텐서곱

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1. 개요

텐서곱은 두 개의 대수적 구조로부터 새로운 대수적 구조를 만드는 연산으로, 다양한 수학 분야에서 사용된다. 텐서곱은 가환환 K와 K-결합 대수 A, B, C, (A,B)-쌍가군 M, (B,C)-쌍가군 N이 주어졌을 때, M과 N의 곱으로 정의되는 (A,C)-쌍가군이다. 텐서곱은 기저, 몫공간, 보편 성질을 이용하여 정의할 수 있으며, 결합 법칙, 교환 법칙, 차원 등 다양한 성질을 갖는다. 텐서곱은 가군의 범주에서 대칭 모노이드 범주를 이루며, 선형 사상, 쌍대 공간, 텐서 축약, 수반 표현 등과 관련이 있다. 텐서곱은 가군, 대수, 선형 사상, 힐베르트 공간 등 다양한 수학적 대상에 적용되며, 계수 확대, 표현의 텐서곱, 텐서 멱, 텐서 공간, 대칭곱과 교대곱 등 다양한 응용 분야에서 활용된다. 또한, 배열 프로그래밍 언어에서도 텐서곱 연산을 지원한다.

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텐서곱
개요
분야	선형대수학
정의	두 벡터 공간의 원소들로부터 새로운 벡터 공간을 생성하는 연산
표기법	V ⊗ W V ⊗k W (k는 스칼라 곱)
관련 개념	텐서 쌍선형 형식 다중선형 형식 텐서 대수 외대수 대칭 대수
정의
형식적 정의	벡터 공간 V, W의 텐서곱 V ⊗ W는 V × W에서 생성된 자유 벡터 공간에서 특정 관계를 만족하는 부분공간을 나눈 몫공간으로 정의된다.
성질	쌍선형성: (v1 + v2) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w, v ⊗ (w1 + w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2, (cv) ⊗ w = v ⊗ (cw) = c(v ⊗ w) 결합 법칙: (V ⊗ W) ⊗ Z ≅ V ⊗ (W ⊗ Z) 교환 법칙: V ⊗ W ≅ W ⊗ V 분배 법칙: V ⊗ (W ⊕ Z) ≅ (V ⊗ W) ⊕ (V ⊗ Z)
차원	dim(V ⊗ W) = dim(V) · dim(W)
예시
유클리드 공간	ℝm ⊗ ℝn ≅ ℝm×n
함수 공간	L2(X) ⊗ L2(Y) ≅ L2(X × Y)

2. 정의

가환환 $K$ 와 $K$ -결합 대수 $A$ , $B$ , $C$ 가 주어졌다고 하자. 또한, $(A,B)$-쌍가군 $_AM_B$ 와 $(B,C)$-쌍가군 $_BN_C$ 가 주어졌다고 하자.

$M$ 과 $N$ 의 텐서곱은 다음과 같이 구성되는 $(A,C)$-쌍가군이다.

1. 곱집합 $M\times N$ 위의 자유 $(A,C)$-쌍가군 $_AX_C$ 를 생각한다.

2. $X$ 위에서 다음과 같은 이항 관계 $\sim_0$ 로 생성되는, $(A,C)$-쌍가군의 합동 관계 $\sim$ 를 생각한다.

$(m,n)+(m',n) \sim_0 (m+m',n) \qquad (m,m'\in M,\;n\in N)$
$(m,n)+(m,n') \sim_0 (m,n+n') \qquad (m\in M,\;n,n'\in N)$
$a(m,n) \sim_0 (am,n) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)$
$(m,n)c \sim_0 (m,nc) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)$
$(mb,n) \sim_0 (m,bn) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)$

3. $(A,C)$-쌍가군

X/{\sim}

을 생각한다. 이를 '''텐서곱'''

M\otimes_BN

이라고 한다.

두 벡터 공간의 텐서곱은 동형 사상까지 정의되는 벡터 공간이며, 보편 성질을 통해 정의될 수도 있다.

2. 1. 기저를 이용한 정의

벡터 공간 V와 W가 체 F 위에 있고, 각각의 기저를

B_V

와

B_W

라고 할 때, 텐서곱

V \otimes W

는 다음과 같이 정의할 수 있다.

B_V

의 원소 v와

B_W

의 원소 w에 대한 모든 순서쌍

v\otimes w

를 기저로 갖는 벡터 공간으로 정의한다. 즉, 집합

\{v\otimes w\mid v\in B_V, w\in B_W\}

는

V \otimes W

의 기저가 되며, 이를

B_V

와

B_W

의 ''텐서 곱''이라고 부른다.

좀 더 형식적으로는,

V \otimes W

는 카테시안 곱

B_V \times B_W

에서 F로 가는 함수 중에서 0이 아닌 값을 유한 개 갖는 함수들의 집합으로 정의할 수 있다. 이 함수들의 점별 연산은

V \otimes W

를 벡터 공간으로 만든다. 이때,

(v,w)

를 1로,

B_V \times B_W

의 다른 원소들을 0으로 대응시키는 함수를

v\otimes w

로 표기한다.

이 정의에 따르면,

x\in V

와

y \in W

를 각각의 기저

B_V

와

B_W

로 분해하면 다음과 같다.

:

x=\sum_{v\in B_V} x_v\, v \quad \text{and}\quad y=\sum_{w\in B_W} y_w\, w,

여기서

x_v

와

y_w

중 유한 개만 0이 아니다.

이때, x와 y의 텐서곱

x \otimes y

는 다음과 같이 정의된다.

:

x\otimes y=\sum_{v\in B_V}\sum_{w\in B_W} x_v y_w\, v\otimes w.

벡터의 텐서곱은 다음 성질을 만족한다.

$(v'+v'')\otimes w = v'\otimes w + v''\otimes w$
$v\otimes(w' + w'') = v\otimes w' + v\otimes w''$
$(\lambda v)\otimes w = \lambda(v\otimes w) = v\otimes(\lambda w)$

즉, 텐서곱은 벡터의 합에 대해 분배적이며, 스칼라 곱에 대해 결합적이다.

텐서 곱은 일반적으로 가환적이지 않다.

