맨위로가기

미타그레플레르 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

미타그레플레르 정리는 복소 평면 또는 복소 다양체에서 정의되는 정리로, 주어진 극점과 주요 부분을 갖는 유리형 함수의 존재성을 보장한다. 복소 평면에서, 이 정리는 열린 집합 U와 그 부분 집합 E에 대해, E의 각 점 a에 상수항이 없는 1/(z-a)의 다항식 pa(z)가 주어질 때, U에서 정의된 유리형 함수 f가 존재하여 E의 모든 원소가 f의 극점이 되고, 각 극점 a에서 f(z) - pa(z)는 a에서 제거 가능한 특이점을 갖는다는 것을 나타낸다. 복소 다양체에서는, 층 코호몰로지를 사용하여 정리를 공식화하며, 슈타인 다양체에서 항상 성립한다. 증명은 룬게의 정리를 활용하며, 삼각함수의 극 전개와 같은 예시를 통해 적용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 복소해석학 정리 - 리만 사상 정리
    리만 사상 정리는 복소해석학에서 단일 연결 열린 진부분집합 사이의 각도를 보존하는 정칙함수, 즉 등각 사상의 존재를 보장하는 중요한 정리이다.
  • 복소해석학 정리 - 리만-로흐 정리
    리만-로흐 정리는 콤팩트 리만 곡면에서 인자의 차수, 유리형 함수 공간의 차원, 곡면의 종수 사이의 관계를 나타내는 정리로서, 유리형 함수를 구성하는 문제에 대한 해답을 제시하며 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
미타그레플레르 정리
미타그-레플레르 정리
분야해석학
종류정리
이름의 유래괴스타 미타그-레플레르
내용
설명해석적 함수의 특이점과 관련된 정리
관련 개념극점, 로랑 급수, 메로모르프 함수
역사
발표 시기1876년
발표자괴스타 미타그-레플레르

2. 정리의 공식화

미타그레플레르 정리는 복소해석학의 중요한 정리 중 하나로, 주어진 위치에 원하는 형태의 특이점(구체적으로는 극점)을 갖는 유리형 함수를 구성할 수 있음을 보여준다.[4][5] 이 정리는 크게 두 가지 관점에서 공식화될 수 있다.

첫째, 복소평면 \mathbb{C}의 열린 집합 위에서 정의하는 방식이다. 이 경우, 미리 지정된 이산적인 점들 각각에 대해, 그 점을 극점으로 갖고 주어진 형태의 주요 부분을 갖는 유리형 함수가 존재한다는 것을 명시적으로 나타낸다.

둘째, 보다 추상적인 방식으로, 복소다양체 위에서 층과 층 코호몰로지의 언어를 사용하여 공식화하는 것이다. 이 관점에서는 유리형 함수의 층과 정칙 함수의 층 사이의 관계를 통해 미타그레플레르 문제를 해석하며, 특정 코호몰로지 군이 사라지는 조건과 관련짓는다. 예를 들어, 슈타인 다양체와 같이 \(H^1(M;\mathcal O)=0\)인 경우 미타그레플레르 정리가 항상 성립한다.

각 공식화에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 복소 평면에서의 공식화

복소평면 \(\mathbb{C}\)의 열린 집합 \(U\)와, 그 부분 집합 \(E \subset U\)가 주어졌다고 하자. 이때 \(E\)는 극한점이 있다면 오직 \(U\)의 경계에만 존재하는 집합이어야 한다. 이는 \(E\)가 \(U\) 안에서 닫힌이산 부분 집합이라는 조건과 같다.[4][5]

또한, \(E\)의 각 점 \(a\)에 대해, 상수항이 없는 \(1/(z-a)\)에 대한 다항식 \(p_a(z)\)가 주어졌다고 하자. 이 다항식은 다음과 같은 형태를 가진다.

p_a(z) = \sum_{n=1}^{N_a} \frac{c_{a,n}}{(z-a)^n}

여기서 \(N_a\)는 자연수이고 \(c_{a,n}\)들은 복소 상수이다. 이 \(p_a(z)\)는 점 \(a\)에서 우리가 원하는 함수의 로랑 급수의 주요 부분을 나타낸다.

