심슨 직선

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 복소평면에서의 표현
4. 일반화
5. 더 알아보기
참조

1. 개요

심슨 직선은 삼각형 ABC의 외접원 위의 점 P에서 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발이 한 직선 위에 있을 때, 이 직선을 지칭한다. P가 삼각형 ABC의 외접원 위에 있을 경우, 이 세 수선의 발은 한 직선 위에 놓이게 되며, 이 직선을 심슨 직선이라고 정의한다. 심슨 직선은 삼각형의 꼭짓점의 수선, 외접원 위의 두 점 사이의 각도, 대척점의 심슨 직선의 수직 관계 등 다양한 성질을 가진다. 또한, 심슨 직선들의 족의 포락선은 슈타이너 하이포사이클로이드라는 델토이드 곡선이 된다. 심슨 직선은 복소평면에서의 표현과 다양한 형태로 일반화될 수 있으며, 원내접 사각형으로의 확장 등 다양한 변형이 존재한다.

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심슨 직선
정의
정의	△ABC의 각 변 BC, CA, AB 위에 점 L, N, M이 있을 때, 이 세 점 L, N, M이 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 점 P가 △ABC의 외접원 위에 있다는 것이다. 이 때의 직선 LNM을 점 P에 대한 심슨 직선이라 한다.
역사
이름의 유래	일반적으로 1792년에 글래스고 대학교의 로버트 심슨의 이름을 따서 명명되었지만, 실제로는 심슨과는 관련이 없다.
실제 발견자	1797년에 윌리엄 월러스가 발견했다.
성질
심슨 직선의 교점	삼각형 ABC의 심슨 직선은 점 P가 △ABC의 외접원 위에 있을 때만 존재한다.
심슨 직선과 삼각형	점 P가 △ABC의 외접원 위에 있을 때, 심슨 직선은 삼각형 ABC의 넓이를 이등분한다.
심슨 직선의 평행	점 P와 Q가 △ABC의 외접원 위에 있을 때, P와 Q에 대한 심슨 직선은 서로 평행하다.
심슨 직선의 수직	점 P와 Q가 △ABC의 외접원 위에 있을 때, P와 Q에 대한 심슨 직선이 서로 수직일 필요충분조건은 PQ가 △ABC의 외접원의 지름이라는 것이다.
기타
관련 항목	오일러 직선 방심 브로카드 점

2. 정의

삼각형 ABC와 같은 평면 위의 점 P가 주어졌을 때, P에서 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발 D, E, F에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[29]

D, E, F는 한 직선 위에 있다.
P는 삼각형 ABC의 외접원 위에 있다.

만약 P가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이라면, D, E, F를 지나는 직선을 삼각형 ABC에 대한 점 P의 '''심슨 직선'''이라고 한다.

3. 성질

삼각형의 꼭짓점의 심슨선은 그 꼭짓점에서 내린 삼각형의 수선이며, 꼭짓점과 지름 반대편에 있는 점의 심슨선은 그 꼭짓점의 반대편에 있는 삼각형의 변이다.^[6] P와 Q가 외접원 위의 점이면, P와 Q의 심슨선 사이의 각도는 호 PQ의 각도의 절반이다. 특히, 점들이 지름 반대편에 있으면, 심슨선은 수직이며 이 경우 선들의 교차점은 9점 원 위에 놓인다.^[29]

삼각형 $ABC$ 에 대한 외접원 위의 두 점 $P$ , $Q$ 의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 $PQ$ 의 중심각의 크기의 1/2과 같다.^[29]

삼각형 $ABC$ 에 대한 외접원 위의 두 대척점 $P$ , $Q$ 의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원 위의 점에서 만난다.^[29]

H를 삼각형 ABC의 수심이라고 하면, P의 심슨선은 9점 원 위에 놓인 점에서 선분 PH를 이등분한다.^[30]

삼각형 $ABC$ 에 대한 외접원 위의 점 $P$ 의 심슨 직선은 $P$ 와 수심 $H$ 사이의 선분 $PH$ 를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 $ABC$ 의 구점원의 한 교점이다.^[30]

주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 '''슈타이너 하이포사이클로이드'''(Steiner’s hypocycloid^영어)라고 한다.^[29]

right(파란색)의 접선이다.]]

공통 외접원을 가진 두 개의 삼각형이 있을 때, P에 대한 두 개의 심슨선이 이루는 각은 P에 관계없이 일정한 값을 갖는다.

심슨선에 의한 포락선은 델토이드(내사이클로이드의 일종)가 된다. 이 델토이드를 슈타이너의 델토이드라고 한다.

삼각형의 외접원 위에 점 를 잡는다. 퐁슬레의 폐형 정리에 의해 이 삼각형과, 내접원과 외접원을 공유하는 삼각형은 무수히 존재하지만, 이들 삼각형에서의 의 심슨선은, 정점을 지난다. 이를 그린힐-딕슨 정리(Greenhill-Dixon theorem)라고 한다^[15]^[16]. 서 조지 그린힐(Sir George Greenhill)과 A. C. 딕슨의 이름을 딴 것이다^[17].

3. 1. 복소평면에서의 표현

복소 평면에 삼각형을 놓고, 단위 외접원을 갖는 삼각형 의 꼭짓점 위치가 복소 좌표 a, b, c를 가지며, 복소 좌표 p를 갖는 점 P가 외접원 위에 있다고 하자. 심슨 직선은 다음을 만족하는 점 z의 집합이다.^[5]

:

여기서 오버바는 복소 켤레를 나타낸다.

