오일러 직선

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1. 개요

오일러 직선은 삼각형의 외심, 무게 중심, 구점원 중심, 수심이 지나는 직선으로, 정삼각형이 아닌 모든 삼각형에 유일하게 존재한다. 이 직선은 1765년 오일러에 의해 밝혀졌으며, 드 롱샹 점, 시플러 점, 엑세터 점 등 다양한 삼각형의 중심들을 포함한다. 오일러 직선 위의 점들은 특정 위치 관계를 가지며, 방정식과 매개변수 표현을 통해 나타낼 수 있다. 직각삼각형과 이등변삼각형에서는 오일러 직선이 특별한 성질을 가지며, 사면체, 사각형 등 다른 기하학적 도형으로도 일반화될 수 있다.

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오일러 직선
개요
삼각형의 오일러 선. O는 외심, G는 무게 중심, H는 수심, N은 구점원의 중심이다.
정의	삼각형의 외심, 무게 중심, 수심을 지나는 직선
상세 정보
관련 개념	삼각형 외심 무게 중심 수심 구점원
역사
최초 발견	레온하르트 오일러
발표 연도	1765년
출판 연도	1767년
성질
중심 위치 관계	무게 중심은 외심과 수심 사이를 2:1로 내분한다. 구점원의 중심은 외심과 수심의 중점이다.
관련 선	삼각형의 중선, 높이, 수직이등분선은 각각 무게 중심, 수심, 외심을 결정하며, 이 세 점은 오일러 선 위에 놓인다.
수심	예각삼각형에서는 삼각형 내부에 위치하며, 둔각삼각형에서는 삼각형 외부에 위치한다. 직각삼각형에서는 직각 꼭짓점에 위치한다.
위치 관계	정삼각형의 경우, 외심, 무게 중심, 수심이 일치하므로 오일러 선은 정의되지 않는다 (점으로 수렴). 이등변삼각형의 경우, 오일러 선은 대칭축과 일치한다.
수학적 표현
방정식	오일러 선 위의 점의 좌표는 외심과 수심의 좌표를 이용하여 매개변수 방정식으로 표현할 수 있다.
관련 인물
관련 인물	레온하르트 오일러

2. 정의

삼각형 ABC의 외심 O, 무게 중심 G, 구점원의 중심 N, 수심 H는 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 ABC가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 ABC의 '''오일러 직선'''이라고 한다. 삼각형 ABC가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 오일러 직선은 정의되지 않는다.

위 그림에서 파란 선의 교점은 수심 H, 주황색 선의 교점은 무게중심 G, 녹색 선의 교점은 외심 O이다. 또한, 두 점 O, H의 중점이 구점원의 중심이다. 이 점들을 지나는 빨간 선이 오일러 선이다. 무게중심 G는 선분 OH를 1:2의 비율로 내분한다. 즉, 외심 O, 무게중심 G, 수심 H 사이에는 항상 $\overrightarrow{\mathrm{OH}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ 의 관계가 성립한다.

2. 1. 나겔 직선

삼각형 ABC의 내심, 무게중심, 슈피커 중심, 나겔 점은 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 ABC가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 ABC의 '''나겔 직선'''(Nagel line^영어)이라고 한다. 삼각형 ABC가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 나겔 직선은 정의되지 않는다.

3. 성질

삼각형의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심은 공선점을 이룬다. 특히 정삼각형이 아닌 삼각형에서 이 점들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 '''오일러 직선'''이라고 한다.^[2] 정삼각형의 경우 이 네 점은 모두 일치하므로 오일러 직선은 정의되지 않는다.

오일러는 1765년에 모든 삼각형에서 수심, 외심, 무게중심이 공선점임을 밝혔다.^[2] 이러한 성질은 구점원 중심에도 적용되지만, 오일러 시대에는 정의되지 않았다.

삼각형의 무게 중심은 외심과 수심을 잇는 선분의 삼등분점(외심에 더 가까운)이며, 구점원의 중심은 이 선분의 중점이다.^[20] 즉, 삼각형 ABC의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 각각 O, G, N, H라고 할 경우, 다음 관계가 성립한다.

