몰랄 농도

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 단위
5. 장점 및 활용
- 5.1. 문제점
6. 다른 조성 관련 양과의 관계
7. 변환 예시
8. 삼투 몰랄 농도 (Osmolality)
9. 겉보기 몰 성질과의 관계
- 9.1. 활성도 계수와의 관계
10. 다성분 용액의 몰랄 농도
참조

1. 개요

몰랄 농도는 용액의 농도를 나타내는 단위로, 용질의 몰수를 용매의 질량(kg)으로 나눈 값이다. 몰랄 농도는 온도와 압력 변화에 영향을 받지 않아 몰 농도보다 유용하게 사용될 수 있다. SI 단위는 mol/kg이며, 다른 조성 관련량, 질량 분율, 몰 분율, 몰 농도, 질량 농도와 상호 변환이 가능하다. 삼투 몰랄 농도는 삼투압에 기여하는 용질만을 고려하며, 겉보기 몰 성질 및 활성도 계수와도 관련이 있다.

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몰랄 농도
일반 정보
정의	용질의 물질량을 용매의 질량으로 나눈 값
기호	b 또는 m
차원	질량⁻¹ · 물질량
단위	mol/kg
상세 정보
온도 의존성	온도에 무관함
설명	몰랄 농도는 용액의 부피가 아닌 용매의 질량을 기준으로 하므로, 온도 변화에 따른 부피 변화의 영향을 받지 않는다. 이는 몰농도와 대조적이다. 물에 대한 몰랄 농도는 용질 1몰을 물 1kg에 녹였을 때의 농도를 의미한다. 몰랄 농도는 특히 어는점 내림, 끓는점 오름과 같은 총괄성 속성을 다룰 때 유용하다. 몰랄 농도는 낮은 농도에서 몰농도와 유사하지만, 더 높은 농도에서는 차이가 커진다.

2. 정의

용액의 몰랄 농도(''b'')는 용질의 물질량 (몰) ''n''_용질을 용매의 질량 (kg) ''m''_용매로 나눈 값으로 정의된다.^[1]

하나 이상의 용매를 갖는 용액의 경우, 몰랄 농도는 순수한 유사 용매로 간주되는 혼합 용매에 대해 정의될 수 있다. 이진 용액의 경우처럼 킬로그램 용매당 몰 용질 대신, 단위는 킬로그램 혼합 용매당 몰 용질로 정의된다.^[2]

3. 역사

몰랄 농도는 몰 농도에 비추어 만들어진 용어이다. 몰랄 농도와 현재는 사용되지 않는 형용사 단위 "몰랄"을 처음 사용한 것은 G. N. Lewis와 M. Randall이 1923년에 출판한 ''열역학 및 화학 물질의 자유 에너지''에서 발표된 것으로 보인다.^[3] 두 용어는 서로 혼동될 수 있지만, 묽은 수용액의 몰랄 농도와 몰 농도는 거의 같다. 왜냐하면 1 킬로그램의 물(용매)은 실온에서 1 리터의 부피를 차지하며 소량의 용질은 부피에 거의 영향을 미치지 않기 때문이다.

4. 단위

SI 단위에서 몰랄 농도의 단위는 mol/kg이다. 'm' 또는 '몰랄'이라는 표현도 사용되지만, NIST는 mol/kg 또는 관련 SI 단위를 사용할 것을 권장한다.^[4]

5. 장점 및 활용

몰랄 농도는 온도와 압력 변화에 영향을 받지 않고 용질과 용매의 질량에만 의존한다는 장점이 있다. 반면 부피를 기준으로 측정하는 몰 농도나 질량 농도는 온도와 압력에 따라 값이 변할 수 있다. 따라서 한계 반응물 문제처럼 물질의 질량이나 양이 중요한 경우 몰랄 농도가 유용하다.

또한, 용액 내에서 한 용질의 몰랄 농도는 다른 용질이 얼마나 들어있는지와 관계없이 일정하다.

