선직다양체

1. 개요

선직다양체는 대수적으로 닫힌 체 K 위의 사영 직선과 K 위의 대수다양체의 곱과 쌍유리 동치인 대수다양체이다. 특히, 단선직다양체는 우세 유리 사상을 통해 정의되며, 선직면은 선직다양체인 대수 곡면을 의미한다. 표수가 0인 체 위에서 단선직다양체는 고다이라 차원이 -∞이며, 체의 확대에 따라 단선직성은 보존되지만, 선직성은 보존되지 않을 수 있다. 양의 표수에서는 분리 단선직다양체라는 개념이 사용되며, 모든 유리점을 통과하는 유리 곡선의 존재 여부가 중요한 특징으로 작용한다.

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 선직다양체는 사영 직선 $\backslash mathbb\; P^1\_K$과 $K$ 위의 대수다양체 $V$의 곱 $\backslash mathbb\; P^1\_K\backslash times\; V$와 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여, 만약
* $K$ 위의 대수다양체 $Y$
* 우세 유리 사상 $\backslash phi\backslash colon\; Y\backslash times\backslash mathbb\; P^1-\backslash !\backslash to\; X$
이 존재하며, 또한
* $\backslash phi=\backslash chi\backslash circ\backslash pi\_Y$ ($\backslash pi\_Y\backslash colon\; Y\backslash times\backslash mathbb\; P^1\_K-\backslash !\backslash to\; Y$는 $Y$로의 사영)
인 우세 유리 사상 $\backslash chi\backslash colon\; Y-\backslash !\backslash to\; X$이 존재하지 않는다면, $X$를 단선직다양체(單線織多樣體, uniruled variety^영어)라고 한다.

선직면(線織面, ruled surface^영어)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

2.1. 선직다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 선직다양체는 사영 직선 $\backslash mathbb\; P^1\_K$과 $K$ 위의 대수다양체 $V$의 곱 $\backslash mathbb\; P^1\_K\backslash times\; V$와 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 $K$ 위의 대수다양체 $Y$와 우세 유리 사상 $\backslash phi\backslash colon\; Y\backslash times\backslash mathbb\; P^1-\backslash !\backslash to\; X$이 존재하고, $\backslash phi=\backslash chi\backslash circ\backslash pi\_Y$ ($\backslash pi\_Y\backslash colon\; Y\backslash times\backslash mathbb\; P^1\_K-\backslash !\backslash to\; Y$는 $Y$로의 사영)인 우세 유리 사상 $\backslash chi\backslash colon\; Y-\backslash !\backslash to\; X$이 존재하지 않는다면, $X$를 단선직다양체(單線織多樣體, uniruled variety^영어)라고 한다.

선직면(線織面, ruled surface^영어)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

2.2. 단선직다양체

대수적으로 닫힌 체 위에서 정의되며, 우세 유리 사상을 통해 정의되는 더 일반적인 개념이다. 주어진 대수다양체 X에 대해, 다른 대수다양체 Y와 우세 유리 사상 φ: Y × P¹ ⇸ X 가 존재하고, φ가 Y로의 사영을 거치지 않으면 X는 단선직다양체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여, 만약
* $K$ 위의 대수다양체 $Y$
* 우세 유리 사상 $\backslash phi\backslash colon\; Y\backslash times\backslash mathbb\; P^1-\backslash !\backslash to\; X$
이 존재하며, 또한
* $\backslash phi=\backslash chi\backslash circ\backslash pi\_Y$ ($\backslash pi\_Y\backslash colon\; Y\backslash times\backslash mathbb\; P^1\_K-\backslash !\backslash to\; Y$는 $Y$로의 사영)
인 우세 유리 사상 $\backslash chi\backslash colon\; Y-\backslash !\backslash to\; X$이 존재하지 않는다면, $X$를 단선직다양체(uniruled variety^영어)라고 한다.

선직면(線織面, ruled surface^영어)은 선직다양체인 대수 곡면이다.

2.3. 선직면

3. 성질

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 3차원 이하의 대수다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 단선직다양체이다.
* 고다이라 차원이 $-\backslash infty$이다.
이는 모든 차원에서 성립한다고 추측되지만, 아직 4차원 이상의 경우는 증명되지 않았다.