이 정의는 기저 선택에 의존한다는 단점이 있다. 기저를 변경하면 다른 텐서 곱이 정의되지만, 다른 기저에 대한 한 기저의 원소들의 분해는 두 벡터 공간의 텐서 곱들 사이의 표준 동형을 정의하며, 이를 통해 두 텐서 곱을 식별할 수 있다.

2. 2. 몫공간을 이용한 정의

가환환 K와 K-결합 대수 A, B, C가 주어졌을 때, (A,B)-쌍가군 M과 (B,C)-쌍가군 N의 텐서곱은 다음과 같이 구성되는 (A,C)-쌍가군이다.

1. 곱집합

M\times N

위의 자유 (A,C)-쌍가군

_AX_C

를 생각한다.

2.

X

위에서 다음과 같은 이항 관계

\sim_0

로 생성되는, (A,C)-쌍가군의 합동 관계

\sim

를 생각한다.

:

(m,n)+(m',n) \sim_0 (m+m',n) \qquad (m,m'\in M,\;n\in N)

:

(m,n)+(m,n') \sim_0 (m,n+n') \qquad (m\in M,\;n,n'\in N)

:

a(m,n) \sim_0 (am,n) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)

:

(m,n)c \sim_0 (m,nc) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)

:

(mb,n) \sim_0 (m,bn) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)

3. (A,C)-쌍가군

X/{\sim}

을 생각한다. 이를 '''텐서곱'''

M\otimes_BN

이라고 한다.

체 F 위의 두 벡터 공간 V와 W가 주어졌을 때, 텐서곱은 몫 공간을 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

먼저 데카르트 곱

V\times W

를 기저로 갖는 벡터 공간 L을 고려한다. 즉, L의 기저 원소는

(v,w)

꼴의 순서쌍이며,

v\in V

이고

w\in W

이다.

R을 텐서곱이 만족해야 하는 관계에 의해 생성되는 L의 선형 부분 공간이라고 하자. 더 정확하게는, R은 다음 형식 중 하나를 갖는 원소에 의해 생성된다.

:

\begin{align}(v_1 + v_2, w)&-(v_1, w)-(v_2, w),\\(v, w_1+w_2)&-(v, w_1)-(v, w_2),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{align}

여기서

v, v_1, v_2\in V

,

w, w_1, w_2 \in W

이고

s\in F

이다.

그런 다음, 텐서곱은 다음과 같은 몫 공간으로 정의된다.

:

V\otimes W=L/R,

이 몫에서

(v,w)

의 이미지는

v\otimes w

로 표시된다.

이러한 정의는 기저에 의존하지 않지만 다소 추상적이다.

2. 3. 보편 성질을 이용한 정의

가환환

K

와

K

-결합 대수

A

,

B

,

C

, 그리고

(A,B)

-쌍가군

_AM_B

와

(B,C)

-쌍가군

_BN_C

가 주어졌을 때,

M

과

N

의 텐서곱은 보편 성질을 이용하여 정의할 수 있다. 이 정의는 쌍선형 사상을 선형 사상으로 분해하는 보편 성질을 이용하며, 텐서곱의 유일성과 다른 정의와의 동등성을 보장한다.

텐서곱

V \otimes W

는 쌍선형 사상

{\otimes} : (v,w)\mapsto v\otimes w

를 가지는 벡터 공간으로, 임의의 쌍선형 사상

h : V\times W\to Z

에 대해

h=\tilde h \circ {\otimes}

를 만족하는 유일한 선형 사상

\tilde h : V\otimes W\to Z

가 존재한다. 즉, 모든

v\in V

와

w\in W

에 대해

h(v, w)= \tilde h(v\otimes w)

가 성립한다.

이 보편 성질은 주어진 벡터 공간과 쌍선형 사상이 텐서곱을 형성하는지 여부를 결정하는 데 사용될 수 있다.

X, Y, Z

가 복소 벡터 공간이고,

T : X \times Y \to Z

가 쌍선형 사상일 때,

(Z, T)

가

X

와

Y

의 텐서곱이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

$T$ 의 이미지가 $Z$ 전체를 생성 ( $\operatorname{span} \; T(X \times Y) = Z$ )
$X$ 와 $Y$ 가 $T$ -선형적으로 분리

여기서

T

-선형적으로 분리되어 있다는 것은,

\sum_{i=1}^n T\left(x_i, y_i\right) = 0

을 만족하는 모든 원소

x_1, \ldots, x_n \in X

및

y_1, \ldots, y_n \in Y

에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

1. 모든

x_1, \ldots, x_n

이 선형 독립이면 모든

y_i

는

0

이다.

2. 모든

y_1, \ldots, y_n

이 선형 독립이면 모든

x_i

는

0

이다.

이는

X

에서 선형 독립인 수열

x_1, \ldots, x_m

과

Y

에서 선형 독립인 수열

y_1, \ldots, y_n

에 대해, 벡터

\left\{T\left(x_i, y_j\right) : 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\right\}

가 선형 독립인 경우와 동등하다.

예를 들어,

Z := \Complex^{mn}

이고,

(x, y) = \left(\left(x_1, \ldots, x_m\right), \left(y_1, \ldots, y_n\right)\right)

를

\left(x_i y_j\right)_{\stackrel{i=1,\ldots,m}{j=1,\ldots,n}}

으로 보내는 쌍선형 사상

T : \Complex^m \times \Complex^n \to \Complex^{mn}

은

X := \Complex^m

과

Y := \Complex^n

의 텐서곱을 형성한다. 이 사상

T

는

\,\otimes\,

로 표시되며,

x \otimes y \;:=\; T(x, y)

는 이 쌍선형 사상의

(x, y) \in X \times Y

에서의 값을 나타낸다.

텐서곱은 보편성을 사용하여 정의할 수도 있는데, 이 경우 동형사상을 제외하고 유일하게 정의된다. 즉, 쌍선형 사상

φ: V × W → V ⊗ W

가 존재하여, 임의의 벡터 공간

Z

와 쌍선형 사상

h: V × W → Z

에 대해,

h = \tilde h ∘ φ

를 만족하는 선형 사상

\tilde h: V ⊗ W → Z

가 유일하게 존재한다.

