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보스-아인슈타인 통계

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목차

1. 개요

보스-아인슈타인 통계는 동일한 입자가 여러 개 존재할 수 있는 입자들의 통계적 분포로, 1920년대 초 사티엔드라 나트 보스와 알베르트 아인슈타인에 의해 개발되었다. 보스는 막스 플랑크의 복사 공식을 증명하기 위해 광자에 대한 통계를 연구했고, 아인슈타인은 이를 일반적인 입자로 확장하여 보스-아인슈타인 응축 현상을 예측했다. 이 통계는 보손 입자에 적용되며, 페르미 입자와 달리 파울리 배타 원리를 따르지 않아 여러 입자가 동일한 상태를 가질 수 있다. 보스-아인슈타인 분포는 에너지 상태에 있는 입자의 예상 수를 나타내며, 저온에서 보손이 바닥 상태로 모이는 보스-아인슈타인 응축 현상을 설명한다. 이 외에도 정보 검색 및 복잡계 네트워크와 같은 다양한 분야에 응용된다.

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보스-아인슈타인 통계
보스-아인슈타인 통계
설명보손 입자들의 통계적 행동을 기술하는 통계역학
적용 대상보손 (정수 스핀을 갖는 입자)
관련 분포보스 분포 함수
개발자사티엔드라 나트 보스, 알베르트 아인슈타인
특징동일한 양자 상태에 여러 입자가 존재 가능
입자들의 구별 불가능
주요 결과보스-아인슈타인 응축
흑체 복사
액체 헬륨의 초유동성
보손 입자
정의정수 스핀을 갖는 입자
예시광자
글루온
W 및 Z 보손
헬륨-4 원자
중간자
다른 입자페르미온 (반정수 스핀 입자)
통계적 특징
양자 상태 점유하나의 양자 상태에 여러 보손이 존재할 수 있음
파동함수 대칭성보손으로 이루어진 계의 파동함수는 입자 교환에 대해 대칭임
응축 현상매우 낮은 온도에서 많은 수의 보손이 동일한 최저 에너지 상태로 모이는 보스-아인슈타인 응축 현상 발생 가능
응용 분야
물리학저온 물리학
응축 물질 물리학
양자 광학
입자 물리학
기술레이저
초유체 장치
양자 컴퓨터
관련 통계
맥스웰-볼츠만 통계고전 입자에 적용 (입자 구별 가능)
페르미-디랙 통계페르미온에 적용 (파울리 배타 원리 따름)

2. 역사

1920년대 초, 다카 대학교 교수였던 사티엔드라 나트 보스는 알베르트 아인슈타인의 광자 가설에 흥미를 느끼고 막스 플랑크의 복사 공식을 증명하고자 했다. 보스는 플랑크가 주로 추측으로 얻어낸 공식을 증명하기 위해, 아인슈타인의 입자 개념을 따라 입자 수를 보존하지 않고도 무질량 입자의 통계를 체계적으로 구현하여 복사 공식을 증명할 수 있었다. 그는 서로 다른 상태의 광자를 제안하고, 통계적으로 독립된 입자 대신 낱칸에 입자를 넣고 위상 공간 상의 낱칸들을 생각하여 플랑크의 복사 공식을 증명했다. 이 체계는 두 가지 편극 상태를 허용하고, 전체적으로 대칭적인 파동함수를 나타낸다.[20]

보스는 유럽에서 논문을 발표하려 했으나 어려움을 겪고, 알베르트 아인슈타인에게 논문을 보내 도움을 요청했다. 아인슈타인의 도움으로 보스는 논문을 독일의 유명 저널인 《차이트슈리프트 퓌어 퓌지크》(Zeitschrift für Physikde)에 출판할 수 있었다.[20]

블라디스와프 나탄손은 1911년에 플랑크 법칙이 "에너지 단위"의 구분 불가능성을 요구한다는 결론을 내렸지만, 아인슈타인의 광양자라는 용어로는 표현하지 않았다.[2][3]

보스는 다카 대학교(당시 영국령 인도, 현재 방글라데시)에서 방사 이론과 자외선 파탄에 대한 강의를 하던 중, 당시 이론이 실험 결과와 일치하지 않는다는 것을 보여주려다 실수를 했다. 놀랍게도 이 실수는 실험 결과와 일치하는 예측을 낳았다. 이 실수는 공정한 동전 두 개를 던졌을 때 두 번 모두 앞면이 나올 확률이 1/3이라고 주장하는 것과 비슷했다. (장 르 롱 달랑베르의 ''Croix ou Pile'' 논문에서 알려진 실수와 유사하다)[4][5] 그러나 이 실수로 예측된 결과가 실험과 일치하자, 보스는 모든 미시적 입자에 대해 맥스웰-볼츠만 분포가 항상 성립하지 않을 수 있다고 생각했다. 그는 각 상태가 ''h''3의 위상 부피를 갖는 작은 부분이고, 입자의 위치와 운동량이 분리되지 않고 하나의 변수로 간주되는 위상 공간에서 입자가 여러 상태에 있을 확률을 연구했다.