단선직성은 체의 확대에 따라 보존된다. 그러나 선직성은 체의 확대에 따라 보존되지 않는다. 예를 들어, 사영 평면 속의 원뿔 곡선
:$x^2+y^2+z^2=0$
은 실수체 위에서는 단선직곡선이지만 선직곡선이 아니다. 그러나 복소수체 위에서는 (복소수 사영 직선 $\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash mathbb\; C\}$과 동형이므로) 이는 단선직곡선이며 선직곡선이다.

특성 0인 체 위의 모든 비유리 품종은 고다이라 차원이 −∞이다. 그 역은 최대 3차원에서 알려진 추측이다. 즉, 특성 0인 체 위의 고다이라 차원이 −∞인 품종은 비유리여야 한다. 관련된 명제는 모든 차원에서 알려져 있다: Boucksom, Demailly, Păun과 Peternell은 특성 0인 체 위의 매끄러운 사영 대수다양체 X가 X의 표준 번들이 의사 유효하지 않을 때(즉, Néron-Severi 군에서 실수로 텐서화된 유효 제수에 의해 묶인 닫힌 볼록 원뿔에 있지 않을 때) 그리고 그 때만 비유리임을 보였다.

매우 특별한 경우로, 특성 0인 체 위의 Pⁿ에서 차수 d의 매끄러운 초곡면은 접합 공식에 의해, d ≤ n일 때 그리고 그 때만 비유리이다. (실제로, Pⁿ에서 차수 d ≤ n인 매끄러운 초곡면은 파노 다양체이고 따라서 유리적으로 연결되어, 비유리인 것보다 더 강하다.)

가산 불가 대수적으로 닫힌 체 k 위의 다양체 X는 X의 모든 k-점을 통과하는 유리 곡선이 있을 때 그리고 그 때만 비유리이다. 반대로, 모든 k-점을 통과하는 유리 곡선이 있지만 비유리하지 않은, 유한 체의 대수적 폐포 k 위의 다양체가 있다. (홀수 p를 갖는 _p 위의 비 초특이 아벨 표면의 쿠머 다양체는 이러한 속성을 갖는다.) 이러한 속성을 가진 다양체가 유리수의 대수적 폐포 위에서 존재하는지는 알려져 있지 않다.

비유리성은 기하학적 속성이다 (체 확장에 따라 변경되지 않음). 반면에, 유리성은 그렇지 않다. 예를 들어, 실수 R 위의 P²에서 원뿔 x² + y² + z² = 0은 비유리하지만 유리하지 않다. (복소수 C 위의 관련 곡선은 P¹과 동형이므로 유리하다.)

표수 0인 체 위의 모든 단선직 다양체의 고바야시 차원은 −∞이다. 이 역은 3차원 이상의 차원에서도 성립할 것으로 예상되며, 즉, 표수 0인 체 위의 고바야시 차원이 −∞인 다양체는 단선직일 것으로 예상된다.

Boucksom, Demailly, Păun과 Peternell은 다음 사실을 보였다. 표수 0인 쌍 위의 매끄러운/smooth scheme^영어 사영 다양체 X가 단선직이라는 것은 X의 표준 번들이 의사 유효하지 않다는 것(not pseudo-effective)과 동치이며, 이는 모든 차원에서 성립한다. ("의사 유효하지 않다"는 것은 네론-세비리 군과 실수 텐서곱에서의 유효 인자에 의해 생성된 닫힌 볼록 원뿔(the closed convex cone) 안에 있지 않다는 것을 의미한다.)

매우 특수한 경우로, 표수 0인 체 위의 Pⁿ 안의 차수 d인 smooth 초곡면이 단선직인 것은 d ≤ n과 수반 공식에 의해 동치이다. (실제로, Pⁿ 안의 차수 d ≤ n인 smooth 초곡면은 파노 다양체이고, 따라서 유리 연결이다. 이 유리 연결이라는 조건은 단선직이라는 조건보다 강하다.)

