는 서로 호모토픽하다.

이 정의는 다음과 같은 집합론적 문제를 야기할 수 있다.

$\mathcal A$ 가 국소적으로 작은 범주일 때, 그 유도 범주는 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있다.
$\mathcal A$ 가 국소적으로 작은 범주가 아닐 때, 유도 범주에서 두 대상 사이의 사상은 모임조차 이루지 못할 수 있다.

하지만,

\mathcal{A}

가 그로텐디크 아벨 범주(Grothendieck abelian category)인 경우(즉, AB5를 만족하고 생성자 집합을 갖는 경우)와 같이, 어떤 경우에는 작은 범주에 의해 제어되어 집합으로 정의 할 수 있다.^[3]

2. 2. 2. 유도 범주의 모형 범주 이론을 통한 정의

모형 범주 이론을 통해 일부 아벨 범주에서 나타나는 집합론적인 문제를 피할 수 있다. 구체적으로, 아벨 범주

\mathcal A

위의 사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)

에 다음 조건을 만족시키는 모형 범주 구조가 존재하면, 그 호모토피 범주를 통해 유도 범주를 구성할 수 있다.

약한 동치는 유사동형이다.
올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이의 사상이 호모토픽할 필요 충분 조건은 이 둘 사이에 사슬 호모토피가 존재하는 것이다.

유도 범주를 구성하는 다른 방법으로 호모토피 범주를 사용하는 방법이 있다.

K(\mathcal{A})

에서 준동형사상의 모음은 '''곱셈 시스템'''을 형성한다. 이는 복잡한 경로를 더 간단한 경로로 다시 쓸 수 있도록 하는 조건의 모음이다. 가브리엘-지즈만 정리에 따르면 곱셈 시스템에서의 국소화는 '''지붕'''을 사용하여 간단하게 설명된다.^[2]

D(\mathcal{A})

의 사상

X^\bullet \to Y^\bullet

는 쌍

(s, f)

로 설명될 수 있는데, 여기서 어떤 복소수

Z^\bullet

에 대해

s \colon Z^\bullet \to X^\bullet

는 준동형사상이고

f \colon Z^\bullet \to Y^\bullet

는 사상의 체인 호모토피 동치류이다. 개념적으로, 이것은

f \circ s^{-1}

을 나타낸다. 두 지붕은 공통 상위 지붕을 가지면 동치이다.

사슬 사상을 지붕으로 대체하면 큰 범주의 유도 범주와 관련된 집합론적 문제를 해결할 수도 있다. 복소수

X^\bullet

를 고정하고, 대상이 종착점이

X^\bullet

인

K(\mathcal{A})

의 준동형사상이고 사상이 가환 다이어그램인 범주

I_{X^\bullet}

를 고려한다. 즉, 이는 구조 사상이 준동형사상인

X^\bullet

위에 있는 대상의 범주이다. 그러면 곱셈 시스템 조건은

X^\bullet

에서

Y^\bullet

로 가는

D(\mathcal{A})

의 사상이 다음과 같다는 것을 의미한다.

:

\varinjlim_{I_{X^\bullet}} \operatorname{Hom}_{K(\mathcal{A})}((X')^\bullet, Y^\bullet),

이 코극한이 실제로 집합이라고 가정한다.

I_{X^\bullet}

는 잠재적으로 큰 범주이지만, 어떤 경우에는 작은 범주에 의해 제어된다. 예를 들어,

\mathcal{A}

가 AB5를 만족하고 생성자 집합을 갖는 그로텐디크 아벨 범주인 경우가 그러하며, 여기서 본질적인 요점은 유한한 기수를 갖는 대상만 관련된다는 것이다.^[3] 이러한 경우, 극한은 작은 부분 범주에 대해 계산될 수 있으며, 이는 결과가 집합임을 보장한다. 그러면

D(\mathcal{A})

는 이러한 집합을

\operatorname{Hom}

집합으로 갖도록 정의할 수 있다.

모형 범주의 관점에서, 도래 범주

D(\mathcal{A})

는 사슬 복합체의 진정한 '''호모토피 범주'''이며, 한편,

K(\mathcal{A})

는 '''순진한 호모토피 범주'''라고 불린다.

