스토크스 변수

1. 개요

스토크스 변수는 빛의 편광 상태를 나타내는 네 개의 실수 매개변수로, 빛의 세기 및 편광 특성과 관련된 물리량을 표현한다. 스토크스 변수는 S₀, S₁, S₂, S₃ 또는 I, Q, U, V로 표시되며, 편광 타원, 푸앵카레 구 등과 연관된다. 이 변수는 빛의 편광 상태를 수학적으로 표현하며, 뮬러 행렬을 사용하여 광학계의 편광 효율을 분석하는 데 사용된다. 또한, 양자 역학과의 연관성을 통해 빛의 편광을 묘사하는 데 활용된다.

2. 정의

스토크스 변수는 종종 스토크스 벡터라 불리는 벡터의 형태로 사용된다.

:$$
\vec S \ =
\begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix}


스토크스 벡터는 무편광(unpolarized), 부분 편광(partially polarized), 또는 완전 편광(totally polarized)된 빛의 공간을 생성(span)한다. 존스 벡터는 완전 편광된 빛의 공간만 생성하지만 결맞은 빛과 관련된 문제에는 더 유용하다. 스토크스 변수는 공간에서의 축 요소(basis)로 쓸 수 있는 것은 아니지만, 측정하거나 계산하기 쉽기 때문에 선택되었다.

광학계의 편광 효율은 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬을 곱하면 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.

스토크스 매개변수 S₀, S₁, S₂, S₃와 세기 및 편광 타원 매개변수의 관계는 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
S_0 &= I \\
S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi \\
S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi \\
S_3 &= I p \sin 2\chi
\end{align}


여기서 $I\; p$, $2\backslash psi$ 및 $2\backslash chi$는 데카르트 좌표 $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$의 3차원 벡터의 구면 좌표이다. $I$는 빔의 총 세기이고, $p$는 편광도이며, $0\; \backslash le\; p\; \backslash le\; 1$이다. $\backslash psi$에 2가 곱해진 것은 편광 타원이 180° 회전해도 구별할 수 없음을, $\backslash chi$에 2가 곱해진 것은 반축 길이가 바뀌고 90° 회전된 타원과 구별할 수 없음을 나타낸다. 스토크스 매개변수에는 편광된 빛의 위상 정보는 기록되지 않는다. I, Q, U, V로 표시되기도 한다.

주어진 스토크스 매개변수에서 구면 좌표는 다음으로 계산할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
I &= S_0 \\
p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\
2\psi &= \mathrm{arctan} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &= \mathrm{arctan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\
\end{align}

$V$ 구성 요소의 부호는 사용된 물리적 규칙에 따라 달라질 수 있다. 빔을 소스 쪽으로(빛의 전파 방향과 반대) 볼 때와 빔을 소스에서 멀리(빛의 전파 방향과 일치) 볼 때 정의하는 두 가지 규칙이 있으며, $V$에 대해 다른 부호를 생성하므로 규칙을 선택하고 준수해야 한다.

2.1. 스토크스 매개변수

스토크스 매개변수는 빛의 편광 상태를 나타내는 네 가지 변수이다. 각 매개변수는 빛의 전기장 성분 ($E\_x$, $E\_y$), 복소수의 실수부(Re) 및 허수부(Im), 그리고 시간 평균(< >)을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

* 기본 좌표계 ($\backslash hat\{x\},\backslash hat\{y\}$) 기준:

:$\backslash begin\{matrix\}$
I&=&|E_x|^2+|E_y|^2, \\
Q&=&|E_x|^2-|E_y|^2, \\
U&=&2\mbox{Re}(E_x^*E_y), \\
V&=&2\mbox{Im}(E_x^*E_y), \\
\end{matrix}


* 45° 회전된 좌표계 ($\backslash hat\{a\},\backslash hat\{b\}$) 기준:

:$\backslash begin\{matrix\}$
I&=&|E_a|^2+|E_b|^2, \\
Q&=&-2\mbox{Re}(E_a^{*}E_b), \\
U&=&|E_a|^{2}-|E_b|^{2}, \\
V&=&2\mbox{Im}(E_a^{*}E_b). \\
\end{matrix}


* 원형 좌표계 ($\backslash hat\{l\},\backslash hat\{r\}$) 기준:

:$\backslash begin\{matrix\}$
I &=&|E_l|^2+|E_r|^2, \\
Q&=&2\mbox{Re}(E_l^*E_r), \\
U & = &-2\mbox{Im}(E_l^*E_r), \\
V & =&|E_l|^2-|E_r|^2. \\
\end{matrix}

스토크스 매개변수 S₀, S₁, S₂, S₃는 세기 및 편광 타원 매개변수와 다음과 같은 관계를 가진다.