:\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{ON}=6\overrightarrow{GN}

3. 1. 오일러 직선 위의 점

다음은 정삼각형이 아닌 삼각형의 오일러 직선 위에 있는 점들이다.

외심: 외접원의 중심이자, 각 변의 수직 이등분선의 교점이다.
무게 중심: 세 중선의 교점이다.
구점원의 중심: 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 각 꼭짓점과 수심 사이의 선분의 중점을 지나는 원의 중심이다.
수심: 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점이다.
드 롱샹 점: 외심에 대해 수심과 대칭적인 위치에 있는 점이다.
쉬플러 점: 삼각형의 내심을 I라고 했을 때, 3개의 삼각형 IAB, IBC, ICA의 오일러 직선은 ABC의 오일러 직선 상의 한 점에서 만난다.
엑세터 점: 무게중심의 유사조화삼각형과 외접삼각형의 배경의 중심이다.
오일러 무한원점: 오일러 직선 방향의 무한원점이다.^[18]
기준 삼각형의 접삼각형의 외심^[5]^[7]
수족 삼각형과 접삼각형의 닮음 중심^[5]^[7]

내심은 일반적으로 오일러 직선 위에 있지 않지만,^[3] 이등변 삼각형의 경우에는 오일러 직선 위에 있으며,^[4] 이때 오일러 직선은 삼각형의 대칭축과 일치하고 모든 삼각형의 중심을 포함한다.

3. 2. 오일러 직선 위의 점 사이의 위치 관계

삼각형의 무게 중심은 외심과 수심을 잇는 선분의 삼등분점(외심에 더 가까운)이며, 구점원의 중심은 이 선분의 중점이다.^[20] 즉, 삼각형 ABC의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 각각 O, G, N, H라고 할 경우, 다음 관계가 성립한다.

:

\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{ON}=6\overrightarrow{GN}

무게중심 G의 위치: 무게중심 ''G''는 외심 ''O''와 수심 ''H'' 사이에 위치하며, 수심으로부터의 거리가 외심으로부터의 거리의 두 배이다.^[7]

:

GH=2GO

:

OH=3GO

구점원 N의 중심 위치: 구점원 ''N''의 중심은 오일러 직선 상에 위치하며, 수심과 외심의 중간 지점이다.^[1]

:

ON = NH, \quad OG =2\cdot GN, \quad NH=3GN

따라서 오일러 직선은 외심 ''O''를 0, 무게중심 ''G''를 2''t'', 구점원 중심을 3''t'', 수심 ''H''를 6''t''로 하는 수직선 위에 재배치될 수 있다. (여기서 ''t''는 어떤 스케일 팩터이다.)

거리 관계: 오일러 직선을 따라 무게중심과 외심 사이의 제곱 거리는 외접원 반지름 ''R''²보다, 변의 길이 ''a'', ''b'', ''c''의 제곱의 합의 9분의 1만큼 작다.^[7]

:

GO^2=R^2-\tfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)

또한,^[7]

:

OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)

:

GH^2=4R^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2)

3. 3. 나겔 직선 위의 점

내심: 내접원의 중심이자, 세 각의 이등분선의 교점^[1]
무게 중심: 삼각형의 한 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 이은 선분들의 교점^[1]
슈피커 중심: 중점 삼각형의 내심^[1]
나겔 점: 각 꼭짓점과 마주보는 변 위 방접원의 접점을 잇는 선분의 교점^[1]

3. 4. 나겔 직선 위의 점 사이의 위치 관계

삼각형의 무게 중심은 내심과 나겔 점을 잇는 선분의 (내심에 더 가까운) 삼등분점이며, 슈피커 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 ABC의 내심, 무게 중심, 슈피커 중심, 나겔 점을 각각 I, G, S, N'이라고 할 경우,

:

\overrightarrow{IN'}=3\overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{IS}=6\overrightarrow{GS}

이다.^[20]

3. 5. 오일러 직선의 표현

오일러는 1765년에 모든 삼각형에서 수심, 외심, 무게중심이 공선점임을 밝혔다.^[2] 이러한 성질은 또 다른 삼각형의 중심인 구점원 중심에도 적용되지만, 오일러 시대에는 정의되지 않았다. 정삼각형에서는 이 네 점이 일치하지만, 다른 삼각형에서는 모두 서로 다르며 오일러 직선은 이들 중 두 점에 의해 결정된다.

