셈측도

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1. 개요

셈측도는 가측 공간 S 상의 가측 집합 A에 대해 원소의 개수 |A|를 대응시키는 측도이다. 여기서 |A|는 자연수 또는 무한대이며, A가 유한하지 않으면 |A| = ∞이다. 셈측도는 시그마 대수가 멱집합인 셈측도 공간을 정의하며, 집합 S가 가산 집합일 때 셈측도는 σ-유한 측도이다. 셈측도는 Lp 공간에서의 부등식, 급수와 적분의 연결, 다른 측도와의 관계 등 다양한 수학적 개념과 응용에 활용된다.

셈측도

개요

종류	측도
성질	σ-유한 완비 보렐 측도 라돈 측도

정의

정의	임의의 집합의 크기를 재는 측도
수식	임의의 집합 A에 대해, μ(A) = \|A\|로 정의

성질

완전 가법성	완전 가법성을 만족
음이 아닌 값	음이 아닌 값을 가짐
유한	유한 집합에 대해 유한한 값을 가짐
σ-유한	σ-유한 측도임

활용

예시	르베그 측도 디랙 델타 함수의 측도론적 표현

참고

관련 항목	측도론 셈

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 다른 표현
3. 성질
4. 응용

2. 정의

셈측도는 주어진 집합의 각 부분집합에 대해 그 원소의 개수를 대응시키는 함수이다. 가측 공간 S 상의 셈측도는 임의의 가측 집합 A에 대해 그 원소의 개수 |A| ∈ N ∪ {∞}를 대응시키는 사상으로 정의된다. 여기서 N은 자연수 전체의 집합 {0, 1, 2, ...}이며, A가 유한하지 않다면 그 농도에 관계없이 |A| = ∞로 한다.

셈측도는 다음과 같은 성질을 갖는다.

# |∅| = 0이고 임의의 A ∈ M에 대해 |A| ≥ 0이다.
# {A_n}_n∈N ⊆ M이고, A_n ∩ A_m = ∅ (n ≠ m)이면, $\left|\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right| = \sum_{n \in \mathbb{N}} |A_n|$ 이다.

특히, 임의의 집합 A에 대해 μ(A)가 정의될 수 있으므로, 가측 집합족 M으로는 2^S 전체를 취할 수 있으며, (S, 2^S, μ)는 측도 공간이 된다. 셈측도가 σ-유한이라는 것과 집합 S가 가산이라는 것은 동치이다.

2.1. 기본 정의

임의의 집합 $\Omega$ 에 대해, 셈측도 공간 $(\Omega,\mathcal P(\Omega),\min\{|\cdot|,\aleph_0\})$ 은 다음과 같이 정의된다.

* 시그마 대수 $\mathcal P(\Omega)$ 는 $\Omega$ 의 멱집합이다. 즉, 모든 부분집합이 가측 집합이다.
* 측도 $\mu=\min\{|\cdot|,\aleph_0\}$ 는 다음과 같다. 임의의 $S\subset\Omega$ 에 대하여,
:: $\mu(S)=\min\{|S|,\aleph_0\}=\begin{cases}|S|&|S|<\aleph_0\\\infty&|S|\ge\aleph_0\end{cases}$

이 데이터가 측도 공간을 이룸을 보일 수 있다.

가측 공간 S 상의 수 세는 측도란, 임의의 가측 집합 A에 대해 그 원소의 개수 |A| ∈ N ∪ {∞}를 대응시키는 사상에 의해 정의되는 측도를 말한다. 여기서, N은 자연수 전체의 집합 {0, 1, 2, ...}이며, A가 유한하지 않다면 그 농도에 관계없이 |A| = ∞로 한다.

2.2. 다른 표현

모든 함수 $f : X \to [0, \infty)$ 는 $(X, \Sigma)$ 상의 측도 $\mu$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\mu(A):=\sum_{a \in A} f(a)\quad \text{ for all } A \subseteq X,$

여기서 실수들의 무한합은 모든 유한 부분 집합에 대한 합의 상한으로 정의된다. 즉,

: $\sum_{y\,\in\,Y\!\ \subseteq\,\mathbb R} y\ :=\ \sup_{F \subseteq Y,\, |F| < \infty} \left\{ \sum_{y \in F} y \right\}.$

모든 $x \in X$ 에 대해 $f(x) = 1$ 을 취하면 셈측도를 얻는다.

3. 성질

셈측도는 다음의 성질을 갖는 측도 공간을 이룬다.

* |∅| = 0이고 임의의 가측 집합 A에 대해 |A| ≥ 0이 성립한다.
* {A_n}_n∈N ⊆ M가, A_n ∩ A_m = ∅ (n ≠ m)을 만족한다면, $\left|\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right| = \sum_{n \in \mathbb{N}} |A_n|$ 가 성립한다.

셈측도가 σ-유한이라는 것과 집합 S가 가산이라는 것은 동치이다.

4. 응용

셈측도는 L^p 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 한다. Ω = {1,...,n}이고 μ가 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도 공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여 : $\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}$ x = (x₁,...,x_n) 를 노름으로 가지는 노름 공간 L^p(S)는 Rⁿ (또는 Cⁿ)과 같다.

마찬가지로, $\mathbb N$ 을 셈측도 공간으로 간주한 자연수 집합에서, L^p(S)에서 : $\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}$ 의 값이 유한인 x = (x_n)의 수열을 구성할 수 있다.

4.1. 급수와 적분의 연결

가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조 수렴 정리, 파투 보조정리, 지배 수렴 정리, 푸비니 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 한다. 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 을 셈측도 공간으로 간주하면, $L^p$ 공간에서 급수와 적분이 연결된다.

