브로카르 점

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1. 개요

브로카르 점은 평면 위의 삼각형에서 특정 각도 조건을 만족하는 두 점을 의미하며, 제1 브로카르 점과 제2 브로카르 점으로 정의된다. 이 두 점을 통틀어 브로카르 점이라고 부르며, 제1 브로카르 점은 ∠ΩAB = ∠ΩBC = ∠ΩCA, 제2 브로카르 점은 ∠Ω'AC = ∠Ω'CB = ∠Ω'BA를 만족한다. 브로카르 점은 서로 등각 켤레점 관계에 있으며, 브로카르 각 ω는 삼각형의 변과 넓이를 통해 표현된다. 또한, 제1 브로카르 삼각형, 제2 브로카르 삼각형, 브로카르 원, 슈타이너 점, 타리 점, 노이베르크 원 등과 연관된 기하학적 성질을 갖는다. 브로카르 점은 1816년 크렐레에 의해 처음 소개되었고, 브로카르에 의해 재발견되었으며, 사각형에서도 유사한 개념으로 확장될 수 있다.

브로카르 점

정의	삼각형 내부의 특별한 점으로, 주어진 삼각형의 각 꼭짓점에서 다른 두 꼭짓점을 바라보는 각도가 모두 동일한 점이다.
발견자	앙리 브로카르

성질

브로카르 각	삼각형 ABC의 브로카르 점 P에 대해, ∠PAB = ∠PBC = ∠PCA = ω를 만족하는 각 ω.
브로카르 원	브로카르 점과 관련된 원으로, 삼각형의 외접원과 브로카르 축의 교점을 지나는 원이다.
존재	모든 삼각형은 유일한 브로카르 점을 가진다.

좌표

삼선 좌표	제1 브로카르 점: bc/ (b^2 + c^2), ca/ (c^2 + a^2), ab/ (a^2 + b^2) 제2 브로카르 점: ca/ (a^2 + b^2), ab/ (b^2 + c^2), bc/ (c^2 + a^2)
바리중심 좌표	제1 브로카르 점: a^2b^2 + b^4 + b^2c^2 : b^2c^2 + c^4 + c^2a^2 : c^2a^2 + a^4 + a^2b^2 제2 브로카르 점: c^2a^2 + a^4 + a^2b^2 : a^2b^2 + b^4 + b^2c^2 : b^2c^2 + c^4 + c^2a^2

관련 개념	브로카르 삼각형 브로카르 축 레스테모아 점

2. 정의

평면 위에 있는 삼각형 $ABC$ 가 있을 때, 꼭짓점의 순서가 시계 반대 방향이라고 가정하자. 이때 다음 조건을 만족하는 점 $\Omega$ 는 유일하게 존재한다.

: $\angle\Omega AB=\angle\Omega BC=\angle\Omega CA$

이 점 $\Omega$ 를 삼각형 $ABC$ 의 제1 브로카르 점이라고 한다.

같은 삼각형 $ABC$ 에서 다음 조건을 만족하는 점 $\Omega'$ 역시 유일하게 존재한다.

: $\angle\Omega'AC=\angle\Omega'CB=\angle\Omega'BA$

이 점 $\Omega'$ 을 삼각형 $ABC$ 의 제2 브로카르 점이라고 한다.

제1 브로카르 점과 제2 브로카르 점을 통틀어 브로카르 점이라고 부른다.

제1 브로카르 점과 제2 브로카르 점은 삼각형의 각을 재는 순서에 따라 달라지는데, 예를 들어 삼각형 $ABC$ 의 제1 브로카르 점은 삼각형 $ACB$ 의 제2 브로카르 점과 같다.

두 브로카르 점은 서로 등각 공액점이다.

2.1. 브로카르 각

제1 브로카르 점과 제2 브로카르 점이 각 변과 이루는 각( $\omega$ )은 동일하며, 이를 브로카르 각이라고 한다. 브로카르 각은 삼각형의 세 변의 길이( $a$ , $b$ , $c$ ), 넓이( $S$ ), 세 각( $A$ , $B$ , $C$ )을 이용하여 표현할 수 있다.

: $\begin{align}\cot\omega& =\cot A+\cot B+\cot C \\& =\frac{a^2+b^2+c^2}{4S} \\& =\frac{1+\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C} \\& =\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{2\sin A\sin B\sin C} \\& =\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}\end{align}$

: $\csc\omega=\csc A+\csc B+\csc C$

: $\sin\omega=\frac{2S}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$

브로카르 각은 항상 30° 이하이며, 30°일 때 삼각형은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).

: $\omega\le\frac\pi 6$

3. 성질

삼각형 $ABC$ 의 제1·제2 브로카르 점 $\Omega$ , $\Omega'$ 는 등각 켤레점이다. 즉, $\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA =\omega$ 와 $\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC$ 를 만족하는 각 $\omega$ 는 동일하며, 이 각을 브로카르 각이라고 한다.

브로카르 각 $\omega$ 는 다음의 성질을 갖는다.
: $\cot\omega=\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
(단, $a$ , $b$ , $c$ 는 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 길이이고, $S$ 는 삼각형 $ABC$ 의 넓이이다.)

모든 삼각형의 브로카르 각은 $\pi/6$ 이하이며, 브로카르 각이 정확히 $\pi/6$ 일 필요충분조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).

두 브로카르 점 $\Omega$ , $\Omega'$ 와 외심 $O$ 에 대해, $\Omega O=\Omega'O$ 가 성립한다. 즉, 두 브로카르 점과 외심 사이의 거리는 같다.