보스는 이 내용을 "플랑크의 법칙과 광양자 가설"[6][7]이라는 짧은 논문으로 만들어 ''철학 잡지''에 제출했으나 거절당했다. 그는 아인슈타인에게 Zeitschrift für Physikde에 게재를 요청했고, 아인슈타인은 논문을 직접 독일어로 번역하고(보스는 이전에 아인슈타인의 일반 상대성 이론 논문을 독일어에서 영어로 번역했었다) 게재를 성사시켰다. 아인슈타인은 보스의 논문을 지지하는 자신의 논문을 함께 게재하도록 요청했고, 이 논문은 1924년에 발표되었다.[8]

보스가 정확한 결과를 얻은 이유는 광자가 서로 구분할 수 없기 때문이다. 양자수가 같은 두 광자를 서로 다른 광자로 취급할 수 없다. 보스는 원래 가능한 스핀 상태에 대한 계수로 2를 사용했지만, 아인슈타인은 그것을 편광으로 바꾸었다.[9] 보스의 "실수"는 현재 보스-아인슈타인 통계라고 불리는 것을 이끌어냈다.

보스와 아인슈타인은 이 아이디어를 원자로 확장했고, 이는 보손(보스의 이름을 따서 명명된 정수 스핀을 가진 입자)의 밀집된 집합체인 보스-아인슈타인 응축 현상의 존재를 예측하게 되었으며, 1995년 실험을 통해 존재가 증명되었다.

2. 1. 사티엔드라 나트 보스의 선구적 연구

1920년대 초, 다카 대학교 교수였던 사티엔드라 나트 보스는 알베르트 아인슈타인의 광자 가설에 흥미를 느껴 막스 플랑크가 추측으로 얻어낸 플랑크 복사 공식을 증명하고자 했다. 1900년에 막스 플랑크는 경험적 증거를 바탕으로 공식을 도출했으나, 보스는 아인슈타인의 입자 개념을 따라 입자 수를 보존하지 않고도 무질량 입자의 통계를 구현하여 복사 공식을 증명할 수 있었다. 보스는 서로 다른 상태의 광자를 제안하여 플랑크 복사 공식을 증명했는데, 통계적으로 독립된 입자 대신 위상 공간 상의 낱칸에 입자를 넣는 방식을 고안했다. 이 체계는 두 가지 편극 상태를 허용하고 전체적으로 대칭적인 파동함수를 나타낸다.[20]

보스는 자신의 논문을 유럽에서 발표하려 했으나 실패하고, 알베르트 아인슈타인에게 논문을 보내 도움을 요청했다. 아인슈타인의 도움으로 보스는 논문을 독일의 유명 저널인 《차이트슈리프트 퓌어 퓌지크》(Zeitschrift für Physikde)에 출판할 수 있었다.[20]

다카 대학교에서 방사 이론과 자외선 파탄에 대한 강의를 하던 보스는, 당시 이론이 실험 결과와 일치하지 않는다는 것을 보여주려다 오히려 실험과 일치하는 결과를 내는 실수를 저질렀다. 이 실수는 동전 두 개를 던져 모두 앞면이 나올 확률을 1/3이라고 주장하는 것과 유사한, 통계학적 기본 지식이 있다면 명백히 잘못된 것이었다.[4][5] 그러나 이 실수로 예측된 결과가 실험 결과와 일치하자, 보스는 모든 미시적 입자에 대해 맥스웰-볼츠만 분포가 항상 성립하지 않을 수 있다고 생각했다. 그는 위상 공간에서 입자가 여러 상태에 있을 확률을 연구하며, 각 상태가 ''h''3의 위상 부피를 갖는 작은 부분이고 입자의 위치와 운동량이 분리되지 않고 하나의 변수로 간주된다는 점을 고려했다.

보스는 이 내용을 "플랑크의 법칙과 광양자 가설"[6][7]이라는 짧은 논문으로 만들어 ''철학 잡지''에 제출했으나 거절당했다. 그는 알베르트 아인슈타인에게 Zeitschrift für Physikde에 게재를 요청했고, 아인슈타인은 논문을 직접 독일어로 번역하여(보스는 이전에 아인슈타인의 일반 상대성 이론 논문을 독일어에서 영어로 번역한 적이 있었다) 게재를 성사시켰다. 아인슈타인은 보스의 논문을 지지하는 자신의 논문을 함께 게재하도록 요청했고, 이 논문은 1924년에 발표되었다.[8]

보스가 정확한 결과를 얻은 이유는 광자가 서로 구별 불가능하여 양자수가 같은 두 광자를 서로 다른 광자로 취급할 수 없기 때문이다. 보스는 원래 가능한 스핀 상태의 계수로 2를 사용했지만, 아인슈타인은 이를 편광으로 수정했다.[9]

2. 2. 아인슈타인의 일반화 및 보스-아인슈타인 응축 예측

보스는 1920년에 광자에 대해 보스-아인슈타인 통계를 처음 소개했고, 아인슈타인은 1924년에 이를 일반적인 입자들로 확장했다.[20] 보스 입자는 페르미 입자와 달리 파울리 배타 원리의 영향을 받지 않아, 여러 입자가 동시에 같은 상태를 가질 수 있다. 이러한 특성 때문에 낮은 온도에서 보스 입자들은 모두 바닥 상태로 모이는 보스-아인슈타인 응축 현상이 나타난다.