2. 2. 3. 사영 모형 구조를 통한 정의

사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주

\mathcal A

위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

약한 동치	사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 전사 사상인 사슬 사상
쌍대올뭉치	각 성분이 단사 사상이며, 각 성분의 여핵이 사영 대상인 사슬 사상
올대상	모든 사슬 복합체
올대상 분해	(원래 사슬 복합체와 같음)
쌍대올대상	모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체
쌍대올대상 분해	사영 분해

아벨 범주 $\mathcal A$ 의 음이 아닌 차수 '''유도 범주''' $\operatorname D_{\ge0}(\mathcal A)$ 는 $\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)$ 의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주이다. 즉, 다음과 같다.

$\operatorname D(\mathcal A)$ 의 대상은 모든 성분이 사영 대상인 사슬 복합체이다.
두 사슬 복합체 $C_\bullet$ , $D_\bullet$ 사이의 $\operatorname D(\mathcal A)$ -사상은 그 사이의 사슬 사상의 (사슬 호모토피에 대한) 호모토피류이다.

이 경우, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

:

F\colon \operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D_{\ge0}(\mathcal A)

이는 구체적으로 다음과 같다.

$F$ 는 사슬 복합체 $C_\bullet$ 를 이와 유사동형이며, 사영 대상만으로 구성된 사슬 복합체 $\hat C_\bullet$ 로 대응시킨다. 이 유사동형을 $s_C \colon \hat C_\bullet\to C_\bullet$ 라고 하자.
$F$ 는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ 를, $f\circ s_C = s_D \circ \hat f$ 인 $\hat f\colon \hat C_\bullet\to \hat D_\bullet$ 로 대응시킨다.

2. 2. 4. 단사 모형 구조를 통한 정의

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주

\mathcal A

위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주

\operatorname{Ch}^{\ge0}(\mathcal A)

에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.

약한 동치	공사슬 복합체의 유사동형
올뭉치	각 성분이 전사 사상이며, 각 성분의 핵이 단사 대상인 공사슬 사상
쌍대올뭉치	양의 차수에서 각 성분이 단사 사상인 공사슬 사상
올대상	모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체
올대상 분해	단사 분해
쌍대올대상	모든 공사슬 복합체
쌍대올대상 분해	(원래 사슬 복합체와 같음)

아벨 범주 $\mathcal A$ 의 '''유도 범주''' $\operatorname D^{\ge0}(\mathcal A)$ 는 $\operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)$ 의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주이다. 즉, 다음과 같다.

$\operatorname D(\mathcal A)$ 의 대상은 모든 성분이 단사 대상인 공사슬 복합체이다.
두 공사슬 복합체 $C^\bullet$ , $D^\bullet$ 사이의 $\operatorname D(\mathcal A)$ -사상은 그 사이의 사슬 사상의 (공사슬 호모토피에 대한) 호모토피류이다.

이 경우, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

:

F\colon \operatorname{Ch}^\bullet(\mathcal A)\to\operatorname D^{\ge0}(\mathcal A)

이는 구체적으로 다음과 같다.

$F$ 는 공사슬 복합체 $C^\bullet$ 를 이와 유사동형이며, 단사 대상만으로 구성된 공사슬 복합체 $\hat C^\bullet$ 로 대응시킨다. 이 유사동형을 $r_C \colon C^\bullet\to \hat C^\bullet$ 라고 하자.
$F$ 는 두 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 $f\colon C^\bullet\to D^\bullet$ 를, $r_D\circ f = \hat f \circ r_C$ 인 $\hat f\colon \hat C^\bullet\to \hat D^\bullet$ 로 대응시킨다.

2. 2. 5. 비(非)유계 차수 유도 범주

아벨 범주

\mathcal A

가 그로텐디크 아벨 범주인 경우, 모든 사슬 복합체의 범주

\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)

위에 그 유도 범주를 호모토피 범주로 갖는 모형 범주 구조가 존재한다.^[12] 이는 '''단사 모형 구조'''(injective model structure^영어)라고 한다.^[13] 그러나 이 모형 구조는 대체로 텐서곱과 잘 호환되지 않는다. 예를 들어, 가환환 위의 가군 범주의 사슬 복합체 범주에 단사 모형 구조를 부여하면, 이는 모노이드 모형 범주를 이루지 못한다.

