시그마 콤팩트 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 시그마 콤팩트 공간
- 2.2. 반콤팩트 공간
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

시그마 콤팩트 공간은 가산 개의 콤팩트 집합의 합집합으로 표현될 수 있는 위상 공간이다. 반콤팩트 공간은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합의 열이 존재하는 위상 공간으로, 콤팩트 공간, 반콤팩트 공간, 시그마 콤팩트 공간, 린델뢰프 공간 사이에는 포함 관계가 성립한다. 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이며, 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합과 유한 개의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이며, 반콤팩트 공간의 닫힌집합과 유한 개의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 가산 무한 이산 공간은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이 아니며, 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만 시그마 콤팩트 공간이 아니고, 유리수 집합은 시그마 콤팩트 공간이지만 반콤팩트 공간은 아니다.

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시그마 콤팩트 공간
기본 정보
시그마 콤팩트 공간의 예시. 콤팩트 공간의 가산 무한 합집합.
정의	위상 공간
성질
포함 관계	모든 콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간이다. 모든 린델뢰프 공간은 시그마 콤팩트 공간이다.

2. 정의

2. 1. 시그마 콤팩트 공간

위상 공간

X

가 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합으로 표현될 수 있다면, '''시그마 콤팩트 공간'''이라고 한다. 즉,

\textstyle X=\bigcup_{i=0}^\infty K_i

인 콤팩트 집합의 열

K_0,K_1,\dots\subseteq X

가 존재한다.

일부 문헌에서는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정하기도 한다.^[1]

2. 2. 반콤팩트 공간

위상 공간

X

가 다음 조건을 만족시키면, '''반콤팩트 공간'''이라고 한다.

다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_0,K_1,\dots\subseteq X$ 가 존재한다.
* 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, $K\subseteq K_i$ 인 자연수 $i\in\mathbb N$ 이 존재한다.

즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

3. 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

:콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 린델뢰프 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 국소 콤팩트 조건에 따라, $U_i\subseteq K_i\qquad(\forall i\in I)$ 인 열린 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 및 콤팩트 집합들의 집합족 $(K_i)_{i\in I}$ 가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, $(U_i)_{i\in I}$ 의 가산 부분 덮개 $\{i_0,i_1,\dots\}\subseteq I$ 를 잡을 수 있다. 이때, $C_n=K_{i_0}\cup\cdots\cup K_{i_n}\qquad(n\in\mathbb N)$ 은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 는 $\{U_{i_0},U_{i_1},\dots\}$ 의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 $C_n$ 에 포함된다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 $X$ 가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 가정하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_0,K_1,\dots\subseteq X$ 을 잡을수 있다. 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 에 대하여, $K\subseteq K_i$ 인 자연수 $i\in\mathbb N$ 이 존재한다.

가정에 따라서, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 $x\in X$ 를 잡을수 있다. 제1 가산성에 따라, $x$ 의 가산 국소 기저 $U_0\supseteq U_1\supseteq\cdots$ 를 잡을수 있다. 임의의 $n\in\mathbb N$ 에 대하여 $x_n\not\in U_n\setminus K_n$ 을 고르면, $K=\{x\}\cup\{x_0,x_1,\dots\}$ 는 콤팩트 집합이지만, 어떤 $K_n$ 에도 포함되지 않아서 모순이 발생한다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.^[2] 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 하지만 무한 개의 경우에는 두 명제 모두 성립하지 않는다. 만약 $X=\bigcup_{i=0}^\infty X_i$ 이고 $Y=\bigcup_{i=0}^\infty Y_i$ 이며, $X_i,Y_i$ 가 콤팩트 집합이라면, $X\times Y=\bigcup_{i=0}^\infty\bigcup_{j=0}^\infty X_i\times Y_j$ 이며, $X_i\times Y_j$ 는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 $A\subseteq X$ , $B\subseteq Y$ 에 대하여, $A\subseteq X_{i_A}$ , $B\subseteq Y_{j_B}$ 인 $i_A,j_B\in\mathbb N$ 이 존재하며, $p\colon X\times Y\to X$ 와 $q\colon X\times Y\to Y$ 가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X\times Y$ 에 대하여, $K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}$ 이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.^[1]

3. 1. 콤팩트 공간, 린델뢰프 공간, 국소 콤팩트 공간과의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

:콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 린델뢰프 공간

X

가 주어졌을 때, 국소 콤팩트 조건에 따라,

U_i\subseteq K_i\qquad(\forall i\in I)

인 열린 덮개

(U_i)_{i\in I}

및 콤팩트 집합들의 집합족

(K_i)_{i\in I}

가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라,

(U_i)_{i\in I}

의 가산 부분 덮개

\{i_0,i_1,\dots\}\subseteq I

를 잡을 수 있다. 이때,

C_n=K_{i_0}\cup\cdots\cup K_{i_n}\qquad(n\in\mathbb N)

은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합

K\subseteq X

는

\{U_{i_0},U_{i_1},\dots\}

의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤

C_n

에 포함된다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간

X

가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 가정하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열

K_0,K_1,\dots\subseteq X

을 잡을수 있다. 임의의 콤팩트 집합

K\subseteq X

에 대하여,

K\subseteq K_i

인 자연수

i\in\mathbb N

이 존재한다.

가정에 따라서, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점

x\in X

를 잡을수 있다. 제1 가산성에 따라,

x

의 가산 국소 기저

U_0\supseteq U_1\supseteq\cdots

를 잡을수 있다. 임의의

n\in\mathbb N

에 대하여

x_n\not\in U_n\setminus K_n

을 고르면,

K=\{x\}\cup\{x_0,x_1,\dots\}

는 콤팩트 집합이지만, 어떤

K_n

에도 포함되지 않아서 모순이 발생한다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.^[2] 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 하지만 무한 개의 경우에는 두 명제 모두 성립하지 않는다. 만약

X=\bigcup_{i=0}^\infty X_i

이고

Y=\bigcup_{i=0}^\infty Y_i

이며,

X_i,Y_i

가 콤팩트 집합이라면,

X\times Y=\bigcup_{i=0}^\infty\bigcup_{j=0}^\infty X_i\times Y_j

이며,

X_i\times Y_j

는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합

A\subseteq X

,

B\subseteq Y

에 대하여,

A\subseteq X_{i_A}

,

B\subseteq Y_{j_B}

인

i_A,j_B\in\mathbb N

이 존재하며,

p\colon X\times Y\to X

와

q\colon X\times Y\to Y

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합

K\subseteq X\times Y

에 대하여,

K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}

이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.^[1]

3. 2. 닫힌집합

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다.^[2] 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

3. 3. 곱공간

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.^[2] 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.

만약

:

X=\bigcup_{i=0}^\infty X_i

:

Y=\bigcup_{i=0}^\infty Y_i

이며,

X_i,Y_i

가 콤팩트 집합이라면,

:

X\times Y=\bigcup_{i=0}^\infty\bigcup_{j=0}^\infty X_i\times Y_j

이며,

X_i\times Y_j

는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합

A\subseteq X

,

B\subseteq Y

에 대하여,

A\subseteq X_{i_A}

,

B\subseteq Y_{j_B}

인

i_A,j_B\in\mathbb N

이 존재하며,

:

p\colon X\times Y\to X

:

q\colon X\times Y\to Y

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합

K\subseteq X\times Y

에 대하여,

:

K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}

이다.

3. 4. 르베그 덮개 차원

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.^[1]

4. 예

가산 무한 이산 공간 $\mathbb N$ 은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 $\mathbb N^{\aleph_0}$ 은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.^[2]

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

유리수 집합 $\mathbb Q$ 는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.

4. 1. 가산 무한 이산 공간

가산 무한 이산 공간

\mathbb N

은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간

\mathbb N^{\aleph_0}

은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.^[2] 곱공간을

\mathbb N^\omega

로 적고, 사영 함수들을

:

p_i\colon\mathbb N^\omega\to\mathbb N\qquad(i<\omega)

로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열

:

K_0,K_1,\dots\subseteq\mathbb N^\omega

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

p_i(K_j)

는

\mathbb N

의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의

i<\omega

에 대하여

:

n_i\in\mathbb N\setminus p_i(K_i)

를 잡자. 그렇다면,

:

(n_i)_{i<\omega}\not\in K_0\cup K_1\cup\cdots

이므로,

\mathbb N^\omega

는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

4. 2. 조르겐프라이 직선

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.^[2] 만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다.

4. 3. 유리수 집합

유리수 집합

\mathbb Q

는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.^[2] 이는

\mathbb Q

가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다.

참조

_[1] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[2] 서적 General topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970

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