방멱

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1. 개요

방멱은 평면 위의 점과 원의 관계를 나타내는 기하학적 개념이다. 원의 중심 O, 반지름 r, 원 위의 점 P에 대해 방멱은 OP² - r²로 정의된다. 방멱의 값은 점 P가 원의 내부에 있으면 음수, 원 위에 있으면 0, 원 외부에 있으면 양수이다. 방멱의 정리는 원과 직선의 교점을 이용하여 방멱의 값을 구하는 정리이며, 할선 정리, 현의 정리, 접선과 할선의 정리가 방멱의 특수한 경우로 나타난다. 방멱은 두 원의 관계를 나타내는 데에도 사용되며, 두 원의 근축, 다르부 곱, 유사점, 공통 멱 등의 개념과 관련이 있다. 야코프 슈타이너가 이 개념을 처음 사용했다.

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방멱
방멱 정리
원과 점 P 사이의 관계를 보여주는 다이어그램
정의
내용	기하학에서 원 C와 점 P의 방멱은 P에서 시작하여 C와 교차하는 선을 따라 측정된 거리의 곱이다.
성질
점 P가 원 내부에 있는 경우	방멱은 음수이다.
점 P가 원 외부에 있는 경우	방멱은 양수이다.
점 P가 원 위에 있는 경우	방멱은 0이다.
응용
활용	원의 방정식을 구하거나, 원과 관련된 문제를 해결하는 데 활용된다.
관련 정리
연관된 정리	할선 정리 접선-할선 정리 두 현 정리
역사
어원	"방멱"이라는 용어는 "힘" 또는 "능력"을 의미하는 한자어에서 유래되었다.

2. 정의

평면 위에서, 중심이 O^영어이고 반지름이 r인 원 \Gamma의 점 P에 대한 '''방멱'''은 다음과 같이 정의된다.

:OP² - r²

방멱의 값은 음의 값을 가질 수 있다. (주의: 이 그림에서는 선분의 기호에 절댓값 기호를 붙인 것은 단순히 그 길이를 나타낸다.)

''이 절에서는 원을 그 중심점의 이름을 빌려 원 O처럼 부르지 않고, 독립된 기호를 부여하는 것으로 한다.''

평면 위에 점 O, P와, O를 중심점으로 하는 원 ω가 있다. P를 통과하는 직선 \ell이 ω와 1개 또는 2개의 공통점을 가진다고 하고, 그것을 A, B라고 한다(공통점이 1개일 때는 A=B로 취급한다).

P와 ω가 움직이지 않고, \ell이 다양하게 움직일 때, A, B는 따라서 다양하게 움직이지만, PA * PB의 값은 '''변하지 않는'''다는 것을 방멱의 정리를 통해 알 수 있다. P≠O일 때, 직선 OP를 고려함으로써,

: PA * PB = |PO - r| * (PO + r) = |PO² - r²|

로 나타낼 수 있다. P=O일 때도, ω의 임의의 지름을 고려함으로써, 역시

: PA * PB = r² = |0 - r²| = |PO² - r²|

가 성립한다.

따라서, P와 ω에 의해서만 결정되는 양

: Π_ω(P) = PO² - r²

를 정의하는 것이 편리하다. 이 값을 P의 ω에 관한 '''방멱의 값'''(ほうべきのあたい) 또는 단순히 '''방멱'''(ほうべき, power^영어)이라고 한다. 기호로는 Π(P), Pow_ω(P) 등이 사용되기도 한다.

방멱의 값은 P가 ω의 바깥쪽에 있으면 양수, ω의 안쪽에 있으면 음수, 정확히 ω 위에 있으면 0이 된다.

학교 수학에서 방멱의 값을 가르치는 경우는 적다.