1920년대 초, 다카 대학교 교수였던 보스는 아인슈타인의 광자 가설에 관심을 갖고, 막스 플랑크가 추측으로 얻은 플랑크 복사 공식을 증명하고자 했다. 보스는 입자 수를 보존하지 않고 무질량 입자의 통계를 구현하여 복사 공식을 증명했다.[20] 그는 통계적으로 독립된 입자 대신 위상 공간 상의 낱칸에 입자를 넣는 방식을 사용했고, 이는 두 가지 편극 상태를 허용하고 대칭적인 파동 함수를 나타냈다.

보스는 자신의 논문을 유럽에서 발표하려 했으나 실패하고, 아인슈타인에게 논문을 보내 도움을 요청했다. 아인슈타인은 논문을 독일의 학술지 《차이트슈리프트 퓌어 퓌지크》(Zeitschrift für Physikde)에 출판하도록 도왔다.[20]

다카 대학교에서 강의하던 중, 보스는 당시 이론이 실험과 불일치함을 보여주려다 실수를 했는데, 이 실수가 오히려 실험과 일치하는 결과를 낳았다. 그는 모든 미시적 입자에 대해 맥스웰-볼츠만 분포가 항상 성립하지 않을 수 있다고 생각하고, 위상 공간에서 입자가 여러 상태에 있을 확률을 연구했다.

보스는 이 내용을 "플랑크의 법칙과 광양자 가설"[6][7]이라는 논문으로 발표하려 했으나 거절당했다. 그는 아인슈타인에게 논문 게재를 요청했고, 아인슈타인은 논문을 독일어로 번역하여 《차이트슈리프트 퓌어 퓌지크》에 게재되도록 했다. 보스의 이론은 아인슈타인이 자신의 논문을 함께 게재하면서 인정을 받았다. 이 논문은 1924년에 발표되었다.[8]

보스가 정확한 결과를 얻은 이유는 광자가 서로 구분되지 않기 때문이다. 그는 처음에 스핀 상태 계수로 2를 사용했지만, 아인슈타인은 이를 편광으로 수정했다.[9] 보스와 아인슈타인은 이 아이디어를 원자로 확장하여 보스-아인슈타인 응축 현상을 예측했고, 이는 1995년 실험으로 증명되었다.

2. 3. 보스-아인슈타인 응축의 실험적 검증

블라디스와프 나탄손은 1911년에 플랑크의 법칙이 "에너지 단위"의 구분 불가능성을 요구한다는 결론을 내렸지만, 알베르트 아인슈타인의 광양자라는 용어로는 표현하지 않았다.[2][3]

사티엔드라 나트 보스는 다카 대학교(당시 영국령 인도, 현재 방글라데시)에서 방사 이론과 자외선 파탄에 대한 강의를 하던 중, 당시 이론이 실험 결과와 일치하지 않는 예측을 한다는 것을 보여주려 했다. 이 과정에서 보스는 의도치 않은 실수를 했는데, 놀랍게도 이 실수는 실험 결과와 일치하는 예측을 낳았다. 이 실수는 공정한 동전 두 개를 던졌을 때 두 번 모두 앞면이 나올 확률이 1/3이라고 주장하는 것과 비슷했다. (장 르 롱 달랑베르의 ''Croix ou Pile'' 논문에서 알려진 실수와 유사하다)[4][5] 그러나 예측된 결과가 실험 결과와 일치하자, 보스는 모든 미시적 입자에 대해 모든 척도에서 맥스웰-볼츠만 분포가 성립하지 않을 수 있다는 생각을 하게 되었다. 그는 각 상태가 ''h''3의 위상 부피를 갖는 작은 부분이고 입자의 위치와 운동량이 하나의 변수로 간주되는 위상 공간에서 입자가 여러 상태에 있을 확률을 연구했다.

보스는 이 내용을 "플랑크의 법칙과 광양자 가설"[6][7]이라는 짧은 논문으로 만들어 ''철학 잡지''에 제출했으나 거절되었다. 그는 알베르트 아인슈타인에게 논문을 보내 Zeitschrift für Physikde에 게재해줄 것을 요청했다. 아인슈타인은 즉시 동의하여 논문을 직접 독일어로 번역하고 게재되도록 조치했다. (보스는 이전에 아인슈타인의 일반 상대성 이론 논문을 독일어에서 영어로 번역했었다.) 아인슈타인은 보스의 논문을 지지하는 자신의 논문을 함께 제출하여 1924년에 두 논문이 함께 게재되었다.[8]

보스가 정확한 결과를 얻은 이유는 광자가 서로 구분할 수 없기 때문이다. 양자수가 같은 두 광자를 서로 다른 광자로 취급할 수 없다. 보스는 원래 가능한 스핀 상태에 대한 계수로 2를 사용했지만, 아인슈타인은 그것을 편광으로 바꾸었다.[9] 다른 우주에서 동전이 광자처럼 행동한다면 두 개의 앞면이 나올 확률은 실제로 1/3이 될 것이다. 보스의 "실수"는 현재 보스-아인슈타인 통계라고 불리는 것을 이끌어냈다.

