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자유군

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목차

1. 개요

자유군은 군의 한 종류로, 집합 S로부터 생성되는 군이다. 이는 쌍곡 기하학 연구에서 처음 등장했으며, 발터 폰 디크가 가장 간단한 군 표현을 가짐을 지적했다. 야코프 닐센은 자유군이라는 이름을 붙이고 대수적 연구를 시작했으며, 막스 데른은 위상수학과의 연관성을 파악했다. 오토 슈라이어와 쿠르트 라이데마이스터는 자유군에 대한 중요한 연구 결과를 발표했다. 자유군은 집합의 범주에서 군의 범주로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자를 가지며, 보편적인 성질을 통해 정의된다. 닐센-슈라이어 정리에 따르면 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. 자유군은 바나흐-타르스키 역설, 대수적 위상수학, 군 표현론 등 다양한 분야에 응용된다.

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자유군
개요
자유군의 케일리 그래프
랭크 2의 자유군의 케일리 그래프
유형군
구조적 속성자유군
정의
설명수학에서 자유군은 집합에서 생성된 군이며, 해당 집합의 원소 간의 관계에 대한 명시적인 제약 조건이 없습니다(관계의 정의는 아래 참조).
형식적 정의집합 S에 대한 자유군은 모든 원소가 S의 원소인 문자열로 구성됩니다. 문자열 "*"은 연결 연산으로 사용됩니다. 문자열 집합은 다음 규칙이 적용되는 경우에 자유군입니다.
(aa−1)*w = w
(a−1a)*w = w
여기서 a는 S의 모든 원소이고 w는 S의 원소 문자열입니다.
속성
랭크자유군의 랭크는 생성 집합 S의 카디널리티입니다.
보편적 속성함수 f : S → G가 주어지면, S에서 군 G로의 고유한 군 준동형 φ : F(S) → G가 존재합니다. 즉, f = φi입니다. 여기서 i : S → F(S)는 포함 맵입니다. F(S)는 이 속성까지 유일합니다.
예시
랭크 0랭크 0의 자유군은 자명군 {e}입니다.
랭크 1랭크 1의 자유군은 정수 집합 Z와 동형입니다.
랭크 2랭크 2 이상의 자유군은 가환군이 아닙니다.
활용
군 표현모든 군 G는 일부 집합 S에 대한 자유군 F(S)의 몫군과 동형입니다.
추가 정보
역사자유군에 대한 최초의 엄격한 접근 방식은 1882년에 발터 폰 디크에 의해 이루어졌습니다.
로마자 표기Jayugun

2. 역사

자유군은 19세기 말 쌍곡 기하학 연구에서 처음 등장했다. 1882년 발터 폰 디크는 논문에서 이 군들이 가능한 가장 간단한 군 표현을 가지고 있음을 지적했다.[1] 야코프 닐센은 자유군이라는 이름을 붙이고 기본적인 성질을 확립했다.[2][3][4] 막스 데른은 위상수학과의 연관성을 깨닫고 닐센-슈라이어 정리에 대한 최초의 증명을 얻었다.[5] 오토 슈라이어는 1927년에 이 결과에 대한 대수적 증명을 발표했고,[6] 쿠르트 라이데마이스터는 1932년 조합론적 위상수학에 대한 저서에 자유군에 대한 포괄적인 설명을 포함시켰다.[7] 1930년대 후반에 빌헬름 마그누스는 자유군의 하위 중심 열과 자유 리 대수 사이의 연관성을 발견했다.

