이차 수체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수 이차 수체
- 2.2. 복소 이차 수체
3. 성질
4. 이차 수체와 다른 분야와의 관계
5. Orders of quadratic number fields of small discriminant
참조

1. 개요

이차 수체는 유리수체에 제곱 인수가 없는 정수 d의 제곱근 √d를 첨가하여 얻어지는 대수적 수체로, 꼴은 ℚ(√d)이다. d > 0이면 실수 이차 수체, d < 0이면 복소 이차 수체라고 부른다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수라고 한다. 이차 수체는 정수환, 판별식, 소수의 분기화, 유수 등 다양한 성질을 가지며, 원분체, 이차 형식, 초등 정수론 등 다른 수학 분야와도 관련이 있다.

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2. 정의

'''이차 수체'''(二次數體)는 유리수체에 제곱 인수가 없는 정수 d(≠ 1)의 제곱근 √d 를 첨가하여 얻어지는 대수적 수체이다. 즉, $\mathbb Q(\sqrt d)$ 의 꼴이다.

만약 $d>0$ 이면 '''실수 이차 수체'''(實數二次數體, real quadratic field^영어)라고 하고, $d<0$ 이면 '''복소 이차 수체'''(複素二次數體, complex quadratic field^영어)라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 '''이차 정수'''(二次整數, quadratic integer^영어)라고 한다.

2. 1. 실수 이차 수체

d

가 양수인 경우, 실수 이차 수체라고 불린다. 유수가

h

인 실수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)

의

d

들의 목록은 다음과 같다.

2. 2. 복소 이차 수체

d

가 음수인 경우, 이차 수체를 복소 이차 수체라고 부른다. 유수가

h

인 허수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt{-d})

의

d

들의 목록은 다음과 같다. 작은

d

에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히

h=1

인 경우를 '''헤그너 수'''라고 한다.

3. 성질

3. 1. 정수환

이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)

의 대수적 정수환은 다음과 같다.

:

\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}\mathbb Z+\frac12(1+\sqrt d)\mathbb Z&d\equiv1\pmod4\\\mathbb Z+\sqrt d\mathbb Z&d\not\equiv1\pmod4\end{cases}

이차 정수는 대수적 정수환의 한 예이다.

임의의 이차체는 갈루아 확대체이며, 갈루아 군은 순환군이 된다. 그 정수환이 노름 유클리드 정역이 되는 이차체

\mathbb{Q}(\sqrt{d})

는, ''d'' = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 뿐이다. 또한, 정수환이 유일 인수 분해 정역이 되는 허 이차체

\mathbb{Q}(\sqrt{d})

는, ''d'' = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 뿐이다.

임의의 이차체 ''K''에 대해, 유리 소수 ''p''는 다음 중 하나를 만족한다.

#

(p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2

(

\mathfrak{p}_1,\ \mathfrak{p}_2

는 서로 다른 ''K''의 소 아이디얼) (이때, ''p''는 ''K''에서 '''완전 분해'''라고 한다.)

#

(p) = \mathfrak{p}^2

(

\mathfrak{p}

는 ''K''의 소 아이디얼) (이때, ''p''는 ''K''에서 '''비분해'''라고 한다.)

#

(p)

는 ''K''의 소 아이디얼이다. (이때, ''p''는 ''K''에서 '''비분기'''라고 한다.)

3. 2. 판별식

이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)

의 판별식은 다음과 같다.^[11]

:

\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d\equiv1\pmod4\\4d&d\not\equiv1\pmod4\end{cases}

이는

d\not\equiv1\pmod4

인 경우에는

:

\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&\sqrt d\\1&-\sqrt d\end{pmatrix}\right)^2=4d

이지만,

d\equiv1\pmod4

인 경우에는

:

\Delta=\left(\det\begin{pmatrix}1&(1+\sqrt d)/2\\1&(1-\sqrt d)/2\end{pmatrix}\right)^2=d

이기 때문이다.

