신개선

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1. 개요

신개선(Involute)은 평면 곡선과 관련된 수학적 개념으로, 주어진 곡선에 팽팽한 끈을 감거나 풀 때 끈의 끝점이 그리는 궤적을 의미한다. 신개선은 곡선의 기하학적 특성을 나타내며, 수학적 표현을 통해 정의된다. 특히 원의 신개선은 톱니바퀴의 톱니 모양으로 사용되어 기어 시스템의 효율성을 높이는 데 기여하며, 스크롤 압축기 및 고 플럭스 동위원소 원자로 연료 요소 설계에도 활용되는 등 다양한 공학 분야에서 중요한 역할을 한다.

신개선

개요

이미지 준비중입니다.

곡선에서 실을 풀 때 자취를 그리는 점 P

정의	다른 곡선에서 풀려나올 때 팽팽하게 당겨진 끈의 끝점이 그리는 곡선
설명	주어진 곡선의 수직선에 끈이 감겨 있다고 생각할 수 있음 끈이 풀릴 때 끝점은 인벌류트를 추적함
용어	다른 이름: 펼침선, 에볼벤트 영어: involute, evolvent

특징

성질	인벌류트는 주어진 곡선에 항상 수직임 주어진 곡선은 인벌류트의 에볼류트임

수학적 표현

매개변수 방정식	기준 곡선: r(t) 접선 벡터의 단위: e(t) 인벌류트: R(t) = r(t) + l e(t) 설명: l은 매개변수, 특정 l 값에서 시작하는 인벌류트가 있음

예시

원의 인벌류트	매개변수 방정식: x = a(cos(t) + t sin(t)), y = a(sin(t) - t cos(t)) 설명: a는 원의 반지름

응용

기어 설계	사이클로이드 대신 사용 장점: 중심 거리의 작은 변화에 덜 민감함

에볼류트	인벌류트의 곡률 중심의 자취

2. 정의 및 구하는 방법

평면곡선 $\gamma(s)$ 의 신개선 I(s)의 방정식은 다음과 같다.

* $I(s) = \gamma(s) - s\mathbf{T}(s)$

여기서 s는 길이변수이다. 매개변수 t와 좌표변수 x, y에 대해 유클리드 2차원 평면 상의 매개변수식으로 표시하면, (x(t), y(t))의 임의의 a에 대한 신개선의 식은 다음과 같다.

* $([x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}], [y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}])$

2.1. 기하학적 정의

$\vec c(t),\; t\in [t_1,t_2]$ 를 정칙 곡선이라고 하고, 평면에서 곡률이 0이 아닌 지점이 없을 때, $a\in (t_1,t_2)$ 이면, 다음과 같은 매개변수 표현을 갖는 곡선은 주어진 곡선의 인볼루트이다.

$\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw

끈은 곡선

\vec c(t)

에 접선으로 작용한다. 끈의 길이는 풀리거나 감기는 동안 이동하는 호의 길이만큼 변경된다. 구간

[a,t]

에서 이동한 곡선의 호의 길이는 다음과 같다.

\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw

여기서

a

는 호의 길이를 측정하기 시작하는 시작점이다. 접선 벡터가 여기서 팽팽한 끈을 나타내므로, 끈 벡터는 다음과 같다.

\frac{\vec c'(t)}

👆

좌우로 밀어서 보기

\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw

끈의 끝점(

\vec C_a(t)

)에 해당하는 벡터는 벡터 덧셈을 사용하여 쉽게 계산할 수 있으며, 다음을 얻는다.

\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}

👆

좌우로 밀어서 보기

\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw

적분

\Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr)

에 임의의 고정된 수

l_0

를 더하면

l_0

만큼 연장된 끈에 해당하는 인볼루트가 생성된다 (풀리지 않은 실이 이미 약간 매달려 있는 털실 뭉치와 같이). 따라서 인볼루트는 상수

a

를 변경하거나 적분에 숫자를 더하여 변경할 수 있다.