보스와 아인슈타인은 이 아이디어를 원자로 확장했고, 이는 보손(보스의 이름을 따서 명명된 정수 스핀을 가진 입자)의 밀집된 집합체인 보스-아인슈타인 응축 현상의 존재를 예측하게 되었으며, 1995년 실험을 통해 존재가 증명되었다.

3. 보스-아인슈타인 분포

보스-아인슈타인 통계에서 상태 ''i''에 놓여 있는 입자의 점유수(ni)는 다음과 같이 주어진다.[1]

:

n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}



여기서,


  • ''ni'' 는 상태 ''i''에 놓인 입자의 점유수
  • ''gi'' 는 상태 ''i''에서의 겹침
  • ''εi'' 는 상태 ''i''에서의 에너지
  • ''μ''는 화학 퍼텐셜
  • ''k''는 볼츠만 상수
  • ''T''는 절대온도


이 분포의 분산 V(n)는 다음과 같이 계산된다.

: V(n) = kT\frac{\partial}{\partial \mu}\bar{n}_i = \langle n\rangle(1+\langle n\rangle) = \bar{n} + \bar{n}^2

페르미-디랙 통계를 따르는 페르미온과 달리, 보손은 저온에서 무한한 수의 입자가 동일한 에너지 상태로 "응축"될 수 있다. 이러한 현상을 보즈-아인슈타인 응축이라 하며, 이는 특수한 물질 상태를 만든다.

보스-아인슈타인 통계는 1924년 보스가 광자에 대해 도입하였고, 1924~25년 아인슈타인이 원자로 일반화하였다.

3. 1. 맥스웰-볼츠만 통계와의 관계

에너지가 \varepsilon_i-\mu \gg kT 일 때, 보스-아인슈타인 통계는 맥스웰-볼츠만 통계를 따른다.[1] 보즈-아인슈타인 통계와 페르미-디랙 통계는 모두 고온 또는 저농도에서 맥스웰-볼츠만 통계가 된다.

맥스웰-볼츠만 분포로 축소되는 조건은 다음과 같다.

  • 저입자 밀도의 한계: \bar{n}_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T}\pm 1} \ll 1이므로, e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T} \pm 1 \gg 1 또는 e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T} \gg 1이다. 이 경우, \bar{n}_i \approx \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T}}=\frac{1}{Z}e^{-(\varepsilon_i - \mu)/k_\text{B} T}이며, 이는 맥스웰-볼츠만 통계의 결과이다.
  • 고온의 한계: 입자가 넓은 범위의 에너지 값에 분포하므로, 각 상태(특히 \varepsilon_i - \mu \gg k_\text{B}T 인 고에너지 상태)의 점유율은 다시 매우 작다. \bar{n}_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T} \pm 1} \ll 1 이것은 다시 맥스웰-볼츠만 통계로 축소된다.


또한, 보스-아인슈타인 통계는 \varepsilon_i - \mu \ll k_\text{B}T 인 저에너지 상태에 대해 레일리-진스 법칙 분포로 축소된다.

3. 2. 페르미-디랙 통계와의 비교

페르미-디랙 통계는 파울리 배타 원리를 따르는 입자인 페르미온에 적용되고, 보스-아인슈타인 통계는 보손에 적용된다. 양자 농도는 온도에 따라 달라지므로, 백색왜성처럼 매우 높은 밀도가 아닌 이상 대부분의 고온 시스템은 고전적인 (맥스웰-볼츠만 통계) 한계를 따른다. 페르미-디랙 통계와 보스-아인슈타인 통계는 모두 고온 또는 저농도에서 맥스웰-볼츠만 통계가 된다.

보스-아인슈타인 통계에서 에너지 상태 ''i''의 예상 입자 수는 다음과 같다.

: \bar{n}_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu) / k_\text{B} T} - 1}

여기서 g_i는 에너지 준위 ''i''의 겹침, \varepsilon_i는 ''i''번째 상태의 에너지, ''μ''는 화학 퍼텐셜(광자 기체의 경우 0), k_\text{B}는 볼츠만 상수, ''T''는 절대온도이다.

페르미-디랙 입자-에너지 분포에 의해 주어지는 에너지 \varepsilon_i를 가진 페르미온의 평균 수는 다음과 유사한 형태를 갖는다.

: \bar{n}_i(\varepsilon_i) = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/k_\text{B}T} + 1}.

보즈-아인슈타인 분포와 페르미-디랙 분포는 모두 임의의 가정 없이 고온 및 저입자 밀도의 한계에서 맥스웰-볼츠만 분포에 접근한다.

  • 저입자 밀도의 한계에서, \bar{n}_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T}\pm 1} \ll 1이므로, e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T} \pm 1 \gg 1 이다. 이 경우, \bar{n}_i \approx \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T}}이며, 이는 맥스웰-볼츠만 통계의 결과이다.
  • 고온의 한계에서, 입자는 넓은 범위의 에너지 값에 분포하므로, 각 상태(특히 \varepsilon_i - \mu \gg k_\text{B}T 인 고에너지 상태)의 점유율은 다시 매우 작다. (\bar{n}_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T} \pm 1} \ll 1) 이것은 다시 맥스웰-볼츠만 통계로 축소된다.


