곡면 종수

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1. 개요
2. 위상수학
3. 대수기하학
4. 미분기하학
5. 성질
참조

1. 개요

곡면 종수는 곡면을 자르지 않고 그릴 수 있는 닫힌 곡선의 최대 개수 또는 곡면에 있는 "손잡이"의 개수를 나타내는 정수로, 위상수학, 대수기하학, 미분기하학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념이다. 유향 곡면의 경우 종수는 손잡이의 개수를 의미하며, 비가향 곡면의 경우 교차모의 수를 나타낸다. 매듭, 손잡이 다양체, 그래프 등에서도 종수의 개념이 확장되어 사용되며, 대수기하학에서는 산술 종수와 기하 종수로 정의된다. 미분기하학에서는 코보디즘 환 준동형 사상을 통해 종수를 정의하며, 2차원 연결 콤팩트 다양체는 종수에 의해 완전히 분류된다.

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곡면 종수
정의
종수 (수학)	곡면의 "구멍" 수
곡면 종수
정의	곡면의 위상적 성질을 나타내는 정수
설명	곡면이 구에 비해 얼마나 많은 "구멍"을 가지고 있는지를 나타냄
종류별 종수
구	0
원환면 (토러스)	1
이중 원환면	2
활용
대수기하학	대수 곡선의 중요한 불변량
리만 곡면	리만 곡면의 위상적 분류에 사용

2. 위상수학

위상수학에서 종수는 연결된 유향 곡면의 위상적 특성을 분류하는 데 사용되는 중요한 불변량이다. 종수는 곡면에서 서로 교차하지 않고 곡면을 분리하지 않으면서 절단할 수 있는 최대 횟수를 나타낸다.^[1] 이는 곡면에 있는 손잡이의 수와 같으며, 오일러 지표를 사용하여 정의할 수도 있다. 닫힌 곡면의 경우 $\chi=2-2g$ 이며, 여기서 $g$ 는 종수이다. 경계 성분 $b$ 를 가진 곡면의 경우, 이 식은 $\chi=2-2g-b$ 가 된다.

구는 종수가 0이고, 토러스는 종수가 1이다.

"위상수학자는 도넛과 커피 잔을 구별할 수 없는 사람들이다"라는 농담은 이러한 위상 동형 관계에서 비롯되었다.

연결된 비가향 닫힌 곡면의 '''비가향 종수'''는 구에 부착된 교차 덮개의 수를 나타내는 양의 정수이다. 실사영 평면은 비가향 종수 1을, 클라인 병은 비가향 종수 2를 갖는다.

매듭의 종수는 매듭에 대한 모든 자이페르트 곡면의 최소 종수로 정의된다.^[2] 핸들바디의 종수는 핸들바디를 분리하지 않고 매장된 원판을 따라 절단할 수 있는 최대 횟수를 나타내며, 이는 핸들의 수와 같다.

그래프의 종수는 그래프를 교차 없이 그릴 수 있는 최소 종수의 유향 곡면의 종수로 정의된다. 평면 그래프는 종수가 0이다. 그래프의 비방향성 종수는 그래프를 교차 없이 그릴 수 있는 최소 종수의 비가향 곡면의 종수로 정의된다. 위상적 그래프 이론에는 군의 종수에 대한 여러 정의가 있으며, 그래프 종수 문제는 NP-완전 문제이다.^[4]

2. 1. 유향 곡면

연결된 유향 닫힌 곡면의 종수는 곡면을 자르지 않고 그릴 수 있는 닫힌 곡선의 최대 개수를 나타내는 정수이다.^[8] 또는 곡면에 있는 "손잡이"의 개수로 생각할 수도 있다. 2차원 연결 다양체

\Sigma

가 2차원 원환면(

\mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb S^1

)의 연결합과 위상 동형이면,

\Sigma \cong (\mathbb T^2)^{\#g}

가 되고, 이 경우

\Sigma

의 종수는

g\in\mathbb N

이다.