이를 통해 텐서곱의 대칭성과 결합성을 간결하게 증명할 수 있다. 예를 들어, 텐서곱의 대칭성은 자연 동형

V \otimes W \cong W \otimes V

의 존재를 의미하며, 이는

(v, w)

를

w ⊗ v

로 사상시키는 쌍선형 사상을 통해 보편성으로 구성할 수 있다.

3. 성질

가환환 $K$ 위의 가군의 범주 $\operatorname{Mod}_K$ 에서, 텐서곱은 결합 법칙을 따른다. 세 벡터 공간 $U$ , $V$ , $W$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.^[1]

: $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W).$

이 동형 사상은 $(u\otimes v)\otimes w$ 를 $u\otimes (v \otimes w)$ 로 사상한다. 이러한 결합 법칙 때문에 두 개 이상의 벡터 공간 또는 벡터의 텐서곱에서 괄호를 생략할 수 있다.

두 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 의 텐서곱에는 표준적인 동형 사상이 존재하여 교환 법칙이 성립하는 것처럼 보일 수 있다.

: $V \otimes W \cong W\otimes V$

이 사상은 $v \otimes w$ 를 $w \otimes v$ 로 사상한다.

하지만, $V=W$ 일 때조차 벡터의 텐서곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 즉, 일반적으로 $v\otimes w \neq w \otimes v$ 이다.

3. 1. 차원

가환환

K

위의 두 유한 차원 자유 가군

M=K^{\oplus m}

과

N=K^{\oplus n}

(

m,n\in\mathbb N

)이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 자유 가군이다.

:

M\otimes_KN = K^{\oplus (mn)}

즉, (차원이 더해지는) 직합과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다. 만약

V

와

W

가 유한 차원의 벡터 공간이라면,

V\otimes W

는 유한 차원이며, 그 차원은

V

와

W

의 차원의 곱이다.

이는

V\otimes W

의 기저가

V

의 기저 원소와

W

의 기저 원소의 모든 텐서곱을 취함으로써 형성된다는 사실에서 기인한다.

3. 2. 결합성

가환환

K

위의 가군의 범주

\operatorname{Mod}_K

에서, 텐서곱은 결합 법칙을 따른다. 세 벡터 공간

U

,

V

,

W

가 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.

:

(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),

이 동형 사상은

(u\otimes v)\otimes w

를

u\otimes (v \otimes w)

로 사상한다. 이러한 결합 법칙 때문에 두 개 이상의 벡터 공간 또는 벡터의 텐서곱에서 괄호를 생략할 수 있다.

3. 3. 교환성

두 벡터 공간

V

와

W

의 텐서곱은 표준적인 동형 사상이 존재한다는 의미에서 교환 법칙이 성립한다.

:

V \otimes W \cong W\otimes V

이 사상은

v \otimes w

를

w \otimes v

로 사상한다.

반면에,

V=W

일 때조차 벡터의 텐서곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 즉, 일반적으로

v\otimes w \neq w \otimes v

이다.

x\otimes y \mapsto y\otimes x

맵은

V\otimes V

에서 자기 자신으로 가는 선형 자기 동형 사상을 유도하며, 이를 '''브레이딩 맵'''이라고 한다. 더 일반적으로, (텐서 대수 참조)

V^{\otimes n}

을 벡터 공간

V

의

n

개의 복사본의 텐서곱으로 나타낸다. 처음

n

개의 양의 정수의 모든 순열

s

에 대해 다음 맵:

:

x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}

은

V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}

의 선형 자기 동형 사상을 유도하며, 이를 브레이딩 맵이라고 한다.

3. 4. 선형 사상의 텐서곱

선형 사상

f : U \to V

와 벡터 공간

W

가 주어졌을 때, 텐서곱

f\otimes W : U\otimes W\to V\otimes W

는 다음을 만족하는 유일한 선형 사상이다.

:

(f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w

텐서곱

W\otimes f

는 유사하게 정의된다.

두 선형 사상

f : U\to V

와

g : W\to Z

가 주어졌을 때, 이들의 텐서곱

f\otimes g : U\otimes W\to V\otimes Z

는 다음을 만족하는 유일한 선형 사상이다.

:

(f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w)

다음이 성립한다.

:

f\otimes g= (f\otimes Z)\circ (U\otimes g) = (V\otimes g)\circ (f\otimes W)

범주론의 관점에서 볼 때, 이것은 텐서곱이 벡터 공간의 범주에서 자기 자신으로의 쌍대관자임을 의미한다.^[1]

f

와

g

가 모두 단사 함수 또는 전사 함수이면, 위에 정의된 모든 선형 사상에 대해서도 동일하게 성립한다. 특히, 벡터 공간과의 텐서곱은 사상 함자이다. 즉, 모든 완전열은 완전열로 매핑된다. (가군의 텐서곱은 단사 사상을 단사 사상으로 변환하지 않지만, 우완전 함자이다.)

관련된 모든 벡터 공간의 기저를 선택하면, 선형 사상

f

와

g

는 행렬로 표현될 수 있다. 그러면 텐서

v \otimes w

가 벡터화되는 방식에 따라, 텐서곱

f \otimes g

를 설명하는 행렬은 두 행렬의 크로네커 곱이다. 예를 들어,

V

,

X

,

W

와

Y

가 모두 2차원이고 모든 공간에 대해 기저가 고정되어 있으며,

f

와

g

가 다음과 같은 행렬로 주어지는 경우:

:

A=\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix}

각각, 그러면 이 두 행렬의 텐서곱은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1,1} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} & a_{1,2} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} \\[3pt]a_{2,1} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} & a_{2,2} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1,1} b_{1,1} & a_{1,1} b_{1,2} & a_{1,2} b_{1,1} & a_{1,2} b_{1,2} \\a_{1,1} b_{2,1} & a_{1,1} b_{2,2} & a_{1,2} b_{2,1} & a_{1,2} b_{2,2} \\a_{2,1} b_{1,1} & a_{2,1} b_{1,2} & a_{2,2} b_{1,1} & a_{2,2} b_{1,2} \\a_{2,1} b_{2,1} & a_{2,1} b_{2,2} & a_{2,2} b_{2,1} & a_{2,2} b_{2,2} \\\end{bmatrix}

결과 랭크는 최대 4이며, 따라서 결과 차원은 4이다. 여기서 랭크는 텐서 랭크를 나타낸다. 즉, 필요한 지수의 개수를 나타낸다(반면, 행렬 랭크는 결과 배열의 자유도의 수를 계산한다).