미타그레플레르 정리에 따르면, 이러한 조건 하에서 다음 성질들을 만족하는 유리형 함수 \(f\)가 \(U\) 상에 존재한다.[4][5]

  • 함수 \(f\)의 극점 집합은 정확히 \(E\)이다.
  • \(E\)에 속하는 각 극점 \(a\)에 대해, 함수 \(f(z) - p_a(z)\)는 \(a\)에서 제거 가능한 특이점을 가진다. 즉, \(f\)의 \(a\)에서의 주요 부분은 정확히 주어진 다항식 \(p_a(z)\)이다.


더 나아가, 만약 \(g\)가 위와 동일한 성질을 만족하는 \(U\) 상의 또 다른 유리형 함수라면, \(g\)와 \(f\)의 차이 \(h = g - f\)는 \(U\) 전체에서 정칙 함수가 된다. 즉, \(g = f + h\) 형태로 표현될 수 있다. 이는 주어진 극점과 주요 부분을 갖는 유리형 함수는 정칙 함수를 더하는 차이만큼 유일하다는 것을 의미한다.

증명의 기본적인 아이디어는 다음과 같다. 만약 \(E\)가 유한 집합이라면, 단순히 각 주요 부분을 더한 함수

: f(z) = \sum_{a \in E} p_a(z)

가 원하는 성질을 만족한다. 하지만 \(E\)가 무한 집합일 경우, 이 무한 합은 일반적으로 수렴하지 않을 수 있다. 이 문제를 해결하기 위해, 룬게의 정리를 이용하여 각 \(p_a(z)\)에 적절한 정칙 함수(구체적으로는 \(U\) 외부의 극점만을 갖는 유리 함수)를 더하거나 빼서, 주요 부분은 바꾸지 않으면서 전체 합이 \(U\)에서 균등 수렴하도록 만들 수 있다.

2. 2. 복소 다양체에서의 공식화

M이 복소다양체라고 하자. 그 위에 \mathcal O가 정칙 함수의 층이며, \mathcal K가 유리형 함수의 층이라고 하자. 그렇다면, 층의 짧은 완전열

:0\to\mathcal O\to\mathcal K\to\mathcal K/\mathcal O\to0

이 존재한다. 이로부터, 층 코호몰로지의 긴 완전열

:0\to H^0(M;\mathcal O)\to H^0(M;\mathcal K)\to H^0(M;\mathcal K/\mathcal O)\to H^1(M;\mathcal O)\to\cdots

이 존재한다. 미타그레플레르 정리는 H^0(M;\mathcal K)\to H^0(M;\mathcal K/\mathcal O)가 어떤 경우에 전사 함수인지를 나타내는 정리다. 이는 H^1(M;\mathcal O)=0인 경우에만 가능한 것을 알 수 있다. 특히, M이 슈타인 다양체일 경우 카르탕 정리에 따라서 H^1(M;\mathcal O)=0이므로, 항상 미타그레플레르 정리가 성립한다.

3. 증명 개요

미타그레플레르 정리의 증명은 구성적인 방식으로 이루어지며, 룬게의 정리를 활용한다.

만약 극점의 집합 E가 유한하다면, 원하는 함수 f(z)는 단순히 각 극점 a ∈ E에서의 주요부 pa(z)의 합으로 정의할 수 있다.

: f(z) = Σa∈E pa(z)

만약 E가 무한 집합이라면, E의 유한 부분 집합 F에 대한 유한 합 SF(z) = Σa∈F pa(z)를 고려한다. 이 유한 합 SF(z)는 F가 E 전체로 확장될 때 반드시 수렴하지는 않는다. 그러나 룬게의 정리를 이용하면 이 문제를 해결할 수 있다. 룬게의 정리에 따르면, 각 유한 합 SF(z)에 대해 정의역 D 외부(즉, E의 점들을 포함하지 않는 영역)에만 극점을 가지는 적절한 유리 함수 gF(z)를 찾을 수 있다. 이 함수 gF(z)를 SF(z)에서 빼면, SF(z)의 주요부(pa(z)들)는 변경되지 않으면서도, F가 E로 접근함에 따라 SF(z) - gF(z)가 수렴하도록 만들 수 있다. 이러한 방식으로 구성된 함수가 미타그레플레르 정리가 존재성을 보장하는 유리형 함수 f(z)가 된다.