개념	정의
약한 동치	유사동형
쌍대올뭉치	단사 사상

환 $K$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 위에는 '''표준 모형 구조'''(standard model structure^영어)라는 모형 범주 구조가 존재한다.^[14]

개념	사상 $f\colon C_\bullet\to D_\bullet$ 에 대한 정의
약한 동치	유사동형: $f_*\colon\operatorname H_\bullet(C)\to\operatorname H_\bullet(D)$ 는 사슬 복합체의 동형
올뭉치	모든 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $f_n$ 이 전사 함수^[14]
자명한 쌍대올뭉치	$\ker_\bullet f$ 가 사영 대상인 사슬 복합체이며, 모든 $n\in\mathbb N$ 에 대하여 $f_n$ 이 단사 함수^[14]

또한, 만약 $R$ 가 가환환이라면 이는 텐서곱에 대하여 모노이드 모형 범주를 이룬다.^[14]

특별한 환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 가군층 아벨 범주 $\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}$ 의 사슬 복합체 범주 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.^[14]

$(X,\mathcal O_X)$ 가 콤팩트 공간인 분리 스킴일 때, 그 위의 준연접층의 아벨 범주 $\operatorname{QCoh}(X)$ 위의 사슬 복합체 범주 $\operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{QCoh}(X))$ 위에는 (텐서곱에 대한) 모노이드 모형 범주 구조가 존재한다.^[15]

3. 연산

두 아벨 범주 $\mathcal A,\mathcal B$ 사이의 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ 의 오른쪽 유도 함자 $\operatorname R^iF$ 는 어떤 대상 $X\in\mathcal A$ 를 그 단사 분해

: $0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots$

의 상

: $0\to F(X)\to F(I^0)\to F(I^1)\to F(I^2)\to\cdots$

의 코호몰로지

: $\operatorname R^iF(X)=\frac{\ker(F(I^i)\to F(I^{i+1}))}{\operatorname{im}(F(I^{i-1})\to F(I^i))}$

로 대응시킨다.

유도 함자 사이에는 다음 성질을 만족시키는 '''전체 유도 함자''' (total derived functor^영어) $\operatorname RF\colon\operatorname D(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal B)$ 가 존재한다.

: $\operatorname R^iF(X)=\operatorname H^i(\operatorname RF(X))$

즉, $i$ 번째 유도 함자는 전체 유도 함자의 $i$ 번째 코호몰로지가 된다.

유도 범주는 모든 유도 함자 ''RⁿF''를 하나의 함자, 즉 ''전체 유도 함자'' ''RF'': ''D''⁺(''A'') → ''D''⁺(''B'')로 캡슐화한다. 고전적인 유도 함자는 ''RⁿF''(''X'') = ''Hⁿ''(''RF''(''X''))를 통해 전체 유도 함자와 관련된다. ''RⁿF''는 연쇄 복합체를 잊고 코호몰로지만 유지하는 반면, ''RF''는 복합체를 계속 추적한다.

유도 범주는 유도 함자를 정의하고 연구하기 위한 자연스러운 틀이며, 다음과 같은 두 가지 쌍대 개념이 있다.

오른쪽 유도 함자는 왼쪽 완전 함자로부터 나오며 주입 분해를 통해 계산된다.
왼쪽 유도 함자는 오른쪽 완전 함자로부터 나오며 사영 분해를 통해 계산된다.

''F'': ''A'' → ''B''를 아벨 범주의 함자라고 하면, 오른쪽 유도 함자는 ''F''가 왼쪽 완전하다고 가정했을 때, ''X'' ↦ Hom(''X'', ''A'') 또는 ''X'' ↦ Hom(''A'', ''X'')로 주어진 ''F'': ''A'' → Ab, 즉 고정된 대상 ''A''에 대한 함자, 또는 층에 대한 전역 단면 함자 또는 직상 함자이다. 이들의 오른쪽 유도 함자는 각각 Ext^''n''(–,''A''), Ext^''n''(''A'',–), ''H''^''n''(''X'', ''F'') 또는 ''R''^''n''''f''_∗ (''F'')이다.