다이아드 곱은 동일한 차원의 두 벡터 사이의 텐서곱의 특수한 경우이다.

벡터 공간 사이의 선형 사상에도 텐서 곱을 정의할 수 있다. 구체적으로 두 선형 사상

S: V \rightarrow X

및

T: W \rightarrow Y

가 주어졌을 때,

S

와

T

의 텐서 곱

S \otimes T: V \otimes W \rightarrow X \otimes Y

는

:

(S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w)

로 주어진다. 이를 통해 텐서 곱 구성은 벡터 공간의 범주에서 자기 자신으로 가는 쌍함자(bifunctor)가 되며, 이는 각 인수에 대해 모두 공변이다.^[11]

선형 사상

S

,

T

가 모두 단사, 전사 또는 연속이면, 텐서 곱

S \otimes T

도 각각 단사, 전사 또는 연속이 된다.

나타나는 벡터 공간에 각각 기저를 취하면, 선형 사상

S

,

T

는 각각 행렬로 표현되며, 더 나아가 텐서 곱

S \otimes T

를 표현하는 행렬은

S

,

T

를 나타내는 행렬의 크로네커 곱으로 주어진다. 구체적으로 쓰면, 선형 사상

S

및

T

가 각각 행렬

A = (a_{ij})

및

B

로 표현될 때,

S \otimes T

는 블록 행렬

:

A\otimes B := (a_{ij}B) = \begin{pmatrix}a_{11}B & a_{12}B & \dots \\a_{21}B & a_{22}B & \dots \\\vdots  & \vdots  & \ddots\end{pmatrix}

로 표현된다.

더 일반적으로, 다중 선형 사상

f(x_1, \dots, x_k)

,

g(x_1, \dots, x_m)

에 대해, 이들의 텐서 곱은

:

(f \otimes g)(x_1,\dots,x_{k+m}) = f(x_1,\dots,x_k) g(x_{k+1},\dots,x_{k+m})

인 다중 선형 사상으로 주어진다.

3. 5. 쌍대 공간과의 관계

두 유한 차원 벡터 공간 $U$, $V$가 같은 체 $K$ 위에 주어졌을 때, $U$의 쌍대 공간을 $U^*$로 표기하고, $U$에서 $V$로의 모든 선형 사상의 $K$-벡터 공간을 $\mathrm{Hom}(U, V)$로 표기한다. 다음 동형 사상이 존재한다.^[1]

U^* \otimes V \cong \mathrm{Hom}(U, V)

이는 순수 텐서 $f \otimes v \in U^*\otimes V$가 $U$의 원소에 작용하는 것으로 정의된다.

(f \otimes v)(u) = f(u) v

이 동형 사상의 "역"은 "평가 사상과 텐서 축약" 절에서처럼 기저 $\{u_i\}$와 그 쌍대 기저 $\{u^*_i\}$를 사용하여 정의할 수 있다.

\begin{cases} \mathrm{Hom} (U,V) \to U^* \otimes V \\ F \mapsto \sum_i u^*_i \otimes F(u_i). \end{cases}

이 결과는 다음을 의미한다.

\dim(U \otimes V) = \dim(U)\dim(V)

이는 $\{u_i\otimes v_j\}$가 $U \otimes V$의 기저를 형성한다는 중요한 사실을 자동적으로 제공하며, 여기서 $\{u_i\}$, $\{v_j\}$는 각각 $U$와 $V$의 기저이다.

더욱이, 세 개의 벡터 공간 $U$, $V$, $W$가 주어지면 텐서 곱은 다음과 같이 ''모든'' 선형 사상의 벡터 공간과 연결된다.

\mathrm{Hom} (U \otimes V, W) \cong \mathrm{Hom} (U, \mathrm{Hom}(V, W))

이는 수반 함자의 한 예시로, 텐서 곱은 Hom에 "좌 수반"된다.

3. 6. 평가 사상과 텐서 축약

텐서 공간에서 스칼라로 가는 표준 평가 사상은 다음과 같이 정의된다.

:

V \otimes V^* \to K

이는 순수 텐서에 대해 다음과 같이 작용한다.

:

v \otimes f \mapsto f(v).

여기서

v

는 벡터 공간

V

의 원소이고,

f

는

V

의 쌍대 벡터 공간

V^*

의 원소이다.

더 일반적으로,

r, s > 0

인 유형

(r, s)

의 텐서에 대해, 텐서 축약이라는 사상이 존재한다.

:

T^r_s (V) \to T^{r-1}_{s-1}(V).

이 사상을 적용할

V

와

V^*

의 복사본을 지정해야 한다.^[3]

반면,

V

가 유한 차원인 경우, 다른 방향으로의 표준 사상(공평가 사상)이 존재한다.

:

\begin{cases} K \to V \otimes V^* \\ \lambda \mapsto \sum_i \lambda v_i \otimes v^*_i \end{cases}

여기서

v_1, \ldots, v_n

은

V

의 임의의 기저이며,

v_i^*

는 해당 쌍대 기저이다. 이 사상은 기저 선택에 의존하지 않는다.^[4]

3. 7. 수반 표현

텐서곱

T^r_s(V)

는 리 대수

\mathrm{End}(V)

의 모듈로 자연스럽게 볼 수 있다. 대각 작용을 통해, 간단하게 하기 위해

r = s = 1

라고 가정하면, 각

u \in \mathrm{End}(V)

에 대해,

u(a \otimes b) = u(a) \otimes b - a \otimes u^*(b),

여기서

u^* \in \mathrm{End}\left(V^*\right)

는

u

의 전치이며, 즉,

V \otimes V^*

에 대한 명백한 쌍을 사용하여,

\langle u(a), b \rangle = \langle a, u^*(b) \rangle.

다음과 같이 주어지는 표준 동형 사상

T^1_1(V) \to \mathrm{End}(V)

가 존재한다.

(a \otimes b)(x) = \langle x, b \rangle a.