판별식이

\Delta\equiv0,1\pmod4

인 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt\Delta)

의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt\Delta)}=\mathbb Z\left[\frac{\Delta+\sqrt\Delta}2\right]=\begin{cases}\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt\Delta}2\right]&d=\Delta\equiv1\pmod4\\\mathbb Z[\sqrt{\Delta/4}]&4d=\Delta\equiv0\pmod4\end{cases}

0이 아닌 제곱 인수가 없는 정수

d

에 대해,

d

가

4

를 modulo로 하여

1

과 합동이면

d

이고, 그렇지 않으면

4d

이다. 예를 들어,

d

가

-1

이면, 가우스 유리수의 체이고, 판별식은

-4

이다.^[11]

이차 체의 판별식 집합은 정확히 기본 판별식 집합이다(기본 판별식이지만 이차 체의 판별식이 아닌

1

은 제외).^[11]

3. 3. 소수의 분기화

체의 확대 ${\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q}$에서, 유리 소수 $p\in\mathbb Z$는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다.

크로네커 기호 $\left(\tfrac\Delta p\right)=-1$이라면, $(p)$는 $\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}$에서 여전히 소 아이디얼이다.
크로네커 기호 $\left(\tfrac\Delta p\right)=+1$이라면, $(p)$는 $\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}$에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이다.
만약 $p\mid\Delta$라면, $(p)$는 $\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}$의 어떤 소 아이디얼의 제곱이다.

소수 $p$는 이차수체 $K$의 정수환 $\mathcal{O}_K$에 이상 $p\mathcal{O}_K$를 생성한다. 갈루아 확대에서의 소 이상 분해의 일반적인 이론에 따르면, 이는 다음과 같다.^[1]

$p$는 '''비분기'''한다: $(p)$는 소 이상이다. 몫환은 $p^2$개의 원소를 갖는 유한체이다: $\mathcal{O}_K / p\mathcal{O}_K = \mathbf{F}_{p^2}$.
$p$는 '''분기'''한다: $(p)$는 $\mathcal{O}_K$의 서로 다른 두 소 이상들의 곱이다. 몫환은 곱 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K = \mathbf{F}_p\times\mathbf{F}_p$이다.
$p$는 '''분기'''한다: $(p)$는 $\mathcal{O}_K$의 소 이상 제곱이다. 몫환은 0이 아닌 멱영원을 포함한다.

세 번째 경우는 $p$가 판별식 $D$를 나눌 때만 발생한다. 첫 번째와 두 번째 경우는 크로네커 기호 $(D/p)$가 각각 $-1$과 $+1$일 때 발생한다. 예를 들어, $p$가 $D$를 나누지 않는 홀수 소수이면, $D$가 $p$를 법으로 제곱수와 합동일 때만 $p$가 분기한다. 소수 $p$가 소수를 통해 실행될 때, 어떤 의미에서는 발생할 가능성이 동일하다—체보타레프 밀도 정리를 참조하라.^[2]

이차 상호 법칙에 따르면, 이차 체에서 소수 $p$의 분해 행동은 $p$ 모듈로 $D$에만 의존하며, 여기서 $D$는 체의 판별식이다.

$\left(\frac{a}{p}\right)$를 르장드르 기호라고 하면, 다음이 성립한다.

제곱 인수를 갖지 않는 소수 $a$ 와 $2a$ 와 서로소인 소수 $p$ 에 대해,

:

\left(\frac{a}{p}\right) = 1

$\Longleftrightarrow$ $(p)$는 $\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a})$ 상에서 서로 다른 두 개의 소수 아이디얼의 곱으로 나타낼 수 있다.

이로부터, 이차 체 위에서 어떤 소수가 두 개의 소수 아이디얼로 분해되는지를 고찰함으로써, 제곱 잉여의 상호 법칙, 제1 보충 법칙, 제2 보충 법칙을 나타낼 수 있다.

3. 4. 유수 (Class Number)

이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.

