보렐 합

1. 개요

보렐 합은 급수를 합산하는 방법으로, 약한 보렐 합과 보렐 적분 합의 두 가지 주요 유형이 있다. 약한 보렐 합은 급수의 부분합을 사용하여 정의되며, 보렐 적분 합은 보렐 변환을 통해 정의된다. 보렐 합은 수렴하는 급수에 대해서는 통상적인 합과 동일한 값을 가지며, 수렴하지 않는 급수에도 합을 부여할 수 있다.

보렐 합의 수렴 영역은 별 모양 영역이며, 급수의 특이점에 의해 결정되는 보렐 다각형으로 나타낼 수 있다. 왓슨의 정리와 카를레만의 정리는 보렐 합이 점근 급수의 최상의 합을 생성한다는 것을 보여준다. 보렐 합은 양자장론, 특히 섭동 이론에서 중요한 역할을 하며, 일반화된 형태로 미타그-레플러 합과 Nachbin 재합 등이 있다.

2. 정의

급수
:$a(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kz^k$
가 있다고 하자. 이 급수의 보렐 변환(Borel transform^영어)은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathcal\; Ba(t)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_nt^n\}\{n!\}$

만약 보렐 변환 $\backslash mathcal\; Ba$가 충분히 작은 $t$에 대하여 수렴하고, 이를 모든 양의 실수값으로 해석적 연속할 수 있다면, 보렐 합을 정의할 수 있다. 보렐 합에는 약한 보렐 합과 보렐 적분 합 등 여러 방법이 있으며, 적용 가능한 급수의 범위는 다르지만, 같은 급수에 대해 이 방법들을 사용하여 총합을 구했을 때 수렴한다면 같은 값을 제공한다.

2.1. 약한 보렐 합

급수 $a(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kz^k$가 있다고 하자. 이 급수의 약한 보렐 합(weak Borel sum^영어)은 다음과 같다.

:$\backslash lim\_\{t\backslash to\backslash infty\}\backslash exp(-t)\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{t^n\}\{n!\}\backslash sum\_\{k=0\}^na\_kz^k$

약한 보렐 합이 존재하는 급수를 약하게 보렐 가합 급수(weakly Borel-summable series^영어)라고 한다.

$A\_n(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; a\_k\; z^k$을 부분합이라고 하자. 보렐 합의 약한 형태는 $A\_n(z)$의 보렐 합을 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash lim\_\{t\backslash rightarrow\backslash infty\}\; e^\{-t\}\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{t^n\}\{n!\}A\_n(z).$

만약 이것이 $z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$에서 어떤 함수 $a(z)$로 수렴하면, $A(z)$의 약한 보렐 합이 $z$에서 수렴한다고 말하며, $\{\backslash textstyle\; \backslash sum\}\; a\_kz^k\; =\; a(z)\; \backslash ,\; (\backslash boldsymbol\{wB\})$라고 쓴다.

2.2. 보렐 적분 합

다음과 같은 급수
:$a(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kz^k$
가 있다고 하자. 이 급수의 보렐 변환(Borel transform^영어)은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash mathcal\; Ba(t)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_nt^n\}\{n!\}$
만약 보렐 변환 $\backslash mathcal\; Ba$가 충분히 작은 $t$에 대하여 수렴하고, 이를 모든 양의 실수값으로 해석적 연속할 수 있다면, $a(z)$의 보렐 합은 다음과 같다.
:$\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(-t)\backslash mathcal\; Ba(tz)\backslash ,dt$
보렐 합이 존재하는 급수를 보렐 가합 급수(Borel-summable series^영어)라고 한다. 이는 $\backslash mathcal\{B\}A(z)$의 라플라스 변환을 나타낸다.