이 동형 사상 하에서,

\mathrm{End}(V)

의 모든

u

는 먼저

T^1_1(V)

의 엔드모르피즘으로 간주될 수 있고, 그 다음

\mathrm{End}(V)

의 엔드모르피즘으로 간주될 수 있다. 사실 이것은

\mathrm{End}(V)

의 수반 표현

\mathrm{ad}(u)

이다.

4. 다양한 텐서곱

가군의 텐서곱, 다원환의 텐서곱, 가군층의 텐서곱, 힐베르트 공간의 텐서곱, 위상 선형 공간의 텐서곱, 차수 부여 선형 공간의 텐서곱, 이차 형식의 텐서곱, 그래프의 텐서곱 등 다양한 대상에 대해 텐서곱이 정의된다.^[5]^[6]^[8]^[9]^[10]

텐서곱의 가장 일반적인 형태는 모노이드 범주에서의 모노이드곱(monoidal product)으로 정식화할 수 있다.

4. 1. 가군의 텐서곱

가환환

K

위의 가군에 대해 텐서곱이 정의되며, 비가환환의 경우에도 약간의 수정을 통해 정의된다.^[5]^[6]

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ -결합 대수 $A$ , $B$ , $C$
$(A,B)$ -쌍가군 (= $A\otimes_KB^{\operatorname{op}}$ -왼쪽 가군) $_AM_B$
$(B,C)$ -쌍가군 (= $B\otimes_KC^{\operatorname{op}}$ -왼쪽 가군) $_BN_C$

그렇다면,

M

과

N

의 '''텐서곱'''은 다음과 같이 구성되는

(A,C)

-쌍가군이다.

1. 곱집합

M\times N

위의 자유

(A,C)

-쌍가군

_AX_C

를 생각한다.

2.

X

위에서 다음과 같은 이항 관계

\sim_0

로 생성되는,

(A,C)

-쌍가군의 합동 관계

\sim

를 생각한다.

$(m,n)+(m',n) \sim_0 (m+m',n) \qquad (m,m'\in M,\;n\in N)$
$(m,n)+(m,n') \sim_0 (m,n+n') \qquad (m\in M,\;n,n'\in N)$
$a(m,n) \sim_0 (am,n) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)$
$(m,n)c \sim_0 (m,nc) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)$
$(mb,n) \sim_0 (m,bn) \qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)$

3.

(A,C)

-쌍가군

X/{\sim}

을 생각한다. 이를 '''텐서곱'''

M\otimes_BN

이라고 한다.

다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.

만약 $K=A=C=\mathbb Z$ 라면, $M_B$ 은 $B$ -오른쪽 가군이며, $_BN$ 은 $B$ -왼쪽 가군이다. 이 경우, $B$ -오른쪽 가군과 $B$ -왼쪽 가군의 텐서곱은 아벨 군(= $(\mathbb Z,\mathbb Z)$ -쌍가군)이다.
만약 $K=A=B=C$ 라면, $M$ 과 $N$ 은 $K$ -가군이다. 이 경우, 두 $K$ -가군의 텐서곱은 $K$ -가군이다.
특히, 만약 $K$ 가 체일 때, 두 $K$ -벡터 공간의 텐서곱은 $K$ -벡터 공간이다.
특히, 만약 $K=\mathbb Z$ 일 때, 두 아벨 군의 텐서곱은 아벨 군이다.
만약 $K=B$ 가 체이며, $G$ 와 $H$ 가 군이며, $A=K[G]$ , $C^{\operatorname{op}}=K[H]$ (즉, $K$ 계수 군환)이라고 하자. 그렇다면, $M$ 과 $N$ 은 각각 $G$ 와 $H$ 의 표현이며, 이 경우 $M\otimes_KN$ 은 $A\otimes_KC^{\operatorname{op}} = K[G\times H]$ -왼쪽 가군을 이룬다. 즉, $M\otimes_KN$ 은 직접곱 $G\times H$ 의 표현을 갖는다. 이를 두 군 표현의 '''외부 텐서곱'''(external tensor product^영어)이라고 한다.
특히, 위의 경우에서 만약 $G=H$ 라면, 대각 사상 $G\to G\times G$ 를 통해, $M\otimes_KN$ 은 $G$ 의 표현을 이룬다. 이를 두 군 표현의 '''텐서곱'''이라고 한다.

가환환

K

위의 가군의 범주

\operatorname{Mod}_K

를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히,

텐서곱은 결합 법칙을 따른다.
텐서곱의 항등원은 1차원 자유 가군 $K$ 이다.

또한,

\operatorname{Mod}_K

는 닫힌 모노이드 범주이다. 다시 말해, 임의의

K

-가군

M

,

N

,

P

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\hom_K(M\otimes N,P) \cong \hom_K(M,\hom_K(N,P))

가군

A

와

B

의 가환 환

R

에 대한 텐서곱은 체 위의 벡터 공간의 텐서곱과 정확히 같은 방식으로 정의된다.

:

A \otimes_R B := F (A \times B) / G

여기서

F(A \times B)

는 데카르트 곱에 의해 생성된 자유

R

-가군이고,

G

는 다음 관계식에 의해 생성된

R

-가군이다.

$(a_1, b) + (a_2, b) - (a_1+a_2, b) = 0$
$(a, b_1) + (a, b_2) - (a, b_1+b_2) = 0$
$(ar, b) - (a, rb) = 0$

더 일반적으로, 환이 비가환인 경우에도 텐서곱을 정의할 수 있다. 이 경우

A

는 오른쪽

R

-가군이어야 하고,

B

는 왼쪽

R

-가군이어야 하며, 위에서 언급한 마지막 두 관계 대신 다음과 같은 관계가 적용된다.

:

(ar,b)\sim (a,rb)

만약

R

이 비가환이면, 이것은 더 이상

R

-가군이 아니라 단지 아벨 군이 된다.

보편 성질 또한 약간 수정되어 적용된다.

\varphi : A \times B \to A \otimes_R B

는

(a, b) \mapsto a \otimes b

로 정의되며, 이는 중간 선형 사상 ("표준 중간 선형 사상"^[5])이다. 즉, 다음을 만족한다.^[6]

$\varphi(a + a', b) = \varphi(a, b) + \varphi(a', b)$
$\varphi(a, b + b') = \varphi(a, b) + \varphi(a, b')$
$\varphi(ar, b) = \varphi(a, rb)$

처음 두 속성은

\varphi

를 아벨 군

A \times B

의 쌍선형 사상으로 만든다.

