onul.works
오늘의 업무 도구로 이동

뮤어헤드의 부등식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

뮤어헤드의 부등식은 여러 양의 실수에 대한 대칭 합으로 표현되는 부등식이다. 이 부등식은 두 수열의 관계를 통해 공식화되며, 이중 확률 행렬의 존재 여부와 관련하여 성립 조건을 정의한다. 뮤어헤드의 부등식은 a-평균 개념을 사용하며, 산술-기하 평균 부등식과 같은 다양한 부등식을 증명하는 데 활용될 수 있다.

뮤어헤드의 부등식
📚 더 읽어볼만한 페이지
  • 대칭 - 비대칭
    비대칭은 대칭의 반대 현상으로 생물학적 발생, 건축 디자인, 수학적 관계, 물리학적 자연 법칙 등 다양한 분야에서 나타난다.
  • 대칭 - 공간군
    공간군은 결정의 대칭성을 나타내는 230가지 수학적 군으로, 브라베 격자와 결정학적 점군의 조합으로 구성되며, 병진 대칭, 점군 대칭 작용, 나사축, 미끄럼면 등의 대칭 작용을 포함하고, 결정 구조 이해와 물리적 성질 예측에 중요한 역할을 한다.
  • 대수학 - 다항식
    다항식은 변수, 계수, 상수항으로 구성되어 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱 연산으로 결합된 항들의 유한한 합으로 표현되는 식이며, 대수 방정식 해를 구하는 데 중요하고 현대 수학에서 폭넓게 활용된다.
  • 대수학 - 상수
    상수는 변하지 않는 일정한 값을 가지는 수로, 함수에서 변수와 대비되며 수식 내에서 고정된 값을 갖고, 원주율, 자연로그의 밑, 허수 i 등이 대표적인 예시이다.
  • 부등식 - 구매력 평가
    구매력 평가는 일물일가의 법칙에 기반하여 국가 간 물가 수준을 비교하고 환율을 계산하는 경제 이론으로, GDP 비교나 환율 예측 등에 활용되지만 여러 한계점도 존재한다.
  • 부등식 - 불확정성 원리
목차

2. 공식화

2n개의 실수 a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_1 와 b_n \le b_{n-1} \le ... \le b_1 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

# \sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k} a_i. (k# \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i.

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* n개의 임의 양의 실수 x_1, x_2, ..., x_n 에 대하여, \sum_{sym} x_1^{b_1}x_2^{b_2}...x_n^{b_n} \le \sum_{sym} x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}.

여기서, \sum_{sym} f(x_1, x_2, ..., x_n) 은 (x_1, x_2, ..., x_n) 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, \sum_{sym} f(x, y, z) 은 f(x, y, z) + f(x, z, y) + f(y, z, x) + f(y, x, z) + f(z, x, y) + f(z, y, x) 을 의미한다.

뮤어헤드 부등식은 모든 xi > 0 인 모든 x에 대해 [a] ≤ [b]가 성립할 필요충분조건은, a = Pb를 만족하는 이중 확률 행렬 P가 존재한다는 것이다. 모든 i ∈ { 1, ..., n }.

또한, 그 경우에 [a] = [b]는 a = b이거나 모든 xi가 같을 필요충분조건이다.

후자의 조건은 여러 동등한 방식으로 표현될 수 있다.

이 증명은 모든 이중 확률 행렬이 순열 행렬(비르크호프-폰 노이만 정리)의 가중 평균이라는 사실을 이용한다.

3. 정의

3.1. ''a''-평균

임의의 실수 벡터 공간

:a=(a_1,\dots,a_n)

에 대해 양의 실수 x1, ..., xn의 "a-평균" [a]는 다음과 같이 정의된다.

:[a]=\frac{1}{n!}\sum_\sigma x_{\sigma_1}^{a_1}\cdots x_{\sigma_n}^{a_n},

여기서 합은 {1, ..., n}의 모든 순열 σ에 걸쳐 수행된다.

a의 원소가 음이 아닌 정수일 때, a-평균은 단항식 대칭 다항식 m_a(x_1,\dots,x_n)을 통해 다음과 같이 동등하게 정의할 수 있다.
:[a] = \frac{k_1!\cdots k_l!}{n!} m_a(x_1,\dots,x_n),
여기서 ℓ은 a에 있는 고유한 원소의 수이고, k1, ..., kℓ는 그들의 중복도이다.

위에서 정의된 a-평균은 a_1+\cdots+a_n=1인 경우에만 일반적인 평균의 속성(예: 동일한 수의 평균이 그 수와 같음)을 갖는다. 일반적인 경우, 대신 [a]^{1/(a_1+\cdots+a_n)}을 고려할 수 있으며, 이를 뮤어헤드 평균이라고 한다.

* a = (1, 0, ..., 0)에 대해, a-평균은 x1, ..., xn의 일반적인 산술 평균이다.
* a = (1/n, ..., 1/n)에 대해, a-평균은 x1, ..., xn의 기하 평균이다.
* a = (x, 1 − x)에 대해, a-평균은 하인츠 평균이다.
* a = (−1, 0, ..., 0)에 대한 뮤어헤드 평균은 조화 평균이다.

3.2. 이중 확률 행렬

n × n 행렬 P는 이중 확률적이며, P와 그 전치 행렬 PT가 모두 확률 행렬인 경우에 해당한다. 확률 행렬은 각 열의 항목 합이 1인 음이 아닌 실수 항목의 정사각 행렬이다. 따라서 이중 확률 행렬은 각 행의 항목 합과 각 열의 항목 합이 1인 음이 아닌 실수 항목의 정사각 행렬이다.