평면 위의 서로 다른 중심점을 가진 2개의 원의 근축은, 방멱의 값을 이용하여 특징지어진다.^[13]

한 점 O로 이루어진 집합은 중심이 O이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 O에 대한 P의 방멱은 단순히 OP²이다.^[15]

직선은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선에 대한 점의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다.^[15] 우선 점 P를 지나는 직선의 수선의 발이 A라고 하고, 직선 PA 위의 점 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 Γ가 직선 PA와 두 점 A, B에서 만난다고 하자. 그렇다면, Γ에 대한 P의 방멱과 Γ의 지름의 비의 절댓값은 다음과 같다.

:|OP² - r²| / 2r = |OP + r||OP - r| / 2r = PA * PB / AB

A가 고정되고 O와 B가 A에서 무한히 멀어질 때, PB와 AB의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 PA로 수렴한다. 따라서, 직선과 점 P 사이의 거리를 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 정의할 수 있다.^[15]

2. 1. 점원에 대한 방멱

한 점

O

로 이루어진 집합은 중심이

O

이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원

O

에 대한

P

의 방멱은 단순히

OP^2

이다.^[15]

2. 2. 직선에 대한 방멱

직선은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선에 대한 점의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다.^[15] 우선 점 P를 지나는 직선의 수선의 발이 A라고 하고, 직선 PA 위의 점 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 Γ가 직선 PA와 두 점 A, B에서 만난다고 하자. 그렇다면, Γ에 대한 P의 방멱과 Γ의 지름의 비의 절댓값은 다음과 같다.

:

\left|\frac{OP^2-r^2}{2r}\right|=\frac

{2r}=\frac{PA\cdot PB}{AB}

A가 고정되고 O와 B가 A에서 무한히 멀어질 때, PB와 AB의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 PA로 수렴한다. 따라서, 직선과 점 P 사이의 거리를 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 정의할 수 있다.^[15]

3. 성질

평면 위에서 원 $\Gamma$ 와 점 $P$ 가 주어졌을 때:

$P$ 가 $\Gamma$ 내부의 점일 필요충분조건은 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱이 양수인 것이다.
$P$ 가 $\Gamma$ 위의 점일 필요충분조건은 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱이 0인 것이다.
$P$ 가 $\Gamma$ 외부의 점일 필요충분조건은 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이

O

이고 반지름이

r

인 원

\Gamma

가 주어졌을 때,

\Gamma

에 대한 방멱이

k

인 점들의 집합은 다음과 같다.

$k>-r^2$ 일 경우 중심이 $O$ 이고 반지름이 $\sqrt{r^2+k}$ 인 원이다.
$k=-r^2$ 일 경우 점원 $O$ 이다.
$k<-r^2$ 일 경우 공집합이다.^[15]

평면 위에서 동심원이 아닌 두 원

\Gamma,\Gamma'

에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원

\Gamma,\Gamma'

의 '''근축'''이라고 부른다.

점

P

가 주어지고,

c_1, c_2

가 중심이

O_1, O_2

이고 반지름이

r_1, r_2

인 서로 동심원이 아닌 두 원이라고 하자. 점

P

는 원

c_i

에 대해 멱

\Pi_i(P)

를 갖는다.

\Pi_1(P) = \Pi_2(P)

를 만족하는 모든 점

P

의 집합은 ''방멱축''이라고 하는 직선이다. 이 직선은 원들의 가능한 교점을 포함하며, 선분

\overline{O_1O_2}

에 수직이다.

''이 절에서는 원을 그 중심점의 이름을 빌려 원 O처럼 부르지 않고, 독립된 기호를 부여하는 것으로 한다.''

평면 위에 점 O, P와, O를 중심점으로 하는 원 ω가 있다. P를 통과하는 직선

\ell

이 ω와 1개 또는 2개의 공통점을 가진다고 하고, 그것을 A, B라고 한다(공통점이 1개일 때는 A=B로 취급한다).