2. 1. 초기 역사

자유군은 처음에는 쌍곡 기하학 연구에서 푸흐시안 군(등거리 변환에 의해 쌍곡 평면에서 작용하는 이산군)의 예로 등장했다. 1882년 발터 폰 디크는 논문에서 이 군들이 가능한 가장 간단한 군 표현을 가지고 있음을 지적했다.[1] 1924년 야코프 닐센은 자유군의 대수적 연구를 시작하면서 자유군이라는 이름을 붙이고 그들의 기본적인 성질을 많이 확립했다.[2][3][4]

2. 2. 발전 과정

쌍곡 기하학 연구에서 푸흐시안 군(등거리 변환에 의해 쌍곡 평면에서 작용하는 이산군)의 예로 처음 등장했다. 1882년 논문에서 발터 폰 디크는 이 군들이 가능한 가장 간단한 군 표현을 가지고 있음을 지적했다.[1] 자유군의 대수적 연구는 1924년 야코프 닐센에 의해 시작되었으며, 그는 자유군이라는 이름을 붙이고 그들의 기본적인 성질을 많이 확립했다.[2][3][4] 막스 데른은 위상수학과의 연관성을 깨닫고 완전한 닐센-슈라이어 정리에 대한 최초의 증명을 얻었다.[5] 오토 슈라이어는 1927년에 이 결과에 대한 대수적 증명을 발표했고,[6] 쿠르트 라이데마이스터는 1932년 조합론적 위상수학에 대한 그의 저서에 자유군에 대한 포괄적인 설명을 포함시켰다.[7] 1930년대 후반에 빌헬름 마그누스는 자유군의 하위 중심 열과 자유 리 대수 사이의 연관성을 발견했다.

1945년경, 알프레트 타르스키는 두 개 이상의 생성자를 갖는 자유군이 동일한 1차 논리 이론을 갖는지, 그리고 이 이론이 결정 가능한지를 질문했다.

3. 정의

'''자유군'''(free group)은 주어진 집합(생성 집합)으로부터 생성되는 가장 일반적인 군이다. 군의 구체적 범주 \operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}의 자유 대상이다. 즉, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 집합 S로부터 생성되는 '''자유군''' \langle S\rangle은 해당 함자의 상이다.

정수는 랭크 1의 자유군이며, 생성 집합은 ''S'' = {1}이다. 정수는 자유 아벨 군이지만, 랭크 \geq 2인 모든 자유군은 비가환군이다. 반면에, 비자명 유한군은 자유군이 될 수 없는데, 이는 자유군의 자유 생성 집합의 원소가 무한 차수를 가지기 때문이다.

대수적 위상수학에서, k개의 원의 묶음의 기본군은 ''k''개 원소 집합에 대한 자유군이다.

문자 집합 ''X'' = {''xλ''} ''λ''∈Λ 에 대해, 문자 집합 ''X''-1 = {''xλ''-1} ''λ''∈Λ 을 만들고, Ω = ''X'' ∪ ''X''-1 로 둔다. Ω 에 포함된 문자로 이루어진 길이가 유한한 문자열을 Ω 상의 '''단어''' (word) 라고 부른다.

Ω 의 두 단어 '''a''' = (''a''1, ''a''2, ..., ''a''''n''), '''b''' = (''b''1, ''b''2, ..., ''b''''m'') 의 곱 '''ab''' 는

:'''ab''' = (''a''1, ''a''2, ..., ''a''''n'', ''b''1, ''b''2, ..., ''b''''m'')

으로 정의된다. Ω 의 단어 전체 ''W''(Ω) 는 빈 단어 () 를 항등원으로 하는 모노이드가 된다.

단어 '''a''' 안에 ''x'' ∈ ''X'' 와 ''x''-1 ∈ ''X''-1 가 인접해 있는 부분을 제거하여 새로운 단어 '''b''' 를 만드는 것을 '''a''' 를 '''약분''' 하여 '''b''' 로 한다고 한다. 약분할 수 없는 단어는 '''기약''' 이라고 한다. 단어 '''a''' 를 약분하여 얻어지는 기약 단어를 '''a''' 의 '''약분 표현'''이라고 하며, ''I''('''a''') 로 표기한다.

''W''(Ω) 에서의 이항 관계 ~ 를 약분 표현이 일치하는 것으로 정의하면, 이 관계는 동치 관계가 된다. 단어 '''a''' 에 속하는 동치류를 ['''a'''] 로 표기한다.

''W''(Ω)의 동치류 집합 ''F''(''X'') = ''W''(Ω)/~는 곱셈을 ['''a''']['''b'''] = ['''ab''']로 정의하여 ''X''에서 생성되는 군이 된다. 이 군 ''F''(''X'')를 문자 집합 ''X'' 위의 '''자유군'''이라고 한다.