5. 1. 문제점

다른 "관계" 절(아래)에 나열된 모든 조성 특성과는 달리, 몰랄 농도는 임의의 혼합물에서 어떤 물질을 "용매"로 선택하는지에 따라 달라진다. 혼합물에 순수한 액체 물질이 하나만 있다면 용매 선택은 명확하지만, 모든 용액이 이처럼 명확하지는 않다. 예를 들어, 알코올-물 용액의 경우 어느 쪽을 용매로 선택해도 무방하며, 합금이나 고체 용액의 경우에는 명확한 용매 구분이 없어 모든 구성 성분을 동일하게 취급할 수 있다. 이러한 상황에서는 질량 분율이나 몰 분율이 더 선호되는 조성 표현 방식이다.

6. 다른 조성 관련 양과의 관계

몰랄 농도는 질량 분율, 몰 분율, 몰 농도, 질량 농도 등 다른 조성 관련 양들과 상호 변환 가능하다.

''n''-용질 용액에서 용매의 몰랄 농도 ''b''₀는 용매의 몰 질량 ''M''₀ (kg/mol)의 역수이다.

:

b_0=\frac{1}{M_0}

용질의 몰랄 농도는 용매의 몰 질량 ''M''₀과 몰 분율, 몰 농도, 질량 분율, 질량 농도를 이용하여 나타낼 수 있다.

:

b_i=\frac{x_i}{x_0 M_0} = \frac{c_i}{c_0 M_0} = \frac{w_i}{w_0 M_i} = \frac{\rho_i}{\rho_0 M_i}

용매의 몰 분율은 몰랄 농도의 합으로 표현 가능하다.

:

x_0 = \frac{1}{1 + M_0 \displaystyle \sum_{i=1}^{n} b_i}

6. 1. 질량 분율 (Mass fraction)

단일 용질 용액에서 용질의 질량 분율, ''w₁''로부터의 변환은 다음과 같다.

:math>w_1=\frac{1}{1+\dfrac{1}{b_1 M_1}},\quad b_1=\frac{w_1}{(1-w_1)M_1} ,/math>

여기서 ''b₁''은 몰랄 농도이고 ''M₁''은 용질의 몰 질량이다.

더 일반적으로, ''n''-용질/하나의 용매 용액의 경우, ''b_i''와 ''w_i''를 각각 ''i''번째 용질의 몰랄 농도와 질량 분율이라고 하면,

:math>w_i=w_0 b_i M_i,\quad b_i=\frac{w_i}{w_0 M_i}/math>

여기서 ''M_i''는 ''i''번째 용질의 몰 질량이고, ''w''₀는 용매의 질량 분율이며, 이는 몰랄 농도의 함수와 다른 질량 분율의 함수로 모두 표현 가능하다.

:math>w_0=\frac{1}{1+\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{b_j M_j}}=1-\sum_{j=1}^{n}{w_j}/math>

대입하면 다음과 같다.

:math>w_i = \frac{b_i M_i}{1 + \displaystyle\sum_{j=1}^n b_j M_j}, \quad b_i = \frac{w_i}{\left(1 - \displaystyle\sum_{j=1}^n w_j\right) M_i}/math>

6. 2. 몰 분율 (Mole fraction)

단일 용질 용액에서 용질의 몰 분율 ''x''₁로의 변환은 다음과 같다.

:

x_1=\frac{1}{1+\dfrac{1}{M_0 b_1}},\quad b_1=\frac{x_1}{M_0(1-x_1)}

여기서 ''M''₀는 용매의 몰 질량이다.

더 일반적으로, ''n''-용질/1-용매 용액의 경우, ''x_i''를 ''i''번째 용질의 몰 분율이라고 하면,

:

x_i=x_0 M_0 b_i,\quad b_i=\frac{b_0 x_i}{x_0} = \frac{x_i}{M_0 x_0}

여기서 ''x''₀는 용매의 몰 분율로, 몰랄 농도 함수와 다른 몰 분율의 함수로 모두 표현할 수 있다.

:

x_0=\frac{1}{1+M_0\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{b_i}}=1-\sum_{i=1}^{n}{x_i}

대입하면 다음을 얻는다.