고온 및 저밀도의 한계에서 맥스웰-볼츠만 분포로 축소되는 것 외에도, 보즈-아인슈타인 통계는 \varepsilon_i - \mu \ll k_\text{B}T 인 저에너지 상태에 대해 레일리-진스 법칙 분포로 축소된다.

4. 유도

미시정준 앙상블에서 에너지, 부피, 입자 수가 고정된 계를 고려한다. 에너지 \varepsilon_i를 가지는 동일한 보손 N = \sum_i n_i개로 구성된 계에서, n_i개는 에너지 \varepsilon_i를 가지고 g_i개의 준위(같은 에너지 \varepsilon_i를 갖는 상태)에 분포한다. g_i는 총 에너지 E = \sum_i n_i \varepsilon_i에서 에너지 \varepsilon_i와 관련된 축퇴도이다. g_i개의 상태에 n_i개의 입자를 배열하는 것은 조합론 문제이다. 양자역학에서 입자는 구분할 수 없으므로, g_i개의 상자(i번째 에너지 준위)에 n_i개의 입자를 배열하는 방법의 수는 다음과 같다.[15]

보손 입자 분포. 상자 구분선(녹색)을 움직여 상자 크기를 변경하여 각 상자의 보손 수를 바꿀 수 있다.


w_{i,\text{BE}} = \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i! (g_i-1)!} = C^{n_i+g_i-1}_{n_i},

여기서 C^m_k 는 ''m''개 원소의 ''k''-조합이다. 보손 앙상블에서 배열의 총 수는 위 이항 계수 C^{n_i+g_i-1}_{n_i}를 모든 에너지 준위에 대해 곱한 것이다.

W_\text{BE} =\prod_i w_{i,\text{BE}}=\prod_i\frac{(n_i +g_i -1)!}{(g_i-1)! n_i!},

해당 점유 수 n_i를 결정하는 배열의 최대 수는 엔트로피를 최대화하거나, \mathrm{d}(\ln W_\text{BE}) = 0으로 설정하고 N=\sum n_i, E=\sum_i n_i\varepsilon_i 조건을 고려(라그랑주 승수 사용)하여 얻는다.[15]

4. 1. 미시정준 앙상블로부터의 유도

미시정준 앙상블에서는 고정된 에너지, 부피, 입자 수를 갖는 계를 고려한다. 에너지 \varepsilon_i를 가지는 동일한 보손 N = \sum_i n_i개로 구성된 계를 생각해보자. 그중 n_i개는 에너지 \varepsilon_i를 가지고 g_i개의 준위, 즉 같은 에너지 \varepsilon_i를 갖는 상태에 분포되어 있다. 다시 말해, g_i는 총 에너지 E = \sum_i n_i \varepsilon_i에서 에너지 \varepsilon_i와 관련된 축퇴도이다. g_i개의 상태에 분포된 n_i개의 입자 배열 수 계산은 조합론의 문제이다. 양자역학적 맥락에서 입자는 구분할 수 없으므로, g_i개의 상자(i번째 에너지 준위에 대해)에 n_i개의 입자를 배열하는 방법의 수는 다음과 같다.

w_{i,\text{BE}} = \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i! (g_i-1)!} = C^{n_i+g_i-1}_{n_i},

여기서 C^m_k 는 ''m''개의 원소를 갖는 집합의 ''k''-조합이다. 보손 앙상블에서 배열의 총 수는 위의 이항 계수 C^{n_i+g_i-1}_{n_i}를 모든 에너지 준위에 대해 곱한 것과 같다.

W_\text{BE} =\prod_i w_{i,\text{BE}}=\prod_i\frac{(n_i +g_i -1)!}{(g_i-1)! n_i!},

해당 점유 수 n_i를 결정하는 배열의 최대 수는 엔트로피를 최대화하거나, 또는 동등하게 \mathrm{d}(\ln W_\text{BE}) = 0으로 설정하고 부수적인 조건 N=\sum n_i, E=\sum_i n_i\varepsilon_i를 고려(라그랑주 승수로써)하여 얻는다.[15] n_i\gg 1, g_i\gg 1, n_i/g_i=O(1)에 대한 결과는 보즈-아인슈타인 분포이다.

4. 2. 거대정준 앙상블로부터의 유도

그랜드 정준 앙상블에서 상호작용하지 않는 보손으로 이루어진 양자계는 근사 없이 보스-아인슈타인 통계를 따르는 것을 유도할 수 있다.[10] 이 앙상블에서 계는 저장소와 에너지 및 입자를 교환할 수 있으며, 저장소의 온도 ''T''와 화학 퍼텐셜 ''μ''는 고정되어 있다.

상호작용이 없다는 특성 때문에, 이용 가능한 각 단일 입자 준위(에너지 준위 ''ϵ'')는 저장소와 접촉하는 별개의 열역학적 계를 형성한다. 즉, 전체 계에서 특정 단일 입자 상태를 점유하는 입자들은 그랜드 정준 앙상블을 이루는 부앙상블(subensemble)을 형성하며, 그랜드 분배 함수를 통해 분석할 수 있다.

