파형

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1. 개요
2. 파형의 종류
- 2.1. 주기 파형
- 2.2. 복합 파형
3. 파형 분석
- 3.1. 푸리에 분석
- 3.2. 디지털 신호 처리 (DSP)
참조

1. 개요

파형은 시간의 흐름에 따라 변화하는 물리량의 형태를 의미하며, 주기적인 패턴을 갖는 다양한 종류가 존재한다. 대표적인 주기 파형으로는 정현파, 방형파, 삼각파, 톱니파 등이 있으며, 각각 고유한 특성과 수학적 표현을 갖는다. 푸리에 급수 및 푸리에 변환을 통해 복잡한 파형을 기본 파형의 조합으로 분석하고, 디지털 신호 처리 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 파형의 종류

파형은 물리량의 변화를 시간이나 거리에 따라 그래프로 나타낸 것이다. 소리나 전파 등은 눈에 보이지 않지만, 오실로스코프를 사용하면 브라운관이나 액정 디스플레이에 파형을 표시할 수 있다. 파형에 따라 음색이 달라진다.

일반적인 파형의 종류는 다음과 같다.

파형의 수식 목록
파형	수식	푸리에 급수	보충 설명
사인파	sin(t)	$x(t) = \sum_{k=1}^{1} \frac {\sin (kt)}{k}$	기본파만
구형파	saw(x) − saw(x − duty)	$x(t) = \frac {4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infin} \frac {\sin \{\bigl(2k-1) t\}}{2k-1}$	기본파에 홀수 배의 홀수 배파를 합성
삼각파	(t − 2 floor((t + 1)/2)) (−1)^{floor((t + 1)/2)}	$x(t) = \frac {8}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{ (-1)^{k-1}}{(2k-1)^2} sin((2k-1)t)$	양의 기본파에 음과 양의 홀수 배의 제곱의 1/2 배파를 번갈아 합성
톱니파	2(t − floor(t)) − 1	$x(t) = \frac {2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infin} \frac {\sin (kt)}{k}$	기본파에 정수 배의 정수 배파를 합성
사다리꼴파			구형파와 톱니파의 합성파
수면파			액체를 매질로 하는 파에 특징적인 파형

2. 1. 주기 파형

일정한 패턴이 반복되는 파형을 주기 파형이라고 한다. 주기 파형에는 다음과 같은 종류가 있다.

정현파 (사인파, sine wave^영어): 파형의 진폭이 시간에 대한 사인 함수를 따른다.
방형파(square wave^영어): 디지털 정보를 나타내는 데 사용되며, -6dB/octave에서 감소하는 홀수 고조파를 가진다.
삼각파(triangle wave^영어): -12dB/octave에서 감소하는 홀수 고조파를 가진다.
톱니파(sawtooth wave^영어): 톱날 모양을 하고 있으며, -6dB/octave에서 감소하는 홀수 및 짝수 고조파를 모두 가진다.

푸리에 급수는 이러한 주기 파형을 기본 주파수와 그 정수배 주파수를 갖는 사인파들의 합으로 분해할 수 있음을 보여준다. 유한 에너지 비주기 파형은 푸리에 변환을 통해 사인파로 분석할 수 있다.

2. 1. 1. 정현파 (Sine Wave)

주기적 파형 중 하나인 정현파 (사인파, sine wave^영어)는 파형의 진폭이 시간에 따라 삼각함수의 사인 함수를 따르는 파형이다. 정현파는 가장 기본적인 파형으로, 자연 현상에서 흔히 발견되며, 소리의 기본 구성 요소이기도 하다.

수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

(t, \lambda, a, \phi) = a\sin \frac{2\pi t - \phi}{\lambda}

여기서

t

는 시간,

\lambda

는 파장,

a

는 진폭,

\phi

는 위상을 나타낸다.

2. 1. 2. 방형파 (Square Wave)

square wave^영어

(t, \lambda, a, \phi) = \begin{cases}a, & (t-\phi) \bmod \lambda < \text{duty} \\

a, & \text{otherwise}

\end{cases}

이 파형은 진폭이 일정한 주기로 양과 음의 두 값 사이를 급격하게 전환하는 형태를 가지며, 주로 디지털 정보를 나타내는 데 사용된다. 일정한 주기의 방형파는 -6dB/octave에서 감소하는 홀수 고조파를 포함한다.

파형의 수식 목록
파형	수식	푸리에 급수	보충 설명
--	saw(x) − saw(x − duty)	$x(t) = \frac {4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infin} \frac {\sin \{\bigl(2k-1) t\}}{2k-1}$	기본파에 홀수 배의 홀수 배파를 합성한 합성파

2. 1. 3. 삼각파 (Triangle Wave)

triangle wave^영어는 진폭이 시간에 따라 선형적으로 증가했다가 감소하는 삼각형 모양의 파형이다. -12dB/octave 에서 감소하는 홀수 고조파를 가진다. 방형파를 적분하여 삼각파를 얻을 수 있다.

수식은 다음과 같다.

:

(t, \lambda, a, \phi) = \frac{2a}{\pi} \arcsin \sin \frac{2\pi t - \phi}{\lambda}

여기서

t

는 시간,

\lambda

는 파장,

a

는 진폭,

\phi

는 위상이다.