만약

\vec c(t)=(x(t),y(t))^T

라면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .\end{align}

2.2. 수학적 표현

정칙 곡선 $\vec c(t)$ 의 인볼루트 곡선 $\vec C_a(t)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw

여기서

a

는 호의 길이를 측정하기 시작하는 기준점이다.

유클리드 2차원 평면에서 매개변수 t와 좌표변수 x, y를 사용하여 매개변수 방정식으로 표현하면, (x(t), y(t))의 임의의 a에 대한 신개선의 식은 다음과 같다.

:

\begin{cases}X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .\end{cases}

위 식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\begin{cases}X[x,y]=x-\dfrac{x'\int_a^t \sqrt{x'^2+y'^2}\,dt}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\\[15pt]Y[x,y]=y-\dfrac{y'\int_a^t \sqrt{x'^2+y'^2}\,dt}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\end{cases}

3. 인볼루트 곡선의 성질

정규 곡선의 성질을 유도하기 위해서는 주어진 곡선의 매개변수를 호의 길이 $s$ 라고 가정하는 것이 유리하며, 이를 통해 다음과 같이 단순화할 수 있다. $\;|\vec c'(s)|=1\;$ 및 $\;\vec c$ (s)=\kappa(s)\vec n(s)\;. 여기서 $\kappa$ 는 곡률이고 $\vec n$ 은 단위 법선 벡터이다. 그러면 다음을 얻을 수 있다.

: $\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\$ 및
: $\vec C_a'(s)=-\vec c$ (s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\;

인벌루트의 집합과 원래 곡선에 대한 접선의 집합은 직교 좌표계를 이룬다. 따라서 인벌루트는 그래픽으로 구성할 수 있다. 먼저 접선들의 집합을 그린 다음, 항상 그 점을 통과하는 접선에 직교하게 유지하면서 인벌루트를 구성한다.

3.1. 법선과 접선

* 점

\vec C_a(a)

에서, 인벌루트는 정규적이지 않다. 왜냐하면

| \vec C_a'(a)|=0

이기 때문이다.
*

\; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;

으로부터, 점

\vec C_a(s)

에서의 인벌루트의 법선은 점

\vec c(s)

에서의 주어진 곡선의 접선이다.
* 인벌루트들은 평행 곡선이다. 왜냐하면

\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)

이고,

\vec c'(s)

가

\vec C_0(s)

에서 단위 법선이기 때문이다.

3.2. 첨점 (Cusp)

일반적으로 인볼루트 곡선에는 두 가지 유형의 첨점이 있다. 첫 번째 유형은 인볼루트가 곡선 자체에 접하는 지점으로, 3/2차 첨점이다. 두 번째 유형은 곡선이 변곡점을 갖는 지점으로, 5/2차 첨점이다.

예를 들어, 원의 인벌류트에서 시작하여 방정식을 구하고, $a = 0$ 으로 설정하고 작은 $t$ 에 대해 전개하면 세미큐비컬 포물선인 3/2차 곡선을 얻을 수 있다.

두 번째 유형의 경우, 곡선

y = x^3

을 고려하여 인벌루트의 매개변수 공식을 구하고 확장하면 5/2차 특이점임을 알 수 있다.

4. 여러 가지 곡선의 인볼루트

여러 가지 곡선의 인볼루트에 대해 알아보자.

* 원의 인볼루트는 아르키메데스 나선과 유사한 형태를 띤다.
* 현수선의 인볼루트는 트랙트릭스가 된다.
* 사이클로이드의 인볼루트는 합동인 사이클로이드가 된다.
* 반입방 포물선의 인볼루트는 포물선이 된다.

4.1. 원의 인볼루트

원의 신개선은 아르키메데스 나선과 유사한 형태를 띤다.