3. 1. 구성

집합 *S*로부터 생성되는 자유군은 다음과 같이 구성할 수 있다. *S*의 원소들을 형식적 기호로 생각하고, 각 원소 *s*에 대한 역원 *s*-1들로 이루어진 집합 *S*-1 = {*s*-1 : *s* ∈ *S*}를 생각한다.

알파벳 *S* ∪ *S*-1으로 구성되는 문자열을 생각할 수 있다. 이때,

: *ss*-1 (*s* ∈ *S*)

또는

: *s*-1*s* (*s* ∈ *S*)

꼴의 부분 문자열을 갖지 않는 문자열을 '''기약 문자열'''이라고 한다.

임의의 문자열에 위의 꼴의 부분 문자열들을 제거하면 기약 문자열을 얻을 수 있으며, 이렇게 얻는 기약 문자열은 부분 문자열 제거 순서와 무관하다. 이를 문자열의 '''축소화'''라고 한다.

자유군 ⟨*S*⟩는 (*S* ∪ *S*-1)* 속의 기약 문자열들의 집합으로 구성할 수 있다. 이 경우, 기약 문자열 *σ*, *σ*' ∈ (*S* ∪ *S*-1)*에 대하여, 군 이항 연산 *σ* · *σ*'은 두 문자열의 이음 *σσ*'의 축소화이다.

이 구성에서 군의 항등원은 길이 0의 문자열이며, 기약 문자열 *σ*의 역원은 *σ*의 순서를 거꾸로 한 뒤, *s* ∈ *S* 꼴의 알파벳은 *s*-1로, *s*-1 ∈ *S*-1 꼴의 알파벳은 *s*로 치환하여 얻는 문자열이다.

다른 방법으로, '''자유 생성 집합''' *S*를 사용하여 자유군 *FS*를 구성할 수도 있다. *S*에 있는 모든 *s*에 대해 "역원" 기호 *s*-1가 집합 *S*-1에 있다고 가정하고, *T* = *S* ∪ *S*-1로 정의한다. *S*의 단어는 *T*의 원소의 곱으로 정의된다. 예를 들어 *S* = {*a*, *b*, *c*}이면, *T* = {*a*, *a*-1, *b*, *b*-1, *c*, *c*-1}이고,

: *ab*3*c*-1*ca*-1*c*

는 *S*의 단어가 된다.

  • S*의 원소가 역원 바로 옆에 있으면, *c*, *c*-1 쌍을 생략하여 단어를 단순화할 수 있다.

: *ab*3*c*-1*ca*-1*c* → *ab*3*a*-1*c*

더 이상 단순화할 수 없는 단어를 '''축약'''이라고 한다.

자유군 *FS*는 *S*의 모든 축약된 단어의 집합으로 정의되며, 군 연산으로 단어의 결합 (필요한 경우 축약)을 사용한다. 항등원은 빈 단어이다.

축약된 단어의 첫 번째 글자와 마지막 글자가 서로 역원이 아니면 '''순환 축약'''이라고 한다. 모든 단어는 순환 축약된 단어와 켤레이며, 순환 축약된 단어의 순환 축약된 켤레는 단어의 문자의 순환 순열이다. 예를 들어, *b*-1*abcb*는 순환 축약되지 않지만, 순환 축약된 *abc*와 켤레이다.

문자 집합 *X* = {*xλ*}*λ*∈Λ에 대해, 문자 집합 *X*-1 = {*xλ*-1}*λ*∈Λ을 만들고, Ω = *X* ∪ *X*-1로 둔다. Ω에 포함된 문자로 이루어진 문자열을 Ω 상의 '''단어'''라고 한다.

Ω의 두 단어 a = (*a*1, *a*2, ..., *a**n*), b = (*b*1, *b*2, ..., *b**m*)의 곱 ab를

: ab = (*a*1, *a*2, ..., *a**n*, *b*1, *b*2, ..., *b**m*)

로 정의하면 Ω의 단어 전체 *W*(Ω)는 빈 단어를 항등원으로 하는 모노이드가 된다.

