헤그너 수

1. 개요

헤그너 수는 레온하르트 오일러가 제시한 소수 생성 다항식과 관련된 수로, 라마누잔 상수를 비롯한 거의 정수와 연관되어 있다. 헤그너 수는 7, 11, 19, 43, 67, 163이 있으며, 이 수들은 j-불변량과 원주율 공식, 그리고 다른 대수적 수에 의한 근사를 통해 정수에 가까운 값을 생성한다. 또한, 허수 이차수체가 유수 2를 갖는 수와 연속 소수 생성과도 관련이 있다.

2. 오일러의 소수 생성 다항식

레온하르트 오일러는 1772년에 $n^2\; +\; n\; +\; 41$ 식이 $n\; =\; 0,\; \backslash cdots,\; 39$에 대해 소수가 됨을 지적하였다. 이 다항식은 헤그너 수 $163\; =\; 4\; \backslash cdot\; 41\; -\; 1$과 관련이 있다. 라비노비츠는 $n^2\; +\; n\; +\; p$ 꼴의 다항식이 그 판별식의 절댓값 $4p\; -\; 1$이 헤그너 수일 때만 이러한 성질을 가짐을 증명하였다.

따라서 $p\; =\; 2,\; 3,\; 5,\; 11,\; 17,\; 41$(각각 헤그너 수 7, 11, 19, 43, 67, 163에 대응)에 대해, $n^2\; +\; n\; +\; p$ 꼴의 다항식은 $n\; =\; 0,\; \backslash cdots,\; p-2$일 때 소수가 된다. (참고로 $p-1$은 $p^2$을 생성하므로, $p-2$가 최대이다.)

1, 2, 3은 요구되는 형태가 아니므로, 유효한 헤그너 수는 7, 11, 19, 43, 67, 163이며, 이는 2, 3, 5, 11, 17, 41에 대한 오일러 형태의 소수 생성 함수를 생성한다. 이 숫자들은 F. 르 리오네에 의해 오일러의 럭키 넘버라고 불린다.

3. 라마누잔 상수와 거의 정수

라마누잔 상수는 초월수 $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}$를 의미하며, 정수에 매우 가까운 값을 가진다.
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\; =\; 262\backslash ,537\backslash ,412\backslash ,640\backslash ,768\backslash ,743.999\backslash ,999\backslash ,999\backslash ,999\backslash ,25\backslash ldots\backslash approx\; 640\backslash ,320^3+744.$

이 수는 1859년 수학자 샤를 에르미트에 의해 발견되었다. 1975년 사이언티픽 아메리칸 잡지의 만우절 기사에서 "수학 게임" 칼럼니스트 마틴 가드너는 이 수가 사실 정수이며, 인도의 수학 천재 스리니바사 라마누잔이 이를 예측했다고 주장하는 거짓말을 했다. 하지만 이는 과학적 사실을 왜곡하여 대중을 현혹하는 가짜 뉴스의 일종으로, 주의해야 한다.

이러한 현상은 j-불변량의 q-전개를 통해 설명할 수 있다. j-불변량과 관련된 상세 설명은 하위 섹션을 참조하면 된다. 다른 헤그너 수에 대해서도 j-불변량을 사용해서 정수에 가까운 값을 생성하는 것이 가능하며, 그 예시는 다음과 같다.

$d\; \backslash le\; 11$일 때는 일차 오류항 $-196,884\; /\; e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{d\}\}$이 1보다 커져서 이러한 성질이 나타나지 않는다.