오일러 직선에 놓이는 다른 주목할 만한 점으로는 드 롱샹 점, 쉬플러 점, 엑세터 점, 고사드 방사점 등이 있다.^[1] 그러나 일반적으로 내심은 오일러 직선 위에 있지 않으며,^[3] 이등변 삼각형의 경우에만 오일러 직선 위에 있는데,^[4] 이때 오일러 직선은 삼각형의 대칭축과 일치하며 모든 삼각형의 중심을 포함한다.

기준 삼각형의 접삼각형은 기준 삼각형의 꼭짓점에서 기준 삼각형의 외접원에 접한다. 접삼각형의 외심은 기준 삼각형의 오일러 직선 위에 있다.^[5]^[7] 수족 삼각형과 접삼각형의 닮음 중심 또한 오일러 직선 위에 있다.^[5]^[7]

3. 5. 1. 방정식

삼선 좌표에서 변수 점을 ''x'' : ''y'' : ''z''라고 할 때, 오일러 직선의 방정식은 다음과 같다.

:

\sin (2A) \sin(B - C)x + \sin (2B) \sin(C - A)y + \sin (2C) \sin(A - B)z = 0.

바리 중심 좌표 $\alpha :\beta :\gamma$에서 오일러 직선의 방정식은 다음과 같다.^[8]

:

(\tan C -\tan B)\alpha +(\tan A -\tan C)\beta + (\tan B -\tan A)\gamma =0.

3. 5. 2. 매개변수 표현

외심(삼선좌표 $\cos A : \cos B : \cos C$)과 수심(삼선좌표 $\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B$)에서 시작하여 오일러 직선 위의 모든 점은, 수심을 제외하고, 다음 삼선좌표로 표현된다.

:$\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B$

이 두 점의 삼선좌표를 선형 결합하여 얻으며, ''t''는 어떤 값이라도 가능하다.

예를 들어:

외심은 삼선좌표 $\cos A:\cos B:\cos C$를 가지며, 이는 매개변수 값 $t=0$에 해당한다.
무게중심은 삼선좌표 $\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B$를 가지며, 이는 매개변수 값 $t=1$에 해당한다.
구점원 중심은 삼선좌표 $\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B$를 가지며, 이는 매개변수 값 $t=2$에 해당한다.
드 롱샹 점은 삼선좌표 $\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B$를 가지며, 이는 매개변수 값 $t=-1$에 해당한다.

3. 6. 기울기

데카르트 좌표계에서 삼각형 변의 기울기를 $m_1, m_2, m_3$, 오일러 직선의 기울기를 $m_E$로 나타낸다. 그러면 이러한 기울기는 다음 관계를 따른다.^[9]

:$m_1m_2 + m_1m_3 + m_1m_E + m_2m_3 + m_2m_E + m_3m_E + 3m_1m_2m_3m_E + 3 = 0.$

따라서 오일러 직선의 기울기(유한한 경우)는 변의 기울기를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$m_E=-\frac{m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3 + 3}{m_1 + m_2 + m_3 + 3m_1m_2m_3}.$

게다가, 오일러 직선이 예각 삼각형의 변 ''BC''와 평행할 필요충분조건은 $\tan B \tan C = 3$이다.^[9]

4. 증명

오일러는 1765년에 모든 삼각형에서 수심, 외심, 무게중심이 공선점임을 증명하였다.^[2] 이 성질은 구점원 중심에도 적용되지만, 오일러 시대에는 정의되지 않았다.

삼각형 $ABC$ 가 주어졌을 때, 외심 $O$ , 무게중심 $G$ , 수심 $H$ 가 '''공선'''이라는 사실은 자유 벡터를 통해 증명할 수 있다. $G$ 는 다음 관계를 만족한다.

: $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.$

이는 $G$ 의 절대 바리 중심 좌표가 $\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}$ 이라는 사실에서 비롯된다. 또한, 실베스터의 문제^[6]는 다음과 같다.

: $\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.$

벡터 덧셈을 사용하여 다음과 같이 추론할 수 있다.