A \times B

의 임의의 중간 선형 사상

\psi

에 대해,

A \otimes_R B

의 고유한 군 준동형 사상

f

는

\psi = f \circ \varphi

를 만족하며, 이 속성은 군 동형 사상 내에서

\varphi

를 결정한다.

A

를 오른쪽

R

-가군,

B

를 왼쪽

R

-가군이라고 하자. 그러면

A

와

B

의 텐서곱은 다음과 같이 정의되는 아벨 군이다.

:

A \otimes_R B := F(A \times B) / G

여기서

F(A \times B)

는

A \times B

위에 정의된 자유 아벨 군이고

G

는 다음과 같은 관계식에 의해 생성되는

F(A \times B)

의 부분군이다.

$\forall a, a_1, a_2 \in A, \forall b, b_1, b_2 \in B, \text{ for all } r \in R:$
$(a_1,b) + (a_2,b) - (a_1 + a_2,b) = 0$
$(a,b_1) + (a,b_2) - (a,b_1+b_2) = 0$
$(ar,b) - (a,rb) = 0$

보편 성질은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

G

를 아벨 군이라고 하고,

q:A\times B \to G

를 다음과 같은 쌍선형 맵이라고 하자.

$q(a_1 + a_2, b) = q(a_1, b) + q(a_2, b)$
$q(a, b_1 + b_2) = q(a, b_1) + q(a, b_2)$
$q(ar, b) = q(a, rb)$

그러면

a \in A

와

b \in B

에 대하여

\overline{q}(a\otimes b) = q(a,b)

를 만족하는 유일한 맵

\overline{q}:A\otimes B \to G

가 존재한다.

나아가, 몇 가지 추가 조건을 만족하면

A \otimes_R B

에 가군 구조를 부여할 수 있다.

1. 만약

A

가

(S,R)

-쌍가군이면,

A \otimes_R B

는 왼쪽

S

-가군이고, 여기서

s(a\otimes b):=(sa)\otimes b

이다.

2. 만약

B

가

(R,S)

-쌍가군이면,

A \otimes_R B

는 오른쪽

S

-가군이고, 여기서

(a\otimes b)s:=a\otimes (bs)

이다.

3. 만약

A

가

(S,R)

-쌍가군이고

B

가

(R,T)

-쌍가군이면,

A \otimes_R B

는

(S,T)

-쌍가군이고, 여기서 왼쪽 및 오른쪽 작용은 이전 두 예와 동일한 방식으로 정의된다.

4. 만약

R

이 가환환이면,

A

와

B

는

(R,R)

-쌍가군이고, 여기서

ra:=ar

와

br:=rb

이다. 3)에 의해,

A \otimes_R B

가

(R,R)

-쌍가군임을 결론 내릴 수 있다.

벡터 공간의 경우 텐서곱

V \otimes W

는

V

와

W

의 기저가 바로

V \otimes W

의 기저를 결정하기 때문에 빠르게 계산할 수 있다. 일반적인 (가환) 링 위의 가군의 경우 모든 가군이 자유 가군인 것은 아니다. 예를 들어,

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

는 자유 아벨 군(

\mathbb{Z}

-가군)이 아니다.

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

와의 텐서곱은 다음과 같다.

:

M \otimes_\mathbf{Z} \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} = M/nM

더 일반적으로, 어떤

R

-가군

M

의 표현, 즉 생성자

m_i \in M, i \in I

와 관계식:

:

\sum_{j \in J} a_{ji} m_i = 0,\qquad a_{ij} \in R,

이 주어지면, 텐서곱은 다음과 같은 코커널로 계산할 수 있다.

:

M \otimes_R N = \operatorname{coker} \left(N^J \to N^I\right)

여기서

N^J = \oplus_{j \in J} N

이며, 사상

N^J \to N^I

는

N^J

의

j

번째 복사본의 어떤

n \in N

을

a_{ij}n

(

N^I

내에서)으로 보내는 것으로 결정된다. 쉽게 말해서,

M

의 표현이

M \otimes_R N

의 표현을 생성한다고 말할 수 있다. 이것은 텐서곱이 오른쪽 완전 함자라고 말함으로써 언급된다. 일반적으로 왼쪽 완전하지 않으며, 즉

R

-가군의 단사 사상

M_1 \to M_2

가 주어지면 텐서곱:

:

M_1 \otimes_R N \to M_2 \otimes_R N

는 보통 단사가 아니다. 예를 들어,

n

을 곱하는 것으로 주어진 (단사) 사상,

n : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}

을

\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

로 텐서곱하면 영 사상

0 : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

가 생성되는데, 이는 단사가 아니다. 고차 Tor 함자는 텐서곱이 왼쪽 완전하지 않은 결함을 측정한다. 모든 고차 Tor 함자는 유도 텐서곱으로 조립된다.

다원환의 텐서곱: 단위 가환환 $K$ 위의 다원환 $A, B$ 에 대해, $K$ 위의 가군으로서의 텐서곱에는, $(\alpha \otimes \beta)(\alpha' \otimes \beta') = (\alpha\alpha')\otimes(\beta\beta') \quad (\forall \alpha, \alpha' \in A, \beta, \beta' \in B)$ 가 되는 곱셈이 유일하게 정의될 수 있으며 $K$ 위의 다원환이 된다.

4. 2. 대수의 텐서곱

가환환

K

위의 결합 대수

A

,

B

가 주어졌을 때,

A

와

B

는

K

-가군이므로 텐서곱

A\otimes_KB

를 정의할 수 있다. 이 텐서곱은

K

-가군을 이룬다.

A\otimes_KB

는 다음과 같은 연산을 통해

K

-결합 대수의 구조를 자연스럽게 가진다.

:

(a\otimes_Kb)(a'\otimes_Kb') = (aa')\otimes_K(bb')

이 연산으로 인해,

K

-결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다.

R

이 가환환일 때,

R

-가군의 텐서곱은

A

와

B

가

R

-대수일 때 특히 유용하다. 이 경우, 텐서곱

A \otimes_R B

는 다음 연산을 통해

R

-대수가 된다.