모든 단일 입자 상태는 고정된 에너지 \varepsilon를 갖는다. 단일 입자 상태와 관련된 부앙상블은 입자 수에 따라서만 변하므로, 부앙상블의 총 에너지는 단일 입자 상태의 입자 수에 정비례한다. 입자 수가 N일 때, 부앙상블의 총 에너지는 N\varepsilon가 된다. 그랜드 분배 함수에 대한 표준 식에서 E를 N \varepsilon로 대체하면 다음과 같다.

\mathcal Z = \sum_N \exp((N\mu - N\varepsilon)/k_\text{B} T) = \sum_N \exp(N(\mu - \varepsilon)/k_\text{B} T)

이 공식은 페르미온 계와 보손 계 모두에 적용된다. 파울리 배타 원리를 고려하면 페르미-디랙 통계가 나타나는데, 페르미온은 같은 단일 입자 상태를 0개 또는 1개만 점유할 수 있다. 반면, 보손은 단일 입자 상태를 임의의 개수만큼 점유할 수 있다. 따라서 보손에 대한 그랜드 분배 함수는 기하급수로 볼 수 있으며, 다음과 같이 계산된다.

\begin{align}\mathcal Z & = \sum_{N=0}^\infty \exp(N(\mu - \varepsilon)/k_\text{B} T) = \sum_{N=0}^\infty [\exp((\mu - \varepsilon)/k_\text{B}T)]^N \\

& = \frac{1}{1 - \exp((\mu - \varepsilon)/k_\text{B} T)}.\end{align}

기하급수는 e^{(\mu - \varepsilon)/k_\text{B}T}<1일 때만 수렴하며, \varepsilon = 0인 경우도 포함한다. 이는 보즈 기체의 화학 퍼텐셜이 음수여야 함을 의미한다. 즉, \mu<0이다. 반면 페르미 기체는 양수 및 음수 화학 퍼텐셜 값을 모두 가질 수 있다.[11]

해당 단일 입자 부상태의 평균 입자 수는 다음과 같다.

\langle N\rangle = k_\text{B} T \frac{1}{\mathcal Z} \left(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\right)_{V,T} = \frac{1}{\exp((\varepsilon-\mu)/k_\text{B} T)-1}

이 결과는 각 단일 입자 준위에 적용되므로, 계 전체 상태에 대한 보즈-아인슈타인 분포를 형성한다.[12][13]

입자 수의 분산 \sigma_N^2 = \langle N^2 \rangle - \langle N \rangle^2는 다음과 같다.

\sigma_N^2 = k_\text{B} T \left(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\right)_{V,T} = \frac{\exp((\varepsilon-\mu)/k_\text{B} T)}{(\exp((\varepsilon-\mu)/k_\text{B} T)-1)^2} = \langle N\rangle(1 + \langle N\rangle).

결과적으로, 고밀도 상태에서 에너지 준위의 입자 수에 대한 표준 편차는 매우 커서 입자 수 자체보다 약간 더 크다. \sigma_N \approx \langle N\rangle. 이러한 큰 불확실성은 주어진 에너지 준위의 보손 수에 대한 확률 분포가 기하 분포이기 때문이다. 다소 반직관적이지만, ''N''의 가장 가능성 있는 값은 항상 0이다. (반면, 고전적인 입자는 주어진 상태에서 입자 수에 대한 푸아송 분포를 가지며, \sigma_{N,{\rm classical}} = \sqrt{\langle N\rangle}의 훨씬 작은 불확실성을 갖고, 가장 가능성 있는 ''N'' 값은 \langle N \rangle 근처에 있다.)

4. 3. 정준 앙상블에서의 유도

카논 집합에서 근사적인 보스-아인슈타인 통계를 유도하는 것 또한 가능하다. 이러한 유도는 길고, 많은 수의 입자의 점근적 극한에서만 위의 결과를 산출한다. 그 이유는 카논 집합에서 보손의 총 개수가 고정되어 있기 때문이다. 이 경우 보스-아인슈타인 분포는 대부분의 교재에서 최대화를 통해 유도될 수 있지만, 수학적으로 가장 훌륭한 유도는 딩글(Dingle)이 강조한 대로 다윈-파울러 방법(Darwin–Fowler method)의 평균값을 사용하는 것이다.[14] 뮬러-키르스텐(Müller-Kirsten)의 논문도 참조한다.[15] 그러나 응축 영역에서 기저 상태의 변동은 카논 집합과 그랜드 카논 집합에서 현저하게 다르다.[16]

색인 i로 표시된 여러 에너지 준위가 있다고 가정한다. 각 준위는 에너지 \varepsilon_i를 가지며 총 n_i개의 입자를 포함한다. 각 준위는 모두 같은 에너지를 가지고 구별 가능한 g_i개의 서로 다른 준위를 포함한다고 가정한다. 예를 들어, 두 입자는 운동량이 다를 수 있는데, 이 경우 서로 구별되지만 여전히 같은 에너지를 가질 수 있다.

준위 i와 관련된 g_i의 값을 그 에너지 준위의 "축퇴도"라고 한다. 임의의 수의 보손이 동일한 준위를 점유할 수 있다.