비가산 대수적 닫힌 체 k 위의 다양체 X가 단선직이라는 것은 모든 k-점에서 그 점을 통과하는 X 위의 유리 곡선이 존재한다는 것과 동치이다. 이와 대조적으로, 유한 체 위의 대수적 닫힌 체 k 위의 다양체에서는 단선직이 아니지만 모든 k-점에서 그 점을 통과하는 유리 곡선이 갖는 그러한 다양체가 존재한다. (홀수 소수 p인 _p 위의 임의의 비초특이 타원 곡선/supersingular elliptic curve^영어(supersingular)아벨 곡면의 쿠머 다양체가 이러한 성질을 갖는다.) 이러한 성질을 갖는 다양체가 유리수의 대수적 닫힌 체 위에 존재하는지 여부는 알려져 있지 않다.

단선직성은 기하학적 성질인 반면, 선직성은 기하학적 성질이 아니다. 예를 들어, 실수 R 위의 P² 안의 원뿔(conic) x² + y² + z² = 0은 단선직 다양체이지만, 선직 다양체는 아니다. (복소수 C 위의 부속된 곡선은 P¹에 동형이고, 따라서 선직 다양체이다.)

3.1. 고다이라 차원

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 단선직다양체의 고다이라 차원은 −∞이다. 3차원 이하에서는 고다이라 차원이 −∞이면 단선직다양체임이 알려져 있지만, 4차원 이상에서는 미해결 문제이다.

표수 0인 체 위의 사영 대수다양체 X가 단선직이기 위한 필요충분조건은 X의 표준 번들이 의사 유효하지 않은 것이다. 예를 들어, 표수 0인 체 위의 Pⁿ에서 차수 d의 매끄러운 초곡면은 수반 공식에 의해, d ≤ n일 때 단선직이다.

가산 불가 대수적으로 닫힌 체 k 위의 다양체 X가 단선직이라는 것은 X의 모든 k-점을 통과하는 유리 곡선이 존재한다는 것이다. 유한 체의 대수적 폐포 k 위에서는 단선직이 아니지만 모든 k-점을 통과하는 유리 곡선이 존재하는 다양체가 있다. (홀수 p를 갖는 _p 위의 비초특이 아벨 표면의 쿠머 다양체가 이러한 성질을 갖는다.)

단선직성은 체의 확대에 따라 보존되는 기하학적 성질이지만, 선직성은 그렇지 않다. 예를 들어, 실수 R 위의 사영 평면 속의 원뿔 곡선 x² + y² + z² = 0은 단선직이지만 선직이 아니다. 그러나 복소수체 위에서는 사영 직선 $\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash mathbb\; C\}$과 동형이므로 선직이다.

3.2. 체의 확대

단선직성은 체의 확대에 따라 보존되지만, 선직성은 보존되지 않을 수 있다. 예를 들어, 사영 평면 속의 원뿔 곡선 x² + y² + z² = 0은 실수 R 위에서는 단선직이지만 선직이 아니다. 그러나 복소수 C 위에서는 복소수 사영 직선 $\backslash mathbb\; P^1\_\{\backslash mathbb\; C\}$과 동형이므로 단선직이면서 선직이다.

3.3. 유리 곡선

비가산 대수적으로 닫힌 체 위에서 다양체가 단선직인 것과 모든 점을 통과하는 유리 곡선이 존재하는 것은 동치이다. 이와 대조적으로, 유한 체의 대수적 폐포 위에서는 이 동치가 성립하지 않는 경우가 존재한다. 예를 들어 홀수 소수 p에 대해 _p 위의 비초특이 타원 곡선 (아벨 곡면)의 쿠머 다양체가 이러한 성질을 갖는다. 이러한 성질을 갖는 다양체가 유리수의 대수적 닫힌 체 위에 존재하는지 여부는 알려져 있지 않다.

4. 양의 표수

양의 표수에서는 무규칙성이 매우 다르게 나타난다. 특히, 일반형의 무규칙(그리고 심지어 유리적인) 대수 곡면이 존재한다. 예를 들어, _p 위의 P³에서 x^p+1 + y^p+1 + z^p+1 + w^p+1 = 0으로 정의되는 곡면은 소수 p ≥ 5에 대해 무규칙 곡면의 예시이다. 따라서 무규칙성은 양의 표수에서 고다이라 차원이 −∞임을 의미하지 않는다.