:

x_i = \frac{M_0 b_i}{1 + M_0\displaystyle\sum_{j=1}^n b_j}, \quad b_i = \frac{x_i}{M_0  \left(1 - \displaystyle\sum_{j=1}^n x_j\right)}

6. 3. 몰 농도 (Molar concentration, Molarity)

단일 용질 용액의 몰 농도 ''c₁''을 변환하는 공식은 다음과 같다.

:

c_1 = \frac{\rho b_1}{1+ b_1 M_1},\quad b_1=\frac{c_1}{\rho-c_1M_1}

여기서 ''ρ''는 용액의 질량 밀도이고, ''b₁''은 몰랄 농도이며, ''M₁''은 용질의 몰 질량(kg/mol)이다.

''n''개의 용질을 가진 용액의 경우 변환 공식은 다음과 같다.

:

c_i =c_0 M_0 b_i,\quad b_i=\frac{b_0 c_i}{c_0}

여기서 용매의 몰 농도 ''c''₀는 몰랄 농도와 다른 몰 농도의 함수로 모두 표현할 수 있다.

:

c_0=\frac{\rho b_0}{1+\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{b_j M_j}}=\frac{\rho-\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{c_i M_i}}{M_0}

대입하면 다음과 같다.

:

c_i=\frac{\rho b_i}{1+\displaystyle\sum_{j=1}^n {b_j M_j}},\quad b_i=\frac{c_i}{\rho-\displaystyle\sum_{j=1}^n {c_j M_j}}

6. 4. 질량 농도 (Mass concentration)

단일 용질 용액의 질량 농도 ''ρ''_용질에서 몰랄 농도로 변환하는 식은 다음과 같다.

:''ρ''_용질 = frac|ρ b M|1+b M^영어, ''b''=frac|ρ_용질|M (ρ-ρ_용질)^영어

:''ρ''₁ = frac|ρ b₁ M₁|1+b₁ M₁^영어, ''b''₁=frac|ρ₁|M₁ (ρ-ρ₁)^영어

여기서 ''ρ''는 용액의 질량 밀도이고, ''b''₁는 몰랄 농도이며, ''M''₁은 용질의 몰 질량이다.

일반적인 ''n''-용질 용액의 경우, ''i''번째 용질의 질량 농도 ''ρ''_i는 몰랄 농도 ''b''_i와 다음과 같이 관련이 있다.

:''ρ''_i = ''ρ''₀ ''b''_i ''M''_i, ''b''_i = frac|ρ_i|ρ₀ M_i^영어

용매의 질량 농도 ''ρ''₀는 몰랄 농도의 함수와 다른 질량 농도의 함수로 표현할 수 있다.

:''ρ''₀=frac|ρ|1+=ρ-sum|i=1|n^영어ρ_i

위 식을 대입하면 다음과 같다.

:''ρ''_i=frac|ρ b_i M_i|1+ ''b''_i=frac|ρ_i|M_i (ρ-}

6. 5. 비율 관계

몰랄 농도, 몰 분율, 몰 농도, 질량 농도, 질량 분율 사이의 비율 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\frac{b_i}{b_j}=\frac{x_i}{x_j}=\frac{c_i}{c_j}=\frac{\rho_i M_j}{\rho_j M_i}=\frac{w_i M_j}{w_j M_i}

여기서 ''i''와 ''j''는 용질 ''n''개와 용매를 포함한 ''모든'' 구성 요소를 나타내는 아래첨자이다.

7. 변환 예시

질산(HNO₃), 플루오린화 수소(HF), H₂O 혼합물의 조성을 예시로 사용하여 질량 분율에서 몰랄 농도로 변환하는 과정은 다음과 같다.

혼합물은 70% HNO₃, 49% HF, H₂O의 0.76, 0.04, 0.20 질량 분율로 구성되며, 여기서 백분율은 H₂O를 포함하는 병입산의 질량 분율을 나타낸다.

먼저, 각 구성 성분의 질량 분율을 결정한다.

w_HNO₃ = 0.70 × 0.76 = 0.532
w_HF = 0.49 × 0.04 = 0.0196
w_H₂O = 1 - w_HNO₃ - w_HF = 0.448

각 성분의 근사 몰 질량(kg/mol)은 다음과 같다.