닫힌 곡면의 경우, 오일러 지표 χ를 사용하여 종수 g를 정의할 수도 있다. 닫힌 곡면의 경우 χ = 2 - 2g이며, b개의 경계 성분을 갖는 곡면의 경우 χ = 2 - 2g - b이다. 간단히 말해, 유향 곡면의 종수 값은 "구멍"의 수와 같다.^[9] 원환면은 구멍이 1개, 구는 0개이다.

예시는 다음과 같다.

구 '''S'''²와 원판은 모두 종수가 0이다.
원환면은 손잡이가 있는 커피 잔의 곡면과 마찬가지로 종수 1을 가진다. 이것은 "위상수학자들은 커피잔과 도넛을 구분할 수 없는 사람들이다."라는 농담의 출처이다.

종수 ''g''인 곡면의 명시적 구성은 기본 다각형에 대한 문서에 나와 있다.

2. 2. 비가향 곡면

비가향 닫힌 연결 곡면의 '''비가향 종수'''(또는 '''반종수''', '''오일러 종수''')는 구에 연결된 교차모의 수를 나타내는 양의 정수이다. 오일러 지표 χ를 사용하여 닫힌 곡면에 대해 정의할 수도 있으며, 이때 χ = 2 − ''k''의 관계를 가지며, 여기서 ''k''는 비가향 종수이다.

예를 들어:

실사영 평면은 비가향 종수 1을 갖는다.
클라인 병은 비가향 종수 2를 갖는다.

2. 3. 매듭

매듭 ''K''의 종수는 ''K''에 대한 모든 자이페르트 곡면의 최소 종수로 정의된다.^[10]^[2] 매듭의 자이페르트 곡면은 경계가 있는 다양체이며, 그 경계는 매듭과 위상 동형이고 단위 원과 같다. 이러한 곡면의 종수는 경계를 따라 단위 원판을 붙여서 얻은 2차원 다양체의 종수로 정의된다.

2. 4. 손잡이 다양체

3차원 핸들바디의 '''종수'''는 결과 다양체를 분리하지 않고 매장된 원판을 따라 최대 절단 수를 나타내는 정수이다. 이는 손잡이의 수와 같다.

예를 들어:

대상	종수
공	0
토러스체 $D^2\times S^1$	1

2. 5. 그래프 이론

그래프의 '''종수'''는 그래프를 교차 없이 그릴 수 있는 최소 종수의 유향 곡면의 종수로 정의된다. 평면 그래프는 종수가 0이다.^[11]

그래프의 '''비방향성 종수'''는 그래프를 교차 없이 그릴 수 있는 최소 종수의 비가향 곡면의 종수로 정의된다.^[11]

위상적 그래프 이론에는 군의 종수에 대한 몇 가지 정의가 있다. 아서 T. 화이트(Arthur T. White)는 군 ''G''의 종수를 ''G''에 대한 (연결된, 무방향) 케이리 그래프의 최소 종수로 정의하는 개념을 도입했다.^[3]

그래프 종수 문제는 NP-완전 문제이다.^[12]^[4]

3. 대수기하학

사영 대수 스킴 ''X''의 '''종수'''에는 산술 종수와 기하 종수^[13] 두 가지 정의가 있다. ''X''가 대수 곡선이고 특이점이 없으면, 이 정의들은 ''X''의 리만 곡면 (복소 다양체)에 적용된 위상수학적 종수의 정의와 일치한다. 예를 들어, 대수 기하학에서 타원 곡선의 정의는 주어진 유리점이 있는 종수 1의 비특이 사영 곡선과 연결된다.^[5]

리만-로흐 정리에 따르면, 기약 평면 $d$ 차 곡선 단면 $s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d))$ 의 영점 궤적에 의해 주어진 기하학적 종수를 갖는다.

: $g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s$

여기서 ''s''는 적절하게 계산된 특이점의 수이다.

4. 미분기하학

미분기하학에서, 유향 다양체 $M$ 의 종수는 다음 조건을 만족하는 복소수 $\Phi(M)$ 로 정의할 수 있다.

$\Phi(M_{1}\amalg M_{2})=\Phi(M_{1})+\Phi(M_{2})$
$\Phi(M_{1}\times M_{2})=\Phi(M_{1})\cdot \Phi(M_{2})$
$M_{1}$ 과 $M_{2}$ 가 코보더트이면 $\Phi(M_{1})=\Phi(M_{2})$ 이다.