에너지 준위의 g개의 준위에 n개의 입자를 분포시키는 방법의 수를 w(n,g)라 하자. 하나의 준위에 n개의 입자를 분포시키는 방법은 한 가지뿐이므로 w(n,1)=1이다. 두 개의 준위에 n개의 입자를 분포시키는 방법은 (n+1)가지가 있음을 쉽게 알 수 있는데, 이를 다음과 같이 쓸 수 있다.

w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}.

세 개의 준위에 n개의 입자를 분포시키는 방법의 수는

w(n,3) = w(n,2) + w(n-1,2) + \cdots + w(1,2) + w(0,2)

이므로

w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}

임을 알 수 있다. 여기서 우리는 이항 계수를 포함하는 다음 정리를 사용했다.

\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.

이 과정을 계속하면 w(n,g)가 이항 계수임을 알 수 있다.

w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}.

예를 들어, 세 개의 준위에 두 개의 입자가 있는 경우의 수는 200, 110, 101, 020, 011 또는 002이며, 총 여섯 가지가 있는데, 이는 4!/(2!2!)와 같다. 점유수 n_i의 집합을 실현할 수 있는 방법의 수는 각 에너지 준위를 채울 수 있는 방법의 곱이다.



W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{(n_i + g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!}

\approx \prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}



여기서 근사는 n_i \gg 1이라고 가정한다.

맥스웰-볼츠만 통계를 유도하는 데 사용된 것과 같은 절차에 따라, 고정된 총 입자 수와 고정된 총 에너지라는 제약 조건 하에서 ''W''가 최대화되는 n_i의 집합을 찾는다. W와 \ln(W)의 최댓값은 n_i의 동일한 값에서 발생하며, 수학적으로 더 쉽기 때문에 후자 함수를 대신 최대화한다. 라그랑주 승수를 사용하여 다음 함수를 형성하여 해를 제약한다.

f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+ \beta(E-\sum n_i \varepsilon_i)

n_i \gg 1 근사를 사용하고 계승에 대한 스터링 근사를 사용하면

f(n_i)=\sum_i (n_i + g_i) \ln(n_i + g_i) - n_i \ln(n_i) +\alpha\left(N-\sum n_i\right)+\beta\left(E-\sum n_i \varepsilon_i\right)+K ,

가 된다. 여기서 ''K''는 n_i의 함수가 아닌 여러 항의 합이다. n_i에 대해 미분하고 결과를 0으로 설정하여 n_i에 대해 풀면 보스-아인슈타인 점유수가 생성된다.

n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1}.

맥스웰-볼츠만 통계 문서에 설명된 것과 유사한 과정을 통해 다음을 알 수 있다.

d\ln W = \alpha\,dN + \beta\,dE

이는 볼츠만의 유명한 관계식 S=k_\text{B}\,\ln W를 사용하여 일정 부피에서의 열역학 제2법칙에 대한 진술이 되며, 따라서 \beta = \frac{1}{k_\text{B}T}이고 \alpha = - \frac{\mu}{k_\text{B}T}임을 알 수 있다. 여기서 ''S''는 엔트로피, \mu는 화학퍼텐셜, ''k''B는 볼츠만 상수, ''T''는 온도이다. 따라서 최종적으로 다음을 얻는다.

n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_\text{B}T}-1}.

위 공식은 때때로 다음과 같이 쓰인다.

n_i = \frac{g_i}{e^{\varepsilon_i/k_\text{B}T}/z-1},

여기서 z=\exp(\mu/k_\text{B}T)는 맥쿼리(McQuarrie)가 언급한 대로 절대 활동도이다.[17]

또한 입자 수가 보존되지 않는 경우, 입자 수 보존 제약 조건을 제거하는 것은 \alpha와 따라서 화학 퍼텐셜 \mu를 0으로 설정하는 것과 같다. 이것은 상호 평형 상태에 있는 광자와 질량이 있는 입자의 경우가 되며, 결과 분포는 플랑크 분포가 된다.

5. 큰 분배함수

:

Z _G ^{BE} = \prod _{k=1} ^\infty \frac{1}{1 - z e ^{-\beta \epsilon_k}}



여기서 z = e ^{\beta\mu}이다.

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

:Z _G ^{BE} = \sum _{n_1 , n_2 , \cdots = 0} ^\infty e^{-\beta (\epsilon_1 - \mu) ^{n_1}} e^{-\beta (\epsilon_2 - \mu) ^{n_2}} \cdots

::=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty e ^{-\beta (\epsilon_k - \mu) ^{n_k}}

::=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty (z e ^{-\beta\epsilon_k}) ^{n_k}

::=\prod _{k=1} ^\infty \frac{1}{1 - z e ^{-\beta \epsilon_k}}

6. 응용

순수한 확률 분포로 볼 때, 보스-아인슈타인 분포는 다른 분야에서도 응용되고 있다.