M_HNO₃ = 0.063 kg/mol
M_HF = 0.020 kg/mol
M_H₂O = 0.018 kg/mol

다음으로, 용매(H₂O)의 몰랄 농도(mol/kg)를 구한다.

b_H₂O = 1 / M_H₂O = 1 / 0.018 mol/kg

동일한 비율을 사용하여 다른 성분의 몰랄 농도를 구한다.

b_HNO₃ / b_H₂O = (w_HNO₃ \* M_H₂O) / (w_H₂O \* M_HNO₃)
∴ b_HNO₃ = 18.83 mol/kg

b_H₂O는 상쇄되므로, 다음의 직접적인 방정식을 사용하여 HF의 몰랄 농도를 구한다.

b_HF = w_HF / (w_H₂O \* M_HF) = 2.19 mol/kg

마지막으로, 몰 분율을 계산한다.

x_H₂O = 1 / (1 + M_H₂O \* (b_HNO₃ + b_HF)) = 0.726
x_HNO₃ / x_H₂O = b_HNO₃ / b_H₂O
∴ x_HNO₃ = 0.246
x_HF = 1 - x_HNO₃ - x_H₂O = 0.029

8. 삼투 몰랄 농도 (Osmolality)

삼투 몰랄 농도는 용액의 삼투압에 기여하는 용질만을 고려하는 몰랄 농도의 변형이다. 이는 용매 1 킬로그램당 용질의 오스몰로 측정된다. 이 단위는 용액의 어는점 강하, 즉 저온학에 의해 간단히 측정될 수 있기 때문에 의학 실험실 결과에서 삼투 몰도 대신 자주 사용된다.^[1] (또한 오스모스탯 및 총괄성 참조).^[1]

9. 겉보기 몰 성질과의 관계

몰랄 농도는 용질의 겉보기 몰 부피를 표현할 때 사용된다. 용질의 겉보기 몰 부피는 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[5]

: ${}^\phi\tilde{V}_1 = \frac{1}{b_1}\left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho_0^0}\right) + \frac{M_1}{\rho}$ .

다성분계에서는 용질 몰랄 농도의 합에 따라 관계식이 약간 수정된다. 총 몰랄 농도와 평균 겉보기 몰 부피를 정의할 수 있으며, 마치 단일 용질처럼 용질의 평균 몰 질량을 정의할 수도 있다. 이때, 평균 몰 질량 ''M''을 사용하여 위의 식을 수정할 수 있다.

: ${}^\phi\tilde{V}_{12..} = \frac{1}{b_T}\left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho_0^0}\right) + \frac{M}{\rho}$ , $M = \sum y_i M_i$

: $y_i = \frac {b_i}{b_T}$ , 여기서 y_i,j는 용질 i,j의 몰랄 농도와 총 몰랄 농도 b_T를 포함하는 비율이다.

이성분 용액에서 용질의 몰랄 농도와 겉보기 몰 부피 곱의 합은, 삼원 혹은 다성분 용액에서 용질의 몰랄 농도 합과 겉보기 몰 부피 곱과 같다.^[5]

: ${}^\phi\tilde{V}_{123..} (b_1 + b_2 + b_3 + \ldots) = b_{11} {}^\phi\tilde{V}_1 + b_{22} {}^\phi\tilde{V}_{2} + b_{33} {}^\phi\tilde{V}_{3} + \ldots$ .

9. 1. 활성도 계수와의 관계

농축 이온 용액에서 전해질의 활성 계수는 전기적 성분과 통계적 성분으로 나뉜다.^[6]^[7]^[8]

통계적 부분에는 몰랄 농도 b, 수화 지수 h, 해리로부터의 이온 수 및 전해질의 겉보기 몰 부피와 물의 몰 부피 사이의 비율 r_a가 포함된다.

농축 용액의 활성 계수의 통계적 부분은 다음과 같다.

:

\ln \gamma_s = \frac{h- \nu}{\nu} \ln \left(1 + \frac{br_a}{55.5}\right) - \frac{h}{\nu} \ln \left(1 - \frac{br_a}{55.5}\right) + \frac{br_a\left(r_a + h -\nu\right)}{55.5 \left(1 + \frac{br_a}{55.5}\right)}

.