만약 이 적분이 어떤 $z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$에서 $a(z)$로 수렴한다면, $A$의 보렐 합이 $z$에서 수렴한다고 말하며, $\{\backslash textstyle\; \backslash sum\}\; a\_kz^k\; =\; a(z)\; \backslash ,(\backslash boldsymbol\; B)$라고 쓴다.

2.3. 해석적 연속을 이용한 보렐 적분 합

다음과 같은 급수
:$a(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kz^k$
가 있다고 하자. 이 급수의 보렐 변환(Borel transform^영어)은 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\; Ba(t)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{a\_nt^n\}\{n!\}$
만약 보렐 변환 $\backslash mathcal\; Ba$가 충분히 작은 $t$에 대하여 수렴하고, 이를 모든 양의 실수값으로 해석적 연속할 수 있다면, $a(z)$의 보렐 합은 다음과 같다.
:$\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(-t)\backslash mathcal\; Ba(tz)\backslash ,dt$
이는 보렐 적분 총합법과 유사하지만, 모든 $t$에 대해 보렐 변환이 수렴하는 것까지는 요구하지 않으며, 해석적으로 양의 실수 축을 따라 연장될 수 있다는 점이 다르다.

3. 성질

보렐 합은 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

* 수렴하는 급수의 경우 보렐 합과 약한 보렐 합이 존재하며, 이는 통상적인 합과 같다.
* 모든 약하게 보렐 가합 급수는 보렐 가합 급수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

3.1. 정규성

보렐 합은 급수가 수렴하는 경우, 통상적인 합과 같은 값을 갖는다. 즉, 보렐 합은 통상적인 합의 확장이다.

보렐 합의 정규성은 적분 순서 변경을 통해 쉽게 확인할 수 있는데, 이는 절대 수렴으로 인해 유효하다. 만약 `A(z)` 가 `z`에서 수렴한다면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$A(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; z^k\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; \backslash left(\; \backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; e^\{-t\}t^k\; dt\; \backslash right)\; \backslash frac\{z^k\}\{k!\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\backslash infty\; e^\{-t\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; \backslash frac\{(tz)^k\}\{k!\}dt,$

여기서 가장 오른쪽 식은 정확히 `z`에서의 보렐 합이다.

보렐 합과 약-보렐 합(wB)의 정규성은 이러한 방법들이 `A(z)`에 대한 해석적 확장을 제공함을 의미한다.

3.2. 약한 보렐 합과 보렐 합의 관계

어떤 급수 $A(z)$가 $z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$에서 약-보렐 총화 가능하면, 항상 같은 점 $z$에서 보렐 총화 가능하다. 그러나 약-보렐 총화법으로는 발산하고 보렐 총화 가능한 급수의 예를 구축할 수 있다. 다음 정리는 두 방법이 어떤 조건 하에서 동등해지는지를 보여준다.

:정리
:$A(z)$를 형식적 멱급수라 하고, $z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$를 고정한다. 이때:
:# (<wB>)의 의미로 $\backslash sum\; a\_\{k\}z^\{k\}\; =\; a(z)$이면, (<B>)의 의미로 $\backslash sum\; a\_\{k\}z^\{k\}\; =\; a(z)$이다.
:# (<B>)의 의미로 $\backslash sum\; a\_\{k\}z^\{k\}\; =\; a(z)$이고, $\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; \backslash infty\}\; e^\{-t\}\; \backslash mathcal\{B\}(A)(tz)\; =\; 0$이면, (<wB>)의 의미로 $\backslash sum\; a\_\{k\}z^\{k\}\; =\; a(z)$이다.

3.3. 다른 합산 방법과의 관계

B^영어는 미타그-레플러 합에서 α^영어 = 1인 특수한 경우이다. wB^영어는 일반화된 오일러 합 방법 (E,q)^영어의 극한 경우로 볼 수 있는데, q → ∞^영어일 때 (E,q)^영어 방법의 수렴 영역이 (B)^영어의 수렴 영역까지 수렴한다는 의미이다.