P와 ω가 움직이지 않고,

\ell

이 다양하게 움직일 때, A, B는 따라서 다양하게 움직이지만,

\text{PA} \cdot \text{PB}

의 값은 '''변하지 않는'''다는 것을 방멱의 정리를 통해 알 수 있다. P≠O일 때, 직선 OP를 고려함으로써,

:

\text{PA} \cdot \text{PB} =|\text{PO}-r| \cdot (\text{PO} + r)=|\text{PO}^2 - r^2|

로 나타낼 수 있다. P=O일 때도, ω의 임의의 지름을 고려함으로써, 역시

:

\text{PA} \cdot \text{PB} = r^2 = |0-r^2| =|\text{PO}^2 - r^2|

가 성립한다.

따라서, P와 ω에 의해서만 결정되는 양

:

\Pi_\omega(P) = \text{PO}^2 - r^2

를 정의하는 것이 편리하다. 이 값을 P의 ω에 관한 '''방멱의 값''' 또는 단순히 '''방멱'''(power^영어)이라고 한다. 기호로는

\Pi(P), \text{Pow}_\omega(P)

등이 사용되기도 한다.

방멱의 값은 P가 ω의 바깥쪽에 있으면 양수, ω의 안쪽에 있으면 음수, 정확히 ω 위에 있으면 0이 된다.

학교 수학에서 방멱의 값을 가르치는 경우는 적다.

평면 위의 서로 다른 중심점을 가진 2개의 원의 근축은, 방멱의 값을 이용하여 특징지어진다^[13]。

3. 1. 방멱 정리

평면 위에서 점

P

를 지나는 직선이 원

\Gamma

와 (같을 수 있는) 두 점

A,B

에서 만나며,

P

를 지나는 또 다른 직선이

\Gamma

와 (같을 수 있는) 두 점

C,D

에서 만난다고 하자. '''방멱 정리'''(方冪定理, power theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.^[16]

:

\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}

여기서

\cdot

은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이

O

를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라,

\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}

는 직선

PAB

의 선택과 무관하다.

'''방멱'''은 ''할선 정리''와 ''현의 정리''에서 불변량의 역할을 한다.

''할선 정리'': 원 $c$ 외부의 점 $P$ 와 할선 $g$ 와 $c$ 의 교점 $S_1,S_2$ 에 대해 다음이 성립한다: $|PS_1| \cdot |PS_2|= \Pi(P)$ , 따라서 곱은 선 $g$ 에 관계없이 일정하다. $g$ 가 접선인 경우 $S_1=S_2$ 이며, 이 명제는 ''할선-접선 정리''이다.
''현의 정리'': 원 $c$ 내부의 점 $P$ 와 할선 $g$ 와 $c$ 의 교점 $S_1,S_2$ 에 대해 다음이 성립한다: $|PS_1| \cdot |PS_2|= -\Pi(P)$ , 따라서 곱은 선 $g$ 에 관계없이 일정하다.

두 정리, 즉 ''접선-할선 정리''를 포함하여, 일관되게 증명할 수 있다.

P:\vec p

를 점으로,

c: \vec x^2-r^2=0

을 원점으로 하는 원으로,

\vec v

를 임의의 단위 벡터로 둔다. 직선

g: \vec x=\vec p+t\vec v

(

P

를 통과)와 원

c

의 가능한 교점의 매개변수

t_1,t_2

는 원의 방정식에 매개변수 방정식을 대입하여 구할 수 있다.

:

(\vec p+t\vec v)^2-r^2=0 \quad  \rightarrow \quadt^2+2t\;\vec p\cdot\vec v +\vec p^2-r^2=0 \ .

비에타의 정리로부터 다음을 얻을 수 있다.

:

t_1\cdot t_2=\vec p^2-r^2 =\Pi(P)

. (

\vec v

에 무관)

\Pi(P)

는 원

c

에 대한

P

의 방멱이다.

|\vec v|=1

이므로, 점

S_1,S_2

에 대해 다음을 얻는다.

:

|PS_1|\cdot|PS_2|=t_1t_2=\Pi(P)\

,

P

가 원 외부에 있는 경우,

:

|PS_1|\cdot|PS_2|=-t_1t_2=-\Pi(P)\

,

P

가 원 내부에 있는 경우(

t_1,t_2

는 서로 다른 부호를 갖는다!).

t_1=t_2

인 경우, 직선

g

는 접선이고,

\Pi(P)

는 점

P

에서 원

c

까지의 접선 거리의 제곱이다.