:$$
\begin{align}
S_0 &= I \\
S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi \\
S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi \\
S_3 &= I p \sin 2\chi
\end{align}


여기서 $I$는 빔의 총 세기, $p$는 편광도(0 ≤ p ≤ 1), $2\backslash psi$와 $2\backslash chi$는 데카르트 좌표 $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$의 3차원 벡터의 구면 좌표이다. $\backslash psi$에 2가 곱해진 것은 편광 타원이 180° 회전해도 구별할 수 없음을, $\backslash chi$에 2가 곱해진 것은 반축 길이가 바뀌고 90° 회전된 타원과 구별할 수 없음을 의미한다. 스토크스 매개변수에는 편광된 빛의 위상 정보는 포함되지 않는다. I, Q, U, V로 표시되기도 한다.

주어진 스토크스 매개변수에서 구면 좌표는 다음으로 계산할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
I &= S_0 \\
p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\
2\psi &= \mathrm{arctan} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &= \mathrm{arctan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\
\end{align}

단색광 평면파는 전파 벡터 $\backslash vec\{k\}$와 전기장의 복소 진폭 $E\_1$, $E\_2$ (기저 $(\backslash hat\{\backslash epsilon\}\_1,\backslash hat\{\backslash epsilon\}\_2)$ 사용)로 표현할 수 있다. $(E\_1,\; E\_2)$ 쌍은 존스 벡터라고 한다. 또는 전파 벡터, 위상 $\backslash phi$, 편광 상태 $\backslash Psi$ (고정된 평면에서 전기장이 시간에 따라 그리는 곡선)로 지정할 수도 있다.

스토크스 변수는 아래와 같이 다시 정의할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
I & \equiv \langle E_x^{2} \rangle + \langle E_y^{2} \rangle \\
& = \langle E_a^{2} \rangle + \langle E_b^{2} \rangle \\
& = \langle E_r^{2} \rangle + \langle E_l^{2} \rangle, \\
Q & \equiv \langle E_x^{2} \rangle - \langle E_y^{2} \rangle, \\
U & \equiv \langle E_a^{2} \rangle - \langle E_b^{2} \rangle, \\
V & \equiv \langle E_r^{2} \rangle - \langle E_l^{2} \rangle.
\end{align}

여기서 아래첨자는 존스 벡터 공간의 세 가지 기저, 즉 표준 데카르트 좌표계($\backslash hat\{x\},\backslash hat\{y\}$), 45° 회전된 데카르트 기저($\backslash hat\{a\},\backslash hat\{b\}$), 원형 기저($\backslash hat\{l\},\backslash hat\{r\}$)를 나타낸다. 원형 기저는 $\backslash hat\{l\}\; =\; (\backslash hat\{x\}+i\backslash hat\{y\})/\backslash sqrt\{2\}$, $\backslash hat\{r\}\; =\; (\backslash hat\{x\}-i\backslash hat\{y\})/\backslash sqrt\{2\}$로 정의된다. ⟨⋅⟩는 기댓값을 의미한다.

2.2. 편광 타원과의 관계

일반적인 타원 편광은 편광 타원의 반장축(半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 반단축(半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 x 축에서 $\backslash theta$만큼 회전한 것으로 설명할 수 있다 (오른쪽 그림 참조). 편광 타원의 매개변수와 스토크스 변수의 관계는 다음과 같다.

:$$
\begin{matrix}
I_p & = & A^2 + B^2, \\
Q & = & (A^2-B^2)\cos(2\theta), \\
U & = & (A^2-B^2)\sin(2\theta), \\
V & = & 2ABh. \\
\end{matrix}


위 식을 통해 다음을 알 수 있다.