3.1. j-불변량과 관련된 상세 설명

j-불변량 $j(\backslash tau)$는 복소수 $\backslash tau$에 대한 함수로, 헤그너 수 d에 대해 $\backslash textstyle\; j\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-d\}\}\{2\}\backslash right)$는 정수가 된다. 이 값은 q-전개를 통해 다음과 같이 근사할 수 있다.
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{d\}\}\; \backslash approx\; -j\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-d\}\}\{2\}\backslash right)\; +\; 744$

$\backslash tau$가 이차 무리수일 때, $j(\backslash tau)$는 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash tau)$의 대수적 정수가 된다. 그 차수는 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash tau)$의 유수와 같으며, 이를 만족하는 최소 다항식을 '힐베르트 유수 다항식'이라고 한다. 허수 이차 확장 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash tau)$의 유수가 1이면 (즉, d가 헤그너 수), j-불변량은 정수가 된다.

j의 푸리에 급수 전개는 $q=e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash tau\}$에 대한 로랑 급수로 나타낼 수 있으며, q-전개는 다음과 같이 시작한다.
:$j(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{1\}\{q\}\; +\; 744\; +\; 196\backslash ,884\; q\; +\; \backslash cdots.$

계수 $c\_n$은 $\backslash ln(c\_n)\; \backslash sim\; 4\backslash pi\; \backslash sqrt\{n\}\; +\; O\backslash bigl(\backslash ln(n)\backslash bigr)$와 같이 점근적으로 증가하며, 낮은 차수의 계수는 $200\backslash ,000^n$보다 느리게 증가한다. 따라서 $\backslash textstyle\; q\; \backslash ll\; \backslash frac\{1\}\{200\backslash ,000\}$에 대해 j는 처음 두 항 ($\backslash frac\{1\}\{q\}\; +\; 744$)으로 매우 잘 근사된다.

$\backslash textstyle\backslash tau\; =\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}$로 설정하면, $q=-e^\{-\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}$ 이고 $\backslash frac\{1\}\{q\}=-e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}$이다. 이때 $j\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}\backslash right)=\backslash left(-640\backslash ,320\backslash right)^3$이므로, 다음 식이 성립한다.

:$\backslash left(-640\backslash ,320\backslash right)^3=-e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}+744+O\backslash left(e^\{-\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\backslash right).$

즉, 라마누잔 상수는 다음과 같이 표현된다.

:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}=640\backslash ,320^3+744+O\backslash left(e^\{-\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\backslash right)$

오차의 선형 항은 $\backslash frac\{-196\backslash ,884\}\{e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\}\; \backslash approx\; -0.000\backslash ,000\backslash ,000\backslash ,000\backslash ,75$로 매우 작기 때문에, $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}$이 정수에 매우 가까운 값을 가지는 이유를 설명한다.

4. 원주율(<math>\pi</math>) 공식

추드노프스키 형제가 1987년에 발견한 원주율 공식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{12\}\{640\backslash ,320^\backslash frac32\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(6k)!\; (163\; \backslash cdot\; 3\backslash ,344\backslash ,418k\; +\; 13\backslash ,591\backslash ,409)\}\{(3k)!(k!)^3\; (-640\backslash ,320)^\{3k\}\}$

이 공식은 $j\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}\backslash right)\; =\; -640\backslash ,320^3$이라는 사실을 이용하여 증명할 수 있다. 여기서 $j$는 j-불변량을 의미한다.

이와 비슷한 공식으로 라마누잔-사토 급수가 있다.

5. 기타 헤그너 수의 성질

다른 헤그너 수에 대해서도 j-불변량을 사용해서 정수에 가까운 값을 생성해 내는 것이 가능하다.

* $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{19\}\}\; \backslash approx\; 96^3+744-.22$
* $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{43\}\}\; \backslash approx\; 960^3+744-.00022$
* $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{67\}\}\; \backslash approx\; 5280^3+744-.0000013$

$d\; \backslash le\; 11$일 때는 일차 오류항 $-196,884\; /\; e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{d\}\}$이 1보다 크기 때문에 이러한 성질을 잃는다.

