삼투압

3. 삼투압 공식 유도

야코뷔스 판트호프는 삼투압과 용질 농도 사이의 정량적 관계를 다음과 같은 방정식으로 나타냈다.

:$\backslash Pi\; =\; icRT$

여기서 $\backslash Pi$는 삼투압, ''i''는 무차원 반트호프 지수, ''c''는 용질의 몰 농도, ''R''은 기체 상수, ''T''는 절대 온도(보통 켈빈 단위)이다. 이 공식은 용액이 이상 용액으로 취급될 수 있을 만큼 용질 농도가 충분히 낮을 때 적용된다. 농도에 대한 비례 관계는 삼투압이 용액의 총괄성임을 의미한다. $P\; =\; \backslash frac\{n\}\{V\}\; RT\; =\; c\_\backslash text\{gas\}\; RT$ 형태의 이상 기체 법칙과의 유사성에 유의하라. 여기서 $n$은 부피 ''V''에 있는 기체 분자의 총 몰수이고, ''n''/''V''는 기체 분자의 몰 농도이다. 하먼 노스럽 모스와 프레이저는 농도 단위가 몰랄 농도가 아니라 몰 농도일 경우 이 방정식이 더 농축된 용액에도 적용됨을 보였다.^[3] 따라서 몰랄 농도를 사용할 때 이 방정식은 '''모스 방정식'''으로 불린다.

더 농축된 용액의 경우, 반트호프 방정식은 용질 농도 ''c''의 거듭제곱 급수로 확장될 수 있다. 1차 근사치로,

:$\backslash Pi\; =\; \backslash Pi\_0\; +\; A\; c^2$

여기서 $\backslash Pi\_0$는 이상적인 압력이고 ''A''는 경험적 매개변수이다. 매개변수 ''A''(그리고 고차 근사에서 나온 매개변수)의 값은 피처 매개변수를 계산하는 데 사용될 수 있다. 경험적 매개변수는 열역학적 의미에서 이상 용액이 아닌 이온성 및 비이온성 용질의 용액 거동을 정량화하는 데 사용된다.

프페퍼 용기는 삼투압 측정을 위해 개발되었다. 평형 상태에 도달한 시스템을 고려해 보자. 이때의 조건은 막의 양쪽에서 용매(평형을 향해 자유롭게 이동할 수 있는 유일한 성분)의 화학퍼텐셜이 같다는 것이다. 순수 용매를 포함하는 구획의 화학퍼텐셜은 $\backslash mu^0(p)$이며, 여기서 $p$는 압력이다. 반면 용질을 포함하는 구획에서는 용매의 화학퍼텐셜이 용매의 몰분율 에 따라 달라진다. 게다가 이 구획은 다른 압력 $p\text{'}$을 가질 수 있다. 따라서 용매의 화학퍼텐셜을 $\backslash mu\_v(x\_v,\; p\text{'})$로 쓸 수 있다. $p\text{'}\; =\; p\; +\; \backslash Pi$로 쓰면, 화학퍼텐셜의 균형은 다음과 같다.

:$\backslash mu\_v^0(p)=\backslash mu\_v(x\_v,p+\backslash Pi).$

여기서 두 구획의 압력 차이 $\backslash Pi\; \backslash equiv\; p\text{'}\; -\; p$는 용질에 의해 가해지는 삼투압으로 정의된다. 압력을 일정하게 유지하면 용질의 첨가는 화학퍼텐셜을 감소시킨다(엔트로피 효과). 따라서 화학퍼텐셜의 손실을 보상하기 위해 용액의 압력을 증가시켜야 한다.

삼투압 $\backslash Pi$를 구하기 위해 용질을 포함하는 용액과 순수한 물 사이의 평형을 고려한다.

:$\backslash mu\_v(x\_v,p+\backslash Pi)\; =\; \backslash mu\_v^0(p).$

왼쪽 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mu\_v(x\_v,p+\backslash Pi)=\backslash mu\_v^0(p+\backslash Pi)+RT\backslash ln(\backslash gamma\_v\; x\_v)$,

여기서 $\backslash gamma\_v$는 용매의 활동도 계수이다. $\backslash gamma\_v\; x\_v$의 곱은 용매의 활동도로도 알려져 있으며, 물의 경우 물 활동도 $a\_w$이다. 압력에 대한 추가는 팽창 에너지에 대한 식을 통해 표현된다.

:$\backslash mu\_v^o(p+\backslash Pi)=\backslash mu\_v^0(p)+\backslash int\_p^\{p+\backslash Pi\}\backslash !\; V\_m(p\text{'})\; \backslash ,\; dp\text{'},$

여기서 $V\_m$은 몰 부피(m³/mol)이다. 위에 제시된 식을 전체 시스템의 화학퍼텐셜 방정식에 대입하고 재배열하면 다음을 얻는다.