:$$
\begin{matrix}
A & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p+|L|)} \\
B & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p-|L|)} \\
\theta & = & \frac{1}{2}\arg(L)\\
h & = & \sgn(V). \\
\end{matrix}


여기서 $h$는 회전 방향을 나타내는데, +1은 오른손 방향, -1은 왼손 방향을 의미한다.

3. 스토크스 벡터 표현

스토크스 변수들은 종종 다음과 같이 스토크스 벡터라 불리는 벡터의 형태로 사용된다.

:$$
\vec S \ =
\begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix}


스토크스 벡터는 무편광, 부분 편광 및 완전 편광된 빛의 벡터 공간을 포함한다. 이와 비교하여 존스 벡터는 완전 편광된 빛의 공간만 표현할 수 있지만, 결맞음 빛과 관련된 문제에는 더 유용하다. 4개의 스토크스 변수가 선택된 이유는 공간의 선호되는 좌표계가 아니라, 쉽게 측정하거나 계산할 수 있기 때문이다. 광학계의 편광 효율은 입사광의 스토크스 벡터에 뮬러 행렬을 곱하여 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구함으로써 확인할 수 있다.

스토크스 매개변수 S₀, S₁, S₂, S₃와 세기 및 편광 타원 매개변수의 관계는 아래 방정식과 오른쪽에 있는 그림에 나와 있다.

:$$
\begin{align}
S_0 &= I \\
S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi \\
S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi \\
S_3 &= I p \sin 2\chi
\end{align}


여기서 $I\; p$, $2\backslash psi$ 및 $2\backslash chi$는 $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$를 3차원 벡터로 표현했을 때의 구면 좌표이다. $I$는 빛의 총 세기이고, $p$는 편광도를 나타내며 0과 1 사이의 값을 가진다. $\backslash psi$ 앞에 2가 곱해진 것은 편광 타원이 180° 회전해도 구별할 수 없음을 의미하며, $\backslash chi$ 앞에 2가 곱해진 것은 반축 길이가 바뀌고 90° 회전된 타원과 구별할 수 없음을 의미한다. 스토크스 매개변수에는 편광된 빛의 위상 정보는 기록되지 않는다. 스토크스 매개변수는 때때로 I, Q, U, V로 표시되기도 한다.

주어진 스토크스 매개변수를 사용하여 구면 좌표를 계산하는 식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
I &= S_0 \\
p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\
2\psi &= \mathrm{arctan} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &= \mathrm{arctan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\
\end{align}

$V$ 구성 요소의 부호는 사용되는 물리적 규칙에 따라 달라질 수 있다. 빔을 광원 쪽으로(빛의 전파 방향과 반대) 보면서 정의하는 경우와, 빔을 광원에서 멀리(빛의 전파 방향과 동일) 보면서 정의하는 경우 두 가지가 있다. 이 두 규칙은 $V$에 대해 서로 다른 부호를 생성하므로, 하나의 규칙을 선택하고 일관되게 사용해야 한다.

3.1. 예시

다음은 몇몇 일반적인 빛의 편광 상태를 스토크스 벡터로 표현한 것이다.

4. 성질

완전 편광된 빛의 경우, 다음 식이 성립한다.

:$S\_0^2\; =\; S\_1^2\; +\; S\_2^2\; +\; S\_3^2$

또는

:$I^2\; =\; Q^2\; +\; U^2\; +\; V^2$

부분 편광 또는 비편광된 빛의 경우에는 다음 부등식이 성립한다.

:$S\_0^2\; >\; S\_1^2\; +\; S\_2^2\; +\; S\_3^2$

또는

:$I^2\; >\; Q^2\; +\; U^2\; +\; V^2$

이때, 편광도(Degree of Polarization, DOP)는 다음과 같이 정의된다.

