심슨 직선
1. 개요
심슨 직선은 삼각형 ABC의 외접원 위의 점 P에서 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발이 한 직선 위에 있을 때, 이 직선을 지칭한다. P가 삼각형 ABC의 외접원 위에 있을 경우, 이 세 수선의 발은 한 직선 위에 놓이게 되며, 이 직선을 심슨 직선이라고 정의한다. 심슨 직선은 삼각형의 꼭짓점의 수선, 외접원 위의 두 점 사이의 각도, 대척점의 심슨 직선의 수직 관계 등 다양한 성질을 가진다. 또한, 심슨 직선들의 족의 포락선은 슈타이너 하이포사이클로이드라는 델토이드 곡선이 된다. 심슨 직선은 복소평면에서의 표현과 다양한 형태로 일반화될 수 있으며, 원내접 사각형으로의 확장 등 다양한 변형이 존재한다.
| 정의 | △ABC의 각 변 BC, CA, AB 위에 점 L, N, M이 있을 때, 이 세 점 L, N, M이 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 점 P가 △ABC의 외접원 위에 있다는 것이다. 이 때의 직선 LNM을 점 P에 대한 심슨 직선이라 한다. |
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| 이름의 유래 | 일반적으로 1792년에 글래스고 대학교의 로버트 심슨의 이름을 따서 명명되었지만, 실제로는 심슨과는 관련이 없다. |
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| 실제 발견자 | 1797년에 윌리엄 월러스가 발견했다. |
| 심슨 직선의 교점 | 삼각형 ABC의 심슨 직선은 점 P가 △ABC의 외접원 위에 있을 때만 존재한다. |
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| 심슨 직선과 삼각형 | 점 P가 △ABC의 외접원 위에 있을 때, 심슨 직선은 삼각형 ABC의 넓이를 이등분한다. |
| 심슨 직선의 평행 | 점 P와 Q가 △ABC의 외접원 위에 있을 때, P와 Q에 대한 심슨 직선은 서로 평행하다. |
| 심슨 직선의 수직 | 점 P와 Q가 △ABC의 외접원 위에 있을 때, P와 Q에 대한 심슨 직선이 서로 수직일 필요충분조건은 PQ가 △ABC의 외접원의 지름이라는 것이다. |
| 관련 항목 | 오일러 직선 방심 브로카드 점 |
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삼각 기하학 -
피타고라스 삼조
피타고라스 삼조는 a² + b² = c²을 만족하는 양의 정수 세 쌍 (a, b, c)이며, 특히 서로소인 세 정수로 이루어진 경우를 원시 피타고라스 삼조라고 한다. -
삼각 기하학 -
페르마 점
페르마 점은 삼각형 세 꼭짓점까지의 거리 합이 최소가 되는 점으로, 120도 이상의 각이 없는 삼각형에서는 내부에 존재하며 ∠AFB=∠BFC=∠CFA=120도를 만족하고, 120도 이상의 각이 있는 삼각형에서는 가장 큰 각의 꼭짓점이 되며, 작도를 통해 찾을 수 있고 기하중앙값, 슈타이너 나무 문제 등과 관련된다.
2. 정의
삼각형 ABC와 같은 평면 위의 점 P가 주어졌을 때, P에서 변 BC, CA, AB에 내린 수선의 발 D, E, F에 대해, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* D, E, F는 한 직선 위에 있다.
* P는 삼각형 ABC의 외접원 위에 있다.
만약 P가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이라면, D, E, F를 지나는 직선을 삼각형 ABC에 대한 점 P의 심슨 직선이라고 한다.
3. 성질
삼각형의 꼭짓점의 심슨선은 그 꼭짓점에서 내린 삼각형의 수선이며, 꼭짓점과 지름 반대편에 있는 점의 심슨선은 그 꼭짓점의 반대편에 있는 삼각형의 변이다. P와 Q가 외접원 위의 점이면, P와 Q의 심슨선 사이의 각도는 호 PQ의 각도의 절반이다. 특히, 점들이 지름 반대편에 있으면, 심슨선은 수직이며 이 경우 선들의 교차점은 9점 원 위에 놓인다.