4. 예시

미타그레플레르 정리를 사용하여 모든 양의 정수에서 잔류가 1인 단순 극점을 갖는 유리형 함수를 구하는 문제를 생각해 보자.

이 경우, 각 양의 정수 \(k\)에서의 주요 부분(principal part)은 p_k(z) = \frac{1}{z-k}이고, 극점의 집합은 \(E = \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\}\)이다. 미타그레플레르 정리는 이러한 주요 부분을 갖는 유리형 함수 \(f\)가 존재함을 보장한다.

구체적인 함수 형태의 한 예시는 다음과 같다.

f(z) = z\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(z-k)}

이 급수는 \(\mathbb{C} \smallsetminus \mathbb{Z}^+\)의 모든 콤팩트 부분 집합에서 정규 수렴하며 (이는 바이어슈트라스 M-판정법을 사용하여 보일 수 있다), 따라서 원하는 성질을 갖는 유리형 함수를 정의한다.

5. 유리형 함수의 극 전개

복소해석학에서 중요한 정리 중 하나인 미타그레플레르 정리는 주어진 극점과 해당 극점에서의 주요 부분(principal part)을 갖는 유리형 함수를 구성하는 방법을 제공한다. 이 정리를 이용하면 특정 조건을 만족하는 유리형 함수를 극점을 중심으로 한 급수 형태로 표현할 수 있으며, 이를 함수의 극 전개(pole expansion)라고 한다.

다양한 특수 함수, 특히 삼각함수와 같은 주기 함수의 극 전개를 유도하는 데 미타그레플레르 정리가 유용하게 활용된다. 함수의 극점 정보만으로 함수 전체를 급수 형태로 나타낼 수 있다는 점에서 강력한 도구이다. 아래 하위 섹션에서는 구체적인 삼각함수들의 극 전개 예시를 다룬다.

5. 1. 삼각함수의 극 전개

다음은 몇 가지 유리형 함수의 극점 전개 예시이다.

  • 코탄젠트 함수 (\cot(z)):

\cot(z) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{z-n\pi} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2 - (n\pi)^2}

  • 코시컨트 함수 (\csc(z)):

\csc(z) = \sum_{n \in \Z} \frac{(-1)^n}{z-n\pi} = \frac{1}{z} + 2z\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z^2 - (n\pi)^2}

  • 시컨트 함수 (\sec(z)):

\sec(z) = \sum_{n \in \Z} \frac{(-1)^{n-1}}{z-\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n+1)\pi}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2-z^2}

  • 탄젠트 함수 (\tan(z)):

\tan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{8z}{(2n+1)^2\pi^2-4z^2}

  • 코시컨트 제곱 함수 (\csc^2(z)):

\csc^2(z) = \sum_{n \in \Z} \frac{1}{(z-n\pi)^2}

  • 시컨트 제곱 함수 (\sec^2(z)):

\sec^2(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{8\left((2n+1)^2\pi^2+4z^2\right)}{\left((2n+1)^2\pi^2-4z^2\right)^2}

  • \frac{1}{z\sin(z)}:

\frac{1}{z \sin(z)} = \frac{1}{z^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2}{z^2 - (n\pi)^2}

참조

[1] 논문 En metod att analytiskt framställa en funktion af rational karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter äro på förhand angifna 1876
[2] 논문 Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes dʼune variable indépendante 1884
[3] 논문 The Mittag-Leffler Theorem: The origin, evolution, and reception of a mathematical result, 1876–1884 2013-02-01
[4] 서적 해설 복소함수론 경문사 2007
[5] 서적 Complex Analysis Princeton University Press 2003


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com