월드 와이드 웹, 비즈니스 및 인용 네트워크를 포함한 많은 복잡한 시스템의 진화는 시스템 구성 요소 간의 상호 작용을 설명하는 동적 웹에 인코딩되어 있다. 이러한 비가역적이고 비평형적인 네트워크는 보스 통계를 따르고 보스-아인슈타인 응축을 일으킬 수 있다. 평형 양자 기체의 틀 안에서 이러한 비평형 시스템의 동적 특성을 다루면 경쟁 시스템에서 관찰되는 "선점 이점", "적합한 자가 부유해진다"(FGR) 및 "승자 독식" 현상이 기본적으로 진화하는 네트워크의 열역학적으로 구별되는 상이라는 것을 예측한다.[19]

6. 1. 보스-아인슈타인 응축 (BEC)

보스 입자는 페르미 입자와는 다르게, 파울리 배타 원리에 영향을 받지 않는다. 즉, 무수한 입자들이 같은 시간에 같은 상태를 가질 수 있다. 이는 낮은 온도에서 왜 보스 입자가 페르미 입자와 달리 바닥 상태에 모든 입자가 모이는지 설명해주는데, 이러한 양상을 보스-아인슈타인 응축이라 한다.

보스-아인슈타인 통계는 광자의 경우에 한해 1920년에 보스에 의해 소개되었고, 1924년에 아인슈타인에 의해 일반적인 입자들의 경우로 일반화되었다.

6. 2. 정보 검색

최근 몇 년 동안 보스-아인슈타인 통계는 정보 검색에서 용어 가중치 부여 방법으로도 사용되었다. 이 방법은 DFR("무작위성과의 차이") 모델들의 집합 중 하나이며,[18] 기본 개념은 보스-아인슈타인 통계가 특정 용어와 특정 문서가 순전히 우연히 발생하지 않았을 중요한 관계를 갖는 경우에 유용한 지표가 될 수 있다는 것이다. 이 모델을 구현하는 소스 코드는 글래스고 대학교의 [http://ir.dcs.gla.ac.uk/terrier/doc/dfr_description.html Terrier 프로젝트]에서 이용 가능하다.

6. 3. 복잡계 네트워크

순수한 확률 분포로 볼 때, 보스-아인슈타인 분포는 다른 분야에서도 응용되고 있다.

  • 최근 몇 년 동안 보스-아인슈타인 통계는 정보 검색에서 용어 가중치 부여 방법으로도 사용되었다. 이 방법은 DFR("무작위성과의 차이") 모델들의 집합 중 하나이며,[18] 기본 개념은 보스-아인슈타인 통계가 특정 용어와 특정 문서가 순전히 우연히 발생하지 않았을 중요한 관계를 갖는 경우에 유용한 지표가 될 수 있다는 것이다. 이 모델을 구현하는 소스 코드는 글래스고 대학교의 [http://ir.dcs.gla.ac.uk/terrier/doc/dfr_description.html Terrier 프로젝트]에서 이용 가능하다.
  • 월드 와이드 웹, 비즈니스 및 인용 네트워크를 포함한 많은 복잡한 시스템의 진화는 시스템 구성 요소 간의 상호 작용을 설명하는 동적 웹에 인코딩되어 있다. 이러한 비가역적이고 비평형적인 네트워크는 보스 통계를 따르고 보스-아인슈타인 응축을 일으킬 수 있다. 평형 양자 기체의 틀 안에서 이러한 비평형 시스템의 동적 특성을 다루면 경쟁 시스템에서 관찰되는 "선점 이점", "적합한 자가 부유해진다"(FGR) 및 "승자 독식" 현상이 기본적으로 진화하는 네트워크의 열역학적으로 구별되는 상이라는 것을 예측한다.[19]

참조

[1] 서적 Quantum Photonics, 2nd edition https://www.springer[...] Springer 2020
[2] 서적 The conceptual development of quantum mechanics McGraw-Hill 1966
[3] 저널 Planck's radiation law, the light quantum, and the prehistory of indistinguishability in the teaching of quantum mechanics https://iopscience.i[...] 2017-05-01
[4] 저널 Croix ou pile 1754
[5] 웹사이트 Croix ou pile http://www.cs.xu.edu[...] 1754
[6] 논문 Bose–Einstein condensation: Analysis of problems and rigorous results https://iris.sissa.i[...] International School for Advanced Studies 2007-10
[7] 웹사이트 Planck's law and the hypothesis of light quanta http://www.condmat.u[...] 1924-07-02
[8] 저널 Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese
[9] arXiv The Story of Bose, Photon Spin and Indistinguishability 2023
[10] 서적 Statistical Mechanics PHI Learning Pvt. Ltd. 2005
[11] 서적 Statistical physics Pergamon Press 1980
[12] 서적 Statistical Mechanics PHI Learning Pvt. 2005-01
[13] 문서 The BE distribution can be derived also from thermal field theory.
[14] 서적 Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation Academic Press 1973
[15] 서적 Basics of Statistical Physics World Scientific 2013
[16] 저널 The ideal Bose–Einstein gas, revisited 1977
[17] 문서 See McQuarrie in citations
[18] 저널 Probabilistic models of information retrieval based on measuring the divergence from randomness http://dl.acm.org/ci[...] 2002
[19] 저널 Bose–Einstein Condensation in Complex Networks http://prola.aps.org[...] 2001
[20] 저널 Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese http://www.uni-ulm.d[...]


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