베르디에는 아벨 범주에 부속된 유도 관자가

\mathcal{A}

의 적절한 유도 범주로의 임베딩을 따른 칸 확장으로 볼 수 있음을 보였다.

4. 성질

아벨 범주의 유도 범주는 일반적으로 아벨 범주가 아니지만, 삼각 분할 범주이며 따라서 가법 범주이다.

모든 유사동형은 호모토피이므로, 사슬 복합체의 범주 $\operatorname{Comp}(\mathcal C)$ 에서 유도 범주 $\operatorname{D}(\mathcal C)$ 로 가는 표준 함자 $\operatorname{Comp}(\mathcal C)\to\operatorname{D}(\mathcal C)$ 가 존재한다.

아벨 범주 $\mathcal{A}$ 의 유도 범주 $D(\mathcal{A})$ 는 사슬 복합체의 범주 $\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$ 에 대한 보편적인 성질을 갖는다. 즉, 준동형사상을 동형사상으로 보내는 함자는 유도 범주를 통해 유일하게 인수분해된다.

$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$ 에서 두 사상 $f$ 와 $g$ $X^\bullet \to Y^\bullet$ 에 대해, '''사슬 호모토피'''는 모든 ''i''에 대해 $f^i - g^i = d_Y^{i-1} \circ h^i + h^{i+1} \circ d_X^i$ 를 만족하는 사상 $h^i \colon X^i \to Y^{i-1}$ 의 모임이다. 두 호모토픽한 사상은 코호몰로지 군에 동일한 사상을 유도한다.

코사슬 복합체의 호모토피 범주 $K(\mathcal{A})$ 는 $\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$ 와 동일한 대상을 갖지만 사상이 사슬 호모토피 관계에 대한 복합체의 사상의 동치류인 범주이다.

모형 범주의 관점에서 유도 범주 ''D''(''A'')는 복합체 범주의 진정한 '호모토피 범주'이며, ''K''(''A'')는 '단순한 호모토피 범주'라고 불릴 수 있다.

유도 범주에서 사상의 합성은 합성될 두 지붕 위에 세 번째 지붕을 찾는 것으로 이루어진다.

$\mathcal{A}$ 의 객체를 0차에 집중된 복합체로 간주하면, 유도 범주 $D(\mathcal{A})$ 는 $\mathcal{A}$ 를 전체 부분 범주로 포함한다. 유도 범주의 사상에는 모든 Ext 군에 대한 정보가 포함되어 ''A''의 임의의 객체 ''X''와 ''Y'', 임의의 정수 ''j''에 대해 다음이 성립한다.

: $\operatorname{Hom}_{D(\mathcal{A})}(X,Y[j]) = \operatorname{Ext}^j_{\mathcal{A}}(X,Y).$

4. 1. 삼각 분할 범주 구조

유도 범주

\operatorname{D}(\mathcal A)

는 자연스럽게 삼각 분할 범주를 이룬다.

사슬 사상

f\colon C\to D

의 '''사상뿔'''(mapping cone^영어)

\operatorname{cone}f\in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)

은 다음과 같이 정의된다.

:

(\operatorname{cone}f)_\bullet=(C[1]\oplus D)_\bullet=C_{\bullet-1}\oplus D_\bullet

:

\partial^{\operatorname{cone}f}=\begin{pmatrix}\partial^C&0\\f[1]&\partial^D\end{pmatrix}

여기서, 사상뿔의 경계 사상은 열벡터

\textstyle\binom cd\;(c\in C[1]_\bullet=C_{\bullet-1},\;d\in D_\bullet)

위에 작용하는 2×2 행렬이다.

현수

C\to C[1]

를 자기 동치로, 사상뿔을 특별 삼각형으로 삼으면

\operatorname{D}_\bullet(\mathcal A)

는 삼각 분할 범주를 이룬다.

정수 n과 쌍대 사슬 복합체 X에 대해, X를 n 시프트한 쌍대 사슬 복합체 X[n]은 다음과 같이 정의된다.