이차 수체의 class group을 결정하는 것은 민코프스키 경계와 크로네커 기호를 사용하여 수행할 수 있는데, 이는 class group의 유한성 때문이다.^[3] 이차 체

K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})

는 판별식

\Delta_K = \begin{cases}d & d \equiv 1 \pmod 4 \\4d & d \equiv 2,3 \pmod 4;\end{cases}

을 가지므로 민코프스키 경계는 다음과 같다.^[4]

M_K = \begin{cases}2\sqrt

/\pi & d < 0 \\\sqrt

/2 & d > 0 .\end{cases}

이 경우, 아이디얼 유군은 노름이

M_K

보다 작은 소 아이디얼에 의해 생성된다. 이는

|p| < M_k

인 소수

p \in \mathbf{Z}

에 대한 아이디얼

(p)

의 분해를 살펴봄으로써 수행할 수 있다.^[1]^{page 72} 이러한 분해는 데데킨트-쿠머 정리를 사용하여 찾을 수 있다.

유수가

h

인 실수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)

의

d

들의 목록은 다음과 같다.

유수가 $h$ 인 허수 이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{-d})$ 의 $d$ 들의 목록은 다음과 같다. 작은 $d$ 에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 $h=1$ 인 경우를 '''헤그너 수'''라고 한다.

3. 4. 1. 실수 이차 수체의 유수

유수가

h

인 실수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt d)

의

d

들의 목록은 다음과 같다.

이차 수체의 class group을 결정하는 것은 민코프스키 경계와 크로네커 기호를 사용하여 수행할 수 있는데, 이는 class group의 유한성 때문이다.^[3] 이차 체 $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ 는 판별식

: $\Delta_K = \begin{cases}d & d \equiv 1 \pmod 4 \\4d & d \equiv 2,3 \pmod 4;\end{cases}$

을 가지므로 민코프스키 경계는 다음과 같다.^[4]

: $M_K = \begin{cases}2\sqrt$

/\pi & d < 0 \\\sqrt

/2 & d > 0 .\end{cases}

이 경우, 아이디얼 유군은 노름이

M_K

보다 작은 소 아이디얼에 의해 생성된다. 이는

|p| < M_k

인 소수

p \in \mathbf{Z}

에 대한 아이디얼

(p)

의 분해를 살펴봄으로써 수행할 수 있다.^[1] 이러한 분해는 데데킨트-쿠머 정리를 사용하여 찾을 수 있다.

3. 4. 2. 허수 이차 수체의 유수

유수가

h

인 허수 이차 수체

\mathbb Q(\sqrt{-d})

의

d

들의 목록은 다음과 같다. 작은

d

에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히

h=1

인 경우를 '''헤그너 수'''라고 한다.

3. 4. 3. 디리클레 유수 공식

이차체 ''K''의 판별식을 ''D''라 하고, ''χ''를

\scriptstyle (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times}

에 대한 크로네커의 지표^[9]라고 한다. ''K''에 대한 디리클레의 L-함수를 사용하여, ''K''의 류수 ''h_K''는

:

h_K = \frac{1}{\kappa}L(1, \chi)

로 주어진다. 단, κ는,

:

\kappa = \begin{cases} \frac{2\log\varepsilon_0}{\sqrt{D}} & (D > 0),\\ \frac{2\pi}{w\sqrt{-D}} & (D < 0),\end{cases}

로 주어지는 0이 아닌 실수이다. 여기서, ''w''는 ''K''에 포함된 1의 멱근의 개수, ''ε₀''는 ''K''의 기본 단수로 한다.

더욱이 위의 식은, 다음의 형태로 유한 합의 형태로 표현하는 것이 가능하다.

''K''가 실수 이차체일 때

:

h_K = -\frac{1}{2\log\varepsilon_0}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)\log\sin\frac{a\pi}{d}

.

''K''가 허수 이차체일 때

:

h_K = -\frac{w}{2d}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)a

.

단, ε₀는 ''K''의 기본 단수, ''d'' = |''D''|, ''w''는 ''K''에 포함된 1의 멱근의 개수로 한다.

이러한 식들을 통칭하여 '''디리클레의 류수 공식'''^[10]이라고 한다.

