시그마 콤팩트 공간

1. 개요

시그마 콤팩트 공간은 가산 개의 콤팩트 집합의 합집합으로 표현될 수 있는 위상 공간이다. 반콤팩트 공간은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합의 열이 존재하는 위상 공간으로, 콤팩트 공간, 반콤팩트 공간, 시그마 콤팩트 공간, 린델뢰프 공간 사이에는 포함 관계가 성립한다. 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이며, 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합과 유한 개의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이며, 반콤팩트 공간의 닫힌집합과 유한 개의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 가산 무한 이산 공간은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이 아니며, 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만 시그마 콤팩트 공간이 아니고, 유리수 집합은 시그마 콤팩트 공간이지만 반콤팩트 공간은 아니다.

2. 정의

2.1. 시그마 콤팩트 공간

위상 공간 $X$가 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합으로 표현될 수 있다면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다. 즉, $\backslash textstyle\; X=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; K\_i$인 콤팩트 집합의 열 $K\_0,K\_1,\backslash dots\backslash subseteq\; X$가 존재한다.

일부 문헌에서는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정하기도 한다.

2.2. 반콤팩트 공간

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 반콤팩트 공간이라고 한다.

* 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K\_0,K\_1,\backslash dots\backslash subseteq\; X$가 존재한다.
** 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X$에 대하여, $K\backslash subseteq\; K\_i$인 자연수 $i\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재한다.

즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

3. 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 린델뢰프 공간 $X$가 주어졌을 때, 국소 콤팩트 조건에 따라, $U\_i\backslash subseteq\; K\_i\backslash qquad(\backslash forall\; i\backslash in\; I)$인 열린 덮개 $(U\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ 및 콤팩트 집합들의 집합족 $(K\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, $(U\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 가산 부분 덮개 $\backslash \{i\_0,i\_1,\backslash dots\backslash \}\backslash subseteq\; I$를 잡을 수 있다. 이때, $C\_n=K\_\{i\_0\}\backslash cup\backslash cdots\backslash cup\; K\_\{i\_n\}\backslash qquad(n\backslash in\backslash mathbb\; N)$은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X$는 $\backslash \{U\_\{i\_0\},U\_\{i\_1\},\backslash dots\backslash \}$의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 $C\_n$에 포함된다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 $X$가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 가정하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K\_0,K\_1,\backslash dots\backslash subseteq\; X$을 잡을수 있다. 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X$에 대하여, $K\backslash subseteq\; K\_i$인 자연수 $i\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재한다.
가정에 따라서, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 $x\backslash in\; X$를 잡을수 있다. 제1 가산성에 따라, $x$의 가산 국소 기저 $U\_0\backslash supseteq\; U\_1\backslash supseteq\backslash cdots$를 잡을수 있다. 임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여 $x\_n\backslash not\backslash in\; U\_n\backslash setminus\; K\_n$을 고르면, $K=\backslash \{x\backslash \}\backslash cup\backslash \{x\_0,x\_1,\backslash dots\backslash \}$는 콤팩트 집합이지만, 어떤 $K\_n$에도 포함되지 않아서 모순이 발생한다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다. 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 하지만 무한 개의 경우에는 두 명제 모두 성립하지 않는다. 만약 $X=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; X\_i$이고 $Y=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; Y\_i$이며, $X\_i,Y\_i$가 콤팩트 집합이라면, $X\backslash times\; Y=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash bigcup\_\{j=0\}^\backslash infty\; X\_i\backslash times\; Y\_j$이며, $X\_i\backslash times\; Y\_j$는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 $A\backslash subseteq\; X$, $B\backslash subseteq\; Y$에 대하여, $A\backslash subseteq\; X\_\{i\_A\}$, $B\backslash subseteq\; Y\_\{j\_B\}$인 $i\_A,j\_B\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재하며, $p\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; X$와 $q\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; Y$가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X\backslash times\; Y$에 대하여, $K\backslash subseteq\; p(K)\backslash times\; q(K)\backslash subseteq\; X\_\{i\_\{p(K)\}\}\backslash times\; Y\_\{j\_\{q(K)\}\}$이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.

3.1. 콤팩트 공간, 린델뢰프 공간, 국소 콤팩트 공간과의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 린델뢰프 공간 $X$가 주어졌을 때, 국소 콤팩트 조건에 따라, $U\_i\backslash subseteq\; K\_i\backslash qquad(\backslash forall\; i\backslash in\; I)$인 열린 덮개 $(U\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$ 및 콤팩트 집합들의 집합족 $(K\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, $(U\_i)\_\{i\backslash in\; I\}$의 가산 부분 덮개 $\backslash \{i\_0,i\_1,\backslash dots\backslash \}\backslash subseteq\; I$를 잡을 수 있다. 이때, $C\_n=K\_\{i\_0\}\backslash cup\backslash cdots\backslash cup\; K\_\{i\_n\}\backslash qquad(n\backslash in\backslash mathbb\; N)$은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X$는 $\backslash \{U\_\{i\_0\},U\_\{i\_1\},\backslash dots\backslash \}$의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 $C\_n$에 포함된다.

