체바 직선

3. 성질

3. 1. 체바 정리와 메넬라오스 정리

• AD, BE, CF는 공점선이거나 평행선이다.
• · · = 1

• D, E, F는 공선점이다.
• · · = -1

3. 2. 부등식

• $\backslash frac\{AP\}\{PD\}+\backslash frac\{BP\}\{PE\}+\backslash frac\{CP\}\{PF\}\backslash ge\; 6$

• $\backslash frac\{AP\}\{PD\}\backslash cdot\backslash frac\{BP\}\{PE\}\backslash cdot\backslash frac\{CP\}\{PF\}\backslash ge\; 8$

• $\backslash frac\{AD\}\{PD\}\backslash cdot\backslash frac\{BE\}\{PE\}\backslash cdot\backslash frac\{CF\}\{PF\}\backslash ge\; 27$

• $\backslash frac\{AD\}\{AP\}+\backslash frac\{BE\}\{BP\}+\backslash frac\{CF\}\{CP\}\backslash ge\backslash frac\; 92$

3. 3. 체바 삼각형의 성질

4. 길이

; 스튜어트 정리

스튜어트 정리를 사용하여 체바 선의 길이를 결정할 수 있다. 그림에서 체바 선 길이 ''d''는 다음 공식으로 주어진다.^[4]

:\,b²m + c²n = a(d² + mn).

; 중선

체바 선이 중선일 경우, 중선 정리를 사용하여 그 길이를 구할 수 있다. 중선은 변을 이등분한다.^[25]

:$\backslash ,2(b^2\; +\; c^2)\; =\; 4d^2\; +\; a^2$

:$d=\; \backslash frac\backslash sqrt\{2\; b^2\; +\; 2\; c^2\; -\; a^2\}2\; .$

여기서 a = 2m이다.

; 각의 이등분선

체바 선이 각의 이등분선이라면, 그 길이는 다음 공식을 따른다.^[5][11]

:d^2+mn = bc

:d= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}

여기서 반둘레 s = \tfrac{a+b+c}{2}.

길이 a인 변은 비율 b : c로 나뉜다.

; 높이

체바 선이 높이이고, 변에 수직일 때, 그 길이는 다음 공식들을 따른다.^[25]

:$\backslash ,d^2\; =\; b^2\; -\; n^2\; =\; c^2\; -\; m^2$

그리고

:$d=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{s(s-a)(s-b)(s-c)\}\}\{a\},$

여기서 s는 반둘레이며, $s\; =\; \backslash tfrac\{a+b+c\}\{2\}.$ 이다.

4. 1. 스튜어트 정리

4. 2. 중선

4. 3. 각의 이등분선

4. 4. 높이

5. 비율

임의의 삼각형 내부의 한 점을 지나는 세 개의 체바 선이 형성하는 길이의 비율에는 여러 가지 성질이 있다.^[6] 오른쪽 그림과 같이 각 꼭짓점에 대한 체바 선이 내부의 점에서 교차할 때, 다음 식이 성립한다.^[12]

:$\backslash begin\{align\}$

& \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} \cdot \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} = 1 \\

& \\

& \frac{\overline{AO}}{\overline{OD}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{EC}} + \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}; \\

& \\

& \frac{\overline{OD}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{OE}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{OF}}{\overline{CF}} = 1; \\

& \\

& \frac{\overline{AO}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BO}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CO}}{\overline{CF}} = 2.

\end{align}

첫 번째 성질은 체바 정리로 알려져 있다. 마지막 두 성질은 두 식을 더하면 항등식 1 + 1 + 1 = 3이 되므로 동치이다.

