바이어슈트라스의 곱 정리

4. 바이어슈트라스 곱 정리

주어진 0이 아닌 복소수열 $\{a_n\}$에 대해, $|a_n| \to \infty$ 이고, 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수 수열 $\{p_n\}$이 존재하면,

: $\sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty,$

다음 함수는 오직 점 $a_n$에서만 영점을 갖는 전해석함수이다.

: $f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n))$

전해석함수 $f(z)$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)$

여기서 $g(z)$는 전해석함수이고, $m$은 $z=0$ 에서 $f(z)$의 영점의 차수이다.

간단한 형태의 구성 방법 증명은 다음과 같다.

* $|z|\le R<2R\le |a_n|$이면 $P_n(z)$는,

:$\backslash left|\; P\_n(z)\; +\; \backslash log\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{z\}\{a\_n\}\; \backslash right)\; \backslash right|\; \backslash le\; 2\; \backslash left|\; \backslash frac\{z\}\{a\_n\}\; \backslash right|\; ^\{n+1\}\; \backslash le\; \backslash frac\{1\}\{2^n\}$을 만족한다.

* 충분히 큰 M에 대하여 $2R\le |a_M|$이면,

:이다.

* 그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, $f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}$는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, $f$는 그 폐집합 $D$에서 정칙이다. 따라서 $f(z)$는 $(a_n)$의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

$\{a_n\}$을 $|a_n|\to\infty$를 만족하는 0이 아닌 복소수의 수열이라고 하자. $f(z)$의 대수를 취하면 다음과 같다.

:$\log f(z) = \sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n) = \sum_{n=1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )$

$\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$이 집적점을 갖지 않는다는 것은, 임의의 양수 $R$에 대해 자연수 $N$이 결정되고, $ n > N$이면 $|a_n| > R$이 된다는 조건과 동치이다. $R$과 그에 대응하는 $N$을 고정하여 생각한다. 무한 합 $\sum_{n=1}^\infty \log E_{p_n}(z/a_n)$을 $ n \le N$인 유한 합 $\sum_{n=1}^N E_{p_n}(z/a_n) = \sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_{p_n}(z/a_n) )$와 $ n > N$인 무한 합 $\sum_{n=N+1}^\infty E_{p_n}(z/a_n) = \sum_{n=N+1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_{p_n}(z/a_n) )$로 나누어 생각한다.

유한 합 $\sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_{p_n}(z/a_n) )$는 $ n \le N$인 각 영점 $a_n$에서 음의 무한대가 되고, 복소 평면의 그 외의 점에서는 유한 확정값을 취한다.

$|z| < R $라고 하고, 무한 합 부분의 절대값을 생각하면 다음과 같다.

:$| \sum_{n=N+1}^\infty \log E_{p_n}(z/a_n)| = | \sum_{n=N+1}^\infty r_{p_n}(z/a_n)|$
:$ < \sum_{n=N+1}^\infty \frac { |z/a_n|^{{p_n}+1} } {p_n+1}$

정리의 조건에 의해, 무한 합 부분은 수렴하고 유한 확정값을 취한다. $R$은 임의로 크게 할 수 있으므로, 임의의$z$에 대해, 무한 합 부분의 절대값은 유한 확정값을 취한다. 따라서, 무한 합 $\sum_{n=1}^\infty \log E_{p_n}(z/a_n)$은 각 영점 $a_n$에서만 음의 무한대가 되고, 복소 평면의 그 외의 점에서는 유한 확정값을 취한다.

무한 곱 $f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n)$는 각 영점 $a_n$에서만 0이 되고, 복소 평면의 그 외의 점에서는 0 이외의 유한 확정값을 취한다. 즉 $f(z)$는 정함수이다.

이 정리는 다음과 같이 일반화된다. 리만 구상의 열린 집합 안의 수열 (따라서, 영역)에 대해, 이들의 부분 집합 안에서 정칙이며, 수열의 점에서 영점을 갖는 함수가 존재한다。

다음 정리가 일반적으로 바이어슈트라스의 곱 정리라고 불리는 완전 형식이다. 바이어슈트라스의 곱/인자 정리라고 불리기도 한다.

정리(완전판): f 를 정함수라 하고, $\{a_n\}$ 를 f 의 0이 아닌 영점이라고 하자(중복도에 따라 반복). f 가 z = 0 에서 차수 m ≥ 0 인 영점을 가진다고 하자면, 정함수 g 와 정수의 수열 $\{p_n\}$ 가 존재하여,

: $f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)$

이 된다.