류수를 나타내는 식은, 그 외에도, 데데킨트의 제타 함수의

s = 1

에서의 유수로 표현하는 것도 알려져 있다.

\zeta_K(s)

를, 이차체 ''K''의 데데킨트의 제타 함수라고 하면, 다음의 식이 성립한다.

:

\kappa h_K = \operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K(s)

。

단, κ는 상기, 디리클레의 류수 공식으로 주어진 κ이다.

3. 4. 4. 유수 문제 (가우스의 추측)

가우스는 이차 형식 연구를 통해 이차 형식의 류수에 관해 몇 가지 추측을 남겼다. 오늘날, 이것들을 통칭하여 류수에 관한 '''가우스의 추측'''이라고 한다. 특히, 추측 4의 경우를 가우스의 추측이라고 하는 경우도 많다.

여기서는, 가우스가 제시한 추측에 관해 이차체에서의 말로 번역하여 서술한다.

#''K''를 이차체로 하고, ''D_K'', ''h_K''를 ''K''의 판별식, 류수라고 할 때,

\scriptstyle |D_K|\to\infty

라면,

\scriptstyle h_K\to\infty

이다.

#류수가 1인 실이차체는 무한히 존재한다.

#주어진 자연수 ''k''에 대해, 류수가 ''k''인 허수 이차체는 유한 개밖에 존재하지 않는다.

#류수가 1인 허수 이차체

\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-d})

는, ''d''가 다음의 경우에 한정된다.

::1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

추측 1에 관해.

추측이 성립한다는 것은 1934년에 하일브론(H. Heilbronn)이 증명했고, 지겔(C. L. Siegel)에 의해 류수의 증가 정도에 대해 다음과 같은 결과가 얻어졌다.

:

\lim_{|D_K|\to\infty}\frac{\log h_K}{\log\sqrt

} = 1。

추측 2에 관해.

현재도, 이 추측이 성립하는지는 불분명하다. 더 일반적으로 류수가 1인 대수체가 무한히 존재하는지도 알려져 있지 않다.

추측 3에 관해.

1973년에 자기에(D. Zagier)와 그로스(B. Gross)에 의해, 추측이 성립한다는 것이 증명되었다.

추측 4에 관해.

이 추측은 먼저 헤그너(K. Heegner)에 의해 이 추측이 성립한다는 것이 증명되었지만, 그의 증명에는 미비한 점이 있었고, 그 오류가 수정된 것은 1968년이다. 그 때문에, 이 추측을 최초로 증명한 사람은 베이커(A. Baker)와 스타크(H. M. Stark)라고 여겨진다.(1966년의 증명)

그 후, 류수가 2인 허수 이차체가 베이커와 스타크에 의해 해결되었고, 현재까지 류수가 100 이하인 허수 이차체가 결정되었다.

4. 이차 수체와 다른 분야와의 관계

4. 1. 이차 수체와 원분체

이차체의 고전적인 예는 홀수 소수 p에 대하여 원시 p제곱근에 의해 생성된 원분체 내의 고유한 이차체를 취하는 것이다. 이는 갈루아 이론에 따라

\mathbf{Q}

위의 갈루아 군에서 지수 2의 고유한 부분군이 존재하기 때문이다. 가우스 합에서 설명한 바와 같이, 이차체의 판별식은

p=4n+1

일 때

p

이고,

p=4n+3

일 때

-p

이다.

p

는 원분체에서 분기되는 유일한 소수이므로,

p

는 이차체 판별식을 나눌 수 있는 유일한 소수이다.

일반적으로, 체 판별식

D

를 갖는 이차체는

D

번째 단위근의 원분체의 부분체로 얻을 수 있다. 특히, ''n'' = 2^''q'' (''q'' ≥ 3)으로 하면, 원분체

\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_n)

에는

\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-2})

가 포함된다. 임의의 이차체 ''K''에 대해, 어떤 정수 ''n''이 존재하여

\scriptstyle K\sub\mathbb{Q}(\zeta_n)

이 성립한다. 여기서

\zeta_n

은 1의 원시 ''n''제곱근이다. 이는 크로네커-베버 정리의 특수한 경우이다.

