르베그 덮개 차원

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1. 개요

르베그 덮개 차원은 위상 공간의 차원을 정의하는 방법 중 하나로, 주어진 위상 공간에 대한 열린 덮개의 세분을 통해 결정되는 정수이다. 르베그 덮개 차원은 임의의 열린 덮개에 대해, 각 점을 포함하는 세분된 덮개의 원소 개수가 n+1 이하가 되도록 하는 n의 최솟값으로 정의되며, 이러한 n이 존재하지 않으면 무한대로 정의된다. 르베그 덮개 차원은 위상 불변량이며, 단체 복합체의 경우 아핀 차원과 일치한다. 또한, 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 작거나 같으며, 정규 공간의 경우 닫힌 집합과 연속 함수의 확장 가능성과 관련이 있다. 앙리 르베그의 연구를 바탕으로 에두아르트 체흐가 처음으로 공식화했다.

르베그 덮개 차원

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추가 설명
3. 성질
- 3.1. 다른 차원 개념과의 관계
4. 예
5. 역사

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 르베그 덮개 차원 $\dim X$ 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 $n\ge-1$ 이다.

* 임의의 유한 열린 덮개 $\mathcal U$ 에 대하여, $\max_{x\in X}|\{C\in\mathcal C\colon x\in C\}|\le n+1$ 인 $\mathcal U$ 의 열린 세분 $\mathcal C$ 가 존재한다.

만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, $\dim X=\infty$ 로 정의한다. 위 정의에서, “유한 열린 덮개”를 “국소 유한 열린 덮개”로 대체하여도 원래의 정의와 동치이다.

앙리 르베그는 1921년에 닫힌 "벽돌"을 사용하여 덮개 차원을 연구했다.

덮개 차원에 대한 첫 번째 형식적 정의는 에두아르트 체흐에 의해 주어졌으며, 이는 앙리 르베그의 이전 결과를 기반으로 한다.

현대적인 정의는 다음과 같다. 위상 공간 X의 덮개 차원은 X의 모든 유한 열린 덮개

\mathfrak A

가 차수

n+1

을 갖는 열린 세분

\mathfrak B

를 갖는 최소값

n

으로 정의된다. 세분

\mathfrak B

는 항상 유한으로 선택될 수 있다. 따라서

n

이 유한하면

V_{\beta_1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V_{\beta_{n+2}} = \emptyset

for

\beta_1, ..., \beta_{n+2}

distinct. 그러한 최소

n

이 존재하지 않으면 공간은 무한 덮개 차원을 갖는다고 한다.

특별한 경우로, 비어 있지 않은 위상 공간은 공간의 모든 열린 덮개가 분리 집합으로 구성된 세분을 가지면 덮개 차원에 대해 영차원이 되며, 이는 공간의 모든 점이 이 세분의 정확히 하나의 열린 집합에 포함됨을 의미한다.

2.1. 추가 설명

위상 공간의 열린 덮개는 그 합집합이 전체 공간이 되는 열린 집합들의 집합이다. $\cup_\alpha U_\alpha = X$ . 열린 덮개 $\mathfrak A = \{U_\alpha\}$ 의 차수 또는 겹침은 공간의 각 점이 덮개에 있는 최대 $m$ 개의 열린 집합에 속하는 최소 숫자 $m$ 이다(존재하는 경우). 즉, $U_{\alpha_1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U_{\alpha_{m+1}} = \emptyset$ for $\alpha_1, ..., \alpha_{m+1}$ distinct. 열린 덮개 $\mathfrak A = \{U_\alpha\}$ 의 세분은 다른 열린 덮개 $\mathfrak B = \{V_\beta\}$ 이며, 각 $V_\beta$ 는 일부 $U_\alpha$ 에 포함된다.

3. 성질

위상 동형인 공간은 같은 덮개 차원을 갖는다. 즉, 덮개 차원은 위상 불변량이다.