또한, 두 브로카르 점은 외심과 르무안 점을 지름의 양 끝으로 하는 원( 브로카르 원) 위에 있다.

3.1. 수족 삼각형

두 브로카르 점의 페달 삼각형은 서로 합동이며, 원래 삼각형과 닮음이다.

3.2. 제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원

삼각형 $ABC$ 의 제1 브로카르 점 $\Omega$ 와 제2 브로카르 점 $\Omega'$ 를 지나는 체바 직선들을 그어 교점 $B_A$ , $B_B$ , $B_C$ 를 얻는다. 이때, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $B_AB_BB_C$ 를 제1 브로카르 삼각형(first Brocard triangle^영어)이라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 각 꼭짓점은 원래 삼각형의 각 변의 수직 이등분선 위에 위치한다.

제1 브로카르 삼각형 $B_AB_BB_C$ 는 원래 삼각형 $ABC$ 와 닮음이며, 무게 중심은 일치한다. 이는 원주각의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형 $ABC$ 의 대칭 중점 $K$ 와 외심 $O$ 를 잇는 선분 $KO$ 를 지름으로 하는 원을 브로카르 원(Brocard circle^영어)이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 제1 브로카르 점과 제2 브로카르 점은 모두 브로카르 원 위에 있으며, 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형의 외접원이다.

3.3. 슈타이너 점과 타리 점

삼각형 $ABC$ 의 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 $B_BB_C$ , $B_CB_A$ , $B_AB_B$ 의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$ 의 슈타이너 점(Steiner point^영어) $S$ 라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 $ABC$ 의 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 $B_BB_C$ , $B_CB_A$ , $B_AB_B$ 의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $ABC$ 의 타리 점(Tarry point^영어) $T$ 라고 한다 (가스통 타리, Gaston Tarry^프랑스어). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.

슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.

삼각형 $ABC$ 의 대칭 중점 $K$ 는 제1 브로카르 삼각형 $B_AB_BB_C$ 의 슈타이너 점이다.

3.4. 노이베르크 원

삼각형 $ABC$ 의 브로카르 각을 $\omega$ 라고 할 때, 선분 $BC$ , $CA$ , $AB$ 를 한 변으로 하는 삼각형 $PBC$ , $QCA$ , $RAB$ 의 브로카르 각이 $\omega$ 가 되게 만드는 점 $P$ , $Q$ , $R$ 의 자취는 각각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나는 원과 이를 각각 변 $BC$ , $CA$ , $AB$ 에 대하여 반사한 상이다. 이 6개의 원 중에서 각각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나는 3개의 원을 삼각형 $ABC$ 의 노이베르크 원(Neuberg circles^영어)이라고 한다.

꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 지나는 노이베르크 원의 중심 $N_A$ , $N_B$ , $N_C$ 는 각각 삼각형의 변 $BC$ , $CA$ , $AB$ 의 수직 이등분선 위에 있다. 노이베르크 원의 중심과 삼각형의 변 사이의 거리는 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

노이베르크 원의 중심	삼각형의 변	거리
$N_A$	$BC$	$\frac 12a\cot\omega$
$N_B$	$CA$	$\frac 12b\cot\omega$
$N_C$	$AB$	$\frac 12c\cot\omega$

노이베르크 원의 반지름은 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

노이베르크 원	반지름
$A$ 를 지나는 노이베르크 원	$N_AA=\frac 12a\sqrt{\cot^2\omega-3}$
$B$ 를 지나는 노이베르크 원	$N_BB=\frac 12b\sqrt{\cot^2\omega-3}$
$C$ 를 지나는 노이베르크 원	$N_CC=\frac 12c\sqrt{\cot^2\omega-3}$

꼭짓점

A

를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점

B

C

를 중심으로 하며 선분

BC

를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점

B

를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점

C

A

를 중심으로 하며 선분

CA

를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점

C

를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점

A

B

를 중심으로 하며 선분

AB

를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분

BC

및 변화하는 점

A

에 대한 (꼭짓점

A

를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점

L

L'

과 선분

BC

는 두 정삼각형

LBC

L'BC

를 이룬다.

4. 관련 점

삼각형의 두 브로카르 점은 서로 등각 공액점이다. 두 브로카르 점의 중점은 브로카르 중점이라고 불리며, 외심과 유사 무게 중심을 잇는 직선(브로카르 축) 위에 있다.

ΩB와 Ω'C의 교점을 A', ΩC와 Ω'A의 교점을 B', ΩA와 Ω'B의 교점을 C'라고 할 때, AA', BB', CC'는 한 점에서 만난다. 이 점을 제3 브로카르 점이라고 한다. 제3 브로카르 점은 유사 무게 중심의 등장 공액점이다.

브로카르 중점과 제3 브로카르 점의 삼선 좌표는 각각 다음과 같다.

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좌우로 밀어서 보기

\| 삼선 좌표
브로카르 중점
제3 브로카르 점

5. 역사

오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 1816년 아우구스트 레오폴트 크렐레가 도입하였다. 카를 프리드리히 안드레아스 야코비를 비롯한 여러 수학자들도 이를 연구하였다. 1875년 앙리 브로카르가 재발견하였다.

6. 사각형에서의 브로카르 점

F. G. W. 브라운은 1917년 The Mathematical Gazette에서 사각형의 브로카르 점에 대해 기술하고 있다.

원에 내접하는 사각형 ABCD에서 AB×CD=BC×DA일 때, ∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω가 되는 점 P가 존재한다. 마찬가지로 ∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω가 되는 점 Q가 존재한다.