4. 조건

뮤어헤드 부등식에서 모든 xi > 0 인 모든 x에 대해 [a] ≤ [b]가 성립할 필요충분조건은, a = Pb를 만족하는 이중 확률 행렬 P가 존재한다는 것이다. 모든 i ∈ { 1, ..., n }.

또한, 그 경우에 [a] = [b]는 a = b이거나 모든 xi가 같을 필요충분조건이다.

후자의 조건은 여러 동등한 방식으로 표현될 수 있으며, 그 중 하나는 다음과 같다.

이 증명은 모든 이중 확률 행렬이 순열 행렬(비르크호프-폰 노이만 정리)의 가중 평균이라는 사실을 이용한다.

==== 동치 조건 ====
합의 대칭성 때문에 지수를 내림차순으로 정렬해도 일반성을 잃지 않는다.

: a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

: b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n.

이때, a = Pb를 만족하는 이중 확률 행렬 P의 존재는 다음 부등식 체계와 동치이다.

:
\begin{align}
a_1 & \leq b_1 \\
a_1+a_2 & \leq b_1+b_2 \\
a_1+a_2+a_3 & \leq b_1+b_2+b_3 \\
& \,\,\, \vdots \\
a_1+\cdots +a_{n-1} & \leq b_1+\cdots+b_{n-1} \\
a_1+\cdots +a_n & = b_1+\cdots+b_n.
\end{align}


(마지막 것은 등식이고 나머지는 약한 부등식이다.)

수열 b_1, \ldots, b_n은 수열 a_1, \ldots, a_n을 메이저라이즈한다고 말한다.

4.1. 동치 조건

합의 대칭성 때문에 지수를 내림차순으로 정렬해도 일반성을 잃지 않는다.

:a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n

:b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n.

이때, a = Pb를 만족하는 이중 확률 행렬 P의 존재는 다음 부등식 체계와 동치이다.

:
\begin{align}
a_1 & \leq b_1 \\
a_1+a_2 & \leq b_1+b_2 \\
a_1+a_2+a_3 & \leq b_1+b_2+b_3 \\
& \,\,\, \vdots \\
a_1+\cdots +a_{n-1} & \leq b_1+\cdots+b_{n-1} \\
a_1+\cdots +a_n & = b_1+\cdots+b_n.
\end{align}


(마지막 것은 등식이고 나머지는 약한 부등식이다.)

수열 b_1, \ldots, b_n은 수열 a_1, \ldots, a_n을 메이저라이즈한다고 말한다.

5. 대칭합 표기법

2n개의 실수 a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_1 와 b_n \le b_{n-1} \le ... \le b_1 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

# \sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k} a_i. (k# \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i.

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* n개의 임의 양의 실수 x_1, x_2, ..., x_n 에 대하여, \sum_{sym} x_1^{b_1}x_2^{b_2}...x_n^{b_n} \le \sum_{sym} x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}.

여기서, \sum_{sym} f(x_1, x_2, ..., x_n) 은 (x_1, x_2, ..., x_n) 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, \sum_{sym} f(x, y, z) 은 f(x, y, z) + f(x, z, y) + f(y, z, x) + f(y, x, z) + f(z, x, y) + f(z, y, x) 을 의미한다.

합을 표현하기 위해 특별한 표기법을 사용하는 것이 편리하다.

:\sum_\text{sym} x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}

이 표기법은 모든 순열을 전개하여, 예를 들어, n!개의 단항식으로 구성된 식을 생성해야 한다.

:\begin{align}
\sum_\text{sym} x^3 y^2 z^0 &= x^3 y^2 z^0 + x^3 z^2 y^0 + y^3 x^2 z^0 + y^3 z^2 x^0 + z^3 x^2 y^0 + z^3 y^2 x^0 \\
&= x^3 y^2 + x^3 z^2 + y^3 x^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2 + z^3 y^2
\end{align}

6. 예시

6.1. 산술-기하 평균 부등식

다음과 같이 놓자.

:a_G = \left( \frac 1 n , \ldots , \frac 1 n \right)

그리고

:a_A = ( 1 , 0, 0, \ldots , 0 ).

다음이 성립한다.

:
\begin{align}
a_{A1} = 1 & > a_{G1} = \frac 1 n, \\
a_{A1} + a_{A2} = 1 & > a_{G1} + a_{G2} = \frac 2 n, \\
& \,\,\, \vdots \\
a_{A1} + \cdots + a_{An} & = a_{G1} + \cdots + a_{Gn} = 1.
\end{align}


그러면

: [aA] ≥ [aG],

즉

:\frac 1 {n!} (x_1^1 \cdot x_2^0 \cdots x_n^0 + \cdots + x_1^0 \cdots x_n^1) (n-1)! \geq \frac 1 {n!} (x_1 \cdot \cdots \cdot x_n)^{1/n} n!

이 부등식을 얻는다.

6.2. 기타 예시

x2 + y2 ≥ 2xy임을 증명하기 위해 대칭 합 표기법으로 변환하면 다음과 같다.

:\sum_ \mathrm{sym} x^2 y^0 \ge \sum_\mathrm{sym} x^1 y^1.

수열 (2, 0)은 수열 (1, 1)을 주요하므로, 묶음에 의해 부등식이 성립한다.

마찬가지로, 다음 부등식을 증명할 수 있다.

:x^3+y^3+z^3 \ge 3 x y z

이를 대칭 합 표기법을 사용하여 다음과 같이 작성한다.

:\sum_ \mathrm{sym} x^3 y^0 z^0 \ge \sum_\mathrm{sym} x^1 y^1 z^1,

이는 다음과 같다.

: 2 x^3 + 2 y^3 + 2 z^3 \ge 6 x y z.

수열 (3, 0, 0)이 수열 (1, 1, 1)을 주요하므로, 묶음에 의해 부등식이 성립한다.