측도 공간 $(\mathbb{N}, 2^\mathbb{N}, \mu)$ 에서 $2^\mathbb{N}$ 은 자연수의 모든 부분 집합의 집합이고, $\mu$ 는 셈측도이다. 임의의 가측 함수 $f : \mathbb{N} \to [0,\infty]$ 를 고려하면, $f$ 는 $\mathbb{N}$ 에서 정의되므로, 점별로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $f(x) = \sum_{n=1}^\infty f(n) 1_{\{n\}}(x) = \lim_{M \to \infty} \underbrace{ \ \sum_{n=1}^M f(n) 1_{\{n\}}(x) \ }_{ \phi_M (x) } = \lim_{M \to \infty} \phi_M (x)$

각 $\phi_M$ 은 가측 함수이며 $\phi_{M+1}(x) = \phi_M (x) + f(M+1) \cdot 1_{ \{M+1\} }(x) \geq \phi_M (x)$ 이다. 또한, 각 $\phi_M$ 은 단순 함수이므로 다음이 성립한다.

: $\int_\mathbb{N} \phi_M d\mu =\int_\mathbb{N} \left( \sum_{n=1}^M f(n) 1_{\{n\}} (x) \right) d\mu= \sum_{n=1}^M f(n) \mu (\{n\})= \sum_{n=1}^M f(n) \cdot 1 = \sum_{n=1}^M f(n)$

따라서 단조 수렴 정리에 의해

: $\int_\mathbb{N} f d\mu = \lim_{M \to \infty} \int_\mathbb{N} \phi_M d\mu = \lim_{M \to \infty} \sum_{n=1}^M f(n) = \sum_{n=1}^\infty f(n)$

가측 공간 (N, 2^N)의 경우, 가측 함수 a의 수세 척도 μ에 의한 적분 $\int_{\mathbb{N}} a(n)\, d\mu(n)$ 의 값은, 결국 각 항 a_n을 하나씩 더하게 되므로

: $\int_{\mathbb{N}} a(n)\, d\mu(n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n$

이 성립한다.

4.2. Lp 공간

셈측도는 L^p 공간에서 성립하는 코시-슈바르츠 부등식, 횔더 부등식, 민코프스키 부등식 등의 명제들을 다른 공간에서도 생각할 수 있도록 한다.

만약 Ω = {1,...,n}이고 μ가 Ω에서 정의된 셈측도일 때, 측도 공간 S = (Ω, Σ, μ)에 대하여
: $\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}$ x = (x₁,...,x_n)
를 노름으로 가지는 노름 공간 L^p(S)는 Rⁿ (또는 Cⁿ)과 같다.

마찬가지로, $\mathbb N$ 을 셈측도 공간으로 간주한 자연수 집합이라고 하면, L^p(S)에서
: $\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \biggr)^{1/p}$
의 값이 유한인 x = (x_n)의 수열을 구성할 수 있는데, 이를 L^p 공간이라 한다.

가산 집합에서의 셈측도는 르베그 적분의 정리들(단조 수렴 정리, 파투 보조정리, 지배 수렴 정리, 푸비니 정리 등)을 급수에 대해서도 적용할 수 있도록 한다.

예를 들어, 가측 공간 (N, 2^N)의 경우를 생각하면, 가측 함수 a의 수세 척도 μ에 의한 적분
: $\int_{\mathbb{N}} a(n)\, d\mu(n)$
의 값은, 결국 각 항 a_n을 하나씩 더하게 되므로
: $\int_{\mathbb{N}} a(n)\, d\mu(n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n$
이 성립함을 확인할 수 있다.

함수 a가 μ에 관해 (르베그의 의미로) 적분 가능하다는 것은 우변의 급수가 절대 수렴한다는 것과 같다. 더욱이, μ에 관한 자승 적분 가능 함수 전체가 이루는 집합 L²(N, μ; R)는 (협의의) 힐베르트 공간 l²라고 불리며, 내적
: $(a, b)= \int_{\mathbb{N}} a(n)b(n)\,d\mu(n)= \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$
(a = (a_n)_n∈N, b = (b_n)_n∈N ∈ l²)이 규정하는 노름에 관해 완비인 노름 공간 (즉, 광의의 힐베르트 공간)이다.

또한, Λ = {1, 2, ..., n}이라고 놓고, 마찬가지의 것을 가측 공간 (Λ, 2^Λ)에서 생각하면, Λ 상의 실숫값 함수는 실수의 n-쌍 x = (x₁, x₂, ..., x_n)이며, 그 적분값은 유한 합 x₁ + x₂ + … + x_n이다.

이 때, 1 ≤ p < ∞이 되는 p에 대해, 함수 x = (x₁, x₂, ..., x_n)∈ Rⁿ가 p승 적분 가능 함수의 공간 L^p(Λ, μ; R)에 포함되는 조건은 Rⁿ에서의 p승 노름 (p-노름)
: $||\mathbf{x}||_p = \left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}$
이 유한하게 되므로, L^p(Λ, μ; R) = Rⁿ이 된다.

위에 언급한 것은, 실수를 복소수로 바꾼 복소수 열의 경우에도, 절대값을 복소수의 절대값으로 하고, 내적을 에르미트 내적으로 바꿈으로써, 그대로 통용된다.

4.3. 다른 측도와의 관계

수세기 측도는 어떤 측도에 대해서도 절대 연속이다. 또한 수세기 측도는 모든 점에 관한 디랙 측도의 합으로 나타낼 수 있다. 반대로, 가산 집합 상의 임의의 측도의 수세기 측도에 대한 라돈-니코딤 미분은 그 측도의 디랙 측도의 가중 합으로서의 표시를 제공한다.