* 직교 좌표계에서 원의 신개선의 매개변수 표시 (x(t), y(t))는 다음과 같다.
:

\begin{cases}x = a(\cos t + t\sin t)\\y = a(\sin t - t\cos t)\end{cases}

:(단, a는 원의 반지름, t는 매개변수)
* 극좌표계 (r, θ)에서 원의 신개선의 매개변수 표시는 다음과 같다.
:

\begin{cases}r=a\sec\alpha\\\theta =\tan\alpha -\alpha\end{cases}

:(단, a는 원의 반지름, α는 매개변수)

원의 신개선은 종종 다음과 같은 형태로 나타내기도 한다.
:

\begin{cases}r = a \sqrt{1+t^2}\\\theta =\arctan\dfrac{\sin t - t \cos t}{\cos t + t \sin t}\end{cases}

레온하르트 오일러는 원의 신개선을 톱니바퀴의 톱니 형태로 사용하는 것을 제안했다. 오늘날에도 널리 사용되는 그러한 디자인의 톱니바퀴는 인벌루트 기어라고 불린다.

4.2. 현수선의 인볼루트

현수선 $(t, \cosh t)$의 접선 벡터는 $\vec c'(t) = (1, \sinh t)$이며, $ 1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t,$이므로 그 길이는 $|\vec c'(t)| = \cosh t$이다. 따라서 점 $(0, 1)$에서 호의 길이는 $\textstyle\int_0^t \cosh w\,dw = \sinh t$이다.

$(0, 1)$에서 시작하는 인볼루트는 $(t - \tanh t, 1/\cosh t)$로 매개변수화되며, 이것은 트랙트릭스이다. 다른 인볼루트들은 트랙트릭스의 평행 곡선이므로 트랙트릭스가 아니다.

현수선의 정점이 그리는 신개선은 견인 곡선이다. 직교 좌표계에서 견인 곡선의 매개 변수 표시는 다음과 같다.
: $\begin{cases}x=t-\tanh t\\y=\operatorname{sech}t\end{cases}$
여기서 t는 매개변수, sech는 쌍곡선 정할 함수이다.

4.3. 사이클로이드의 인볼루트

매개변수 표현

\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)

는 사이클로이드를 나타낸다.

\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)

에서 (몇 가지 삼각 함수 공식을 사용한 후) 다음을 얻는다.
:

|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},

그리고
:

\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.

따라서 해당 인볼루트의 방정식은 다음과 같다.
:

X(t) = t + \sin t,

Y(t) = 3 + \cos t,

이는 그림의 이동된 빨간색 사이클로이드를 나타낸다.

* 사이클로이드

(t - \sin t, 1 - \cos t)

의 인볼루트는 사이클로이드의 평행 곡선

(t + \sin t, 3 + \cos t)

이다. (사이클로이드의 평행 곡선은 사이클로이드가 아니다.)

싸이클로이드의 (적절한 호의 길이에 대한) 신개선은 다시 싸이클로이드(와 합동)가 된다. 직교 좌표계에서의 싸이클로이드의 매개 변수 표시는

:

\begin{cases}x=r(t-\sin t)\\y=r(1-\cos t)\end{cases}

로 나타낼 수 있다. 단, t는 원을 굴린 각도를 매개 변수로 한 것이고, r은 굴리는 원의 반지름이다.

4.4. 반입방 포물선의 인볼루트

매개변수 방정식 $\vec c(t) = (\tfrac{t^3}{3}, \tfrac{t^2}{2})$ 는 세제곱 포물선을 나타낸다. $\vec c'(t) = (t^2, t)$ 로부터 $|\vec c'(t)| = t\sqrt{t^2 + 1}$ 과 $\int_0^t w\sqrt{w^2 + 1}\,dw = \frac{1}{3}\sqrt{t^2 + 1}^3 - \frac13$ 을 얻는다. 끈을 $l_0={1\over3}$ 만큼 늘리면 추가적인 계산이 대폭 단순화되며, 다음을 얻는다.

: $\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}$

를 소거하면 $Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},$ 이 되어 이 인볼루트가 포물선임을 보여준다. 다른 인볼루트들은 따라서 포물선의 평행 곡선이며, 6차 곡선이므로 포물선이 아니다.

5. 에볼루트와의 관계

주어진 곡선 $c_0$ 의 에볼루트는 $c_0$ 의 곡률 중심으로 구성된다. 인볼루트와 에볼루트 사이에는 다음 명제가 성립한다.

