슈브니코프-더 하스 효과

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1. 개요
2. 물리적 과정
3. 이론
4. 응용
5. 관련 물리 과정
6. 한국에서의 연구 동향 (추가)
참조

1. 개요

슈브니코프-더 하스 효과는 충분히 낮은 온도와 높은 자기장 하에서 금속, 준금속, 또는 좁은 띠틈 반도체의 전기 전도율이 자기장의 세기에 따라 주기적으로 진동하는 현상이다. 이 현상은 란다우 준위의 형성 및 페르미 준위 통과와 관련된 물리적 과정을 통해 발생하며, 2차원 전자 기체를 갖는 표본에서 가장자리 채널을 통해 설명할 수 있다. 슈브니코프-더 하스 진동은 물질의 전자 밀도 및 페르미 표면을 결정하는 데 활용될 수 있으며, 드하스-판알펜 효과와 유사한 진동 현상을 보인다.

2. 물리적 과정

충분히 낮은 온도와 높은 자기장에서, 금속, 준금속, 또는 좁은 띠틈 반도체의 전도대 내 자유 전자는 단조화 진동자처럼 행동한다. 자기장 세기가 변하면 단조화 진동자의 진동 주기가 비례적으로 변한다. 결과적인 에너지 스펙트럼은 란다우 양자화에 의해 생성되며, 사이클로트론 에너지에 의해 분리된 란다우 준위로 구성된다. 이 란다우 준위는 제만 효과에 의해 추가적으로 분리된다. 각 란다우 준위에서 사이클로트론 및 제만 에너지와 전자 상태수 (''eB''/''h'')는 모두 자기장이 증가함에 따라 선형적으로 증가한다. 따라서 자기장이 증가함에 따라 스핀 분리된 란다우 준위는 더 높은 에너지로 이동한다. 각 에너지 준위가 페르미 에너지를 통과할 때, 전자가 전류로 흐를 수 있게 되면서 준위는 비워진다. 이것은 물질의 수송 현상 및 열역학적 특성이 주기적으로 진동하게 하여, 물질의 전도율에서 측정 가능한 진동을 생성한다. 페르미 '가장자리'를 가로지르는 전이는 좁은 에너지 범위를 가지므로, 파형은 정현파보다는 사각형에 가깝고, 온도가 낮아질수록 모양은 더욱 사각형에 가까워진다.

3. 이론

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슈브니코프-더 하스 효과에 대한 이론은 주어진 폭과 가장자리를 가진 표본에 갇힌 2차원 양자 기체, 즉 전자를 고려하여 설명할 수 있다. 자기 선속 밀도 ''B''가 존재할 때, 이 시스템의 에너지 고유값은 란다우 준위로 설명된다.^[1] 란다우 준위는 그림 1과 같이 수직 축을 따라 등거리에 있으며, 각 에너지 준위는 표본 내부에서 실질적으로 평평하다. 표본의 가장자리에서 일함수는 준위를 위쪽으로 굽힌다.

전자는 에너지 준위가 페르미 에너지 ''E''_F를 가로지를 때 이동하게 된다.^[1] 페르미 에너지 ''E''_F가 두 란다우 준위 사이에 있으면 전자의 산란은 준위가 굽어지는 표본의 가장자리에서만 발생하며, 이러한 전자 상태를 일반적으로 가장자리 채널이라고 한다.^[1]

전자의 수송은 란다우-뷔티커 접근법을 사용하여 설명한다. 란다우-뷔티커 접근법은 단순화된 형태로, 화학 퍼텐셜 ''μ_m''을 갖는 접점 ''m''의 순 전류 ''I_m''은 다음과 같이 나타낸다.

:

I_m = 2 \frac{e\cdot i}{h} \left(\mu_m - \sum_{l\neq m} T_{ml} \mu_l \right),\,

여기서 ''e''는 전자 전하, ''h''는 플랑크 상수, ''i''는 가장자리 채널의 수를 나타낸다.^[2]

그림 2와 같이 네 개의 접점을 가진 표본에서, 접점 1과 4 사이에 전압을 가하고 접점 2와 3 사이에서 전압을 측정한다고 가정하자. 이상적인 경우, 전압 측정은 미터기를 통해 전류의 흐름을 포함하지 않으므로 ''I''₂ = ''I''₃ = 0 이고, 따라서 화학 퍼텐셜 ''μ''₂와 ''μ''₃은 같아진다. 즉, 접점 2와 3 사이의 전압 강하는 0이 되어 전류 ''I''₁은 접점 2와 3 사이에서 0 저항 ''R''_SdH을 경험한다.

:

R_{\mathrm{SdH}} = \frac{\mu_2 - \mu_3}{e\cdot I_1}=0.