(그림 1, 그림 2) 원 O와 그 원주 위에 있지 않은 점 P에 대해, 점 P를 지나는 두 개의 직선

\ell

, m이 모두 원의 할선 (원과의 공통점이 2개인 직선)이라고 가정하자. 원과

\ell

의 교점을 A, B로 하고, 원과 m의 교점을 C, D라고 하면,

:

\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PC} \cdot \text{PD}

가 성립한다.

(그림 3) 또한, P가 원 O의 외부에 있고, P를 지나는 직선 중 하나가 원 O의 접선이 되는 경우에도, 원과 할선의 교점을 A, B로 하고, 원과 접선의 접점을 T라고 하면,

:

\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PT}^2

가 성립한다.

점 P가 원 O의 내부에 있는 경우		왼쪽 그림에서 동일한 호에 대한 원주각은 서로 같으므로
점 P가 원 O의 외부에 있는 경우		왼쪽 그림에서 원에 내접하는 사각형의 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로
직선 중 하나가 접선인 경우		왼쪽 그림에서 접현 정리에 의해

== 두 현에 대한 방멱 정리 ==

원 $\Gamma$ 의 두 현 $AB$ 와 $CD$ 가 $\Gamma$ 내부의 점 $P$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$

이다. 특히, 이는 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱의 −1배와 같다.^[16]

각 $\angle BAD$ 와 $\angle DCB$ 는 모두 호 $BD$ 에 대한 원주각이므로,

: $\angle BAD=\angle DCB$

이다. 각 $\angle APD$ 와 $\angle BPC$ 는 맞꼭지각이므로,

: $\angle APD=\angle BPC$

이다. 따라서, 삼각형 $\triangle PDA$ 와 $\triangle PBC$ 는 서로 닮음이며, 따라서

: $\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$

이다.

== 두 할선에 대한 방멱 정리 ==

원 $\Gamma$ 의 두 현 $AB$ 와 $CD$ 의 연장선이 $\Gamma$ 외부의 점 $P$ 에서 만난다고 할 때, 다음이 성립한다.

: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$

이는 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱과 같다.^[16]

편의상 $PA 이고 PC 라고 가정한다. \angle ABC 와 ADC 는 호 AC 에 대한 원주각 이므로,$

: $\angle{ABC}=\angle{ADC}$

이다. 또한 삼각형 $\triangle PBC$ 와 $\triangle PDA$ 는 각 $\angle P$ 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

: $\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$

이다.

== 할선과 접선에 대한 방멱 정리 ==

원 $\Gamma$ 의 현 $AB$ 의 연장선과 $\Gamma$ 위의 점 $T$ 에서의 접선 $PT$ 가 $\Gamma$ 외부의 점 $P$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

: $PA\cdot PB=PT^2$

이다. 특히, 이는 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱과 같다.^[16]

편의상 $PA 라고 하자. 그렇다면 각 \angle PBT 와 \angle PTA 는 각각 호 AT 에 대한 원주각과 접현각 이므로,$

: $\angle PBT=\angle PTA$

이다. 또한 삼각형 $PBT$ 와 $PTA$ 는 각 $\angle P$ 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

: $\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB}$

이다.

3. 1. 1. 두 현에 대한 방멱 정리

원

\Gamma

의 두 현

AB

와

CD

가

\Gamma

내부의 점

P

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

:

PA\cdot PB=PC\cdot PD

이다. 특히, 이는

\Gamma

에 대한

P

의 방멱의 −1배와 같다.^[16]

각

\angle BAD

와

\angle DCB

는 모두 호

BD

에 대한 원주각이므로,

:

\angle BAD=\angle DCB

이다. 각

\angle APD

와

\angle BPC

는 맞꼭지각이므로,

:

\angle APD=\angle BPC

이다. 따라서, 삼각형

\triangle PDA

와

\triangle PBC

는 서로 닮음이며, 따라서

:

\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}

이다.