4.1. 예시

사인과 코사인의 삼각 함수는 다음과 같이 인수분해된다.
* $\backslash sin\; \backslash pi\; z\; =\; \backslash pi\; z\; \backslash prod\_\{n\backslash neq\; 0\}\; \backslash left(1-\backslash frac\{z\}\{n\}\backslash right)e^\{z/n\}\; =\; \backslash pi\; z\backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(1-\backslash frac\{z^2\}\{n^2\}\backslash right)$
* $\backslash cos\; \backslash pi\; z\; =\; \backslash prod\_\{q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},\; \backslash ,\; q\; \backslash ;\; \backslash text\{odd\}\; \}\; \backslash left(1-\backslash frac\{2z\}\{q\}\backslash right)e^\{2z/q\}\; =\; \backslash prod\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{4z^2\}\{(2n+1)^2\}\; \backslash right)$
반면, 감마 함수 $\backslash Gamma$는 다음과 같이 인수분해된다.
$$\backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma\; (z)\}=e^\{\backslash gamma\; z\}z\backslash prod\_\{n=1\}^\{\backslash infty\; \}\backslash left\; (\; 1+\backslash frac\{z\}\{n\}\; \backslash right\; )e^\{-z/n\},$$
여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. 코사인 항등식은 다음의 특수한 경우로 볼 수 있다.
$$\backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s-z)\backslash Gamma(s+z)\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s)^2\}\backslash prod\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{z\}\{n+s\}\; \backslash right)^2\; \backslash right)$$
$s=\backslash tfrac\{1\}\{2\}$일 때.

5. 증명

|z|\le R<2R\le |a_n|이면 P_n(z)는,
:\left| P_n(z) + \log \left( 1-\frac{z}{a_n} \right) \right| \le 2 \left| \frac{z}{a_n} \right| ^{n+1} \le \frac{1}{2^n}을 만족한다.
다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 2R\le |a_M|이면,
:\sum_{n=M}^\infty{\left|P_n(z)+\log\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\right|} \le \sum_{n=M}^\infty {\frac{1}{2^{n}}}<1이다.
그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 그런데 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, 이 조건에서 f는 그 폐집합 D에서 정칙이다. 따라서 f(z)는 (a_n)의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

6. 일반화

미타그레플레르 정리를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.

* 정리 : $(a\_n)$을 $\backslash infty$로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 $(b\_n)$은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(a\_n)=b\_n$을 만족하는 전해석함수 $f$가 적어도 하나 존재한다.

7. 아다마르 곱 정리

유한 차수를 갖는 전해석함수에 대한 바이어슈트라스 곱 정리의 특수한 경우이다. 전해석함수 f(z)의 차수가 ρ일 때, 다음과 같은 표현을 갖는다.

:$f(z)=z^me^\{P(z)\}\backslash prod\_\{k=1\}^\backslash infty\; E\_p(z/a\_k)$

여기서 $a\_k$는 0이 아닌 $f$의 근 ($a\_k\; \backslash neq\; 0$)이고, $m$은 $z\; =\; 0$에서 $f$의 영점의 차수이며($m\; =\; 0$인 경우는 $f(0)\; \backslash neq\; 0$을 의미), $P$는 다항식(그 차수를 $q$라고 함)이고, $p$는 다음 급수가

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{|a\_n|^\{p+1\}\}$

수렴하는 가장 작은 음이 아닌 정수이다. 이를 아다마르의 정규 표현이라고 한다. 음이 아닌 정수 $g=\backslash max\backslash \{p,q\backslash \}$는 전체 함수 $f$의 종수라고 한다. $f$의 차수 $\backslash rho$는 다음을 만족한다.

:$g\; \backslash leq\; \backslash rho\; \backslash leq\; g\; +\; 1$

다시 말해, 차수 $\backslash rho$가 정수가 아니면 $g\; =\; [\; \backslash rho\; ]$는 $\backslash rho$의 정수 부분이다. 차수가 양의 정수이면 두 가지 가능성이 있다. $g\; =\; \backslash rho-1$ 또는 $g\; =\; \backslash rho$.

예를 들어, $\backslash sin$, $\backslash cos$ 및 $\backslash exp$는 종수 $g\; =\; \backslash rho\; =\; 1$인 전체 함수이다.