방멱

1. 개요

방멱은 평면 위의 점과 원의 관계를 나타내는 기하학적 개념이다. 원의 중심 O, 반지름 r, 원 위의 점 P에 대해 방멱은 OP² - r²로 정의된다. 방멱의 값은 점 P가 원의 내부에 있으면 음수, 원 위에 있으면 0, 원 외부에 있으면 양수이다. 방멱의 정리는 원과 직선의 교점을 이용하여 방멱의 값을 구하는 정리이며, 할선 정리, 현의 정리, 접선과 할선의 정리가 방멱의 특수한 경우로 나타난다. 방멱은 두 원의 관계를 나타내는 데에도 사용되며, 두 원의 근축, 다르부 곱, 유사점, 공통 멱 등의 개념과 관련이 있다. 야코프 슈타이너가 이 개념을 처음 사용했다.

2. 정의

평면 위에서, 중심이 O^영어이고 반지름이 r인 원 \Gamma의 점 P에 대한 방멱은 다음과 같이 정의된다.
:OP² - r²

2.1. 점원에 대한 방멱

한 점 $O$로 이루어진 집합은 중심이 $O$이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 $O$에 대한 $P$의 방멱은 단순히 $OP^2$이다.

2.2. 직선에 대한 방멱

직선은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선에 대한 점의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 점 P를 지나는 직선의 수선의 발이 A라고 하고, 직선 PA 위의 점 O를 중심으로 하고 A를 지나는 원 Γ가 직선 PA와 두 점 A, B에서 만난다고 하자. 그렇다면, Γ에 대한 P의 방멱과 Γ의 지름의 비의 절댓값은 다음과 같다.

:$\backslash left|\backslash frac\{OP^2-r^2\}\{2r\}\backslash right|=\backslash frac$

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📌 열 고정 해제

{2r}=\frac{PA\cdot PB}{AB}

A가 고정되고 O와 B가 A에서 무한히 멀어질 때, PB와 AB의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 PA로 수렴한다. 따라서, 직선과 점 P 사이의 거리를 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 정의할 수 있다.

3. 성질

평면 위에서 원 $\backslash Gamma$와 점 $P$가 주어졌을 때:

* $P$가 $\backslash Gamma$ 내부의 점일 필요충분조건은 $\backslash Gamma$에 대한 $P$의 방멱이 양수인 것이다.
* $P$가 $\backslash Gamma$ 위의 점일 필요충분조건은 $\backslash Gamma$에 대한 $P$의 방멱이 0인 것이다.
* $P$가 $\backslash Gamma$ 외부의 점일 필요충분조건은 $\backslash Gamma$에 대한 $P$의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이 $O$이고 반지름이 $r$인 원 $\backslash Gamma$가 주어졌을 때, $\backslash Gamma$에 대한 방멱이 $k$인 점들의 집합은 다음과 같다.

* $k>-r^2$일 경우 중심이 $O$이고 반지름이 $\backslash sqrt\{r^2+k\}$인 원이다.
* $k=-r^2$일 경우 점원 $O$이다.
* 일 경우 공집합이다.

평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 $\backslash Gamma,\backslash Gamma\text{'}$에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 $\backslash Gamma,\backslash Gamma\text{'}$의 근축이라고 부른다.

점 $P$가 주어지고, $c\_1,\; c\_2$가 중심이 $O\_1,\; O\_2$이고 반지름이 $r\_1,\; r\_2$인 서로 동심원이 아닌 두 원이라고 하자. 점 $P$는 원 $c\_i$에 대해 멱 $\backslash Pi\_i(P)$를 갖는다. $\backslash Pi\_1(P)\; =\; \backslash Pi\_2(P)$를 만족하는 모든 점 $P$의 집합은 방멱축이라고 하는 직선이다. 이 직선은 원들의 가능한 교점을 포함하며, 선분 $\backslash overline\{O\_1O\_2\}$에 수직이다.

이 절에서는 원을 그 중심점의 이름을 빌려 원 O처럼 부르지 않고, 독립된 기호를 부여하는 것으로 한다.

평면 위에 점 O, P와, O를 중심점으로 하는 원 ω가 있다. P를 통과하는 직선 $\backslash ell$이 ω와 1개 또는 2개의 공통점을 가진다고 하고, 그것을 A, B라고 한다(공통점이 1개일 때는 A=B로 취급한다).