'''방멱'''은 ''할선 정리''와 ''현의 정리''에서 불변량의 역할을 한다.

''현의 정리'': 원 $c$ 내부의 점 $P$ 와 할선 $g$ 와 $c$ 의 교점 $S_1,S_2$ 에 대해 다음이 성립한다: $|PS_1| \cdot |PS_2|= -\Pi(P)$ , 따라서 곱은 선 $g$ 에 관계없이 일정하다.

점 P가 원 O의 내부에 있는 경우

왼쪽 그림에서 동일한 호에 대한 원주각은 서로 같으므로

3. 1. 2. 두 할선에 대한 방멱 정리

원

\Gamma

의 두 현

AB

와

CD

의 연장선이

\Gamma

외부의 점

P

에서 만난다고 할 때, 다음이 성립한다.

:

PA\cdot PB=PC\cdot PD

이는

\Gamma

에 대한

P

의 방멱과 같다.^[16]

편의상

PA 이고 PC 라고 가정한다. \angle ABC 와 ADC 는 호 AC 에 대한 원주각 이므로,

:

\angle{ABC}=\angle{ADC}

이다. 또한 삼각형

\triangle PBC

와

\triangle PDA

는 각

\angle P

를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

:

\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}

이다.

점 P가 원 O의 외부에 있는 경우

왼쪽 그림에서 원에 내접하는 사각형의 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로

3. 1. 3. 할선과 접선에 대한 방멱 정리

원

\Gamma

의 현

AB

의 연장선과

\Gamma

위의 점

T

에서의 접선

PT

가

\Gamma

외부의 점

P

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

:

PA\cdot PB=PT^2

이다. 특히, 이는

\Gamma

에 대한

P

의 방멱과 같다.^[16]

편의상

PA 라고 하자. 그렇다면 각 \angle PBT 와 \angle PTA 는 각각 호 AT 에 대한 원주각과 접현각 이므로,

:

\angle PBT=\angle PTA

이다. 또한 삼각형

PBT

와

PTA

는 각

\angle P

를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

:

\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB}

이다.

(그림 3) P가 원 O의 외부에 있고, P를 지나는 직선 중 하나가 원 O의 접선이 되는 경우에도, 원과 할선의 교점을 A, B로 하고, 원과 접선의 접점을 T라고 하면,

:

\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PT}^2

가 성립한다.

직선 중 하나가 접선인 경우
왼쪽 그림에서 접현 정리에 의해

3. 2. 방멱 정리의 역

직선

AB

와

CD

가 점

P

에서 만나고,

\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}

를 만족시킨다면,

A,B,C,D

는 공원점이다.^[15]

편의상

C

가 직선

AB

위의 점이 아니라고 하자. 점

A,B,C

를 지나는 원

\Gamma

가 직선

CD

와 점

D'

에서 만난다고 하면, 방멱 정리에 의하여

\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD'}

이므로,

D=D'

이다.

평면 위에 서로 다른 4점 A, B, C, D가 있고, 직선 AB와 직선 CD가 단 하나의 교점 P를 갖는다고 할때,

(1) $\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PC} \cdot \text{PD}$
(2-1) P는 선분 AB의 내부의 점이고, 선분 CD의 내부의 점이기도 하다.
(2-2) P는 선분 AB의 외부의 점이고, 선분 CD의 외부의 점이기도 하다.

(1)과 (2-1)을 만족시킨다면, 4점 A, B, C, D를 지나는 원(공원점)이 존재하고, P는 이 원의 내부에 있다.

(1)과 (2-2)를 만족시킨다면, 4점 A, B, C, D를 지나는 원이 존재하고, P는 이 원의 외부에 있다.

또한, 평면 위에 서로 다른 3점 A, B, T가 있고, 직선 AB 위에 점 P가 있다고 할 때,

(3) $\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PT}^2$
(4) P는 선분 AB의 외부의 점이다.
(5) A, B, T는 같은 직선 위에 있지 않다.