:

X[n]^{i} = X^{n+i}

: 미분

:

d_{X[n]} = (-1)^n d_X

^[1]

정의로부터,

D(\mathcal{A})

의 완전 삼각형은, 어떤 쌍대 사슬 복합체의 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''에서 유도되는 삼각형 ''X'' → ''Y'' → Cone(''f'') → ''X''[1]과

D(\mathcal{A})

에서 동형인 삼각형이다. 여기서 Cone(''f'')는 ''f''의 mapping cone (homological algebra)|사상 원뿔^영어이다. 특히,

\mathcal{A}

중의 짧은 완전열 0 → ''X'' → ''Y'' → ''Z'' → 0에 대해, 삼각형 ''X'' → ''Y'' → ''Z'' → ''X''[1]는

D(\mathcal{A})

의 완전 삼각형이다. 베르디에는 시프트 ''X''[1]의 정의를 사상 ''X'' → 0의 사상 원뿔인 것으로 설명했다.^[2]

5. 역사

알렉산더 그로텐디크와 그의 제자 장루이 베르디에가 1960년대에 유도 범주의 개념을 도입하였다. 베르디에는 박사 학위 논문에서 유도 범주의 이론을 집대성하였으며,^[16] 이 논문에서 삼각 분할 범주의 개념도 함께 도입하였다. 이 논문은 오랫동안 출판되지 않다가 1996년에 출판되었다.

스키마 상의 연접층 이론에서, 비특이스키마라는 가정을 하지 않고 세르 쌍대 이론을 어디까지 전개할 수 있는지에 대한 고민은, 단순한 쌍대화 층 대신 층의 복합체를 고려해야 할 필요성을 제시했다. 실제로, 고려하는 스키마가 코헨-매컬리 조건을 만족시키는 것은 쌍대화 층의 존재와 동치이다. 그러나 이 조건은 일반적이지 않기 때문에, 그로텐디크는 이론을 재정식화해야 했다. 이에 따라 "올바른" 텐서곱이나 Hom 함자는 유도 범주 수준에서 존재한다는 아이디어가 나왔고, Tor 함자와 Ext 함자는 유도 범주 수준의 함자를 계산하기 위한 도구가 되었다.

유도 범주는 높은 추상도에도 불구하고, 특히 층 코호몰로지에서의 편리성으로 인해 이후 수십 년 동안 널리 사용되었다. 1980년경, 유도 범주의 언어로 1보다 큰 차원에서의 Riemann-Hilbert correspondence|리만-힐베르트 대응^영어을 정식화한 것이 큰 발전이었다. 사토 학파는 D-가군 이론을 유도 범주 언어로 기술했다.

이와 유사하게 발전한 이론은 호모토피론에서의 spectrum (homotopy theory)|스펙트럼^영어 범주 이론이다. 스펙트럼의 호모토피 범주와 환의 유도 범주는 모두 triangulated category|삼각 범주^영어의 예시이다.

6. 관련 이론

층 코호몰로지와 호모토피 이론 등에서 유도 범주가 활용된다.

병렬적으로 발전한 호모토피 이론에서 스펙트럼의 범주와 환의 유도 범주는 모두 삼각 범주의 예이다. ^[1]

6. 1. 층 코호몰로지

층 코호몰로지 이론에서, 비특이 scheme의 가정을 사용하지 않고 세르 쌍대성으로 할 수 있는 것의 한계까지 밀어붙이면서, 단일 "쌍대화 층" 대신 층의 전체 복합체를 취해야 할 필요성이 분명해졌다. 코헨-매컬리 환 조건은 비특이성의 약화이며, 단일 쌍대화 층의 존재에 해당하는데, 이는 일반적인 경우와는 거리가 멀다. 그로텐디크가 항상 가정했던 상향식 지적 입장에서는 재정립의 필요성을 의미했다. 그와 함께 '실제' 텐서 곱과 ''Hom'' 펀터는 유도된 수준에서 존재하는 것이 될 것이라는 생각이 나왔다. 그것들에 관해서는, Tor와 Ext는 계산 장치와 더 비슷해진다.