:$-RT\backslash ln(\backslash gamma\_v\; x\_v)=\backslash int\_p^\{p+\backslash Pi\}\backslash !\; V\_m(p\text{'})\; \backslash ,\; dp\text{'}.$

액체가 비압축성이면 몰 부피는 일정하며, $V\_m(p\text{'})\; \backslash equiv\; V\_m$이고 적분은 $\backslash Pi\; V\_m$이 된다. 따라서 다음을 얻는다.

:$\backslash Pi\; =\; -(RT/V\_m)\; \backslash ln(\backslash gamma\_v\; x\_v)\; .$

활동도 계수는 농도와 온도의 함수이지만, 묽은 혼합물의 경우 1.0에 매우 가까우므로,

:$\backslash Pi\; =\; -(RT/V\_m)\; \backslash ln(x\_v)\; .$

용질의 몰분율 $x\_s$는 $1-x\_v$이므로 $\backslash ln(x\_v)$는 $\backslash ln(1\; -\; x\_s)$로 대체될 수 있으며, $x\_s$가 작을 때는 $-x\_s$로 근사할 수 있다.

:$\backslash Pi=(RT/V\_m)x\_s.$

몰분율 $x\_s$는 $n\_s/(n\_s+n\_v)$이다. $x\_s$가 작을 때는 $x\_s\; =\; n\_s/n\_v$로 근사할 수 있다. 또한 몰 부피 $V\_m$는 몰당 부피 $V\_m\; =\; V/n\_v$로 쓸 수 있다. 이를 결합하면 다음을 얻는다.

:$\backslash Pi\; =\; cRT.$

염의 수용액의 경우 이온화를 고려해야 한다. 예를 들어, 1몰의 NaCl은 2몰의 이온으로 이온화된다.

삼투압 π [atm]은 다음 식으로 나타낸다(판트호프의 식).

:$\backslash pi\; =\; MRT$

''M''은 몰랄 농도 [mol / dm³]이고, ''R''은 기체 상수 [atm ⋅ dm³ / K ⋅ mol]이며, ''T''는 온도 [K]이다. 몰농도는 부피 몰농도를 사용한다.^[6] 위 식은 이상 기체 상태 방정식과 같은 형태를 하고 있다. 또한, 전해질 용액의 삼투압은 비전해질에 대한 식을 그대로 적용할 수 없으므로, 판트호프 인자를 도입하여 보정한다.

4. 응용

삼투압은 분자량 측정, 정수 및 담수화, 생물학 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 생물학적 세포에 미치는 영향이 커서, 삼투 조절은 생물체의 항상성 유지에 필수적이다.^[4]

삼투 현상은 우리 주변에서 흔하게 접할 수 있다. 예를 들어 수돗물로 눈을 씻을 때 따가운 것은 삼투압 때문이다. 수돗물에 비해 안구 세포 내 용액의 삼투압이 높아 물 분자가 세포 내로 이동하여 세포가 팽창하기 때문이다. 따라서 점안제는 삼투압을 생리식염수와 맞춰 눈에 자극이 없도록 만든다. 또한, 당분이나 염분이 높은 식품이 잘 부패하지 않는 것도 삼투압 때문이다. 세균이 부착하여 번식하려 해도 자신의 세포에서 수분이 빠져나가 죽거나 매우 느린 속도로만 번식하기 때문이다.

4. 1. 분자량 측정

4. 2. 정수 및 담수화

4. 3. 생물학적 응용

• 고장액은 세포가 수축하게 만드는 용액의 존재이다.
• 저장액은 세포가 팽창하게 만드는 용액의 존재이다.
• 등장액은 세포 부피에 변화를 일으키지 않는 용액의 존재이다.

4. 4. 기타

참조

_[1] 서적 Fundamentals of Biochemistry Wiley
_[2] 서적 Physical Chemistry Oxford University Press
_[3] 학술지 The Osmotic Pressure of Concentrated Solutions and the Laws of the Perfect Solution. https://zenodo.org/r[...] 2019-07-04
_[4] 학술지 Poroelastic osmoregulation of living cell volume 2021-12-00
_[5] 문서 岩波理化学辞典・同生物学辞典等
_[6] 서적 基礎物理化学 東京教学社
_[7] 웹사이트 osmotic pressure 검색 결과 https://www.kmle.co.[...]
_[8] 서적 Fundamentals of Biochemistry Wiley