4. 2. 이차 수체와 이차 형식

유리 정수 계수의 이원 이차 형식의 유수(類數)를 ''H''(''D'') (''D''는 이차 형식의 판별식)라 하고, 이차체

\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})

의 (대수체로서의) 유수를 ''h_K''라 하면, ''H''(''D'') = ''h_K''이다. 즉, 유리 정수 계수의 이원 이차 형식의 유(類)와 이차 형식의 판별식으로 만들어지는 이차체의 아이디얼 유는 일대일 대응을 시킬 수 있다.

4. 3. 이차 수체와 초등 정수론

르장드르 기호를 사용하면, 다음이 성립한다.

제곱 인수를 갖지 않는 소수 ''a'' 와 ''2a'' 와 서로소인 소수 ''p'' 에 대해,

\left(\frac{a}{p}\right) = 1

\Longleftrightarrow

(p)

는

\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a})

상에서 서로 다른 두 개의 소수 아이디얼의 곱으로 나타낼 수 있다.

이로부터, 이차 수체 위에서 어떤 소수가 두 개의 소수 아이디얼로 분해되는지를 고찰함으로써, 제곱 잉여의 상호 법칙, 제1 보충 법칙, 제2 보충 법칙을 유도할 수 있다.

5. Orders of quadratic number fields of small discriminant

작은 판별식을 갖는 이차 수체의 order들을 아래 표에 나타내었다. 대수적 수체의 ''극대 order''는 그 정수환이며, 극대 order의 판별식은 체의 판별식이다. 비극대 order의 판별식은 해당 극대 order의 판별식과 극대 order의 기저에 대한 비극대 order의 기저를 나타내는 행렬식의 제곱의 곱이다. 이러한 모든 판별식은 대수적 수체의 판별식에 의해 정의될 수 있다.

실수 이차 정수환의 경우, 고유 인수분해의 실패를 측정하는 아이디얼 유군은 [https://oeis.org/A003649 OEIS A003649]에 나와 있으며, 허수 체의 경우 [https://oeis.org/A000924 OEIS A000924]에 나와 있다.

Order	판별식	유군	단위	비고
$\mathbf{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$	$-20$	$2$	$\pm 1$	아이디얼 클래스 $(1)$ , $(2,1+\sqrt{-5})$
$\mathbf{Z}\left[(1+\sqrt{-19})/2\right]$	$-19$	$1$	$\pm 1$	주 아이디얼 정역, 유클리드 정역 아님
$\mathbf{Z}\left[2\sqrt{-1}\right]$	$-16$	$1$	$\pm 1$	비극대 order
$\mathbf{Z}\left[(1+\sqrt{-15})/2\right]$	$-15$	$2$	$\pm 1$	아이디얼 클래스 $(1)$ , $(1,(1+\sqrt{-15})/2)$
$\mathbf{Z}\left[\sqrt{-3}\right]$	$-12$	$1$	$\pm 1$	비극대 order
$\mathbf{Z}\left[(1+\sqrt{-11})/2\right]$	$-11$	$1$	$\pm 1$	유클리드
$\mathbf{Z}\left[\sqrt{-2}\right]$	$-8$	$1$	$\pm 1$	유클리드
$\mathbf{Z}\left[(1+\sqrt{-7})/2\right]$	$-7$	$1$	$\pm 1$	클라인 정수
$\mathbf{Z}\left[\sqrt{-1}\right]$	$-4$	$1$	$\pm 1,\pm i$ (order $4$ 의 순환군)	가우스 정수
$\mathbf{Z}\left[(1+\sqrt{-3})/2\right]$	$-3$	$1$	$\pm 1,(\pm 1 \pm \sqrt{-3})/2$ .	아이젠슈타인 정수
$\mathbf{Z}\left[ \sqrt{-21}\right]$	$-84$	$4$		유군 비순환: $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^2$
$\mathbf{Z}\left[ (1+\sqrt{5})/2\right]$	$5$	$1$	$\pm((1+\sqrt{5})/2)^n$ (노름 $(-1)^n$ )
$\mathbf{Z}\left[ \sqrt{2}\right]$	$8$	$1$	$\pm(1+\sqrt{2})^n$ (노름 $(-1)^n$ )
$\mathbf{Z}\left[ \sqrt{3}\right]$	$12$	$1$	$\pm(2+\sqrt{3})^n$ (노름 $1$ )
$\mathbf{Z}\left[ (1+\sqrt{13})/2\right]$	$13$	$1$	$\pm((3+\sqrt{13})/2)^n$ (노름 $(-1)^n$ )
$\mathbf{Z}\left[ (1+\sqrt{17})/2\right]$	$17$	$1$	$\pm(4+\sqrt{17})^n$ (노름 $(-1)^n$ )
$\mathbf{Z}\left[\sqrt{5}\right]$	$20$	$1$	$\pm(\sqrt{5}+2)^n$ (노름 $(-1)^n$ )	비극대 order