삼각형 에 대한 외접원 위의 두 점 , 의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 의 중심각의 크기의 1/2과 같다.
삼각형 에 대한 외접원 위의 두 대척점 , 의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원 위의 점에서 만난다.
H를 삼각형 ABC의 수심이라고 하면, P의 심슨선은 9점 원 위에 놓인 점에서 선분 PH를 이등분한다.
삼각형 에 대한 외접원 위의 점 의 심슨 직선은 와 수심 사이의 선분 를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 의 구점원의 한 교점이다.
주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 슈타이너 하이포사이클로이드(Steiner’s hypocycloid영어)라고 한다.
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공통 외접원을 가진 두 개의 삼각형이 있을 때, P에 대한 두 개의 심슨선이 이루는 각은 P에 관계없이 일정한 값을 갖는다.
심슨선에 의한 포락선은 델토이드(내사이클로이드의 일종)가 된다. 이 델토이드를 슈타이너의 델토이드라고 한다.
삼각형의 외접원 위에 점 를 잡는다. 퐁슬레의 폐형 정리에 의해 이 삼각형과, 내접원과 외접원을 공유하는 삼각형은 무수히 존재하지만, 이들 삼각형에서의 의 심슨선은, 정점을 지난다. 이를 그린힐-딕슨 정리(Greenhill-Dixon theorem)라고 한다. 서 조지 그린힐(Sir George Greenhill)과 A. C. 딕슨의 이름을 딴 것이다.
3.1. 복소평면에서의 표현
복소 평면에 삼각형을 놓고, 단위 외접원을 갖는 삼각형 의 꼭짓점 위치가 복소 좌표 a, b, c를 가지며, 복소 좌표 p를 갖는 점 P가 외접원 위에 있다고 하자. 심슨 직선은 다음을 만족하는 점 z의 집합이다.
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여기서 오버바는 복소 켤레를 나타낸다.
4. 일반화
4.1. 일반화 1
삼각형 ABC가 주어지고, 외심 O를 지나는 직선 ℓ과 외접원 위에 점 P가 있다고 하자. AP, BP, CP가 ℓ과 각각 Ap, Bp, Cp에서 만난다고 하자. A0, B0, C0가 각각 Ap, Bp, Cp를 BC, CA, AB에 정사영시킨 점이라고 하면, A0, B0, C0는 공선점이다. 또한, 이 새로운 직선은 ΔABC의 수심 H와 점 P의 중점을 지난다. ℓ이 P를 지나면 이 직선은 심슨선과 일치한다.
4.2. 일반화 2
삼각형 ABC의 꼭짓점이 원뿔 곡선 Γ 위에 있고, Q, P가 평면상의 두 점이라고 하자. PA, PB, PC가 원뿔 곡선과 각각 A1, B1, C1에서 교차한다고 하자. QA1은 BC와 A2에서, QB1은 AC와 B2에서, QC1은 AB와 C2에서 교차한다. 이때, 네 점 A2, B2, C2, 그리고 P가 공선점인 것과 Q가 원뿔 곡선 Γ 위에 있는 것은 동치이다.
4.3. 일반화 3
R. F. 사이스터는 심슨 선의 정리를 원내접 사각형으로 일반화했으며, 관련 내용은 [https://www.jstor.org/stable/3606490 원내접 사각형의 심슨 선]에서 확인할 수 있다. 특히 원내접사각형으로 확장한 것은 잘 알려져 있다.
원에 내접하는 n각형과 그 외접원 위의 점 P에 대해, n각형의 꼭짓점 중 n-1개로 이루어진 다각형에서의 P의 심슨 선 총 n개에, P에서 내린 수선의 발은 모두 한 직선 위에 있다. 이것을 n각형에서의 심슨 선이라고 정의할 수 있다.
수선이 아닌 일반적인 각으로 확장한 것 등 다른 많은 확장도 있다.