모리타 동치

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 모리타 동치
- 2.2. 모리타 쌍대성
3. 모리타 동치의 판정법
4. 성질
- 4.1. 모리타 동치에 의해 보존되는 성질 (모리타 불변량)
- 4.2. 모리타 동치에 의해 보존되지 않는 성질
5. 예시
6. 역사
7. 추가 설명
참조

1. 개요

모리타 동치는 두 환 R과 S가 왼쪽 가군 범주 R-Mod와 S-Mod 사이에 범주 동치가 존재할 경우를 말한다. 이는 오른쪽 가군 범주 Mod-R과 Mod-S 사이의 동치와도 같다. 모리타 동치는 환의 가군 범주가 동치일 때 환을 동치로 정의하는 개념으로, 가환환에서는 동형일 때만 성립하지만, 비가환환을 다룰 때 유용하다. 두 환이 모리타 동치일 필요충분 조건은 특정 쌍가군이 존재하여 해당 조건을 만족하는 것이다. 모리타 동치는 링의 가군 범주적 성질을 보존하며, 단순, 반단순, 폰 노이만 정규 등의 속성은 모리타 불변량이다. 반면, 가환, 국소, 정역 등은 보존되지 않는다. 모리타 동치는 행렬환과 원래 환 사이에서 발생하며, 환의 K-이론에도 영향을 미친다.

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모리타 동치
일반 정보
분야	환론
하위 분야	대수학
명명 유래	모리타 기이치
정의
내용	두 환 사이의 동치 관계
관련 개념
관련 항목	범주론 가군 텐서곱 기이치 모리타

2. 정의

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $U_R$ 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 모리타 문맥 $(R,S,U,V,\phi,\psi)$ 은 다음과 같이 정의된다.

$S=\operatorname{hom}_R(U_R,U_R)$
${}_RV=\operatorname{hom}_R(_SU_R,_RR_R)$
$\phi\colon U\otimes_RV\to S$ , $(u\otimes v)\mapsto (u'\mapsto uv(u'))$
$\psi\colon V\otimes_SU\to R$ , $(v\otimes u)\mapsto v(u)$

만약

U_R

이 사영 가군이자, 유한 생성 가군이며, 범주

\operatorname{Mod}_R

의 생성 대상이라면,

U_R

에 대응되는 모리타 문맥에서 다음이 성립한다.

$\otimes_RV_S\colon\operatorname{Mod}_R\rightleftarrows\operatorname{Mod}_S\colon\otimes_SU_R$ 는 범주의 동치를 이룬다.
$_SU\otimes_R\colon{}_R\operatorname{Mod}\rightleftarrows{}_S\operatorname{Mod}_S\colon _SV\otimes_R$ 는 가법 범주의 가법 동치를 이룬다.

반대로, 모든 가군 가법 범주의 가법 동치는 모리타 문맥에 의해 유도되며, 이 모리타 문맥은 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주

\operatorname{Mod}_R

의 생성 대상인 가군에 의해 유도된다. 즉, 가법 범주의 가법 동치

:

F\colon\operatorname{Mod}_R\rightleftarrows\operatorname{Mod}_S\colon G

가 주어졌을 때,

$_SU_R=G(_SS_S)$
$_RV_S=F(_RR_R)$

로 놓으면,

U_R

는 사영 가군이자, 유한 생성 가군이자, 범주

\operatorname{Mod}_R

의 생성 대상이며, 위 범주의 동치는

U_R

에 의해 생성되는 모리타 문맥에 의해 생성된다. 특히, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

:

F\cong \otimes_RV

:

G\cong \otimes_SU

임의의 두 환

(R,S)

에 대하여 다음 두 모임은 서로 표준적으로 일대일 대응한다.

가법 동치 $\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Mod}_S$ 의 (자연 동형에 대한) 동형류
다음 두 조건을 만족시키는 $(S,R)$ -쌍가군 $_SU_R$ 들의 동형류
$U_R$ 는 사영 가군이며, 유한 생성 가군이며, 범주 $\operatorname{Mod}_R$ 의 생성 대상이다.
$_SU_R$ 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군이다.