추상적인 수준에도 불구하고, 유도 범주는 특히 층 코호몰로지에 편리한 설정으로 수십 년 동안 받아들여졌다. 아마도 가장 큰 발전은 1980년경 유도된 용어로 리만-힐베르트 대응을 1보다 큰 차원에서 공식화한 것이다. 사토 학파는 유도 범주의 언어를 채택했고, 그 후의 D-가군 역사는 그러한 용어로 표현된 이론이었다.

6. 2. 세르 쌍대성

층 코호몰로지 이론에서, 비특이 scheme의 가정을 사용하지 않고 세르 쌍대성을 최대한 활용하기 위해서는, 단일 "쌍대화 층" 대신 층의 전체 복합체를 취해야 한다. 코헨-매컬리 환 조건은 비특이성을 약화시킨 것이며, 단일 쌍대화 층의 존재에 해당한다. 그러나 이는 일반적인 경우는 아니다. 그로텐디크는 '실제' 텐서 곱과 ''Hom'' 펀터는 유도된 수준에서 존재하며, Tor와 Ext는 계산 장치와 비슷하다고 생각했다.

스키마 상의 연접층 이론에서, 비특이스키마라는 가정을 하지 않고 세르 쌍대의 이론을 최대한 전개하려면, 단순한 쌍대화 층 대신에 층의 복합체를 생각해야 한다. 생각하고 있는 스키마가 (비특이 조건을 약화시킨) 코헨-매컬리라는 조건은, 쌍대화 층이 존재한다는 조건과 동치이다. 그러나 이 조건은 일반적이지 않다. 그로텐디크가 취했던 높은 위치에서 부감적으로 보는 입장에서 보면, 이 상황은 이론을 재정식화할 필요성을 나타냈다. 이에 따라, "올바른" 텐서곱이나 Hom 함자는 도래 범주 수준에서 존재하며, Tor 함자와 Ext 함자는 그러한 도래 범주 수준의 함자를 보다 구체적으로 계산하기 위한 도구와 같다는 아이디어가 나타났다.^[1]

6. 3. 리만-힐베르트 대응

1980년경, 유도 범주의 언어를 사용하여 1보다 큰 차원에서 리만-힐베르트 대응을 정식화한 것은 큰 발전이었다. 사토 미키오 학파는 유도 범주의 언어를 채택했고, 그 후의 D-가군 역사는 그러한 용어로 표현되었다.

6. 4. D-가군

사토 학파는 유도 범주의 언어를 채택했고, 그 후의 D-가군 역사는 그러한 용어로 표현된 이론이었다. ^[1]

6. 5. 푸리에-무카이 변환

두 아벨 범주 ''A''와 ''B''가 서로 동치가 아니더라도, 유도 범주 D(''A'')와 D(''B'')는 동치일 수 있다. 이는 종종 ''A''와 ''B'' 사이의 흥미로운 관계를 나타낸다. 이러한 동치 관계는 삼각 범주에서의 t-구조 이론과 관련이 있다.

''X''를 아벨 다양체, ''Y''를 그 쌍대 아벨 다양체라고 하면, D^b(Coh(''X''))는 푸리에-무카이 변환 이론에 의해 D^b(Coh(''Y''))와 동치이다. 유도 범주가 동치인 가환층의 다양체를 때때로 '''푸리에-무카이 파트너'''라고 부른다.

참조

_[1] 서적 Categories for the Working Mathematician
_[2] 서적 Calculus of Fractions and Homotopy Theory https://books.google[...] Springer 2012-12-06
_[3] 서적 1994
_[4] 문서 Stacks Project, tag 079P
_[5] 논문 The Atiyah class, Hochschild cohomology and the Riemann-Roch theorem
_[6] 서적 2006
_[7] 서적 2003
_[8] 서적 1996
_[9] 웹사이트 Derived categories and tilting https://webusers.imj[...]
_[10] 서적 Methods of Homological Algebra Springer 2003
_[11] 서적 Categories and Sheaves Springer-Verlag 2006
_[12] 저널 2000
_[13] 저널 2001-06
_[14] 서적 1999
_[15] 저널 https://phobos.ramap[...] 2007-12
_[16] 저널 Des catégories dérivées des catégories abéliennes Société Mathématique de France 1996

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