4. 유도

우선, 모든 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.
:$\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(-t)t^n\backslash ,dt=\backslash Gamma(n+1)=n!$
따라서, 급수에 이 적분을 삽입한 뒤, 적분과 합의 순서를 바꾸면 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nz^n\backslash ,dt=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nz^n\backslash int\backslash exp(-t)t^n\backslash ,\; dt/n!$
::$=\backslash int\backslash exp(-t)\backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty(tz)^n/n!\backslash right)\backslash ,dt=\backslash int\backslash exp(-t)\backslash mathcal\; Ba(tz)\backslash ,dt$
급수가 수렴한다면 적분과 합의 순서를 바꿀 수 있고, 따라서 보렐 합이 급수의 합과 같게 된다.

5. 역사

에밀 보렐이 1899년 도입하였다. 당시 무명의 젊은 수학자였던 보렐은 그가 발견한 합 방법이 여러 고전적으로 발산하는 급수들을 ‘옳게’ 계산할 수 있다는 사실을 발견하고, 당시 복소해석학의 최고봉이었던 미타그레플레르를 뵈러 스톡홀름을 방문하였다. 미타그레플레르는 보렐의 설명을 정중히 듣고는, 자신의 지도 교수였던 바이어슈트라스 전집을 가리키며 라틴어로 ‘교수님께서 이를 금지하셨다.’라고 말하였다고 전해진다.

6. 유일성 정리

주어진 점근 전개를 갖는 다양한 함수는 항상 많다. 그러나 유한 차원 근사에서 오차가 어떤 영역에서 가능한 한 작다는 의미에서 최상의 함수가 있는 경우가 있다. 왓슨의 정리와 카를레만의 정리는 보렐 합이 이러한 급수의 최상의 합을 생성한다는 것을 보여준다.

6.1. 왓슨의 정리

함수 f^영어가 특정 조건을 만족하는 점근 급수를 가질 때, 보렐 합이 그 함수를 유일하게 결정한다는 정리이다.

함수 f^영어가 다음 두 조건을 만족한다고 가정하자.

# 어떤 양의 상수 R^영어과 ε^영어이 존재하여, 영역 {{abs^영어 및 {{abs^영어에서 f^영어가 정칙 함수이다.
# 어떤 상수 C^영어가 존재하여, 앞서 언급한 영역의 임의의 점 z^영어에서

::$$
\left\vert f(z) - a_{0} - a_{1}z - \cdots - a_{n-1}z^{n-1} \right\vert
< C^{n+1}n! \left\vert z \right\vert^{n}


::을 만족하는 점근 전개 a₀ + a₁z + …^영어를 가진다.

이때, 이 영역에서 f^영어는 점근 급수의 보렐 합에 의해 주어진다는 것이 왓슨의 정리의 주장이다. 더 정확하게는, 보렐 변환된 급수가 원점의 근방에서 수렴하고, 양의 실수축을 따라 해석적 연장이 가능하며, 보렐 합 (B)을 정의하는 적분은 이 영역에서 f(z)^영어로 수렴한다.

조금 더 일반적인 경우, f^영어의 점근 전개에 대한 오차 평가를 n!^영어에서 (kn)!^영어으로 완화하더라도, 영역 조건을 {{abs^영어로 강화함으로써 f(z)^영어를 결정할 수 있다. 이것이 최상의 평가이며, kπ/2^영어를 더 작은 숫자로 대체하면 반례가 존재한다.

6.2. 카를레만의 정리

카를레만의 정리는 함수가 특정 조건을 만족하는 점근 급수를 가질 때, 그 함수가 유일하게 결정된다는 정리이다.

카를레만의 정리는 유한 차수 근사에서의 오차가 너무 빨리 증가하지 않는다는 조건 하에, 함수가 부채꼴 영역에서 점근 급수에 의해 고유하게 결정됨을 보여준다. 더 정확히 설명하면 다음과 같다.