2. 1. 모리타 동치

두 환

R

과

S

(단위원을 갖는 결합적 환)가 '''모리타 동치'''라는 것은 왼쪽

R

-가군 범주

R

-Mod와 왼쪽

S

-가군 범주

S

-Mod 사이에 범주 동치가 존재한다는 것을 의미한다. 이는 오른쪽 가군 범주 Mod-

R

과 Mod-

S

사이의 범주 동치와 동치이다.

R

-Mod에서

S

-Mod로의 범주 동치를 유도하는 함자는 자동적으로 가법적이다.

환은 환 위의 가군을 통해 연구되는 것이 일반적이다. 이는 가군이 환의 표현으로 간주될 수 있기 때문이다. 모든 환

R

은 환의 곱에 의한 작용에 의해 자연스럽게

R

가군의 구조를 가지므로, 가군론적인 연구 방법은 더욱 일반적이고 유용한 정보를 가져온다. 이와 같은 이유로 환에 대한 연구는 그 환 위의 가군이 이루는 범주를 연구함으로써 종종 이루어진다.

이러한 관점에서의 자연스러운 귀결로서, 환이 모리타 동치라는 것은 그 환 위의 가군이 이루는 범주가 범주 동치인 것으로 정의된다.

이 표기 방법은 비가환환을 다루는 경우에만 흥미의 대상이 된다. 왜냐하면 가환환이 모리타 동치일 필요충분 조건은 환 동형이기 때문이다. 이는 일반적으로 모리타 동치인 환의 중심이 환 동형인 것으로부터 따른다.

(결합적이고 단위원을 갖는) 환

R

,

S

가 ('''모리타''') '''동치'''라는 것은, (좌)

R

가군의 범주

R

-Mod와 (좌)

S

가군의 범주

S

-Mod 사이에 범주 동치가 존재한다는 것을 말한다. 좌 가군의 범주

R

-Mod와

S

-Mod가 범주 동치일 필요충분조건은, 우 가군의 범주 Mod-

R

과 Mod-

S

가 범주 동치임을 보일 수 있다는 것이다. 더욱이, 범주 동치를 제공하는 어떤

R

-Mod에서

S

-Mod로의 함자도 자동으로 가법적임을 보일 수 있다.

동형인 환은 모리타 동치이다.

임의의 환

R

과 음이 아닌 정수

n

에 대해

R

성분의

n

차 정사각 행렬로 구성된 전 행렬환

M_n(R)

은 환

R

과 모리타 동치이다. 이는 아르틴-웨더번 이론에 의해 주어진 단순 아르틴 환의 분류를 일반화한 것임을 주목해야 한다. 모리타 동치를 확인하려면, 만약

M

이 왼쪽

R

가군이라면

M^n

은 행 벡터에 대한 왼쪽에서 행렬의 곱셈에 의해

M_n(R)

가군의 구조가 부여된다는 점에 주목하면 된다. 이는 왼쪽

R

가군의 범주

R

-Mod에서 왼쪽

M_n(R)

가군의 범주

M_n(R)

-Mod로의 함자를 정의한다.

2. 2. 모리타 쌍대성

쌍가군

_SU_R

이 주어지면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

:

\hom_R\left((-)_R,_SU_R\right)\colon\operatorname{Mod}_R\to{}_S\operatorname{Mod}^{\operatorname{op}}

:

\hom_S\left(_S(-),_SU_R\right)\colon{}_S\operatorname{Mod}\to\operatorname{Mod}_R^{\operatorname{op}}

이는 항상 서로 수반 함자를 이룬다.

:

\hom_R\left((-)_R,_SU_R\right)\dashv \hom_S\left(_S(-),_SU_R\right)

수반 함자의 성분인 자연스러운 사상

:

M_R\to \hom_S\left(\hom_R(M_R,_SU_R),_SU_R\right)

이 동형 사상일 경우,

R

-오른쪽 가군

M_R

를 '''

U

-반사 가군'''(U-reflexive module^영어)이라고 한다. 마찬가지로

S

-왼쪽 가군에 대하여도 반사 가군 개념을 정의할 수 있다. 반사 가군의 범주를

\operatorname{Mod}_R[U]

및

_S\operatorname{Mod}[U]

로 표기하면,

\operatorname{Mod}_R[U]

와

_S\operatorname{Mod}[U]^{\operatorname{op}}

는 위 함자에 대하여 서로 가법 동치이다.