''E_K''를 이차체 $\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 의 단위군이라고 할 때, 다음과 같다.

''d'' = −1일 때: ''E_K'' = { ±1, ±''i'' } 。
''d'' = −3일 때: ''E_K'' = { ±1, ±ω, ±ω² } (ω = (−1 + √)/2) 。
''d'' < 0이고, ''d'' ≠ −1, −3일 때: ''E_K'' = { ±1 } 。
''d'' > 0일 때: $\scriptstyle E_K = \{\pm\varepsilon_0^n | n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}$ (ε₀는 기본 단위)。

''D''를 이차체

\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})

의 판별식으로 하고, 자연수 ''x''^*, ''y''^*를

:''x''² − ''Dy''² = ± 4^[6]^[7]의 최소의 유리 정수 해로 할 때, (''x''^* + ''y''^*√)/2는 ''K''의 기본 단위이다.

\scriptstyle d\le 14

에 대한 기본 단위는 아래 표와 같다.

참조

_[1] 웹사이트 Number Rings http://websites.math[...]
_[2] 서적
_[3] 웹사이트 Algebraic Number Theory, A Computational Approach https://wstein.org/b[...]
_[4] 웹사이트 CLASS GROUP CALCULATIONS https://kconrad.math[...]
_[5] 문서 有理整数である素数のこと。
_[6] 문서 "''x''² − ''Dy''² = − 4 に有理整数解を持たない場合に限り、''x''^*, ''y''^* を ''x''² − ''Dy''² = 4 の解として選ぶ。"
_[7] 문서 平方因子を持たない0, 1 以外の整数 ''a'' および、''c'' = ± 1, ± 4 に対して、''x''² − ''ay''² = ''c'' の形の[[不定方程式]]を[[ペル方程式]]という。
_[8] 문서 "''n'' として、''K'' の判別式の絶対値とすると、このことが成立する。"
_[9] 문서 " $\scriptstyle\left(\frac{\cdot}{D}\right)$ をクロネッカーの記号としたとき、 $\scriptstyle\chi(n) = \left(\frac{n}{D}\right)$ で与えられる[[디리클레 지표]]のことを、クロネッカーの指標という。"
_[10] 문서 L関数を用いない式に対して、ディリクレの類数公式ということもある。
_[11] 서적 Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006 https://web.archive.[...] European Mathematical Society 2016-04-21

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2	10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, …
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5	401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …

h	OEIS 번호	d
1	A3173/A3173^영어	1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
2	A5847/A5847^영어	5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427
3	A6203/A6203^영어	23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907
4	A46085/A46085^영어	14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555
5	A46002/A46002^영어	47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683
6	A55109/A55109^영어	26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787

h	d
1	2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, …
2	10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, …
3	79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, …
4	82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, …
5	401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …

h	d
1	1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
2	5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427
3	23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907
4	14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555
5	47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683
6	26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787

h	d
1	2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, …
2	10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, …
3	79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, …
4	82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, …
5	401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …