이차 수체

1. 개요

이차 수체는 유리수체에 제곱 인수가 없는 정수 d의 제곱근 √d를 첨가하여 얻어지는 대수적 수체로, 꼴은 ℚ(√d)이다. d > 0이면 실수 이차 수체, d < 0이면 복소 이차 수체라고 부른다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수라고 한다. 이차 수체는 정수환, 판별식, 소수의 분기화, 유수 등 다양한 성질을 가지며, 원분체, 이차 형식, 초등 정수론 등 다른 수학 분야와도 관련이 있다.

2. 정의

이차 수체(二次數體)는 유리수체에 제곱 인수가 없는 정수 d(≠ 1)의 제곱근 √d 를 첨가하여 얻어지는 대수적 수체이다. 즉, $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 꼴이다.

만약 $d>0$이면 실수 이차 수체(實數二次數體, real quadratic field^영어)라고 하고, 이면 복소 이차 수체(複素二次數體, complex quadratic field^영어)라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수(二次整數, quadratic integer^영어)라고 한다.

2.1. 실수 이차 수체

$d$가 양수인 경우, 실수 이차 수체라고 불린다. 유수가 $h$인 실수 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 $d$들의 목록은 다음과 같다.

2.2. 복소 이차 수체

$d$가 음수인 경우, 이차 수체를 복소 이차 수체라고 부른다. 유수가 $h$인 허수 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\{-d\})$의 $d$들의 목록은 다음과 같다. 작은 $d$에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 $h=1$인 경우를 헤그너 수라고 한다.

3. 성질

3.1. 정수환

이차 수체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 대수적 정수환은 다음과 같다.

:

이차 정수는 대수적 정수환의 한 예이다.

임의의 이차체는 갈루아 확대체이며, 갈루아 군은 순환군이 된다. 그 정수환이 노름 유클리드 정역이 되는 이차체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$는, d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 뿐이다. 또한, 정수환이 유일 인수 분해 정역이 되는 허 이차체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$는, d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 뿐이다.

임의의 이차체 K에 대해, 유리 소수 p는 다음 중 하나를 만족한다.

# $(p)\; =\; \backslash mathfrak\{p\}\_1\backslash mathfrak\{p\}\_2$ ($\backslash mathfrak\{p\}\_1,\backslash \; \backslash mathfrak\{p\}\_2$는 서로 다른 K의 소 아이디얼) (이때, p는 K에서 완전 분해라고 한다.)
# $(p)\; =\; \backslash mathfrak\{p\}^2$ ($\backslash mathfrak\{p\}$는 K의 소 아이디얼) (이때, p는 K에서 비분해라고 한다.)
# $(p)$는 K의 소 아이디얼이다. (이때, p는 K에서 비분기라고 한다.)

3.2. 판별식

이차 수체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 판별식은 다음과 같다.

:

이는 $d\backslash not\backslash equiv1\backslash pmod4$인 경우에는

:

이지만, $d\backslash equiv1\backslash pmod4$인 경우에는

:

이기 때문이다.

판별식이 $\backslash Delta\backslash equiv0,1\backslash pmod4$인 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\backslash Delta)$의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathcal\; o\_\{\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\backslash Delta)\}=\backslash mathbb\; Z\backslash left[\backslash frac\{\backslash Delta+\backslash sqrt\backslash Delta\}2\backslash right]$
=\begin{cases}
\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt\Delta}2\right]&d=\Delta\equiv1\pmod4\\
\mathbb Z[\sqrt{\Delta/4}]&4d=\Delta\equiv0\pmod4
\end{cases}


0이 아닌 제곱 인수가 없는 정수 $d$에 대해, $d$가 $4$를 modulo로 하여 $1$과 합동이면 $d$이고, 그렇지 않으면 $4d$이다. 예를 들어, $d$가 $-1$이면, 가우스 유리수의 체이고, 판별식은 $-4$이다.

이차 체의 판별식 집합은 정확히 기본 판별식 집합이다(기본 판별식이지만 이차 체의 판별식이 아닌 $1$은 제외).

3.3. 소수의 분기화

체의 확대 ${\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q}$에서, 유리 소수 $p\in\mathbb Z$는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다.

* 크로네커 기호 $\left(\tfrac\Delta p\right)=-1$이라면, $(p)$는 $\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}$에서 여전히 소 아이디얼이다.
* 크로네커 기호 $\left(\tfrac\Delta p\right)=+1$이라면, $(p)$는 $\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}$에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이다.
* 만약 $p\mid\Delta$라면, $(p)$는 $\mathcal o_{\mathbb Q(\sqrt d)}$의 어떤 소 아이디얼의 제곱이다.

소수 $p$는 이차수체 $K$의 정수환 $\mathcal{O}_K$에 이상 $p\mathcal{O}_K$를 생성한다. 갈루아 확대에서의 소 이상 분해의 일반적인 이론에 따르면, 이는 다음과 같다.

* $p$는 비분기한다: $(p)$는 소 이상이다. 몫환은 $p^2$개의 원소를 갖는 유한체이다: $\mathcal{O}_K / p\mathcal{O}_K = \mathbf{F}_{p^2}$.
* $p$는 분기한다: $(p)$는 $\mathcal{O}_K$의 서로 다른 두 소 이상들의 곱이다. 몫환은 곱 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K = \mathbf{F}_p\times\mathbf{F}_p$이다.
* $p$는 분기한다: $(p)$는 $\mathcal{O}_K$의 소 이상 제곱이다. 몫환은 0이 아닌 멱영원을 포함한다.

세 번째 경우는 $p$가 판별식 $D$를 나눌 때만 발생한다. 첫 번째와 두 번째 경우는 크로네커 기호 $(D/p)$가 각각 $-1$과 $+1$일 때 발생한다. 예를 들어, $p$가 $D$를 나누지 않는 홀수 소수이면, $D$가 $p$를 법으로 제곱수와 합동일 때만 $p$가 분기한다. 소수 $p$가 소수를 통해 실행될 때, 어떤 의미에서는 발생할 가능성이 동일하다—체보타레프 밀도 정리를 참조하라.

이차 상호 법칙에 따르면, 이차 체에서 소수 $p$의 분해 행동은 $p$ 모듈로 $D$에만 의존하며, 여기서 $D$는 체의 판별식이다.
$\left(\frac{a}{p}\right)$를 르장드르 기호라고 하면, 다음이 성립한다.

* 제곱 인수를 갖지 않는 소수 $a$ 와 $2a$ 와 서로소인 소수 $p$ 에 대해,
:$\backslash left(\backslash frac\{a\}\{p\}\backslash right)\; =\; 1$ $\Longleftrightarrow$ $(p)$는 $\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a})$ 상에서 서로 다른 두 개의 소수 아이디얼의 곱으로 나타낼 수 있다.

이로부터, 이차 체 위에서 어떤 소수가 두 개의 소수 아이디얼로 분해되는지를 고찰함으로써, 제곱 잉여의 상호 법칙, 제1 보충 법칙, 제2 보충 법칙을 나타낼 수 있다.

3.4. 유수 (Class Number)

이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.

이차 수체의 class group을 결정하는 것은 민코프스키 경계와 크로네커 기호를 사용하여 수행할 수 있는데, 이는 class group의 유한성 때문이다. 이차 체 $K\; =\; \backslash mathbf\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$는 판별식
$$\backslash Delta\_K\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
d & d \equiv 1 \pmod 4 \\
4d & d \equiv 2,3 \pmod 4;
\end{cases}
을 가지므로 민코프스키 경계는 다음과 같다.
$$M\_K\; =\; \backslash begin\{cases\}$$
2\sqrt

3.4.1. 실수 이차 수체의 유수

유수가 $h$인 실수 이차 수체 $\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\; d)$의 $d$들의 목록은 다음과 같다.

3.4.3. 디리클레 유수 공식

이차체 K의 판별식을 D라 하고, χ를 $\backslash scriptstyle\; (\backslash mathbb\{Z\}/d\backslash mathbb\{Z\})^\{\backslash times\}$에 대한 크로네커의 지표라고 한다. K에 대한 디리클레의 L-함수를 사용하여, K의 류수 h_K는
:$h\_K\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash kappa\}L(1,\; \backslash chi)$
로 주어진다. 단, κ는,
:
로 주어지는 0이 아닌 실수이다. 여기서, w는 K에 포함된 1의 멱근의 개수, ε₀는 K의 기본 단수로 한다.

더욱이 위의 식은, 다음의 형태로 유한 합의 형태로 표현하는 것이 가능하다.

*K가 실수 이차체일 때
:$h\_K\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\backslash log\backslash varepsilon\_0\}\backslash sum\_\{a=1\}^\{d-1\}\backslash chi(a)\backslash log\backslash sin\backslash frac\{a\backslash pi\}\{d\}$.
*K가 허수 이차체일 때
:$h\_K\; =\; -\backslash frac\{w\}\{2d\}\backslash sum\_\{a=1\}^\{d-1\}\backslash chi(a)a$.

단, ε₀는 K의 기본 단수, d = |D|, w는 K에 포함된 1의 멱근의 개수로 한다.

이러한 식들을 통칭하여 디리클레의 류수 공식이라고 한다.

류수를 나타내는 식은, 그 외에도, 데데킨트의 제타 함수의 $s\; =\; 1$에서의 유수로 표현하는 것도 알려져 있다.

$\backslash zeta\_K(s)$를, 이차체 K의 데데킨트의 제타 함수라고 하면, 다음의 식이 성립한다.
:$\backslash kappa\; h\_K\; =\; \backslash operatorname\{Res\}\_\{s=1\}\backslash zeta\_K(s)$。
단, κ는 상기, 디리클레의 류수 공식으로 주어진 κ이다.

3.4.4. 유수 문제 (가우스의 추측)

가우스는 이차 형식 연구를 통해 이차 형식의 류수에 관해 몇 가지 추측을 남겼다. 오늘날, 이것들을 통칭하여 류수에 관한 가우스의 추측이라고 한다. 특히, 추측 4의 경우를 가우스의 추측이라고 하는 경우도 많다.
여기서는, 가우스가 제시한 추측에 관해 이차체에서의 말로 번역하여 서술한다.

#K를 이차체로 하고, D_K, h_K를 K의 판별식, 류수라고 할 때, $\backslash scriptstyle\; |D\_K|\backslash to\backslash infty$라면, $\backslash scriptstyle\; h\_K\backslash to\backslash infty$이다.
#류수가 1인 실이차체는 무한히 존재한다.
#주어진 자연수 k에 대해, 류수가 k인 허수 이차체는 유한 개밖에 존재하지 않는다.
#류수가 1인 허수 이차체 $\backslash scriptstyle\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{-d\})$는, d가 다음의 경우에 한정된다.
::1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

추측 1에 관해.

추측이 성립한다는 것은 1934년에 하일브론(H. Heilbronn)이 증명했고, 지겔(C. L. Siegel)에 의해 류수의 증가 정도에 대해 다음과 같은 결과가 얻어졌다.
:$\backslash lim\_\{|D\_K|\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash log\; h\_K\}\{\backslash log\backslash sqrt$