(3)과 (4)와 (5)를 만족시킨다면, 3점 A, B, T를 지나는 원(△ABT의 외접원)의 T에서의 접선은 P를 지난다.

어느 경우든, 원래의 정리의 증명을 거꾸로 따라가듯이, 삼각형의 닮음을 이용하여 증명할 수 있다. 조건(2-1), (2-2), (4), (5)를 제거할 수 없다는 것에 주의해야 한다.^[15]

3. 3. 원의 직교와의 관계

중심이

O,O'

이고 반지름이 각각

r,r'

인 두 원

\Gamma,\Gamma'

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

$\Gamma$ 와 $\Gamma'$ 은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.)
$\Gamma$ 에 대한 $O'$ 의 방멱은 ${r'}^2$ 이다.
$\Gamma$ 에 대한 $O$ 의 방멱은 $r^2$ 이다.

원

c

의 ''외부''에 있는 임의의 점

P

에 대해, 원

c

위에

P

로부터 거리가 같은 두 접점

T_1, T_2

가 존재한다. 따라서 중심이

P

이고

T_1

을 지나는 원

o

는

T_2

도 지나며,

c

와 직교하여 만난다.

중심이

P

이고 반지름이

\sqrt{\Pi(P)}

인 원은 원

c

와 ''직교''하여 만난다.

점

P

를 중심으로 하는 원의 반지름

\rho

가

\sqrt{\Pi(P)}

와 다르면, 코사인 법칙을 적용하여 두 원 사이의 교차각

\varphi

를 얻을 수 있다.

:

\rho^2+r^2-2\rho r \cos\varphi=|PO|^2

:

\rightarrow \\cos\varphi=\frac{\rho^2+r^2-|PO|^2}{2\rho r}=\frac{\rho^2-\Pi(P)}{2\rho r}

(

PS_1

과

OS_1

은 원의 접선에 대한 수선이다.)

P

가 파란색 원 안에 있으면

\Pi(P)<0

이고

\varphi

는 항상

90^\circ

와 다르다.

각도

\varphi

가 주어지면, 이차 방정식을 풀어 반지름

\rho

를 얻을 수 있다.

:

\rho^2-2\rho r \cos\varphi-\Pi(P)=0

.

4. 심화

4. 1. 다르부 곱

두 원 사이의 다르부 곱은 다음과 같이 주어진다.^[10]

:

\left| A_1A_2 \right|^2-r_1^2-r_2^2 \,

여기서 ''A''₁과 ''A''₂는 두 원의 중심이고, ''r''₁과 ''r''₂는 각각의 반지름이다. 점의 멱은 반지름 중 하나가 0인 특수한 경우에 해당한다.

두 원이 직교하면 다르부 곱은 0이 된다.

두 원이 교차하면 다르부 곱은 다음과 같다.

:

2r_1 r_2 \cos\varphi \,

여기서 ''φ''는 교차각이다(''직교하는 원'' 절 참조).

4. 2. 라게르 정리

라게르는 차수 ''n''인 대수 곡선에 대한 점 ''P''의 방멱을 정의했다. 라게르는 점 P를 지나는 원과 곡선의 교차점까지의 거리의 곱을 지름 ''d''의 ''n''제곱으로 나눈 값으로 정의했고, 이 수가 지름에 관계없이 일정함을 보였다. 대수 곡선이 원일 경우, 이것은 원에 대한 점의 방멱과는 ''d''²의 차이가 있다.

4. 3. 유사점

유사점은 원에 대한 슈타이너의 연구에 필수적인 도구이다.^[5]

두 원

:

\ c_1: (\vec x -\vec m_1)^2-r_1^2=0, \quad  c_2: (\vec x -\vec m_2)^2-r_2^2=0 \ .

이 주어졌을 때,

c_1

을

c_2

로 매핑하는 닮음변환(닮음)

\sigma

는 반지름

r_1

을

r_2

로 늘리고, 중심

Z:\vec z

는 선

\overline{M_1 M_2}

위에 있다. 왜냐하면

\sigma(M_1)=M_2

이기 때문이다. 중심

Z

가

M_1,M_2

사이에 있으면 배율 계수는

s=-\tfrac{r_2}{r_1}

이다. 다른 경우에는

s=\tfrac{r_2}{r_1}

이다. 어떤 경우든 다음이 성립한다.

:

\sigma(\vec m_1)=\vec z + s(\vec m_1-\vec z)=\vec m_2

.

s=\pm\tfrac{r_2}{r_1}

를 삽입하고

\vec z

에 대해 풀면 다음을 얻는다.

:

\vec z= \frac{r_1\vec m_2\mp r_2\vec m_1}{r_1\mp r_2}

.

점

E:\vec e=\frac{r_1\vec m_2-r_2\vec m_1}{r_1-r_2}

는 ''외부 유사점''이라고 불리고,

I:\vec i=\frac{r_1\vec m_2+r_2\vec m_1}{r_1+r_2}

는 ''내부 유사점''이라고 불린다.

M_1=M_2

인 경우

E=I=M_i

가 된다.

r_1=r_2

인 경우:

E

는 선

\overline{M_1 M_2}

의 무한대점이고

I

는

M_1,M_2

의 중심이다.

r_1=|EM_1|

인 경우 원은 점

E

에서 서로 ''내부''에서 접한다(두 원 모두 공통 접선 라인의 같은 쪽에 있음).

r_1=|IM_1|

인 경우 원은 점

I

에서 서로 ''외부''에서 접한다(두 원 모두 공통 접선 라인의 다른 쪽에 있음).

더 나아가 다음이 성립한다.

원이 ''분리''되어 있으면(디스크에 공통점이 없음), 외부 공통 접선은 $E$ 에서 만나고 내부 접선은 $I$ 에서 만난다.
한 원이 ''다른 원 안에'' 포함되어 있으면, 점 $E,I$ 는 두 원 ''안에'' 있다.
쌍 $M_1,M_2;E,I$ 는 사영 조화 공액이다. 즉, 그들의 교차비는 $(M_1,M_2;E,I)=-1$ 이다.

몽주의 정리는 세 개의 분리된 원의 ''외부'' 유사점은 한 선 위에 놓인다는 내용이다.

4. 3. 1. 두 원의 공통 멱

두 원

c_1,c_2

가 있고,

E

가 두 원의 외적 닮음점이며,

g

가

E

를 지나고, 두 원과 네 점

G_1,H_1,G_2,H_2

에서 만나는 직선이라고 하자. 점

E

의 정의에 따라 다음을 얻는다.

:

\frac

=\frac{r_1}{r_2}=\frac

\

:

\rightarrow \ |EG_1|\cdot|EH_2|=|EH_1|\cdot|EG_2|\

그리고 할선 정리에 의해 (위 참조) 다음 두 방정식을 얻는다.

:

|EG_1|\cdot|EH_1|=\Pi_1(E),\quad |EG_2|\cdot|EH_2|=\Pi_2(E) .

이 세 방정식을 결합하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E) &=|EG_1|\cdot|EH_1|\cdot|EG_2|\cdot|EH_2| \\&=|EG_1|^2\cdot|EH_2|^2= |EG_2|^2\cdot|EH_1|^2 \ .\end{align}

따라서:

|EG_1|\cdot|EH_2|= |EG_2| \cdot |EH_1|=\sqrt{ \Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)}

(직선

g

와 무관함!).

내적 닮음점

I

에 대한 유사한 명제도 참이다.

불변량

\sqrt{\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E)},\ \sqrt{ \Pi_1(I)\cdot\Pi_2(I)}

는 슈타이너가 두 원의 ''공통멱'' (''gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte'')이라고 불렀다.^[6]

점의 쌍

G_1,H_2

와

H_1,G_2

는 ''반대 상동'' 점이다. 점의 쌍

G_1,G_2

와

H_1,H_2

는 ''상동'' 점이다.^[7]^[8]

4. 3. 2. 두 원에 접하는 원 결정

:

E

를 지나는 두 번째 할선에 대해, 할선 정리에 의해 다음을 얻는다.

:

|EH_1|\cdot|EG_2|= |EH'_1|\cdot|EG'_2|

:네 점

H_1,G_2,H'_1,G'_2

는 한 원 위에 놓인다.

그리고 유사하게,

: 네 점

G_1,H_2,G'_1,H'_2

도 한 원 위에 놓인다.

세 원의 근축은 근점으로 만나기 때문에, 다음을 얻는다.

:할선

\overline{H_1H'_1},\;\overline{G_2G'_2}

는 주어진 두 원의 근축에서 만난다.

아래 할선을 위쪽 할선으로 이동하면(다이어그램 참조) 빨간색 원은 주어진 두 원에 접하는 원이 된다. 접하는 원의 중심은 선

\overline{M_1H_1},\overline{M_2G_2}

의 교차점이다. 할선

\overline{H_1H'_1}, \overline{G_2G'_2}

는 점

H_1,G_2

에서 접선이 된다. 접선은 근축

p

(다이어그램에서 노란색)에서 교차한다.

유사한 고려를 통해 점

G_1,H_2

에서 주어진 원에 접하는 두 번째 접하는 원이 생성된다(다이어그램 참조).

주어진 원에 대한 모든 접하는 원은 선

g

를 변경하여 찾을 수 있다.

;중심의 위치

X

가 점

H_1,G_2

에서 주어진 원에 접하는 원의 중심이고

\rho

가 반지름인 경우:

:

\rho=|XM_1|-r_1=|XM_2|-r_2

:

\rightarrow \ |XM_2|-|XM_1|=r_2-r_1 .

따라서, 중심은 다음을 갖는 쌍곡선 위에 놓인다.

:초점

M_1,M_2

,

:꼭짓점 간의 거리

2a=r_2-r_1

,

:중심

M

은

M_1,M_2

의 중심,

:선형 이심률

c=\tfrac

{2} 그리고

:

\ b^2=e^2-a^2=\tfrac{|M_1M_2|^2-(r_2-r_1)^2}{4}

.

외부 접하는 원에 대한 고려는 유사한 결과를 낳는다.

X

가 점

G_1,H_2

에서 주어진 원에 접하는 원의 중심이고

\rho

가 반지름인 경우:

:

\rho=|XM_1|+r_1=|XM_2|+r_2

:

\rightarrow \ |XM_2|-|XM_1|=-(r_2-r_1) .

중심은 동일한 쌍곡선 위에 있지만 오른쪽 가지에 놓인다.

아폴로니우스의 문제도 참조하십시오.

5. 역사

야코프 슈타이너가 '방멱'이라는 개념을 처음 사용하였다.^[16]

6. 교육과정

야코프 슈타이너가 '방멱'이라는 개념을 처음 사용하였다.^[16]

7. 같이 보기

참조

_[1] 서적 Einige geometrische Betrachtungen 1826
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적 Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil Verlag Leibrock, Braunschweig 1856
_[8] 서적 A Treatise on the Geometry of the Circle and Some Extensions to Conic Sections by the Method of Reciprocation Creative Media Partners, LLC 1891
_[9] 서적 Analytische Geometrie Sammlung Göschen 65/65A, Berlin 1962
_[10] 간행물 Proceedings of the 2020 USCToMM Symposium on Mechanical Systems and Robotics Springer-Verlag 2020
_[11] 문서
_[12] 웹사이트 Power of a Point Theorem http://math-eng.blog[...] 数学も英語も強くなる！意外な数学英語 Unexpected Math English 2021-01-26
_[13] 문서 2023
_[14] 서적 College Geometry Jones and Bartlett Publishers 1995
_[15] 서적 Advanced Euclidean Geometry Dover Publications 1960
_[16] 서적 Geometry Revisited Mathematical Association of America 1967

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