:$DOP\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{S\_1^2\; +\; S\_2^2\; +\; S\_3^2\}\}\{S\_0\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{Q^2\; +\; U^2\; +\; V^2\}\}\{I\}$

5. 뮬러 행렬

스토크스 벡터는 뮬러 행렬을 사용하여 광학 소자를 통과한 빛의 편광 상태 변화를 계산하는 데 사용될 수 있다. 뮬러 행렬은 4x4 실수 행렬로, 입사광의 스토크스 벡터에 곱해져 투과/반사 후의 스토크스 벡터를 계산한다. 광학계의 편광 효율은 입사광의 스토크스 벡터 집합에 뮬러 행렬을 곱하여 빛이 광학계를 통과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.

6. 푸앵카레 구

스토크스 매개변수 S₀, S₁, S₂, S₃와 세기 및 편광 타원 매개변수의 관계는 아래 방정식과 같다.

:$$
\begin{align}
S_0 &= I \\
S_1 &= I p \cos 2\psi \cos 2\chi \\
S_2 &= I p \sin 2\psi \cos 2\chi \\
S_3 &= I p \sin 2\chi
\end{align}


여기서 $I\; p$, $2\backslash psi$ 및 $2\backslash chi$는 데카르트 좌표 $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3)$의 3차원 벡터의 구면 좌표이다. $I$는 빔의 총 세기이고, $p$는 편광의 정도이며, $0\; \backslash le\; p\; \backslash le\; 1$로 제한된다. $\backslash psi$ 앞에 있는 2의 계수는 모든 편광 타원이 180° 회전된 것과 구별할 수 없다는 사실을 나타내고, $\backslash chi$ 앞에 있는 2의 계수는 반축 길이가 바뀌고 90° 회전된 타원과 구별할 수 없음을 나타낸다. 편광된 빛의 위상 정보는 스토크스 매개변수에 기록되지 않는다. 네 개의 스토크스 매개변수는 때때로 각각 I, Q, U 및 V로 표시된다.

스토크스 매개변수가 주어지면 다음 방정식을 사용하여 구면 좌표를 구할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
I &= S_0 \\
p &= \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0} \\
2\psi &= \mathrm{arctan} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &= \mathrm{arctan} \frac{S_3}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}\\
\end{align}

7. 양자 역학과의 관계

스토크스 변수는 양자 역학에서 밀도 행렬과 연관되어 해석될 수 있다. 스토크스 연산자는 파울리 행렬과 유사한 형태로 표현될 수 있으며, 이를 통해 양자 상태의 편광 특성을 분석할 수 있다.

기하학적 및 대수적 관점에서, 스토크스 변수는 힐베르트 공간 C² 상의 비음수 에르미트 연산자의 닫힌 볼록 4-실수 차원 콘과 일대일 대응 관계를 갖는다. 매개변수 I는 연산자의 대각합 역할을 하며, 연산자의 행렬 요소는 네 개의 매개변수 I, Q, U, V의 간단한 선형 함수이며, 이는 스토크스 연산자의 선형 결합의 계수 역할을 한다. 연산자의 고유값과 고유 벡터는 편광 타원 매개변수 I, p, ψ, χ로부터 계산할 수 있다.

I를 1로 설정한 스토크스 변수(즉, 대각합 1 연산자)는 양자 공간 C²의 닫힌 단위 3차원 혼합 상태 (또는 밀도 연산자)의 공과 일대일 대응 관계를 가지며, 그 경계는 블로흐 구이다. 존스 벡터는 기본 공간 C², 즉, 동일한 시스템의 (정규화되지 않은) 순수 상태에 해당한다. 순수 상태 |φ⟩에서 해당 혼합 상태 |φ⟩⟨φ|로 넘어갈 때, 그리고 존스 벡터에서 해당 스토크스 벡터로 넘어갈 때 전체 위상(즉, 두 수직 편광 축 상의 두 구성파 사이의 공통 위상 인자)이 손실된다는 점에 유의해야 한다.