P와 ω가 움직이지 않고, $\backslash ell$이 다양하게 움직일 때, A, B는 따라서 다양하게 움직이지만, $\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}$의 값은 변하지 않는다는 것을 방멱의 정리를 통해 알 수 있다. P≠O일 때, 직선 OP를 고려함으로써,
: $\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}\; =|\backslash text\{PO\}-r|\; \backslash cdot\; (\backslash text\{PO\}\; +\; r)=|\backslash text\{PO\}^2\; -\; r^2|$
로 나타낼 수 있다. P=O일 때도, ω의 임의의 지름을 고려함으로써, 역시
: $\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}\; =\; r^2\; =\; |0-r^2|\; =|\backslash text\{PO\}^2\; -\; r^2|$
가 성립한다.

따라서, P와 ω에 의해서만 결정되는 양
: $\backslash Pi\_\backslash omega(P)\; =\; \backslash text\{PO\}^2\; -\; r^2$
를 정의하는 것이 편리하다. 이 값을 P의 ω에 관한 방멱의 값 또는 단순히 방멱(power^영어)이라고 한다. 기호로는 $\backslash Pi(P),\; \backslash text\{Pow\}\_\backslash omega(P)$ 등이 사용되기도 한다.

방멱의 값은 P가 ω의 바깥쪽에 있으면 양수, ω의 안쪽에 있으면 음수, 정확히 ω 위에 있으면 0이 된다.

학교 수학에서 방멱의 값을 가르치는 경우는 적다.

평면 위의 서로 다른 중심점을 가진 2개의 원의 근축은, 방멱의 값을 이용하여 특징지어진다。

3.1. 방멱 정리

평면 위에서 점 $P$를 지나는 직선이 원 $\backslash Gamma$와 (같을 수 있는) 두 점 $A,B$에서 만나며, $P$를 지나는 또 다른 직선이 $\backslash Gamma$와 (같을 수 있는) 두 점 $C,D$에서 만난다고 하자. 방멱 정리(方冪定理, power theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.
:$\backslash overrightarrow\{PA\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PB\}=\backslash overrightarrow\{PC\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PD\}$
여기서 $\backslash cdot$은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 $O$를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, $\backslash overrightarrow\{PA\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PB\}$는 직선 $PAB$의 선택과 무관하다.

방멱은 할선 정리와 현의 정리에서 불변량의 역할을 한다.

* 할선 정리: 원 $c$ 외부의 점 $P$와 할선 $g$와 $c$의 교점 $S\_1,S\_2$에 대해 다음이 성립한다: $|PS\_1|\; \backslash cdot\; |PS\_2|=\; \backslash Pi(P)$, 따라서 곱은 선 $g$에 관계없이 일정하다. $g$가 접선인 경우 $S\_1=S\_2$이며, 이 명제는 할선-접선 정리이다.
* 현의 정리: 원 $c$ 내부의 점 $P$와 할선 $g$와 $c$의 교점 $S\_1,S\_2$에 대해 다음이 성립한다: $|PS\_1|\; \backslash cdot\; |PS\_2|=\; -\backslash Pi(P)$, 따라서 곱은 선 $g$에 관계없이 일정하다.

두 정리, 즉 접선-할선 정리를 포함하여, 일관되게 증명할 수 있다.

$P:\backslash vec\; p$를 점으로, $c:\; \backslash vec\; x^2-r^2=0$을 원점으로 하는 원으로, $\backslash vec\; v$를 임의의 단위 벡터로 둔다. 직선 $g:\; \backslash vec\; x=\backslash vec\; p+t\backslash vec\; v$($P$를 통과)와 원 $c$의 가능한 교점의 매개변수 $t\_1,t\_2$는 원의 방정식에 매개변수 방정식을 대입하여 구할 수 있다.
:$(\backslash vec\; p+t\backslash vec\; v)^2-r^2=0\; \backslash quad\; \backslash rightarrow\; \backslash quad$
t^2+2t\;\vec p\cdot\vec v +\vec p^2-r^2=0 \ .
비에타의 정리로부터 다음을 얻을 수 있다.
:$t\_1\backslash cdot\; t\_2=\backslash vec\; p^2-r^2\; =\backslash Pi(P)$. ( $\backslash vec\; v$에 무관)
$\backslash Pi(P)$는 원 $c$에 대한 $P$의 방멱이다.

$|\backslash vec\; v|=1$이므로, 점 $S\_1,S\_2$에 대해 다음을 얻는다.
:$|PS\_1|\backslash cdot|PS\_2|=t\_1t\_2=\backslash Pi(P)\backslash$, $P$가 원 외부에 있는 경우,
:$|PS\_1|\backslash cdot|PS\_2|=-t\_1t\_2=-\backslash Pi(P)\backslash$, $P$가 원 내부에 있는 경우($t\_1,t\_2$는 서로 다른 부호를 갖는다!).

$t\_1=t\_2$인 경우, 직선 $g$는 접선이고, $\backslash Pi(P)$는 점 $P$에서 원 $c$까지의 접선 거리의 제곱이다.

(그림 1, 그림 2) 원 O와 그 원주 위에 있지 않은 점 P에 대해, 점 P를 지나는 두 개의 직선 $\backslash ell$, m이 모두 원의 할선 (원과의 공통점이 2개인 직선)이라고 가정하자. 원과 $\backslash ell$의 교점을 A, B로 하고, 원과 m의 교점을 C, D라고 하면,
:$\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}\; =\backslash text\{PC\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PD\}$
가 성립한다.

(그림 3) 또한, P가 원 O의 외부에 있고, P를 지나는 직선 중 하나가 원 O의 접선이 되는 경우에도, 원과 할선의 교점을 A, B로 하고, 원과 접선의 접점을 T라고 하면,
:$\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}\; =\backslash text\{PT\}^2$
가 성립한다.

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📌 열 고정 해제

점 P가 원 O의 내부에 있는 경우		왼쪽 그림에서 동일한 호에 대한 원주각은 서로 같으므로
점 P가 원 O의 외부에 있는 경우		왼쪽 그림에서 원에 내접하는 사각형의 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로
직선 중 하나가 접선인 경우		왼쪽 그림에서 접현 정리에 의해

3.1.1. 두 현에 대한 방멱 정리

원 $\backslash Gamma$의 두 현 $AB$와 $CD$가 $\backslash Gamma$ 내부의 점 $P$에서 만난다고 하자. 그렇다면,
:$PA\backslash cdot\; PB=PC\backslash cdot\; PD$
이다. 특히, 이는 $\backslash Gamma$에 대한 $P$의 방멱의 −1배와 같다.
각 $\backslash angle\; BAD$와 $\backslash angle\; DCB$는 모두 호 $BD$에 대한 원주각이므로,
:$\backslash angle\; BAD=\backslash angle\; DCB$
이다. 각 $\backslash angle\; APD$와 $\backslash angle\; BPC$는 맞꼭지각이므로,
:$\backslash angle\; APD=\backslash angle\; BPC$
이다. 따라서, 삼각형 $\backslash triangle\; PDA$와 $\backslash triangle\; PBC$는 서로 닮음이며, 따라서
:$\backslash frac\{PA\}\{PC\}=\backslash frac\{PD\}\{PB\}$
이다.

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📌 열 고정 해제

점 P가 원 O의 내부에 있는 경우

왼쪽 그림에서 동일한 호에 대한 원주각은 서로 같으므로

3.1.2. 두 할선에 대한 방멱 정리

원 $\backslash Gamma$의 두 현 $AB$와 $CD$의 연장선이 $\backslash Gamma$ 외부의 점 $P$에서 만난다고 할 때, 다음이 성립한다.
:$PA\backslash cdot\; PB=PC\backslash cdot\; PD$
이는 $\backslash Gamma$에 대한 $P$의 방멱과 같다.

3.1.3. 할선과 접선에 대한 방멱 정리

원 $\backslash Gamma$의 현 $AB$의 연장선과 $\backslash Gamma$ 위의 점 $T$에서의 접선 $PT$가 $\backslash Gamma$ 외부의 점 $P$에서 만난다고 하자. 그렇다면,

:$PA\backslash cdot\; PB=PT^2$

이다. 특히, 이는 $\backslash Gamma$에 대한 $P$의 방멱과 같다.

편의상

:$\backslash angle\; PBT=\backslash angle\; PTA$

이다. 또한 삼각형 $PBT$와 $PTA$는 각 $\backslash angle\; P$를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

:$\backslash frac\{PA\}\{PT\}=\backslash frac\{PT\}\{PB\}$

이다.

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📌 열 고정 해제

직선 중 하나가 접선인 경우
왼쪽 그림에서 접현 정리에 의해

3.2. 방멱 정리의 역

직선 $AB$와 $CD$가 점 $P$에서 만나고, $\backslash overrightarrow\{PA\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PB\}=\backslash overrightarrow\{PC\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PD\}$를 만족시킨다면, $A,B,C,D$는 공원점이다.

편의상 $C$가 직선 $AB$ 위의 점이 아니라고 하자. 점 $A,B,C$를 지나는 원 $\backslash Gamma$가 직선 $CD$와 점 $D\text{'}$에서 만난다고 하면, 방멱 정리에 의하여 $\backslash overrightarrow\{PA\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PB\}=\backslash overrightarrow\{PC\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{PD\text{'}\}$이므로, $D=D\text{'}$이다.

평면 위에 서로 다른 4점 A, B, C, D가 있고, 직선 AB와 직선 CD가 단 하나의 교점 P를 갖는다고 할때,

*(1) $\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}\; =\backslash text\{PC\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PD\}$
*(2-1) P는 선분 AB의 내부의 점이고, 선분 CD의 내부의 점이기도 하다.
*(2-2) P는 선분 AB의 외부의 점이고, 선분 CD의 외부의 점이기도 하다.

(1)과 (2-1)을 만족시킨다면, 4점 A, B, C, D를 지나는 원(공원점)이 존재하고, P는 이 원의 내부에 있다.

(1)과 (2-2)를 만족시킨다면, 4점 A, B, C, D를 지나는 원이 존재하고, P는 이 원의 외부에 있다.

또한, 평면 위에 서로 다른 3점 A, B, T가 있고, 직선 AB 위에 점 P가 있다고 할 때,

*(3) $\backslash text\{PA\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{PB\}\; =\backslash text\{PT\}^2$
*(4) P는 선분 AB의 외부의 점이다.
*(5) A, B, T는 같은 직선 위에 있지 않다.

(3)과 (4)와 (5)를 만족시킨다면, 3점 A, B, T를 지나는 원(△ABT의 외접원)의 T에서의 접선은 P를 지난다.

어느 경우든, 원래의 정리의 증명을 거꾸로 따라가듯이, 삼각형의 닮음을 이용하여 증명할 수 있다. 조건(2-1), (2-2), (4), (5)를 제거할 수 없다는 것에 주의해야 한다.

3.3. 원의 직교와의 관계

중심이 $O,O\text{'}$이고 반지름이 각각 $r,r\text{'}$인 두 원 $\backslash Gamma,\backslash Gamma\text{'}$에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.

* $\backslash Gamma$와 $\backslash Gamma\text{'}$은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.)
* $\backslash Gamma$에 대한 $O\text{'}$의 방멱은 $\{r\text{'}\}^2$이다.
* $\backslash Gamma$에 대한 $O$의 방멱은 $r^2$이다.

원 $c$의 외부에 있는 임의의 점 $P$에 대해, 원 $c$ 위에 $P$로부터 거리가 같은 두 접점 $T\_1,\; T\_2$가 존재한다. 따라서 중심이 $P$이고 $T\_1$을 지나는 원 $o$는 $T\_2$도 지나며, $c$와 직교하여 만난다.

점 $P$를 중심으로 하는 원의 반지름 $\backslash rho$가 $\backslash sqrt\{\backslash Pi(P)\}$와 다르면, 코사인 법칙을 적용하여 두 원 사이의 교차각 $\backslash varphi$를 얻을 수 있다.

:$\backslash rho^2+r^2-2\backslash rho\; r\; \backslash cos\backslash varphi=|PO|^2$
:$\backslash rightarrow\; \backslash$
\cos\varphi=\frac{\rho^2+r^2-|PO|^2}{2\rho r}=\frac{\rho^2-\Pi(P)}{2\rho r}

($PS\_1$과 $OS\_1$은 원의 접선에 대한 수선이다.)

$P$가 파란색 원 안에 있으면 이고 $\backslash varphi$는 항상 $90^\backslash circ$와 다르다.

각도 $\backslash varphi$가 주어지면, 이차 방정식을 풀어 반지름 $\backslash rho$를 얻을 수 있다.

:$\backslash rho^2-2\backslash rho\; r\; \backslash cos\backslash varphi-\backslash Pi(P)=0$.

4. 심화

4.1. 다르부 곱

두 원 사이의 다르부 곱은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash left|\; A\_1A\_2\; \backslash right|^2-r\_1^2-r\_2^2\; \backslash ,$

여기서 A₁과 A₂는 두 원의 중심이고, r₁과 r₂는 각각의 반지름이다. 점의 멱은 반지름 중 하나가 0인 특수한 경우에 해당한다.

두 원이 직교하면 다르부 곱은 0이 된다.

두 원이 교차하면 다르부 곱은 다음과 같다.

:$2r\_1\; r\_2\; \backslash cos\backslash varphi\; \backslash ,$

여기서 φ는 교차각이다(직교하는 원 절 참조).

4.2. 라게르 정리

라게르는 차수 n인 대수 곡선에 대한 점 P의 방멱을 정의했다. 라게르는 점 P를 지나는 원과 곡선의 교차점까지의 거리의 곱을 지름 d의 n제곱으로 나눈 값으로 정의했고, 이 수가 지름에 관계없이 일정함을 보였다. 대수 곡선이 원일 경우, 이것은 원에 대한 점의 방멱과는 d²의 차이가 있다.

4.3. 유사점

유사점은 원에 대한 슈타이너의 연구에 필수적인 도구이다.

두 원
:$\backslash \; c\_1:\; (\backslash vec\; x\; -\backslash vec\; m\_1)^2-r\_1^2=0,\; \backslash quad\; c\_2:\; (\backslash vec\; x\; -\backslash vec\; m\_2)^2-r\_2^2=0\; \backslash \; .$
이 주어졌을 때, $c\_1$을 $c\_2$로 매핑하는 닮음변환(닮음) $\backslash sigma$는 반지름 $r\_1$을 $r\_2$로 늘리고, 중심 $Z:\backslash vec\; z$는 선 $\backslash overline\{M\_1\; M\_2\}$ 위에 있다. 왜냐하면 $\backslash sigma(M\_1)=M\_2$이기 때문이다. 중심 $Z$가 $M\_1,M\_2$ 사이에 있으면 배율 계수는 $s=-\backslash tfrac\{r\_2\}\{r\_1\}$이다. 다른 경우에는 $s=\backslash tfrac\{r\_2\}\{r\_1\}$이다. 어떤 경우든 다음이 성립한다.
:$\backslash sigma(\backslash vec\; m\_1)=\backslash vec\; z\; +\; s(\backslash vec\; m\_1-\backslash vec\; z)=\backslash vec\; m\_2$.
$s=\backslash pm\backslash tfrac\{r\_2\}\{r\_1\}$를 삽입하고 $\backslash vec\; z$에 대해 풀면 다음을 얻는다.
:$\backslash vec\; z=\; \backslash frac\{r\_1\backslash vec\; m\_2\backslash mp\; r\_2\backslash vec\; m\_1\}\{r\_1\backslash mp\; r\_2\}$.

4.3.1. 두 원의 공통 멱

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📌 열 고정 해제

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📌 열 고정 해제

=\frac{r_1}{r_2}=\frac

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📌 열 고정 해제

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📌 열 고정 해제

\

:$\backslash rightarrow\; \backslash \; |EG\_1|\backslash cdot|EH\_2|=|EH\_1|\backslash cdot|EG\_2|\backslash$

그리고 할선 정리에 의해 (위 참조) 다음 두 방정식을 얻는다.

:$|EG\_1|\backslash cdot|EH\_1|=\backslash Pi\_1(E),\backslash quad\; |EG\_2|\backslash cdot|EH\_2|=\backslash Pi\_2(E)\; .$

이 세 방정식을 결합하면 다음을 얻는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\Pi_1(E)\cdot\Pi_2(E) &=|EG_1|\cdot|EH_1|\cdot|EG_2|\cdot|EH_2| \\
&=|EG_1|^2\cdot|EH_2|^2= |EG_2|^2\cdot|EH_1|^2 \ .
\end{align}

따라서: $$|EG\_1|\backslash cdot|EH\_2|=\; |EG\_2|\; \backslash cdot\; |EH\_1|=\backslash sqrt\{\; \backslash Pi\_1(E)\backslash cdot\backslash Pi\_2(E)\}$$ (직선 $g$와 무관함!).

내적 닮음점 $I$에 대한 유사한 명제도 참이다.

불변량 $\backslash sqrt\{\backslash Pi\_1(E)\backslash cdot\backslash Pi\_2(E)\},\backslash \; \backslash sqrt\{\; \backslash Pi\_1(I)\backslash cdot\backslash Pi\_2(I)\}$는 슈타이너가 두 원의 공통멱 (gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte)이라고 불렀다.