아벨 범주

\mathcal A

의 충만한 부분 가법 범주

\mathcal C

가 다음 조건을 만족시킨다면 세르 부분 범주라고 한다.

:짧은 완전열

0\to A\to B\to C\to0

에 대하여,

A,C\in\mathcal C

라면

B\in\mathcal C

이다.

쌍가군

_SU_R

에 대하여 다음 세 조건들은 서로 동치이다.

$\operatorname{Mod}_R[U]$ 는 $\operatorname{Mod}_R$ 의 세르 부분 범주이며, $_S\operatorname{Mod}[U]$ 는 $_S\operatorname{Mod}$ 의 세르 부분 범주이며, $R_R\in \operatorname{Mod}_R[U]$ 이며, $_SS\in_S\operatorname{Mod}[U]$ 이다.
$R_R$ , $U_R$ , $_SS$ , $_SU$ 의 모든 몫가군은 $U$ -반사 가군이다.
$U_R$ 는 단사 가군이자 $\operatorname{Mod}_R$ 의 쌍대 생성 대상이며, 마찬가지로 $_SU$ 는 단사 가군이자 $_S\operatorname{Mod}$ 의 쌍대 생성 대상이며, 또한 $_SU_R$ 는 충실하게 균형 잡힌 쌍가군을 이룬다.

이 경우,

U

가 '''모리타 쌍대성'''(Morita duality^영어)을 정의한다고 한다.

또한, 위 조건이 성립한다면, 모든 유한 생성 가군 및 유한 쌍대 생성 가군은

U

-반사 가군이다. 위 조건을 만족시키는

U

및

U'

에 대하여,

U

-반사 가군인지 여부는

U'

-반사 가군인지 여부와 일치한다. 즉, 위 조건이 성립한다고 가정하면, 반사 가군 조건은

U

에 의존하지 않는다.

모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 유한 생성 가군의 쌍대 가군은 유한 쌍대 생성 가군이며, 그 역도 성립한다. 모리타 쌍대성 아래, (반사 가군인) 단순 가군의 쌍대 가군은 단순 가군이며, (반사 가군인) 반단순 가군의 쌍대 가군은 반단순 가군이다.

3. 모리타 동치의 판정법

두 환 ''R''과 ''S''가 모리타 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

''(R,R)'' 쌍가군으로서 $M \otimes_{S} N \cong R$ 이고 ''(S,S)'' 쌍가군으로서 $N \otimes_{R} M \cong S$ 인 쌍가군 ''_RM_S''와 ''_SN_R''이 존재한다.
''N''과 ''M''은 ''(S,R)'' 쌍가군 동형 사상을 통해 관련된다: $N \cong \operatorname{Hom}(M_S,S_S)$ .

더 구체적으로, 두 환 ''R''과 ''S''는

S\cong \operatorname{End}(P_R)

인 프로생성자 가군 ''P_R''이 존재하는 경우에만 모리타 동치이다.^[1] 이는 다음과 동치이다.^[1]

:

S\cong e\mathbb{M}_{n}(R)e

(환의 동형) 어떤 양의 정수 ''n''과 행렬 환 M_n(''R'')에서 전체 멱등원 ''e''에 대해서.

4. 성질

환은 환의 가군을 환의 표현으로 볼 수 있기 때문에 가군의 관점에서 일반적으로 연구된다. 모든 환 ''R''은 자체적으로 자연스러운 ''R''-가군 구조를 가지며, 여기서 가군 작용은 환 내 곱셈으로 정의되므로 가군을 통한 접근 방식은 더 일반적이며 유용한 정보를 제공한다. 이 때문에 환 위의 가군 범주를 연구함으로써 종종 환을 연구한다. 모리타 동치는 이 관점을 자연스러운 결론으로 이끌어, 만약 그들의 가군 범주가 동치라면 환을 모리타 동치로 정의한다. 이 개념은 두 개의 가환환이 모리타 동치인 것이 동형일 때에만 보여질 수 있기 때문에 비가환환을 다룰 때만 흥미롭다.

모듈과 그 준동형 사상만으로 정의되는 범주적 성질은 모리타 동치에 의해 보존된다. 많은 환론적 성질은 해당 모듈의 관점에서 명시되므로 이러한 속성은 모리타 동치 환 간에 보존되며, 동치 환 간에 공유되는 속성을 '''모리타 불변''' 속성이라고 한다.