$\backslash tau$가 이차 무리수이면, j-불변량 $j(\backslash tau)$는 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash tau)$의 대수적 정수이며, 그 차수는 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash tau)$의 유수와 같다. 이를 만족하는 최소 다항식을 '힐베르트 유수 다항식'이라고 한다. 허수 이차 확장 $\backslash mathbf\{Q\}(\backslash tau)$의 유수가 1이면(즉, d가 헤그너 수이면), j-불변량은 정수이다.

q-전개는 j의 푸리에 급수 전개를 $q=e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash tau\}$에 대한 로랑 급수로 나타낸 것이다.

:$j(\backslash tau)\; =\; \backslash frac\{1\}\{q\}\; +\; 744\; +\; 196\backslash ,884\; q\; +\; \backslash cdots.$

계수 $c\_n$은 점근적으로 $\backslash ln(c\_n)\; \backslash sim\; 4\backslash pi\; \backslash sqrt\{n\}\; +\; O\backslash bigl(\backslash ln(n)\backslash bigr)$와 같이 증가하며, 낮은 차수의 계수는 $200\backslash ,000^n$보다 느리게 증가한다. 따라서 $\backslash textstyle\; q\; \backslash ll\; \backslash frac\{1\}\{200\backslash ,000\}$에 대해 j는 처음 두 항으로 매우 잘 근사된다. $\backslash textstyle\backslash tau\; =\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}$로 설정하면 $q=-e^\{-\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}$ 이므로,

:$j\backslash left(\backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}\backslash right)=\backslash left(-640\backslash ,320\backslash right)^3,$

:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}=640\backslash ,320^3+744+O\backslash left(e^\{-\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\backslash right)$

이며, 오차의 선형 항은

:$\backslash frac\{-196\backslash ,884\}\{e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{-196\backslash ,884\}\{640\backslash ,320^3+744\}$
\approx -0.000\,000\,000\,000\,75

이므로 $e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{163\}\}$이 정수와 근사적으로 일치한다.

네 개의 가장 큰 헤그너 수에 대한 근사값은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx \phantom{000\,0}96^3+744-0.22\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx \phantom{000\,}960^3+744-0.000\,22\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx \phantom{00}5\,280^3+744-0.000\,0013\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 640\,320^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{align}


또는,

:$\backslash begin\{align\}$
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 12^3\left(3^2-1\right)^3\phantom{00}+744-0.22\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3\left(9^2-1\right)^3\phantom{00}+744-0.000\,22\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3\left(21^2-1\right)^3\phantom{0}+744-0.000\,0013\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3\left(231^2-1\right)^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{align}


여기서 제곱의 이유는 특정 아이젠슈타인 급수 때문이다. 헤그너 수 의 경우, 거의 정수를 얻을 수 없다. 정수 j-불변량은 다음과 같이 인수분해된다.

:$\backslash begin\{align\}$
j\left(\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right) &= \phantom{000\,0}-96^3 = -\left(2^5 \cdot 3\right)^3\\
j\left(\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\right) &= \phantom{000\,}-960^3 = -\left(2^6 \cdot 3 \cdot 5\right)^3\\
j\left(\frac{1+\sqrt{-67}}{2}\right) &= \phantom{00}-5\,280^3 = -\left(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11\right)^3\\
j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)&= -640\,320^3 = -\left(2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29\right)^3.
\end{align}


이러한 초월수는 3차 대수적 수에 의해서도 매우 근사될 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx x^{24}-24.000\,31 ; & x^3-2x-2&=0\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,31 ; & x^3-2x^2-2&=0\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,0019 ; & x^3-2x^2-2x-2&=0\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011 ; &\quad x^3-6x^2+4x-2&=0
\end{align}