* `f`가 부채꼴 영역 (z의 실수부가 0보다 큰 영역)의 내부에서 해석적이다.
* 이 영역에서 모든 음이 아닌 정수 `n`에 대해 (<|b_nzⁿ|)가 성립한다.

이때, 급수 (1/`b`₀ + 1/`b`₁ + ...)가 발산하면 `f`는 0이다.

카를레만의 정리는 항이 너무 빨리 증가하지 않는 모든 점근 급수에 대한 합산 방법을 제공하며, 해당 합은 적절한 부채꼴 영역에서 이 점근 급수를 갖는 유일한 함수로 정의될 수 있다(존재하는 경우). 보렐 합은 (b_n = cn, c는 상수)일 때의 특수한 경우보다 약간 약하다. 더 일반적으로, 예를 들어 (b_n = c'n log n) 또는 (b_n = c'n log n log log n)와 같이 숫자 `b`_`n`을 약간 더 크게 설정하여 보렐의 방법보다 약간 더 강력한 합산 방법을 정의할 수 있다. 실제로는 이 일반화는 거의 쓸모가 없는데, 보렐의 방법으로도 합산할 수 없는 이 방법으로 합산 가능한 급수의 자연스러운 예가 거의 없기 때문이다.

7. 예시

기하급수 $a(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; z^k$는 이면 수렴하지만, 그 밖에서는 발산한다. 이 급수의 보렐 변환은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; Ba(t)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{t^n\}\{n!\}=\backslash exp\; t$

따라서 기하급수의 보렐 합은 다음과 같다.

:$\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(t(z-1))\backslash ,dt=1/(1-z)$

이는 인 경우 수렴한다. 즉, 수열이 수렴하는 범위가 더 넓어진다.

함수 f^영어는 점근 급수 0 + 0z + ... 를 가지며, 오차 범위는 영역에서 위에 주어진 형태를 갖는다. 여기서 이지만, 점근 급수의 보렐 합으로는 주어지지 않는다. 이는 왓슨 정리에서 숫자 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$를 더 작은 숫자로 대체할 수 없음을 보여준다(오차에 대한 경계가 더 작아지지 않는 한).

7.1. 기하 급수

기하급수 $a(z)=\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; z^k$는 이면 수렴하지만, 그 밖에서는 발산한다. 이 급수의 보렐 변환은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; Ba(t)=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{t^n\}\{n!\}=\backslash exp\; t$

따라서 기하급수의 보렐 합은

:$\backslash int\_0^\backslash infty\backslash exp(t(z-1))\backslash ,dt=1/(1-z)$

이며, 이는 인 경우 수렴한다. 즉, 수열이 수렴하는 범위가 더 넓어진다.

다른 방식으로 표현하면 다음과 같다.

:$A(z)\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\backslash infty\; z^k,$

이 급수는 일 때 $1/(1-z)$로 수렴한다. 보렐 변환은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{B\}A(tz)\; \backslash equiv\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{z^k\}\{k!\}t^k\; =\; e^\{zt\},$

이로부터 보렐 합을 얻을 수 있다.

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-t\}\backslash mathcal\{B\}A(tz)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-t\}\; e^\{tz\}\; \backslash ,\; dt\; =\backslash frac\{1\}\{1-z\}$

이 보렐 합은 인 더 넓은 영역에서 수렴하며, 이는 원래 급수의 해석적 연속을 제공한다.

7.2. 교대 팩토리얼 급수

다음 급수를 고려해 보자.