어떤 단어 a 안에 *x* ∈ *X*와 *x*-1 ∈ *X*-1가 인접해 있는 부분이 있을 때, 이 두 개를 제거하여 새로운 단어 b를 만드는 것을 a를 '''약분'''하여 b로 한다고 한다. 약분할 수 없는 단어는 '''기약'''이라고 한다. 단어 a를 약분하여 얻어지는 기약 단어를 a의 '''약분 표현'''이라고 하며, *I*(a)로 표기한다.

  • W*(Ω)에서의 이항 관계 ~를 약분 표현이 일치하는 것, 즉

: a ~ b ⇔ *I*(a) = *I*(b)

로 정의하면, 이 관계 ~는 동치 관계가 된다. 단어 a에 속하는 동치류를 [a]로 표기한다.

위 표기법에 따라, *W*(Ω)의 동치류 집합 *F*(*X*) = *W*(Ω)/~는 곱셈을 [a][b] = [ab]로 정의하여 *X*에서 생성되는 군이 된다. 이 군 *F*(*X*)를 문자 집합 *X* 위의 '''자유군'''이라고 한다.

3. 2. 보편성

자유군은 집합 S에 의해 생성되는 보편적인 군이다. 이는 다음과 같은 보편 성질로 공식화될 수 있다. 집합 S에서 군 G로 가는 함수 f가 주어지면, 다음 가환도를 만족시키는 유일한 군 준동형 사상 \varphi\colon F_S \to G가 존재한다(여기서 이름 없는 사상은 S에서 F_S로의 포함 사상을 나타낸다).

즉, 준동형 사상 F_S \to G는 함수 S \to G와 일대일 대응을 이룬다. 자유군이 아닌 군의 경우, 군 표현의 관계식의 존재는 준동형 사상 하에서 생성자의 가능한 상을 제한한다.

이것이 구성적 정의와 어떻게 관련되는지 이해하기 위해, S에서 F_S로의 사상이 각 기호를 해당 기호로 구성된 단어로 보내는 것을 생각해보자. 주어진 f에 대한 \varphi를 구성하기 위해, 먼저 \varphi가 빈 단어를 G의 항등원으로 보내고, S의 원소들에 대해 f와 일치해야 한다. 나머지 단어들(하나 이상의 기호로 구성된)에 대해, \varphi는 준동형 사상이므로, 즉 \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)이므로, 유일하게 확장될 수 있다.

위의 성질은 자유군을 동형까지 특징짓고, 때로는 대체 정의로 사용된다. 이것은 자유군의 보편 성질로 알려져 있으며, 생성 집합 S는 F_S의 기저라고 불린다. 자유군의 기저는 유일하게 결정되지 않는다.

문자 집합 X 위의 자유군은 자유군의 보편성이라고 불리는 다음의 성질로 특징지어진다. G를 임의의 군으로 하고, f\colon X \to G를 임의의 사상이라고 하면, 군의 준동형

\tilde{f}\colon F(X) \to G

로, 그 X로의 제한 사상에 대해

\tilde{f}(\mathbf{a}) = f(\mathbf{a})

가 임의의 \mathbf{a} \in X에 대해 성립하는 것이 단 하나 존재한다.

4. 성질

자유군은 다음과 같은 중요한 군론적 및 논리적 성질을 갖는다.