점의 쌍 $G\_1,H\_2$와 $H\_1,G\_2$는 반대 상동 점이다. 점의 쌍 $G\_1,G\_2$와 $H\_1,H\_2$는 상동 점이다.

4.3.2. 두 원에 접하는 원 결정

:$E$를 지나는 두 번째 할선에 대해, 할선 정리에 의해 다음을 얻는다.
:$|EH\_1|\backslash cdot|EG\_2|=\; |EH\text{'}\_1|\backslash cdot|EG\text{'}\_2|$
:네 점 $H\_1,G\_2,H\text{'}\_1,G\text{'}\_2$는 한 원 위에 놓인다.
그리고 유사하게,
: 네 점 $G\_1,H\_2,G\text{'}\_1,H\text{'}\_2$도 한 원 위에 놓인다.
세 원의 근축은 근점으로 만나기 때문에, 다음을 얻는다.
:할선 $\backslash overline\{H\_1H\text{'}\_1\},\backslash ;\backslash overline\{G\_2G\text{'}\_2\}$는 주어진 두 원의 근축에서 만난다.

아래 할선을 위쪽 할선으로 이동하면(다이어그램 참조) 빨간색 원은 주어진 두 원에 접하는 원이 된다. 접하는 원의 중심은 선 $\backslash overline\{M\_1H\_1\},\backslash overline\{M\_2G\_2\}$의 교차점이다. 할선 $\backslash overline\{H\_1H\text{'}\_1\},\; \backslash overline\{G\_2G\text{'}\_2\}$는 점 $H\_1,G\_2$에서 접선이 된다. 접선은 근축 $p$(다이어그램에서 노란색)에서 교차한다.

유사한 고려를 통해 점 $G\_1,H\_2$에서 주어진 원에 접하는 두 번째 접하는 원이 생성된다(다이어그램 참조).

주어진 원에 대한 모든 접하는 원은 선 $g$를 변경하여 찾을 수 있다.

;중심의 위치

$X$가 점 $H\_1,G\_2$에서 주어진 원에 접하는 원의 중심이고 $\backslash rho$가 반지름인 경우:
:$\backslash rho=|XM\_1|-r\_1=|XM\_2|-r\_2$
:$\backslash rightarrow\; \backslash \; |XM\_2|-|XM\_1|=r\_2-r\_1\; .$

따라서, 중심은 다음을 갖는 쌍곡선 위에 놓인다.
:초점 $M\_1,M\_2$,
:꼭짓점 간의 거리 $2a=r\_2-r\_1$,
:중심 $M$은 $M\_1,M\_2$의 중심,
:선형 이심률 $c=\backslash tfrac$

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📌 열 고정 해제

{2} 그리고
:$\backslash \; b^2=e^2-a^2=\backslash tfrac\{|M\_1M\_2|^2-(r\_2-r\_1)^2\}\{4\}$.

외부 접하는 원에 대한 고려는 유사한 결과를 낳는다.

$X$가 점 $G\_1,H\_2$에서 주어진 원에 접하는 원의 중심이고 $\backslash rho$가 반지름인 경우:
:$\backslash rho=|XM\_1|+r\_1=|XM\_2|+r\_2$
:$\backslash rightarrow\; \backslash \; |XM\_2|-|XM\_1|=-(r\_2-r\_1)\; .$

중심은 동일한 쌍곡선 위에 있지만 오른쪽 가지에 놓인다.

아폴로니우스의 문제도 참조하십시오.

5. 역사

야코프 슈타이너가 '방멱'이라는 개념을 처음 사용하였다.

6. 교육과정

야코프 슈타이너가 '방멱'이라는 개념을 처음 사용하였다.

7. 같이 보기

내용	기하학에서 원 C와 점 P의 방멱은 P에서 시작하여 C와 교차하는 선을 따라 측정된 거리의 곱이다.

성질

점 P가 원 내부에 있는 경우	방멱은 음수이다.
점 P가 원 외부에 있는 경우	방멱은 양수이다.
점 P가 원 위에 있는 경우	방멱은 0이다.

응용

활용	원의 방정식을 구하거나, 원과 관련된 문제를 해결하는 데 활용된다.

관련 정리

연관된 정리	할선 정리 접선-할선 정리 두 현 정리

역사

어원	"방멱"이라는 용어는 "힘" 또는 "능력"을 의미하는 한자어에서 유래되었다.