이러한 0 저항 결과는 전자가 표본의 가장자리 채널에서만 이동할 수 있기 때문이다. 그러나 란다우 준위가 페르미 에너지 ''E''_F에 가까워지면, 해당 준위에 있는 모든 전자는 에너지 준위가 페르미 에너지 ''E''_F에 접근함에 따라 이동하게 된다. 결과적으로 산란이 발생하여 ''R''_SdH > 0 이 된다. 즉, 란다우 준위가 페르미 에너지 ''E''_F가 두 준위 사이에 위치하도록 배치될 때마다 0 저항을 갖게 된다.

4. 응용

슈브니코프-더 하스 진동은 샘플의 2차원 전자 밀도를 결정하는 데 사용될 수 있다.^[3] 주어진 자기 선속 $\Phi$ 에서, 란다우 준위 당 스핀 ''S'' = 1/2를 가진 전자의 최대 수 ''D''는 다음과 같이 주어진다.

: $D = 2 \frac{e B A}{h}$

여기서 ''N''을 단위 면적당 최대 상태 수라고 하면, $D = NA$ 이고,

: $N = 2 \frac{e B}{h}$ 이다.

각 란다우 준위가 샘플의 가장자리 채널에 해당한다고 가정하고, 단위 면적당 ''N''개의 전자로 채워진 ''i''개의 가장자리 채널이 있다면, 단위 면적당 전체 전자 수 ''n'' (전자 밀도)는 다음과 같다.

: $n = i N = 2 i \frac{e B}{h}$

전자 밀도 ''n''은 일정하므로,

: $\frac{1}{B_i} = \frac{2 e i}{n h}$ 이고,

: $\Delta\left(\frac{1}{B}\right) = \frac{1}{B_{i+1}}-\frac{1}{B_i} = \frac{2 e}{n h}$ 이다.^[3]

따라서 가장자리 채널의 지수 ''i''를 해당 자기 선속 밀도의 역수 1/''B''_''i''에 대해 플로팅하면 기울기가 2''e''/(''nh'')인 직선을 얻고, 전하 ''e''와 플랑크 상수 ''h''를 통해 샘플의 전자 밀도 ''n''을 계산할 수 있다.

Fig 3: 역 자기 선속 밀도 1/''B''_''i'' vs 슈브니코프-더 하스 최소점(고농도 Bi₂Se₃에서 관찰됨)

고농도 Bi₂Se₃에서 슈브니코프-더 하스 진동이 관찰된다.^[4] Bi₂Se₃ 샘플의 10번째에서 14번째 최소점까지의 역 자기 선속 밀도 1/''B''_''i''를 플로팅하여 얻은 0.00618/T의 기울기로부터 전자 밀도 ''n''을 다음과 같이 구할 수 있다.

:

n = \frac{2 e}{0.00618/\mathrm{T}\cdot h} \approx 7.82 \times 10^{14}/\mathrm{m}^2.

또한, 슈브니코프-더 하스 진동은 다양한 인가 전장 방향에 대한 진동 주기를 결정하여 샘플 내 전자의 페르미 표면을 매핑하는 데 사용될 수 있다.

5. 관련 물리 과정

드하스-판알펜 효과(de Haas-van Alphen effect)는 자화에서 나타나는 유사한 진동 현상이다.^[5] 이들 효과에서는 전도율과 자화율을 자기장의 역수에 대한 함수로 표현하면, 주기적인 파형의 특징을 보여준다. 자기저항 진동의 "주파수"는 페르미 표면을 둘러싼 외부 궤도의 면적을 나타내는데, 페르미 표면의 면적은 테슬라 단위로 표현된다.^[5]

이 효과는 반더르 요하너스 더 하스와 레프 슈브니코프의 이름을 따서 명명되었다. 각 효과의 특징은 역 자기장의 함수로 플롯할 때 파형의 주기적인 파형이다. 자기저항 진동의 "주파수"는 페르미면 주변의 극값 궤도 영역을 나타낸다. 더 정확히 말하면, 역 테슬라 단위의 주기는 m/cm의 역수 단위의 페르미면의 극값 궤도 면적에 반비례한다.

6. 한국에서의 연구 동향 (추가)

참조

_[1] 문서 Since defects in the sample will affect the position of the Fermi level E F, this is strictly speaking an approximation. Any influence of defects and of temperatures above 0 K is neglected here for now.
_[2] 문서 The number of edge channels i is closely related to the filling factor. The factor 2 is due to spin degeneracy.
_[3] 문서 Relationship (3) is expressed in SI units. In CGS units, the same relationship reads $\Delta\left(\frac{1}{B}\right) = \frac{2 \cdot e}{n\cdot h\cdot c}.$
_[4] 간행물 Quantized Hall Effect and Shubnikov–De Haas Oscillations in Highly Doped Bi2Se3: Evidence for Layered Transport of Bulk Carriers http://docs.lib.purd[...]
_[5] 서적 Solid State Phyiscs Holt, Rnehart and Winston 1976

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