다양체 X가 분리 가능하게 무규칙하다는 것은, Y × P¹ – → X의 지배적인 분리 가능한 유리 사상이 존재하고, 이 사상이 Y로의 투영을 통과하지 않는 다양체 Y가 존재한다는 의미이다. ("분리 가능"은 어떤 점에서 미분이 전사적임을 의미한다. 이는 표수가 0인 지배적인 유리 사상에서는 자동으로 성립한다.) 분리 가능하게 무규칙한 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다. 그 역은 2차원에서 참이지만, 더 높은 차원에서는 참이 아니다. 예를 들어, ₂ 위에 고다이라 차원이 −∞이지만 분리 가능하게 무규칙하지 않은 매끄러운 사영 3차원이 존재한다. 양의 표수에서 모든 매끄러운 파노 다양체가 분리 가능하게 무규칙한지는 알려져 있지 않다.

단선 직조성은 양의 표수에서는 매우 어려워진다. 특히, 일반형이더라도 단일유리일 수 있는 단선 직조 곡면이 존재한다. 예시로, 임의의 소수 p ≥ 5에 대해 _p에서의 곡면 x^p+1 + y^p+1 + z^p+1 + w^p+1 = 0이 있다. 따라서, 단선 직조성은 양의 표수에서는 고다이라 차원이 −∞임을 의미하지 않는다.

다양체 X는 다양체 Y가 존재하고 Y로의 사영으로 분해되지 않는 지배적이고 분리적인 유리 사상 Y × P¹ → X가 존재할 때, 분리 단선 직조(separably uniruled)라고 한다. ("분리적(Separable)"이란 미분이 동일한 점에서 전사인 것을 의미하며, 이 경우 표수 0에서는 지배적인 유리 사상에 대해 자동으로 만족된다.) 분리 단선 직조 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다. 차원 2에서는 역도 성립하지만, 고차원에서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 고다이라 차원이 -∞이지만 분리적인 선 직조성을 갖지 않는 매끄러운 사영 3-차원 다양체가 ₂ 위에 존재한다. 양의 표수에서는, 모든 매끄러운 파노 다양체가 분리 단선 직조적인지는 알려져 있지 않다.

4.1. 분리 단선직다양체

다양체 X가 분리 가능하게 무규칙하다는 것은, Y × P¹ – → X의 지배적인 분리 가능한 유리 사상이 존재하고, 이 사상이 Y로의 투영을 통과하지 않는 다양체 Y가 존재한다는 의미이다. ("분리 가능"은 어떤 점에서 미분이 전사적임을 의미한다. 이는 표수가 0인 지배적인 유리 사상에서는 자동으로 성립한다.) 분리 가능하게 무규칙한 다양체는 고다이라 차원이 −∞이다. 그 역은 2차원에서 참이지만, 더 높은 차원에서는 참이 아니다. 예를 들어, ₂ 위에 고다이라 차원이 −∞이지만 분리 가능하게 무규칙하지 않은 매끄러운 사영 3차원이 존재한다. 양의 표수에서 모든 매끄러운 파노 다양체가 분리 가능하게 무규칙한지는 알려져 있지 않다.

5. 예시

표수가 0인 체 \(K\) 위의 사영 공간 \(\mathbb{P}^n_K\) 속의, \(d\)차 비특이 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 차수가 \(d\le n\)이다.
* 단선직곡선이다.
* 파노 다양체이다.

복소수체 위에서 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체는 단선직이지만 선직이 아니다. 이는 차수가 \(d\le n\)인 경우, 단선직곡선이며 파노 다양체가 되는 비특이 초곡면의 조건 중 하나에 해당하지만, 선직 조건에는 부합하지 않기 때문이다.

5.1. 초곡면

표수가 0인 체 $K$ 위의 사영 공간 $\backslash mathbb\{P\}^n\_K$ 속의, $d$차 비특이 초곡면에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 차수가 $d\backslash le\; n$이다.
* 단선직곡선이다.
* 파노 다양체이다.

5.2. 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체

복소수체 위에서 3차 3차원 다양체와 4차 3차원 다양체는 단선직이지만 선직이 아니다. 이는 차수가 $d\backslash le\; n$인 경우, 단선직곡선이며 파노 다양체가 되는 비특이 초곡면의 조건 중 하나에 해당하지만, 선직 조건에는 부합하지 않기 때문이다.