근은 모듈러 함수인 데데킨트 에타 함수 η(τ)의 몫으로 정확하게 주어지며, 이는 근사값에서 24를 설명한다. 또한 4차 대수적 수에 의해서도 매우 근사될 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 3^5 \left(3-\sqrt{2\left(1- \tfrac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot19}\right)} \right)^{-2}-12.000\,06\dots\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 3^5 \left(9-\sqrt{2\left(1- \tfrac{960}{24}+7\sqrt{3\cdot43}\right)} \right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 3^5 \left(21-\sqrt{2\left(1- \tfrac{5\,280}{24} +31\sqrt{3\cdot67}\right)} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 3^5 \left(231-\sqrt{2\left(1- \tfrac{640\,320}{24}+2\,413\sqrt{3\cdot163}\right)} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots
\end{align}


만약 $x$가 괄호 안의 표현식을 나타내면, 각각 4차 방정식을 만족한다.

정수 $n\; =\; 3,\; 9,\; 21,\; 231$가 다시 나타나며, 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{96}{24}\right)^2+ 1^2 \cdot3\cdot 19 \right) &= 96^2\\
2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{960}{24}\right)^2+ 7^2\cdot3 \cdot 43 \right) &= 960^2\\
2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{5\,280}{24}\right)^2+ 31^2 \cdot 3\cdot67 \right) &= 5\,280^2\\
2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{640\,320}{24}\right)^2+ 2413^2\cdot 3 \cdot163 \right) &= 640\,320^2
\end{align}


이는 적절한 분수 지수와 함께 정확히 j-불변량이다.

마찬가지로 6차 대수적 수의 경우,

:$\backslash begin\{align\}$
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,010\dots\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,000\,010\dots\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,000\,000\,061\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots
\end{align}


여기서 x는 6차 방정식의 적절한 근으로 주어진다.



j-불변량이 다시 나타난다. 이러한 6차 방정식은 가해 가능하며, 근호로 풀 수 있다. 이러한 대수적 근사는 데데킨트 에타 몫으로 정확하게 표현될 수 있다. 예를 들어, $\backslash textstyle\; \backslash tau\; =\; \backslash frac\{1+\backslash sqrt\{-163\}\}\{2\}$라고 하면,

:$\backslash begin\{align\}$
e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^\frac{\pi i}{24} \eta(\tau)}{\eta(2\tau)} \right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^\frac{\pi i}{12} \eta(\tau)}{\eta(3\tau)} \right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^\frac{\pi i}{6} \eta(\tau)}{\eta(5\tau)} \right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots
\end{align}


여기서 에타 몫은 위에 주어진 대수적 수이다.

6. 유수가 2인 수

허수 이차수체의 유수가 2인 수 88, 148, 232는 헤그너 수는 아니지만, 거의 정수와 유사한 성질을 갖는다.

:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{88\}\}\; +8744\; \backslash approx\; 2508952^2-0.077\backslash dots$
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{148\}\}\; +8744\; \backslash approx\; 199148648^2-0.00097\backslash dots$
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{232\}\}\; +8744\; \backslash approx\; 24591257752^2-0.0000078\backslash dots$
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{22\}\}\; -24\; \backslash approx\; (6+4\backslash sqrt\{2\})^\{6\}\; +0.00011\backslash dots$
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{37\}\}\; +24\; \backslash approx\; (12+\; 2\; \backslash sqrt\{37\})^6\; -0.0000014\backslash dots$
:$e^\{\backslash pi\; \backslash sqrt\{58\}\}\; -24\; \backslash approx\; (27\; +\; 5\; \backslash sqrt\{29\})^6\; -0.0000000011\backslash dots$

7. 연속 소수

홀수 소수 p가 주어졌을 때, $k^2\; \backslash mod\; p$를 $\backslash textstyle\; k=0,1,\backslash dots,\backslash frac\{p-1\}\{2\}$에 대해 계산하면($\backslash left(p-k\backslash right)^2\backslash equiv\; k^2\backslash mod\; p$이므로 충분하다), p가 헤그너 수일 경우에만 연속된 합성수가 나오고 그 다음에 연속된 소수가 나온다.

자세한 내용은 리처드 몰린의 "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields"를 참조.