모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 $X$가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 가정하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K\_0,K\_1,\backslash dots\backslash subseteq\; X$을 잡을수 있다. 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X$에 대하여, $K\backslash subseteq\; K\_i$인 자연수 $i\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재한다.
가정에 따라서, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 $x\backslash in\; X$를 잡을수 있다. 제1 가산성에 따라, $x$의 가산 국소 기저 $U\_0\backslash supseteq\; U\_1\backslash supseteq\backslash cdots$를 잡을수 있다. 임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여 $x\_n\backslash not\backslash in\; U\_n\backslash setminus\; K\_n$을 고르면, $K=\backslash \{x\backslash \}\backslash cup\backslash \{x\_0,x\_1,\backslash dots\backslash \}$는 콤팩트 집합이지만, 어떤 $K\_n$에도 포함되지 않아서 모순이 발생한다.

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다. 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 하지만 무한 개의 경우에는 두 명제 모두 성립하지 않는다. 만약 $X=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; X\_i$이고 $Y=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; Y\_i$이며, $X\_i,Y\_i$가 콤팩트 집합이라면, $X\backslash times\; Y=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash bigcup\_\{j=0\}^\backslash infty\; X\_i\backslash times\; Y\_j$이며, $X\_i\backslash times\; Y\_j$는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 $A\backslash subseteq\; X$, $B\backslash subseteq\; Y$에 대하여, $A\backslash subseteq\; X\_\{i\_A\}$, $B\backslash subseteq\; Y\_\{j\_B\}$인 $i\_A,j\_B\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재하며, $p\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; X$와 $q\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; Y$가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X\backslash times\; Y$에 대하여, $K\backslash subseteq\; p(K)\backslash times\; q(K)\backslash subseteq\; X\_\{i\_\{p(K)\}\}\backslash times\; Y\_\{j\_\{q(K)\}\}$이다.

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.

3.2. 닫힌집합

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

3.3. 곱공간

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다. 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다.

만약
:$X=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; X\_i$
:$Y=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; Y\_i$
이며, $X\_i,Y\_i$가 콤팩트 집합이라면,
:$X\backslash times\; Y=\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\backslash bigcup\_\{j=0\}^\backslash infty\; X\_i\backslash times\; Y\_j$
이며, $X\_i\backslash times\; Y\_j$는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 $A\backslash subseteq\; X$, $B\backslash subseteq\; Y$에 대하여, $A\backslash subseteq\; X\_\{i\_A\}$, $B\backslash subseteq\; Y\_\{j\_B\}$인 $i\_A,j\_B\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재하며,
:$p\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; X$
:$q\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; Y$
가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; X\backslash times\; Y$에 대하여,
:$K\backslash subseteq\; p(K)\backslash times\; q(K)\backslash subseteq\; X\_\{i\_\{p(K)\}\}\backslash times\; Y\_\{j\_\{q(K)\}\}$
이다.

3.4. 르베그 덮개 차원

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.

4. 예

가산 무한 이산 공간 $\backslash mathbb\; N$은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 $\backslash mathbb\; N^\{\backslash aleph\_0\}$은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

유리수 집합 $\backslash mathbb\; Q$는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다.

4.1. 가산 무한 이산 공간

가산 무한 이산 공간 $\backslash mathbb\; N$은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 $\backslash mathbb\; N^\{\backslash aleph\_0\}$은 시그마 콤팩트 공간이 아니다. 곱공간을 $\backslash mathbb\; N^\backslash omega$로 적고, 사영 함수들을
:
로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열
:$K\_0,K\_1,\backslash dots\backslash subseteq\backslash mathbb\; N^\backslash omega$
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $p\_i(K\_j)$는 $\backslash mathbb\; N$의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 에 대하여
:$n\_i\backslash in\backslash mathbb\; N\backslash setminus\; p\_i(K\_i)$
를 잡자. 그렇다면,
:
이므로, $\backslash mathbb\; N^\backslash omega$는 시그마 콤팩트 공간이 아니다.

4.2. 조르겐프라이 직선

조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다. 만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다.

4.3. 유리수 집합

유리수 집합 $\backslash mathbb\; Q$는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다. 이는 $\backslash mathbb\; Q$가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다.