:

(a_1 \otimes b_1) \cdot (a_2 \otimes b_2) = (a_1 \cdot a_2) \otimes (b_1 \cdot b_2)

예를 들어, 다음이 성립한다.

:

R[x] \otimes_R R[y] \cong R[x, y]

A

와

B

가 공통 부분체

R

을 포함하는 체인 경우, 체의 텐서곱은 갈루아 이론과 밀접하게 관련된다. 예를 들어

A = R[x] / f(x)

이고,

f

가

R

의 계수를 갖는 기약 다항식이면, 텐서곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

A \otimes_R B \cong B[x] / f(x)

여기서

f

는 같은 다항식이지만, 계수는

B

의 원소로 생각한다. 더 큰 체

B

에서

f

는 기약 다항식이 아닐 수 있으며, 이는 갈루아 이론과 관련된다. 만약

A = B

가

R

의 갈루아 확장이면,

:

A \otimes_R A \cong A[x] / f(x)

는

A

-대수로서

A^{\operatorname{deg}(f)}

와 동형이다.

4. 3. 선형 사상의 텐서곱

선형 사상

f : U \to V

와 벡터 공간

W

가 주어졌을 때, ''텐서곱''

f\otimes W : U\otimes W\to V\otimes W

는 다음을 만족하는 유일한 선형 사상이다.

:

(f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.

텐서곱

W\otimes f

는 유사하게 정의된다.

두 선형 사상

f : U\to V

와

g : W\to Z

가 주어졌을 때, 이들의 텐서곱

f\otimes g : U\otimes W\to V\otimes Z

는 다음을 만족하는 유일한 선형 사상이다.

:

(f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).

다음이 성립한다.

:

f\otimes g= (f\otimes Z)\circ (U\otimes g) = (V\otimes g)\circ (f\otimes W).

범주론의 관점에서 볼 때, 이것은 텐서곱이 벡터 공간의 범주에서 자기 자신으로의 쌍대관자임을 의미한다.^[1]

f

와

g

가 모두 단사 함수 또는 전사 함수이면, 위에 정의된 모든 선형 사상에 대해서도 동일하게 성립한다. 특히, 벡터 공간과의 텐서곱은 사상 함자이다. 즉, 모든 완전열은 완전열로 매핑된다.

관련된 모든 벡터 공간의 기저를 선택하면, 선형 사상

f

와

g

는 행렬로 표현될 수 있다. 그러면 텐서

v \otimes w

가 벡터화되는 방식에 따라, 텐서곱

f \otimes g

를 설명하는 행렬은 두 행렬의 크로네커 곱이다. 예를 들어,

V

,

X

,

W

와

Y

가 모두 2차원이고 모든 공간에 대해 기저가 고정되어 있으며

f

와

g

가 다음과 같은 행렬로 주어지는 경우:

:

A=\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix},

각각, 그러면 이 두 행렬의 텐서곱은 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\\end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1,1} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} & a_{1,2} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} \\[3pt]a_{2,1} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} & a_{2,2} \begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2} \\\end{bmatrix} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1,1} b_{1,1} & a_{1,1} b_{1,2} & a_{1,2} b_{1,1} & a_{1,2} b_{1,2} \\a_{1,1} b_{2,1} & a_{1,1} b_{2,2} & a_{1,2} b_{2,1} & a_{1,2} b_{2,2} \\a_{2,1} b_{1,1} & a_{2,1} b_{1,2} & a_{2,2} b_{1,1} & a_{2,2} b_{1,2} \\a_{2,1} b_{2,1} & a_{2,1} b_{2,2} & a_{2,2} b_{2,1} & a_{2,2} b_{2,2} \\\end{bmatrix}.

결과 랭크는 최대 4이며, 따라서 결과 차원은 4이다. 여기서 랭크는 텐서 랭크를 나타낸다. 즉, 필요한 지수의 개수를 나타낸다.

다이아드 곱은 동일한 차원의 두 벡터 사이의 텐서곱의 특수한 경우이다.

두 유한 차원 벡터 공간

U

,

V

가 동일한 체

K

위에 주어졌을 때,

U

의 쌍대 공간을

U^*

로 표기하고,

U

에서

V

로의 모든 선형 사상의

K

-벡터 공간을

\mathrm{Hom}(U, V)

로 표기한다. 다음의 동형사상이 존재한다.

:

U^* \otimes V \cong \mathrm{Hom}(U, V),

이는 순수 텐서

f \otimes v \in U^*\otimes V

가

U

의 원소에 작용하는 것으로 정의된다.

:

(f \otimes v)(u) = f(u) v.

이 결과는 다음을 의미한다.

:

\dim(U \otimes V) = \dim(U)\dim(V),

이는 자동적으로

\{u_i\otimes v_j\}

가

U \otimes V

의 기저를 형성한다는 중요한 사실을 제공하며, 여기서

\{u_i\}, \{v_j\}

는

U

와

V

의 기저이다.

세 개의 벡터 공간

U

,

V

,

W

가 주어지면 텐서 곱은 다음과 같이 ''모든'' 선형 사상의 벡터 공간과 연결된다.

:

\mathrm{Hom} (U \otimes V, W) \cong \mathrm{Hom} (U, \mathrm{Hom}(V, W)).

이는 수반 함자의 한 예시로, 텐서 곱은 Hom에 "좌 수반"된다.

4. 4. 기타 텐서곱

힐베르트 공간은 유한 차원 벡터 공간을 임의의 차원으로 일반화한다. 힐베르트 공간을 대칭 모노이드 범주로 만드는 "텐서곱"이라고도 하는 유사한 연산이 있다. 이것은 본질적으로 위에서 논의한 대수적 텐서곱의 거리 공간 완비화로 구성된다. 그러나 텐서곱을 정의하는 보편적 성질의 명백한 유사성을 충족하지 않는다.^[8] 해당 성질에 대한 사상은 힐베르트-슈미트 연산자로 제한되어야 한다.^[9]

내적의 적용이 부적절한 상황에서는 위상 텐서곱으로 대수적 텐서곱을 완비하려고 시도할 수 있다. 그러나 이러한 구성은 더 이상 고유하게 지정되지 않는다. 많은 경우에 대수적 텐서곱에 여러 개의 자연스러운 위상이 있다.