:곡선은 그 인볼루트 중 하나의 에볼루트이다.

6. 응용

신개선(인벌루트 곡선)은 다양한 공학 분야에서 중요하게 응용된다.

--

신개선의 성질은 기어 산업에서 매우 중요하다. 현대적인 기어는 대부분 신개선 형태의 톱니를 가진다. 원의 신개선은 기체 압축에도 중요한 도형이며, 스크롤 압축기 제작에 이 도형을 기반으로 할수 있다. 고 플럭스 동위원소 원자로는 인벌루트 형상의 연료 요소를 사용하는데, 이는 냉각재를 위한 일정한 폭의 채널을 그 사이에 허용하기 때문이다.

6.1. 인벌루트 기어

현대 기어 이빨의 가장 일반적인 프로파일은 원의 인벌류트이다. 인벌류트 기어 시스템에서, 맞물리는 두 기어의 이빨은 하나의 즉각적인 접촉점에서 만나며, 이 점은 하나의 직선 작용선을 따라 이동한다. 접촉하는 이빨이 서로에게 가하는 힘 또한 이 선을 따르며 이빨에 수직이다. 이러한 조건을 유지하는 인벌류트 기어 시스템은 기어링의 기본 법칙을 따르는데, 이는 두 기어 사이의 각속도 비율이 전체적으로 일정하게 유지되어야 함을 의미한다.

다른 모양의 이빨을 사용하면 연속적인 이빨이 맞물릴 때 상대 속도와 힘이 증가하고 감소하여 진동, 소음 및 과도한 마모가 발생한다. 이러한 이유로, 거의 모든 현대 평면 기어 시스템은 인벌류트 또는 관련 사이클로이드 기어 시스템이다.

오일러는 원의 신개선을 톱니바퀴의 톱니 형태로 사용하는 것을 제안했다. 오늘날에도 널리 사용되는 그러한 디자인의 톱니바퀴는 인벌류트 기어라고 불린다. 맞물리는 두 개의 기어가 신개선을 윤곽으로 하는 톱니를 가지고 있다면, 인벌류트 기어계를 형성한다. 이 톱니들을 맞물릴 때의 회전 비율은 일정하며, 기어가 만들어내는 힘이 항상 일정한 수준을 유지한다. 톱니의 모양이 다른 경우, 연속적으로 톱니를 맞물리면 상대 속도와 힘이 증감을 반복하며, 결과적으로 진동, 소음 또는 과도한 마모 등을 일으킨다.

6.2. 스크롤 압축기

--
원의 인벌류트는 스크롤 압축기에서 중요한 형태이다. 스크롤 압축기는 이 형상을 기반으로 제작될 수 있는데, 기존 압축기보다 소음이 적고 매우 효율적인 것으로 증명되었다.

6.3. 고 플럭스 동위원소 원자로

고 플럭스 동위원소 원자로는 인벌류트 형상의 연료 요소를 사용하는데, 이는 냉각재를 위한 일정한 폭의 채널을 그 사이에 허용하기 때문이다.

정의	다른 곡선에서 풀려나올 때 팽팽하게 당겨진 끈의 끝점이 그리는 곡선
설명	주어진 곡선의 수직선에 끈이 감겨 있다고 생각할 수 있음 끈이 풀릴 때 끝점은 인벌류트를 추적함
용어	다른 이름: 펼침선, 에볼벤트 영어: involute, evolvent

특징

성질	인벌류트는 주어진 곡선에 항상 수직임 주어진 곡선은 인벌류트의 에볼류트임

수학적 표현

매개변수 방정식	기준 곡선: r(t) 접선 벡터의 단위: e(t) 인벌류트: R(t) = r(t) + l e(t) 설명: l은 매개변수, 특정 l 값에서 시작하는 인벌류트가 있음

예시

원의 인벌류트	매개변수 방정식: x = a(cos(t) + t sin(t)), y = a(sin(t) - t cos(t)) 설명: a는 원의 반지름

응용

기어 설계	사이클로이드 대신 사용 장점: 중심 거리의 작은 변화에 덜 민감함