10. 다성분 용액의 몰랄 농도

서로 다른 용질(예: 설탕과 소금 또는 서로 다른 두 소금)을 가진 두 개의 이성분 수용액을 혼합하여 얻은 삼원 용액에서 용질 b₁, b₂의 몰랄 농도는 이성분 용액에서 용질 b_ii의 초기 몰랄 농도와 다르다.

삼원 용액에서 용질의 몰랄 농도는 이원 용액에서의 몰랄 농도와 그 질량으로도 표현할 수 있다.

:b₁ = m₁₁ / (M₁ (m₀₁ + m₀₂)) = n₁₁ / (m₀₁ + m₀₂)

:b₂ = m₂₂ / (M₂ (m₀₁ + m₀₂)) = n₂₂ / (m₀₁ + m₀₂)

이원 용액 몰랄 농도는 다음과 같다.

:b₁₁ = m₁₁ / (M₁ m₀₁) = n₁₁ / m₀₁

:b₂₂ = m₂₂ / (M₂ m₀₂) = n₂₂ / m₀₂

용질의 몰랄 농도와 물의 질량으로부터 결정된 용질의 질량은 용액의 질량 표현식에 대입될 수 있다.

:m_s1 = m₀₁ + m₁₁ = m₀₁ (1 + b₁₁ M₁)

마찬가지로 두 번째 용액의 질량은 다음과 같다.

:m_s2 = m₀₂ + m₂₂ = m₀₂ (1 + b₂₂ M₂)

삼원 용액에서 용질의 몰랄 농도의 분모로부터, 이원 몰랄 농도와 용액의 질량의 함수로서 합산된 물의 질량을 얻을 수 있다.

:m₀₁ = m_s1 / (1 + b₁₁ M₁)

:m₀₂ = m_s2 / (1 + b₂₂ M₂)

따라서 삼원 몰랄 농도는 다음과 같다.

:b₁ = (b₁₁ m₀₁) / (m₀₁ + m₀₂) = b₁₁ / (1 + m₀₂ / m₀₁) = b₁₁ / (1 + (m_s2 / m_s1) * ((1 + b₁₁ M₁) / (1 + b₂₂ M₂)))

:b₂ = (b₂₂ m₀₂) / (m₀₁ + m₀₂) = b₂₂ / (1 + m₀₁ / m₀₂) = b₂₂ / (1 + (m_s1 / m_s2) * ((1 + b₂₂ M₂) / (1 + b₁₁ M₁)))

세 개 이상의 용질을 가진 용액의 경우, 분모는 혼합된 n개의 이원 용액에 있는 용매의 질량의 합이다.

:b₁ = m₁₁ / (M₁ (m₀₁ + m₀₂ + m₀₃ + ...)) = n₁₁ / (m₀₁ + m₀₂ + ..) = b₁₁ / (1 + m₀₂ / m₀₁ + m₀₃ / m₀₁ + ...)

:b₂ = m₂₂ / (M₂ (m₀₁ + m₀₂ + m₀₃ + ...)) = n₂₂ / (m₀₁ + m₀₂ +...)

:b₃ = m₃₃ / (M₃ (m₀₁ + m₀₂ + m₀₃ + ...)) = n₃₃ / (m₀₁ + m₀₂ + ...)

참조

_[1] 간행물 molality
_[2] 논문 Molal volumes of sucrose in aqueous solutions of NaCl, KCl, or urea at 25°C
_[3] 서적 www.OED.com Oxford University Press
_[4] 웹사이트 NIST Guide to SI Units http://physics.nist.[...] 2007-12-17
_[5] 서적 Physical Chemistry of Electrolytic Solutions
_[6] 논문 The influence of ionic hydration on activity coefficients in concentrated electrolyte solutions
_[7] 논문 The influence of ionic hydration on activity coefficients in concentrated electrolyte solutions
_[8] 논문 The Structure of Electrolytic Solutions, herausgeg. von W. J. Hamer. John Wiley & Sons, Inc., New York; Chapman & Hall, Ltd., London 1959. 1. Aufl., XII, 441 S., geb. $ 18.50

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