  • 모든 군 ''G''는 어떤 자유군 ''FS''의 준동형 사상이다. ''S''를 ''G''의 생성원 집합이라고 하면, 자연 사상 ''φ'': ''FS'' → ''G''는 전사 사상이며, ''G''는 어떤 자유군 ''FS''의 몫군과 동형이다. 만약 Ker(''φ'')가 ''F''의 유한하게 많은 원소의 켤레로 생성될 수 있다면, ''G''는 유한하게 표현된다.
  • 닐센-슈라이어 정리: 자유군의 모든 부분군은 자유군이다.
  • 작용이 나무에 대해, 자유롭게 그리고 방향을 보존하는 모든 군은 가산 계수의 자유군이다 (1에 오일러 지표를 더한 값으로 주어짐).
  • 유한 계수의 자유군의 케일리 그래프는 자유 생성 집합에 대해, 그룹이 자유롭게 작용하고 방향을 보존하는 나무이다.
  • 자유군의 모든 부분군은 원의 다발의 피복 공간, 즉 해당 군의 슈라이어 잉여류 그래프에 해당한다.
  • 그루쉬코 정리는 자유군 ''F''의 부분 집합 ''B''가 ''n''개의 원소에 대해 ''F''를 생성하고 ''n''개의 원소를 가지면 ''B''가 ''F''를 자유롭게 생성한다는 결과를 갖는다.


알프레트 타르스키는 1945년경 계수가 2 이상인 자유군의 1차 논리 이론은 모두 동형이며, 이는 결정 가능 이론이라고 추측하였다.[10] 2006년에 이 두 추측을 증명하는 두 편의 논문이 발표되었으나,[11][12] 이 논문들에 대해서는 아직 논란이 있다.[13][14]

4. 1. 크기

집합 S로부터 생성되는 자유군 \langle S\rangle의 크기는 생성 집합 S의 크기에 따라 결정된다.

S의 크기\langle S\rangle의 크기
>S|=01
1\le>S|\le\aleph_0\aleph_0
>S|\ge\aleph_0>S|



두 집합 S, T에 대하여, |S|=|T|이면 \langle S\rangle와 \langle T\rangle는 군으로서 서로 동형이다. 즉, 서로 다른 크기의 집합에서 생성된 자유군은 동형이 아니다.

4. 2. 군론적 성질

계수가 0인 자유군은 자명군이다. 계수가 1인 자유군은 무한 순환군이다. 계수가 2 이상인 자유군은 비아벨 군이다. 모든 군은 어떤 자유군의 몫군으로 나타낼 수 있다.

자유군의 아벨화는 자유 아벨 군이다.

두 자유군 ''FS''와 ''FT''는 ''S''와 ''T''가 동일한 기수를 가질 때에만 동형이다. 이 기수를 자유군 ''F''의 '''계수'''라고 한다. 따라서 모든 기수 ''k''에 대해, 동형까지 정확히 하나의 계수 ''k''인 자유군이 있다.

만약 ''S''가 2개 이상의 원소를 가지면, ''FS''는 아벨 군이 아니며, 실제로 ''FS''의 중심은 자명하다.

유한 계수 ''n'' > 1인 자유군은 지수적인 성장률 2''n'' − 1을 갖는다.

계수 ''k''인 자유군은 분명히 ''k''보다 작은 모든 계수의 부분군을 갖는다. 덜 명백하게, 계수가 2 이상인 (''비가환!'') 자유군은 모든 가산 계수의 부분군을 갖는다.

계수 ''k'' > 1인 자유군의 교환자 부분군은 무한 계수를 갖는다. 예를 들어 F(''a'',''b'')에 대해, 0이 아닌 ''m''과 ''n''에 대해 교환자 [''a''''m'', ''b''''n'']로 자유롭게 생성된다.

두 원소에서의 자유군은 SQ 보편군이다. 위는 모든 SQ 보편군이 모든 가산 계수의 부분군을 갖기 때문에 따릅니다.

4. 2. 1. 닐센-슈라이어 정리

'''닐센-슈라이어 정리'''(Nielsen–Schreier theorem영어)에 따르면, 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. 이 정리는 야코브 닐센(1890~1959)이 1921년에 유한 생성 부분군에 대하여 증명하였으며,[8] 오토 슈라이어(1901~1929)가 1927년 하빌리타치온 논문에서 일반적인 경우에 대하여 증명하였다.[9] 닐센-슈라이어 정리의 증명은 선택 공리를 필요로 한다.