: $\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,\mbox{(삼각형 }AGO\mbox{)}, \,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,\mbox{(삼각형 }BGO\mbox{)}, \,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,\mbox{(삼각형 }CGO\mbox{)}.$

이 세 관계식을 항별로 더하면 다음 결과를 얻는다.

: $3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyc}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyc}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyc}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.$

결론적으로 $3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}$ 이고, 따라서 세 점 $O$ , $G$ , $H$ (이 순서대로)는 공선이다.

오일러 직선과 실베스터의 문제는 Dörrie의 책^[6]에서 단일 증명으로 통합된다. 그러나 실베스터 문제의 대부분의 증명은 오일러 직선과 별개로 자유 벡터의 기본적인 속성에 의존한다.

이 세 점이 한 직선 위에 있음을 증명하는 방법은 다음과 같다.

; 해석적인 방법

: 삼각형을 좌표 평면 위에 놓고, 세 점의 좌표를 구하여 같은 직선 위에 있음을 보인다.

; 기하학적인 방법

: 외심과 수심을 잇는 선과 중선의 교점이 무게 중심임을 보인다.

: 삼각형을 무게 중심을 중심으로 180도 회전시키고 2배로 확대했을 때, 외심의 이동 위치가 원래 삼각형의 수심임을 보인다.^[17]

; 벡터를 사용하는 방법

: $\overrightarrow{\mathrm{AH}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{3}$ 등을 이용한다.

; 삼선좌표·무게중심 좌표를 사용하는 방법

: 외심, 무게 중심, 수심을 위 좌표로 나타내고, 그 행렬식이 0이 됨을 보인다.

5. 특수한 삼각형의 오일러 직선

직각삼각형에서 오일러 직선은 빗변에 대한 중선과 일치한다. 이등변삼각형의 오일러 직선은 대칭축과 일치하며, 내심은 오일러 직선 위에 놓인다.

정삼각형은 외심, 무게중심, 수심이 일치하기 때문에 오일러선을 정의할 수 없다.

삼각형의 세 방심이 만드는 삼각형을 방심삼각형이라고 부른다. 이 삼각형의 오일러선은 원래 삼각형의 외심 (방심삼각형의 구점원의 중심)과 내심 (방심삼각형의 수심)을 잇는 직선이 된다. 그 외 베반 점 (방심삼각형의 외심)을 지난다.

5. 1. 직각삼각형

직각삼각형에서 오일러 직선은 빗변에 대한 중선과 일치한다. 즉, 직각을 이루는 꼭짓점과 그 꼭짓점의 대변의 중점을 모두 통과한다. 이는 직각삼각형의 수심(수선의 교점)이 직각을 이루는 꼭짓점에 위치하고, 외심(변의 수직 이등분선의 교점)이 빗변의 중점에 위치하기 때문이다.^[2]

5. 2. 이등변삼각형

이등변삼각형의 오일러 직선은 대칭축과 일치한다. 이등변삼각형에서 내심은 오일러 직선 위에 놓인다.^[4] 이등변삼각형의 오일러선은 꼭지각의 중선이 되는데, 이는 이 직선이 꼭지각에 대한 중선, 꼭지각에서 내린 수선, 변의 수직이등분선, 꼭지각의 이등분선과 같은 성질을 모두 가지기 때문이다. 따라서 외심, 무게중심, 수심이 이 직선상에 놓이게 된다. 또한, 내심도 동일선상에 있다는 것을 알 수 있다.^[1]

6. 일반화

오일러 직선은 삼각형뿐만 아니라 다른 도형에도 일반화할 수 있다.

볼록 사각형에서 준수선 ''H'', "넓이 무게중심" ''G'', 준외심 ''O''는 오일러 직선상에 이 순서대로 놓여 있으며, ''HG'' = 2''GO''이다.^[13]

정사면체는 네 개의 삼각형 면으로 둘러싸인 3차원 도형이다. 정사면체와 관련된 일곱 개의 선은 무게중심에서 만나고, 여섯 개의 중간 평면은 몽주 점에서 교차한다. 모든 꼭짓점을 지나는 외접구의 중심은 외심이다. 이 점들은 삼각형의 오일러 직선과 유사한 정사면체의 오일러 직선을 정의한다. 무게 중심은 이 선을 따라 몽주 점과 외심 사이의 중간 지점에 있다. 십이 점 구의 중심 또한 오일러 직선 위에 있다.