4. 일반화

4. 1. 일반화 1

삼각형 ''ABC''가 주어지고, 외심 ''O''를 지나는 직선 ℓ과 외접원 위에 점 ''P''가 있다고 하자. ''AP, BP, CP''가 ℓ과 각각 ''A_p, B_p, C_p''에서 만난다고 하자. ''A''₀, ''B''₀, ''C''₀가 각각 ''A_p, B_p, C_p''를 ''BC, CA, AB''에 정사영시킨 점이라고 하면, ''A''₀, ''B''₀, ''C''₀는 공선점이다.^[9]^[10]^[11] 또한, 이 새로운 직선은 Δ''ABC''의 수심 ''H''와 점 ''P''의 중점을 지난다. ℓ이 ''P''를 지나면 이 직선은 심슨선과 일치한다.^[9]^[10]^[11]

4. 2. 일반화 2

삼각형 ''ABC''의 꼭짓점이 원뿔 곡선 Γ 위에 있고, ''Q, P''가 평면상의 두 점이라고 하자. ''PA, PB, PC''가 원뿔 곡선과 각각 ''A''₁, ''B''₁, ''C''₁에서 교차한다고 하자. ''QA''₁은 ''BC''와 ''A''₂에서, ''QB''₁은 ''AC''와 ''B''₂에서, ''QC''₁은 ''AB''와 ''C''₂에서 교차한다. 이때, 네 점 ''A''₂, ''B''₂, ''C''₂, 그리고 ''P''가 공선점인 것과 ''Q''가 원뿔 곡선 Γ 위에 있는 것은 동치이다.^[12]

4. 3. 일반화 3

R. F. 사이스터는 심슨 선의 정리를 원내접 사각형으로 일반화했으며, 관련 내용은 [https://www.jstor.org/stable/3606490 원내접 사각형의 심슨 선]에서 확인할 수 있다.^[23]^[24]^[25] 특히 원내접사각형으로 확장한 것은 잘 알려져 있다.^[26]

원에 내접하는 n각형과 그 외접원 위의 점 P에 대해, n각형의 꼭짓점 중 n-1개로 이루어진 다각형에서의 P의 심슨 선 총 n개에, P에서 내린 수선의 발은 모두 한 직선 위에 있다. 이것을 n각형에서의 심슨 선이라고 정의할 수 있다.

수선이 아닌 일반적인 각으로 확장한 것^[27] 등 다른 많은 확장도 있다.^[28]

5. 더 알아보기

참조

_[1] 서적 Geometry revisited Math. Assoc. America 1967
_[2] 웹사이트 Gibson History 7 - Robert Simson http://www-groups.dc[...] 2008-01-30
_[3] 웹사이트 William Wallace http://www-groups.dc[...]
_[4] 논문 A Theorem in the Geometry of the Triangle
_[5] 간행물 The Simson triangle and its properties http://forumgeom.fau[...] 2017
_[6] 간행물 Pedal Polygons http://forumgeom.fau[...] 2013
_[7] 간행물 The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic point, and the Simson Line of a Quadrilateral http://forumgeom.fau[...] 2012
_[8] 논문 On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas http://forumgeom.fau[...]
_[9] 웹사이트 A Generalization of Simson Line http://www.cut-the-k[...] Cut-the-knot 2015-04
_[10] 간행물 Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem https://forumgeom.fa[...]
_[11] 간행물 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem http://journals.camb[...] 2016
_[12] 간행물 99.20 A projective Simson line http://journals.camb[...]
_[13] 웹사이트 Gibson History 7 - Robert Simson http://www-groups.dc[...] 2008-11-11
_[14] 웹사이트 Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles http://www.cut-the-k[...] 2008-09-23
_[15] 논문 Simson線ニ就テ https://www.jstage.j[...] 1929
_[16] 논문 Some Theorems on Poncelet's Problem in Closure, I https://www.jstage.j[...] 1928
_[17] 서적 THE MODERN GEOMETRY OF THE TRIANGLE. https://ia801309.us.[...] F. Hodgson, n.d.
_[18] 서적 初等幾何学特選問題共立出版
_[19] 웹사이트 A Generalization of Simson Line http://www.cut-the-k[...] Cut-the-knot 2015-04
_[20] 간행물 Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem https://forumgeom.fa[...]
_[21] 간행물 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem http://journals.camb[...] 2016
_[22] 간행물 99.20 A projective Simson line http://journals.camb[...]
_[23] 논문 On the envelope of the Simson line of a polygon https://www.cambridg[...] 1895-02
_[24] 논문 Further Generalizations of Simson Line, Kantor Plint and Kantor Line https://www.jstage.j[...] 1940
_[25] 간행물 The Educational Times and Journal of the College of Preceptors https://archive.org/[...] Francis Hodgson, London 1898
_[26] 논문 1507. The Simson Lines of a Cyclic Quadrilateral https://www.jstor.or[...] 1941
_[27] 서적 Exercise de Géométrie Éditions Jacques Gabay 1991
_[28] 논문 On the Extension of Simson's Theorem https://www.jstage.j[...] 1937
_[29] 서적 Geometry Revisited Mathematical Association of America 1967
_[30] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry The Mathematical Association of America 1995

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