수평 편광 상태 $|H\backslash rangle$와 수직 편광 상태 $|V\backslash rangle$를 기저로 할 때, +45° 선형 편광 상태는 $|+\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle+|V\backslash rangle)$, -45° 선형 편광 상태는 $|-\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle-|V\backslash rangle)$, 좌원 편광 상태는 $|L\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle+i|V\backslash rangle)$, 우원 편광 상태는 $|R\backslash rangle\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}(|H\backslash rangle-i|V\backslash rangle)$이다. 이러한 상태가 파울리 행렬의 고유 벡터이고, 정규화된 스토크스 매개변수(U/I, V/I, Q/I)가 블로흐 벡터 ($a\_x$, $a\_y$, $a\_z$)의 좌표에 해당한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 등가적으로, $U/I=tr\backslash left(\backslash rho\; \backslash sigma\_x\; \backslash right)$, $V/I=tr\backslash left(\backslash rho\; \backslash sigma\_y\; \backslash right)$, $Q/I=tr\backslash left(\backslash rho\; \backslash sigma\_z\; \backslash right)$이며, 여기서 $\backslash rho$는 혼합 상태의 밀도 행렬이다.

일반적으로, 각도 θ에서의 선형 편광은 순수 양자 상태 $|\backslash theta\backslash rangle\; =\backslash cos\{\backslash theta\}|H\backslash rangle+\backslash sin\{\backslash theta\}|V\backslash rangle$를 가지므로, 밀도 행렬 $\backslash rho\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(I\; +\; a\_x\; \backslash sigma\_x\; +\; a\_y\; \backslash sigma\_y\; +\; a\_z\; \backslash sigma\_z\backslash right)$를 갖는 혼합 상태 광원에 대한 각도 θ에서의 투과율은 다음과 같다.

:$tr(\backslash rho|\backslash theta\backslash rangle\backslash langle\backslash theta|)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; +\; a\_x\; \backslash sin\{2\backslash theta\}\; +\; a\_z\; \backslash cos\{2\backslash theta\}\backslash right)$

$a\_z\; >\; 0$인 경우 $\backslash theta\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\{\; (a\_x/a\_z)\; \}$에서, 또는 인 경우 $\backslash theta\_0\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\{\; (a\_x/a\_z)\; \}+\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$에서 최대 투과율 $\backslash frac\{1\}\{2\}\; (1+\; \backslash sqrt\{\; a\_x^2\; +\; a\_z^2\; \})$을 갖는다. 최소 투과율 $\backslash frac\{1\}\{2\}\; (\; 1-\; \backslash sqrt\{\; a\_x^2\; +\; a\_z^2\; \})$은 최대 투과 방향에 수직인 방향에서 도달한다. 여기서 최대 투과율과 최소 투과율의 비율은 소광비 $ER\; =\; (1\; +\; DOLP)\; /\; (1\; -\; DOLP)$로 정의되며, 여기서 편광 정도는 $DOLP\; =\; \backslash sqrt\{\; a\_x^2\; +\; a\_z^2\; \}$이다. 등가적으로, 투과율에 대한 공식은 $A\backslash cos^2\{(\backslash theta-\; \backslash theta\_0)\}\; +\; B$로 다시 쓸 수 있으며, 이는 말루스의 법칙의 확장된 형태이다. 여기서 $A,\; B$는 모두 비음수이며, $ER\; =\; (A+B)/B$에 의해 소광비와 관련된다. 두 개의 정규화된 스토크스 매개변수는 $a\_x=DOLP\backslash sin\{2\backslash theta\_0\},\; \backslash ,\; a\_z=DOLP\backslash cos\{\; 2\backslash theta\_0\},\; \backslash ,\; DOLP=(ER-1)/(ER+1)$로 계산할 수도 있다.

또한 각도 θ만큼 편광 축을 회전시키는 것은 블로흐 구 회전 연산자 $R\_y\; (2\backslash theta)$에 해당한다.

:$R\_y\; (2\backslash theta)\; =$
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}

예를 들어, 수평 편광 상태 $|H\backslash rangle$는 $|\backslash theta\backslash rangle\; =\backslash cos\{\backslash theta\}|H\backslash rangle+\backslash sin\{\backslash theta\}|V\backslash rangle$로 회전한다. 수평 축에 정렬된 4분의 1 파장판의 효과는 다음과 같다.