사면체에서의 오일러 선은 외심, 무게중심, 몽주 점을 지난다. 사면체에 수심이 존재하면 몽주 점과 일치하므로, 수심 또한 오일러 선 위에 있다.

단순 다면체는 모든 면이 단순체인 다면체이다. 모든 다각형은 단순 다면체이다. 이러한 다면체와 관련된 오일러 직선은 무게 중심과 질량 외심에 의해 결정되는 선이다.^[14]

3차원 이상의 단순체에서도 무게중심과 외심이 존재하므로, 이 두 점을 지나는 직선을 정의할 수 있다.

6. 1. 사각형

볼록 사각형에서 준수선 ''H'', "넓이 무게중심" ''G'', 준외심 ''O''는 오일러 직선상에 이 순서대로 공선 관계에 있으며, ''HG'' = 2''GO''이다.^[13]

6. 2. 사면체

정사면체는 네 개의 삼각형 면으로 둘러싸인 3차원 공간 객체이다. 정사면체와 관련된 일곱 개의 선은 무게중심에서 공통으로 교차하며, 여섯 개의 중간 평면은 몽주 점에서 교차한다. 모든 꼭짓점을 통과하는 외접구가 있으며, 그 중심은 외심이다. 이러한 점들은 삼각형의 "오일러 직선"과 유사한 정사면체의 "오일러 직선"을 정의한다. 무게 중심은 이 선을 따라 몽주 점과 외심 사이의 중점이다. 십이 점 구의 중심 또한 오일러 직선 위에 있다.

사면체에서의 오일러 선은 외심, 무게중심과 몽주 점을 지난다. 사면체에 수심이 존재하는 경우에는 몽주 점과 일치하므로, 이것 또한 오일러 선상에 있다.

6. 3. 단순 다면체

단순 다면체는 모든 면이 단순체인 다면체이다. 예를 들어, 모든 다각형은 단순 다면체이다. 이러한 다면체와 관련된 오일러 직선은 무게 중심과 질량 외심에 의해 결정되는 선이다.^[14]

3차원 이상의 단순체에서도 무게중심은 존재한다. 또한, 모든 꼭짓점을 지나는 외접구가 존재하므로 그 중심인 외심도 존재한다. 따라서 이 두 점을 지나는 직선을 정의할 수 있다.

사면체에서의 오일러 선은 외심, 무게중심과 몽주 점을 지난다. 사면체에 수심이 존재하는 경우에는 몽주 점과 일치하므로, 이것 또한 오일러 선상에 있다.

참조

_[1] 간행물 Triangle centers and central triangles
_[2] 간행물 Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum https://books.google[...]
_[3] 서적 Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research https://books.google[...] The Mathematical Association of America
_[4] 간행물 Orthocentric simplices and biregularity
_[5] 간행물 Euler and triangle geometry 2007-11
_[6] 서적 "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution" Dover Publications, Inc.
_[7] 서적 College Geometry Dover Publications
_[8] 간행물 Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry 1999-11
_[9] 간행물 Gossard's Perspector and Projective Consequences http://forumgeom.fau[...]
_[10] 간행물 Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles http://forumgeom.fau[...]
_[11] 간행물 Steiner–Lehmus and the automedian triangle
_[12] 간행물 Ten concurrent Euler lines http://forumgeom.fau[...]
_[13] 간행물 On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral http://forumgeom.fau[...]
_[14] 간행물 Circumcenter of Mass and Generalized Euler Line 2014-05
_[15] 문서 Scimemi, Benedetto, "Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77. http://forumgeom.fau[...]
_[16] 간행물 Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum（いくつかの幾何学の難問に関する簡単な解法） https://books.google[...]
_[17] 웹사이트 三角形の垂心と外心、重心が1直線上にあることを示せ。 http://www.s-soarer.[...] 学習塾ソアラ 2016-10-03
_[18] 웹사이트 三角形の心 http://taurus.ics.na[...] 2024-07-31
_[19] MathWorld Neuberg Cubic
_[20] 서적

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