다시 말해,

\Phi

는 톰의 유향 코보디즘 환

R\to\mathbb{C}

에 대한 환 준동형 사상이다.^[6]

종수

\Phi

는

\log_{\Phi}

가

\log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt

와 같은 타원 적분이고,

\delta,\varepsilon\in\mathbb{C}

인 경우, 연결된 콤팩트 구조를 가진 스피너 다양체의 모든 번들에 대해 곱셈적이다. 이 종수를 타원 종수라고 한다.

오일러 지표

\chi(M)

는 코보디즘에 대해 불변이지 않기 때문에 이러한 의미의 종수는 아니다.

5. 성질

2차원 연결 콤팩트 다양체는 종수로 완전히 분류된다. 2차원 연결 콤팩트 다양체의 오일러 지표는 다음과 같다.

: $\chi(\Sigma)=2-2g(\Sigma)$

종수는 물체가 가진 "구멍"의 수이다("구멍"은 도넛 구멍처럼 해석).^[1]

예를 들어:

구 $S^2$ 와 원판은 모두 종수 0을 갖는다.
토러스는 커피 잔의 표면과 마찬가지로 종수 1을 갖는다. "위상수학자는 도넛과 커피 잔을 구별할 수 없는 사람들이다"라는 농담은 여기서 나왔다.

연결된 비가향 닫힌 곡면의 '''비가향 종수'''는 구에 부착된 교차 덮개의 수를 나타내는 양의 정수이다. 오일러 지표 χ를 사용하여 닫힌 곡면에 대해 정의할 수 있으며, 이때 χ = 2 − ''k'' (''k''는 비가향 종수)이다.

예를 들어:

실사영 평면은 비가향 종수 1을 갖는다.
클라인 병은 비가향 종수 2를 갖는다.

연결된 향 가 능닫힌 곡면 S의 '''종수'''는, 그 절단에 의해 생기는 다양체가 연결된 채로 남는 단순한 닫힌 곡선을 따라 절단하는 최대 횟수를 나타내는 정수이다. 종수는 그 닫힌 곡면의 핸들의 수와 같다. 오일러 지표 χ를 사용하여 정의할 수도 있으며, 종수를 ''g''로 했을 때, 닫힌 곡면에서는 χ = 2 − 2''g''가 성립한다. ''b''개의 경계 성분을 갖는 곡면에서는 χ = 2 − 2''g'' − ''b''가 된다.

이때 S의 베티 수는 2g이다.

:

H_1(S,\mathbb{Z}) = \mathbb Z^{2g}

연결된 가향 불가능닫힌 곡면의 '''종수'''는 구면에 붙은 크로스 캡의 수를 나타내는 양의 정수이다. 오일러 지표 χ를 사용하여 정의할 수도 있으며, 가향 불가능 종수를 ''k''라고 할 때 ''χ = 2 − k''가 성립한다.

참조

_[1] 웹사이트 Genus http://mathworld.wol[...] 2021-06-04
_[2] 서적 The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots American Mathematical Society
_[3] 서적 Graphs on surfaces
_[4] 논문 The graph genus problem is NP-complete
_[5] 서적 Topological methods in algebraic geometry Springer-Verlag
_[6] 문서 Charles Rezk - Elliptic cohomology and elliptic curves (Felix Klein lectures, Bonn 2015. Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana, IL)
_[7] 논문 Genus trace reveals the topological complexity and domain structure of biomolecules 2018-12-03
_[8] 서적 Topology Prentice Hall
_[9] 웹인용 Genus http://mathworld.wol[...] 2021-06-04
_[10] 인용 Colin Adams (mathema[...] American Mathematical Society
_[11] 서적 Graphs on surfaces
_[12] 저널 The graph genus problem is NP-complete
_[13] 서적 Topological methods in algebraic geometry Springer-Verlag
_[14] 문서 Charles Rezk - Elliptic cohomology and elliptic curves (Felix Klein lectures, Bonn 2015. Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana, IL)

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