:$R\_z\; (\backslash pi\; /2)=$
\begin{bmatrix}
e^{ -i\pi/4 } & 0 \\
0 & e^{ +i\pi/4 }
\end{bmatrix}

이는 등가적으로 위상 게이트 S에 의해 설명되며, 결과 블로흐 벡터는 $(-a\_y,a\_x,a\_z)$가 된다. 이 구성을 사용하여 소광비를 측정하기 위해 회전 분석기 방법을 수행하면 $a\_y$를 계산하고 $a\_z$를 확인할 수 있다. 이 방법이 작동하려면 파장판의 빠른 축과 느린 축이 기저 상태의 참조 방향과 정렬되어야 한다.

각도 θ만큼 회전된 4분의 1 파장판의 효과는 로드리게스 회전 공식을 사용하여 $R\_n\; (\backslash pi/2)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}I-i\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt2\}\; (\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; )$로 결정할 수 있으며, $\backslash hat\{n\}=\backslash hat\{z\}\backslash cos\{2\backslash theta\}+\backslash hat\{x\}\; \backslash sin\{2\backslash theta\}$이다. 수평 축을 따라 선형 편광판(분석기 판)을 통과하는 결과 광의 투과율은 동일한 로드리게스 회전 공식을 사용하여 $I$와 $\backslash sigma\_z$에 대한 구성 요소에 초점을 맞춰 계산할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
T&= tr[R_n(\pi/2) \rho R_n (- \pi/2)|H\rangle\langle H|] \\

&= \frac{1}{2}\left[ 1 + a_y \sin{2\theta} + (\hat{n}\cdot \vec{a}) \cos{2\theta}\right] \\
&= \frac{1}{2}\left[ 1 + a_y \sin{2\theta} + (a_x \sin{2\theta} + a_z \cos{2\theta}) \cos{2\theta}\right] \\
&= \frac{1}{2}\left( 1 + a_y \sin{2\theta} +DOLP\times \frac{\cos{(4\theta-2\theta_0) }+\cos{(2\theta_0) }}{2 }\right)
\end{align}

위의 식은 많은 편광계의 이론적 기초이다. 비편광광의 경우, T=1/2는 상수이다. 순수하게 원형 편광된 빛의 경우, T는 주기가 180도인 각도 θ에 대한 정현파 의존성을 가지며, T=0인 절대 소멸에 도달할 수 있다. 순수하게 선형 편광된 빛의 경우, T는 주기가 90도인 각도 θ에 대한 정현파 의존성을 가지며, 원래 빛의 편광이 편광판에서 90도일 때만 절대 소멸에 도달할 수 있다(즉, $a\_z\; =-1$). 이 구성에서, $\backslash theta\_0=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$이고 $T=\backslash frac\{1-$
\cos{(4\theta)}}{4} 이며, θ=45°에서 최대 1/2이고 θ=0°에서 소멸점이 있다. 이 결과는, 예를 들어, 편광 빔 분할기를 사용하여 분석기 판에 정렬된 선형 편광된 빛을 얻고 그 사이에 4분의 1 파장판을 회전시켜, 4분의 1 파장판의 빠른 축 또는 느린 축을 정확하게 결정하는 데 사용할 수 있다.

마찬가지로, 각도 θ만큼 회전된 반 파장판의 효과는 $R\_n\; (\backslash pi)=-i(\backslash hat\{n\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; )$로 설명되며, 이는 밀도 행렬을 다음과 같이 변환한다.

:$\backslash begin\{align\}$
R_n(\pi) \rho R_n (-\pi) &= \frac{1}{2}\left(I+\vec{a}\cdot[-\vec{\sigma}+2\hat{n} (\hat{n}\cdot\vec{\sigma} )]\right) \\
&= \frac{1}{2}\left[I- \vec{a} \cdot \vec{\sigma}+2(\hat{n}\cdot\vec{a} ) (\hat{n}\cdot\vec{\sigma} )\right]
\end{align}

위의 식은 원래 빛이 순수한 선형 편광(즉, $a\_y=\; 0$)인 경우, 반 파장판 통과 후 결과 빛은 여전히 순수한 선형 편광(즉, $\backslash sigma\_y$ 구성 요소가 없음)이며 주축이 회전한다는 것을 보여준다. 이러한 선형 편광의 회전은 주기가 90도인 각도 θ에 대한 정현파 의존성을 갖는다.