4. 1. 모리타 동치에 의해 보존되는 성질 (모리타 불변량)

모듈과 그 준동형 사상만으로 정의되는 범주적 성질은 모리타 동치에 의해 보존된다. 환의 성질 중 가군 범주의 성질로 표현 가능한 성질은 모리타 불변량이다.

많은 환론적 성질은 해당 모듈의 관점에서 명시되므로 이러한 속성은 모리타 동치 환 간에 보존된다. 동치 환 간에 공유되는 속성을 '''모리타 불변''' 속성이라고 한다.

어떤 속성이 보존되어야 하는지 즉시 명확하지 않은 경우도 있다. 예를 들어, 폰 노이만 정규 링의 한 표준 정의(''R''의 모든 ''a''에 대해, ''a'' = ''axa''를 만족하는 ''R''의 ''x''가 존재)를 사용하면 동치 링도 폰 노이만 정규여야 하는지 명확하지 않다. 그러나 다른 공식화는 다음과 같다. 링은 모든 모듈이 평탄한 경우에만 폰 노이만 정규이다. 평탄성은 모리타 동치 전반에 걸쳐 보존되므로 폰 노이만 정규성이 모리타 불변이라는 것이 이제 명확하다.

다음은 모리타 불변량인 성질들이다:

성질
단순, 반단순^[3]
폰 노이만 정규^[4]
오른쪽(또는 왼쪽) 뇌터, 오른쪽(또는 왼쪽) 아르틴^[3]
오른쪽(또는 왼쪽) 자기 단사^[4]
준 프로베니우스
소수, 오른쪽(또는 왼쪽) 원시, 반소수, 반원시^[3]
오른쪽(또는 왼쪽) (반-)상속^[4]
오른쪽(또는 왼쪽) 비특이
오른쪽(또는 왼쪽) 코히어런트
반일차, 오른쪽(또는 왼쪽) 완전, 준완전
반국소

모리타 불변이 ''아닌'' 속성의 예로는 가환, 국소, 환원, 정역, 오른쪽(또는 왼쪽) 골디, 프로베니우스, 불변 기저수, 데데킨트 유한이 있다.

4. 2. 모리타 동치에 의해 보존되지 않는 성질

자유, 순환, 가환, 국소, 환원, 정역, 오른쪽(또는 왼쪽) 골디, 프로베니우스, 불변 기저수, 데데킨트 유한은 모리타 불변이 아니다.^[3]

5. 예시

임의의 환 R과 양의 정수 n에 대해, R와 R의 원소를 갖는 n × n 행렬환 M_n(R)은 모리타 동치이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라, 모든 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이며, 따라서 유한 개의 나눗셈환들의 직접곱과 모리타 동치이다.

6. 역사

모리타 기이치(1915~1995)가 1958년에 모리타 동치와 모리타 쌍대성을 도입하였다.^[5]

7. 추가 설명

모리타 동치는 심플렉틱 군체나 C*-대수와 같이 더 구조화된 상황에서도 정의될 수 있다. C*-대수의 경우, 응용 분야에서 유용한 결과를 얻기 위해서는 '''강한 모리타 동치'''라고 하는 더 강력한 유형의 동치가 필요하다. 이는 C*-대수의 추가적인 구조 (쌍대 * 연산에서 비롯됨) 때문이며, C*-대수가 반드시 항등원을 가지지 않기 때문이기도 하다.^[3]

두 환이 모리타 동치이면, 모리타 동치가 완전열(따라서 사영 가군)을 보존하므로, 각 사영 가군 범주 간의 유도된 동치가 존재한다. 환의 대수적 K-이론은 (퀼런의 접근법에서) 환 위의 유한 생성 사영 가군으로 구성된 (작은) 범주의 신경의 (대략) 분류 공간의 호모토피 군으로 정의되므로, 모리타 동치인 환은 동형인 K-군을 가져야 한다.^[4]

참조

_[1] 서적 1971
_[2] 웹사이트 Eilenberg-Watts theorem https://ncatlab.org/[...] 2019-04-20
_[3] 서적 1992
_[4] 서적 1992
_[5] 저널 Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition http://hdl.handle.ne[...]

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