:$A(z)\; =\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\backslash infty\; k!(-1)^k\; \backslash cdot\; z^k,$

이 급수는 z = 0을 제외한 모든 복소수 z에 대해 수렴하지 않는다. 이 급수의 보렐 변환은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{B\}A(t)\; \backslash equiv\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(-t\backslash right)^k\; =\; \backslash frac\{1\}\{1+t\}$

t < 1 에 대해, 이 식은 모든 t ≥ 0 로 해석적 연장이 가능하다. 따라서 보렐 합은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-t\}\backslash mathcal\{B\}A(tz)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{e^\{-t\}\}\; \{1+tz\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\; 1\; z\; \backslash cdot\; e^\{1/z\}\; \backslash cdot\; \backslash Gamma\backslash left(0,\backslash frac\; 1\; z\; \backslash right)$

(여기서 Γ는 불완전 감마 함수이다.)

이 적분은 모든 z ≥ 0에 대해 수렴하므로, 원래의 발산 급수는 그러한 모든 z에 대해 보렐 합 가능하다. 이 함수는 z가 0으로 향할 때 원래의 발산 급수로 주어지는 점근 전개를 가진다. 이것은 보렐 합이 때때로 발산하는 점근 전개를 "정확하게" 합산한다는 사실의 전형적인 예이다.

다시 말해,

: $\backslash lim\_\{t\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; e^\{-t\}\; (\backslash mathcal\; B\; A)(zt)\; =\; \backslash lim\_\{t\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{e^\{-t\}\}\{1\; +\; zt\}\; =\; 0,$

모든 z에 대해, 등가 정리는 약한 보렐 합이 동일한 수렴 영역 z ≥ 0을 갖도록 보장한다.

7.3. 동등성이 성립하지 않는 예

함수 는^영어 점근 급수 를 가지지만, 이 급수의 보렐 합으로는 주어지지 않는다. 이는 왓슨 정리에서 숫자 를 더 작은 숫자로 대체할 수 없음을 보여준다.

에^영어 주어진 예시를 확장하면, 다음과 같은 급수를 고려할 수 있다.

:

이 급수의 보렐 변환은 다음과 같다.

:

에서 보렐 합은 프레넬 적분을 통해 유한한 값으로 수렴한다.

:

반면, 약한 보렐 합은 인 경우에만 수렴한다.

:

따라서, 이 예시는 약한 보렐 합은 수렴하지만 보렐 합은 발산하지 않는 경우를 보여준다.

8. 수렴 영역

보렐 합의 수렴 영역은 별 모양 영역이다. Borel^영어 다각형은 보렐 합의 수렴 영역을 나타내는 볼록 다각형이다. 이 다각형은 급수의 특이점에 의해 결정된다.

8.1. 현에서의 합산 가능성

형식적 급수 가 에서 보렐 합 가능하면, 를 원점과 연결하는 현 의 모든 점에서도 보렐 합 가능하다. 게다가, 반경 를 갖는 원반 전체에서 해석적인 함수 가 존재하여

:$\{\backslash textstyle\; \backslash sum\}\; a\_kz^k\; =\; a(z)\; \backslash ,\; (\backslash boldsymbol\; B),$

모든 에 대해 성립한다.

이로부터 보렐 합의 수렴 영역이 에서 별 모양 영역이라는 것을 즉시 알 수 있다.

8.2. 보렐 다각형

Borel^영어 다각형은 Borel^영어 합의 수렴 영역을 나타내는 볼록 다각형이다. 이 다각형은 급수의 특이점에 의해 결정된다.

급수 가 수렴 반경이 양수라고 가정하면, 이 급수는 원점을 포함하는 영역에서 해석적이다. 를 의 특이점 집합이라고 하자. 는 가 0에서 까지의 열린 선분을 따라 해석적으로 확장될 수 있지만, 자체로는 확장될 수 없음을 의미한다.