6. 특수한 체바 선

6. 1. 분할선

6. 2. 면적 이등분선

6. 3. 각의 삼등분선

7. 체바 삼각형

삼각형 $ABC$와 점 *P*에 대해 직선 *BC*, *AP*의 교점을 *D*, 직선 *CA*, *BP*의 교점을 *E*, 직선 *AB*, *CP*의 교점을 *F*라고 하자. 이때, 선분 *AD, BE, CF*를 체바족, 체바 단체라고 한다.^[13] 또한, △*DEF*를 *P*의 '''체바 삼각형'''(Cevian triangle)이라고 한다.^[14][20][15] *P*의 바리 중심 좌표를 *p : q : r*로 하고, *D, E, F*의 바리 중심 좌표는 다음과 같이 주어진다.

$D=\; 0\; :\; q\; :\; r\; ,\backslash quad\; E=\; p:0:\; r,\backslash quad\; F=\; p:q:0$



삼각형 $ABC$의 체바 삼각형 $DEF$의 각 꼭짓점을 원래 삼각형의 각 변의 중점에 대하여 반사하여 얻는 점을 $D\text{'}$, $E\text{'}$, $F\text{'}$이라고 하자. 그렇다면 삼각형 $D\text{'}E\text{'}F\text{'}$ 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.^[25] 삼각형 $ABC$의 체바 삼각형 $DEF$의 외접원과 원래 삼각형의 각 변의 직선의 (중복도를 감안한) 총 6개의 교점 가운데 $D$, $E$, $F$가 아닌 것들을 $D\text{'}\text{'}$, $E\text{'}\text{'}$, $F\text{'}\text{'}$이라고 하자. 그렇다면 삼각형 $D\text{'}\text{'}E\text{'}\text{'}F\text{'}\text{'}$ 역시 원래 삼각형의 체바 삼각형이다.^[25] 삼각형의 수족-체바 점의 등각 켤레점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.^[25] 삼각형의 수족-체바 점에 외심에 대한 반사를 가하여 얻는 점은 같은 삼각형의 수족-체바 점이다.^[25]

7. 1. 체바 원

7. 2. 체바 원 공액

7. 3. 반체바 삼각형

• 는 각각 위에 있다.
• 는 각각 점를 통과한다.
• 에 대한 의 체바 삼각형은 이다.

7. 4. 체바 공액

7. 5. 체바 점

7. 6. 체바 선의 중첩

8. 예시

8. 1. 중선

8. 2. 높이

8. 3. 제르곤 점을 지나는 체바 선

9. 역사

체바 선은 이탈리아의 수학자 조반니 체바의 이름을 따서 붙여졌다.

10. 같이 보기

• 메넬라오스 정리
• 수족 삼각형
• 삼선극선

참조

_[1] 서적 Geometry Revisited https://archive.org/[...] Mathematical Association of America
_[2] 문서
_[3] 간행물 A new look at the 'centers' of a triangle
_[4] 웹사이트 Art of Problem Solving https://artofproblem[...] 2018-10-22
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 간행물 構成的ガロア理論と数論的基本群における計算代数手法の揺籃 https://cir.nii.ac.j[...]
_[8] 서적 Geometry Revisited https://archive.org/[...] Mathematical Association of America
_[9] 문서
_[10] 간행물 A new look at the 'centers' of a triangle
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 서적 重心座標による幾何学 現代数学社 2014
_[14] 웹사이트 Cevian Triangle https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[15] 웹사이트 三角形の心 http://taurus.ics.na[...] 2024-07-07
_[16] 웹사이트 Cevian Circle https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[17] 웹사이트 Cyclocevian Conjugate https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[18] 웹사이트 Anticevian Triangle https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[19] 웹사이트 Ceva Conjugate https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[20] 웹사이트 ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS https://faculty.evan[...] 2024-03-21
_[21] 서적 数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何をめぐる船旅 日本評論社 2023-02-15
_[22] 웹사이트 Cevian nest https://cs.earlham.e[...] Igor Minevich 2024-03-23
_[23] 웹사이트 Cevapoint https://mathworld.wo[...] 2024-03-21
_[24] 서적
_[25] 서적