4. 3. 논리적 성질

알프레트 타르스키는 1945년경 계수가 2 이상인 자유군의 1차 논리 이론은 모두 동형이며, 이는 결정 가능 이론이라고 추측하였다.[10] 2006년에 이 두 추측을 증명하는 두 편의 논문이 발표되었으나,[11][12] 이 논문들에 대해서는 아직 논란이 있다.[13][14]

5. 응용

자유군은 여러 분야에서 응용된다. 예를 들어, 계수 2의 자유군은 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

대수적 위상수학에서, 임의의 기수 \kappa에 대하여, \kappa개의 원들의 쐐기합 \textstyle\bigwedge^\kappa\mathbb S^1의 기본군은 계수 \kappa의 자유군이다.

군 표현론에서 모든 군은 어떤 자유군의 몫군과 동형이다.

5. 1. 바나흐-타르스키 역설

계수 2의 자유군은 바나흐-타르스키 역설의 증명에 등장한다.

5. 2. 대수적 위상수학

대수적 위상수학에서, 임의의 기수 \kappa에 대하여, \kappa개의 원들의 쐐기합 \textstyle\bigwedge^\kappa\mathbb S^1의 기본군은 계수 \kappa의 자유군이다. k개의 원의 묶음(공통점을 하나만 갖는 k개의 루프 집합)의 기본군은 k개의 원소 집합에 대한 자유군이다.[2]

5. 3. 군 표현론

모든 군 ''G''는 어떤 자유군 ''FS''의 준동형 사상이다. ''S''를 ''G''의 생성원 집합이라고 하면, 자연 사상 ''φ'': ''FS'' → ''G''는 전사 사상이 된다. 이는 모든 군이 어떤 자유군의 몫군과 동형임을 의미한다. ''S''를 유한하게 선택할 수 있다면, ''G''는 유한 생성이라고 불린다. 핵 Ker(''φ'')는 ''G''의 표현에서 모든 ''관계''의 집합이다. Ker(''φ'')가 ''F''의 유한하게 많은 원소의 켤레로 생성될 수 있다면, ''G''는 유한하게 표현된다.

6. 자유 아벨 군

집합 ''S''에 대한 자유 아벨 군은 보편적인 성질을 통해 정의할 수 있다. ''F''가 아벨 군이고 ''φ'': ''S'' → ''F''가 함수라고 하자. (''F'', ''φ'') 쌍은 모든 아벨 군 ''G''와 모든 함수 ''ψ'': ''S'' → ''G''에 대해 다음 조건을 만족하는 유일한 준동형 사상 ''f'': ''F'' → ''G''가 존재하면, '''φ''에 관하여 ''S''에 대한 자유 아벨 군'''이라고 한다.

:''f''(''φ''(''s'')) = ''ψ''(''s''), 모든 ''s'' ∈ ''S''에 대해.

''S''에 대한 자유 아벨 군은 자유군 F(''S'')를 그 교환자 부분군 [F(''S''), F(''S'')]로 나눈 몫군, 즉 아벨화로 나타낼 수 있다. 다시 말해, ''S''에 대한 자유 아벨 군은 문자의 순서에 따라 구별되는 단어들의 집합이다. 따라서 자유군의 계수는 자유 아벨 군으로서의 아벨화의 계수로 정의할 수도 있다.

참조

[1] 논문 Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies) http://gdz.sub.uni-g[...] 2015-09-01
[2] 논문 Die Isomorphismen der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden http://gdz.sub.uni-g[...] 2015-09-01
[3] 논문 On calculation with noncommutative factors and its application to group theory. (Translated from Danish)
[4] 논문 Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen http://gdz.sub.uni-g[...] 2015-09-01
[5] 논문 Max Dehn zum Gedächtnis http://gdz.sub.uni-g[...] 2015-09-01
[6] 논문 Die Untergruppen der freien Gruppen
[7] 서적 Einführung in die kombinatorische Topologie Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1972
[8] 저널 Om Regning med ikke-kommutative Faktorer og dens Anvendelse i Gruppeteorien http://runeberg.org/[...]
[9] 저널
[10] 저널
[11] 저널 Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group
[12] 저널 Elementary theory of free non-abelian groups http://www.math.mcgi[...] 2016-01-01
[13] 저널
[14] 저널


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