에 대해, 는 선분 에 수직이고 를 지나는 직선을 나타낸다. 에 의해 나눠지는 평면에서 원점과 같은 쪽에 있는 점들의 집합 는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Pi\_P\; =\; \backslash \{z\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}\; \backslash ,\; \backslash colon\; \backslash ,\; Oz\; \backslash cap\; L\_P\; =\; \backslash varnothing\; \backslash \},$

의 보렐 다각형은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Pi\_A\; =\; \backslash operatorname\{cl\}\backslash left(\; \backslash bigcap\_\{P\; \backslash in\; S\_A\}\; \backslash Pi\_P\; \backslash right).$

보렐과 프라그멘(Phragmén)은 다른 정의를 사용하기도 했다. 의 해석적 확장이 가능한 가장 큰 별 모양 영역을 라고 하면, 는 모든 에 대해 지름이 OP인 원의 내부가 에 포함되도록 하는 의 가장 큰 부분 집합이다.

가 유한 개의 특이점만 갖는다면 는 실제로 다각형이 되지만, 그렇지 않은 경우에는 다각형이 아닐 수도 있다.

보렐과 프라그멘의 정리에 따르면, 급수 는 모든 에서 합산 가능하고, 모든 에서 발산한다. 경계점 에서의 합산 가능성은 해당 점의 특성에 따라 달라진다.

예를 들어, 양의 정수 에 대해 ( = 1, 2, …, )가 1의 제곱근을 나타낼 때, 급수

:$$
A(z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} \left(\omega_{1}^{k} + \cdots + \omega_{m}^{k}\right) z^{k}
= \sum_{i = 1}^{m} \frac{1}{1-\omega_{i}z}


는 열린 구 상에서 수렴한다. 이 급수의 보렐 다각형 는 원점을 중심으로 하고, 를 변의 중심으로 하는 정각형이다.

다른 예시로, 멱급수

:$$
A(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^{2^{k}}


는 에서 수렴하지만, 단위 원 상의 조밀한 점들에서 발산하므로, 외부로 해석적으로 확장될 수 없다. 따라서 보렐 다각형은 이 되어, 다각형이 아닌 경우가 된다.

9. 타우버형 정리

타우버 정리는 한 합산 방법의 수렴이 다른 방법의 수렴을 함축하는 조건을 제공한다. 보렐 합산에 대한 주요 타우버 정리는 약한 보렐 방법이 급수의 수렴을 함축하는 조건을 제공한다.

정리 (하디, 1992, 9.13). 만약 A가 (wB)에서 z₀ ∈ C에서 합산 가능하다면, $\{\backslash textstyle\; \backslash sum\}a\_kz\_0^k\; =\; a(z\_0)\; \backslash ,\; (\backslash boldsymbol\{wB\})$이고,

::$a\_kz\_0^k\; =\; O(k^\{-1/2\}),\; \backslash qquad\; \backslash forall\; k\; \backslash geq\; 0,$

그러면 $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_kz\_0^k\; =\; a(z\_0)$이고, 급수는 모든 z < z₀에 대해 수렴한다.

10. 응용

보렐 합은 섭동 전개에서 양자장론에 적용된다. 특히 2차원 유클리드 장론에서 슈윙거 함수는 보렐 합을 사용하여 섭동 급수로부터 종종 복원될 수 있다. 보렐 변환의 일부 특이점은 양자장론의 인스턴톤과 재규격화자와 관련이 있다.

11. 일반화

보렐 합은 계수가 너무 빠르게 증가하지 않아야 적용할 수 있다. 더 정확하게는, a_n은 어떤 C에 대해 n!Cⁿ⁺¹로 제한되어야 한다. 팩토리얼 n!을 어떤 양의 정수 k에 대한 (kn)!로 대체하는 보렐 합의 변형이 있으며, 이는 어떤 C에 대해 (kn)!Cⁿ⁺¹로 제한되는 a_n을 가진 일부 급수의 합을 가능하게 한다. 이러한 일반화는 Mittag-Leffler 합에 의해 제공된다.

가장 일반적인 경우, 보렐 합은 Nachbin 재합에 의해 일반화되며, 이는 제한 함수가 지수 함수 대신 어떤 일반적인 유형(psi-type)일 때 사용할 수 있다.