오스트란드의 유색 차원 정리: 정규 공간 X가 부등식 $\dim X \le n$ (n ≥ 0)을 만족하기 위한 필요충분조건은, 공간 X의 임의의 국소 유한 열린 덮개 $\mathcal U = \{U_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal A}$ 에 대해, X의 열린 덮개 $\mathcal V$ 가 존재하여, 이를 n + 1 개의 덮개족 $\mathcal V_1, \mathcal V_2, \dots, \mathcal V_{n+1}$ 의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 여기서 $\mathcal V_i = \{V_{i,\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal A}$ 이고, $\mathcal V_i$ 들은 서로 교차하지 않으며, 각 i와 α에 대해 $V_{i,\alpha} \subset U_\alpha$ 를 만족해야 한다.

3.1. 다른 차원 개념과의 관계

단체 복합체의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)

임의의 위상 공간의 르베그 덮개 차원은 큰 귀납적 차원보다 적거나 같다.

정규 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 르베그 덮개 차원 $\dim X\le n$
* $X$ 의 임의의 닫힌 집합 $A\subset X$ 및 연속 함수 $f\colon A\to S^n$ 에 대하여, $f$ 의 $X$ 에 대한 확장 $g\colon X\to S^n$ 이 존재한다. ( $S^n$ 은 초구)

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $Y$ 가 닫힌집합이거나, $X$ 가 완전 정규 공간이라면, 다음이 성립한다.
: $\dim Y\le\dim X$

정규 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y,Z\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $X=Y\cup Z$ 라면, 다음이 성립한다. (르베그 덮개 차원에 대한 우리손 부등식)
: $\dim(Y\cup Z)\le\dim Y+\dim Z+1$

위상 공간 $X,Y$ 가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식
: $\dim(X\times Y)\le\dim X+\dim Y$
이 성립한다.
* $X,Y$ 는 콤팩트 공간이다.
* $X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, $Y$ 는 정규 하우스도르프 공간이며, $X\times Y$ 는 정규 공간이다.
* $X$ 는 거리화 가능 공간이며, $Y$ 는 정규 하우스도르프 공간이며, $X\times Y$ 는 정규 공간이다.

다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다.
* $X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이며, $Y$ 는 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.

다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다.
* $X,Y$ 는 거리화 가능 공간이다.

정규 하우스도르프 공간 $X$ 와 그 스톤-체흐 콤팩트화의 르베그 덮개 차원은 일치한다.
: $\dim\beta X=\dim X$

파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 의 덮개 차원은 층의 의미에서 코호몰로지 차원보다 크거나 같다.

거리 공간에서 덮개의 중복도 개념을 강화할 수 있다. 덮개가 r-중복도 n+1을 갖는다는 것은 모든 r-구는 덮개 내에서 최대 n+1개의 집합과 교차한다는 것이다. 이 아이디어는 공간의 점근 차원과 아소아드-나가타 차원의 정의로 이어진다.

4. 예

n^영어차원 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 르베그 덮개 차원은 $n$ 이다. 보다 일반적으로, 임의의 n^영어차원 다양체의 르베그 덮개 차원은 $n$ 이다.

공집합이 아닌 이산 공간 및 비이산 공간의 르베그 덮개 차원은 0이다. 르베그 덮개 차원이 $-1$ 인 공간은 공집합밖에 없다.

조르겐프라이 직선 $S$ 의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 조르겐프라이 평면 $S\times S$ 의 르베그 덮개 차원은 $\infty$ 이다.

단위 원의 열린 덮개는 열린 호의 모음으로 구성된 세분성을 가질 것이다. 원은 이 정의에 따라 차원 1을 가지는데, 덮개는 원의 주어진 점 x가 최대 두 개의 열린 호에 포함되는 단계까지 세분될 수 있기 때문이다. 즉, 어떤 호 모음으로 시작하든 일부는 버리거나 축소할 수 있으며, 나머지는 여전히 원을 덮지만 간단한 중첩을 갖는다.

마찬가지로, 2차원 평면의 단위 원판의 열린 덮개는 디스크의 임의의 점이 세 개 이하의 열린 집합에 포함되도록 세분될 수 있으며, 두 개로는 일반적으로 충분하지 않다. 따라서 디스크의 덮개 차원은 2이다.

5. 역사

앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코의 수학자 에두아르트 체흐가 덮개 차원을 처음으로 공식적으로 도입하였다.