2. 1. 4. 톱니파 (Sawtooth Wave)

톱니파는 톱날의 이빨처럼 생긴 파형이다. 일정한 주기의 톱니파는 -6dB/octave에서 감소하는 홀수 및 짝수 고조파를 가지고 있다. 톱니파의 수식은 다음과 같다(여기서 t는 시간, λ는 파장, a는 진폭, φ는 위상이다):

(t,\lambda, a, \phi) = \frac{2a}{\pi} \arctan \tan \frac{2\pi t - \phi}{2\lambda}.

톱니파는 브라운관에 표시하기 위해 전자선을 시계열로 편향시키는 기본적인 파형으로, 디스플레이 스캔을 위한 시간 기준에서 자주 발견된다. 또한 일정한 주기의 톱니파는 -6 dB/옥타브로 감소하는 홀수 및 짝수 고조파를 포함하기 때문에 감산 합성의 시작점으로 사용된다.

2. 2. 복합 파형

여러 개의 정현파 또는 다른 기저 함수들을 더하여 만든 파형이다. 푸리에 급수나 푸리에 변환을 사용하여 복합 파형을 기본 구성 요소로 분해할 수 있다.^[1]

푸리에 급수는 주기적인 파형의 분해를 설명하며, 어떤 주기적 파형이라도 기본 및 고조파 성분의 (무한할 수 있는) 집합의 합으로 형성될 수 있음을 보여준다. 유한 에너지 비주기적 파형은 푸리에 변환에 의해 사인파로 분석될 수 있다.^[1]

다른 주기적 파형은 종종 복합 파형이라고 하며, 여러 개의 사인파 또는 다른 기저 함수들을 더하여 얻은 조합으로 설명될 수 있다.^[1]

3. 파형 분석

파형은 소리나 전파처럼 눈에 보이지 않는 물리량의 변화를 그래프로 나타낸 것이다. 오실로스코프를 이용하면 이러한 파형을 시각적으로 확인할 수 있다. 파형은 음색과 같이 우리가 감각적으로 느낄 수 있는 요소를 결정하는 중요한 특징을 갖는다.

3. 1. 푸리에 분석

푸리에 급수는 주기적인 파형을 기본 주파수와 그 고조파들의 합으로 분해하여 설명한다. 즉, 어떤 주기적인 파형이라도 기본 및 고조파 성분들의 (무한할 수 있는) 집합의 합으로 표현될 수 있음을 보여준다. 유한한 에너지를 가진 비주기적인 파형은 푸리에 변환을 통해 사인파로 분석할 수 있다.

여러 개의 사인파 또는 다른 기저 함수들을 더하여 얻은 조합으로 설명되는 주기적 파형들은 복합 파형이라고 불린다.

다음은 파고가 1이고 주파수가 f (Hz)인 경우의 파형 수식 목록이다. (t는 2πft로 바꿀 수 있다.)

파형의 수식 목록
파형	수식	푸리에 급수	보충 설명	비고
사인파	sin(t)	$x(t) = \sum_{k=1}^{1} \frac {\sin (kt)}{k}$	기본파만	시간 경과에 따라 진폭이 삼각함수의 사인 함수에 따라 변화한다.
구형파	saw(x) − saw(x − duty)	$x(t) = \frac {4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infin} \frac {\sin \{\bigl(2k-1) t\}}{2k-1}$	기본파에 홀수 배의 홀수 배파를 합성한 합성파	디지털 정보의 표현 방식으로 일반적으로 사용된다.
삼각파	(t − 2 floor((t + 1)/2)) (−1)^{floor((t + 1)/2)}	$x(t) = \frac {8}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{ (-1)^{k-1}}{(2k-1)^2} sin((2k-1)t)$	양의 기본파에 음과 양의 홀수 배의 제곱의 1/2 배파를 번갈아 합성한 합성파	구형파를 적분한 파형이다.
톱니파	2(t − floor(t)) − 1	$x(t) = \frac {2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infin} \frac {\sin (kt)}{k}$	기본파에 정수 배의 정수 배파를 합성한 합성파	톱니 모양의 파형. 브라운관에 표시하기 위해 전자선을 시계열로 편향시키는 기본적인 파형이다.
사다리꼴파				구형파와 톱니파의 합성파이다.
수면파				액체를 매질로 하는 파에 특징적인 파형이다.

이론적으로 모든 파형은 (여러 개에서 수많은) 정현파의 합성으로 표현될 수 있다고 여겨진다. 푸리에 변환은 왜곡된 파형을 합성파로 보고, 그 구성 요소인 정현파들을 밝힐 수 있다.^[1]

3. 2. 디지털 신호 처리 (DSP)

디지털 신호 처리(DSP)는 아날로그 파형을 디지털 형태로 변환하고, 이산 푸리에 변환(DFT) 등의 알고리즘을 적용하여 파형의 특징을 추출하고 분석하는 기술이다. 합성파는 여러 개의 정현파를 합성하여 표현할 수 있는데, 이론적으로 모든 파형은 여러 정현파의 합성으로 표현될 수 있다고 여겨진다. 푸리에 변환은 왜곡된 파형을 합성파로 보고, 그 구성 요소인 정현파들을 밝힐 수 있다. 이를 이용하여 아날로그-디지털 변환 회로에서 파형을 샘플링하고 이산 푸리에 변환을 적용함으로써 입력 파형을 구성하는 정현파 성분을 추출할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Waveform Definition http://techterms.com[...] 2015-12-09
_[2] 서적 Electronics CRC Press 2002
_[3] 웹사이트 IEC 60050 — Details for IEV number 103-10-02: "waveform" https://www.electrop[...] 2023-10-18
_[4] 서적 広辞苑第5版

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