일부 벡터 공간은 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있다. 이러한 경우, 두 공간의 텐서 곱은 부분 공간의 곱의 합으로 분해될 수 있다 (곱셈이 덧셈에 분배되는 방식과 유사하게).

추가적인 곱셈 구조를 갖는 벡터 공간을 대수라고 부른다. 이러한 대수의 텐서곱은 리틀우드-리처드슨 규칙에 의해 설명된다.

두 개의 다중 선형 형식

f(x_1,\dots,x_k)

와

g (x_1,\dots, x_m)

가 체

K

위의 벡터 공간

V

에 주어졌을 때, 이들의 텐서 곱은 다음과 같은 다중 선형 형식이다.

(f \otimes g) (x_1,\dots,x_{k+m}) = f(x_1,\dots,x_k) g(x_{k+1},\dots,x_{k+m}).

^[10]

이것은 다중 선형 사상으로 간주될 경우 텐서의 곱의 특별한 경우이다(다중 선형 사상으로서의 텐서도 참조). 따라서 다중 선형 형식의 텐서 곱의 성분은 크로네커 곱에 의해 계산될 수 있다.

그래프의 텐서곱에 언급되어 있듯이, "텐서곱"이라고 불리지만, 위에서 언급된 의미에서의 그래프의 텐서곱은 아니다. 실제로는 그래프와 그래프 준동형사상 범주에서의 범주론적 곱이다. 그러나 실제로는 그래프의 인접 행렬의 크로네커 텐서곱이다. 또한 위의 선형 사상의 텐서곱 섹션과 비교해 볼 수 있다.

가군의 텐서곱: 가환환 위의 가군에 관해서는 벡터 공간의 텐서곱과 같은 형태의 관계식에 의한 몫 가군으로서 (또는 같은 형태의 보편성에 의해) 가군의 텐서곱이 정의되며, 다시 -가군이 된다. 이 비가환환인 경우에는 스칼라배에 관한 조건을 조금 바꿔 가군 사이의 텐서곱이 정의되지만, 그것은 단순한 아벨 군 (-가군)으로 얻어진다.
다원환의 텐서곱: 단위 가환환 위의 다원환 에 대해, 위의 가군으로서의 텐서곱에는, 가 되는 곱셈이 유일하게 정의될 수 있으며 위의 다원환이 된다.
가군층의 텐서곱
힐베르트 공간의 텐서곱
위상 선형 공간의 텐서곱
차수 부여 선형 공간의 텐서곱
이차 형식의 텐서곱
그래프의 텐서곱

텐서곱의 가장 일반적인 형태는 모노이드 범주에서의 모노이드곱 (monoidal product)으로 정식화할 수 있다.

5. 응용

텐서곱은 여러 분야에서 다음과 같이 응용된다.

계수 확대: 확대체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''와 ''K''의 확대체 ''L''이 있을 때, 텐서곱 $V_L := V \otimes_K L$ 을 정의할 수 있다. ''V''_''L''는 ''L'' 위의 벡터 공간이 되며, ''V''_''L''의 ''L'' 위 차원은 ''V''의 ''K'' 위 차원과 같다.
표현의 텐서곱: 군의 표현의 텐서곱은 군 표현을 결합하는 방법이다. 두 군 표현의 '''외부 텐서곱'''은 직접곱의 표현을 나타내며, 특히 같은 군의 두 표현의 '''텐서곱'''은 대각 사상을 통해 원래 군의 표현을 이룬다.
텐서 멱: 벡터 공간 $V$의 $n$차 '''텐서 멱'''은 $V$ 자체의 $n$중 텐서곱( $V^{\otimes n} \stackrel{\text{def}} \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n\text{ factors}}$ )으로 정의된다.
텐서 공간: 벡터 공간 $V$ 위 타입 $(r, s)$ 텐서는 $T^r_s(V) = \underbrace{ V \otimes \cdots \otimes V}_r \otimes \underbrace{ V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_s = V^{\otimes r} \otimes \left(V^*\right)^{\otimes s}$ 의 원소이다. 여기서 $V^*$ 는 쌍대 벡터 공간이다.
대칭곱과 교대곱: 외대수는 외적으로부터 구성되며, 대칭 곱으로부터는 대칭 대수가 구성된다. 미분 $n$ -형식은 외력의 개념을 바탕으로 한다.
프로그래밍: 배열 프로그래밍 언어에서 텐서곱 연산을 지원하기도 한다. 예를 들어, APL에서는 `○.×`로, J에서는 `*/`로 표현된다.

5. 1. 계수 확대

확대체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''와, ''K''의 확대체 ''L''을 취하면, ''L''을 ''K''-벡터 공간으로 보고 텐서곱

:

V_L := V \otimes_K L

을 정의할 수 있으며, ''L''의 작용을

:

\lambda(v \otimes \mu) := v \otimes (\lambda \mu) \quad (v \in V, \, \lambda, \mu \in L)

로 정하면, ''V''_''L''는 ''L'' 위의 벡터 공간이 된다. 벡터 공간 ''V''_''L''의 ''L'' 위의 차원은 ''V''의 ''K'' 위의 차원과 같다. 이는 ''V''의 ''K'' 위의 기저 ''B''에 대해, 집합

:

\{b \otimes 1 \mid b \in B\}

가 ''V''_''L''의 ''L'' 위의 기저를 제공하는 것으로부터 알 수 있다.

5. 2. 표현의 텐서곱

군의 표현의 텐서곱은 군 표현을 결합하는 방법이다.

K=B

가 체이고,

G

와

H

가 군이며,

A=K[G]

,

C^{\operatorname{op}}=K[H]

(즉,

K

계수 군환)라고 하자. 그렇다면,

M

과

N

은 각각

G

와

H

의 표현이며, 이 경우

M\otimes_KN

은

A\otimes_KC^{\operatorname{op}} = K[G\times H]

-왼쪽 가군을 이룬다. 즉,

M\otimes_KN

은 직접곱

G\times H

의 표현을 갖는다. 이를 두 군 표현의 '''외부 텐서곱'''(external tensor product^영어)이라고 한다.

특히, 위의 경우에서 만약

G=H

라면, 대각 사상

G\to G\times G

를 통해,

M\otimes_KN

은

G

의 표현을 이룬다. 이를 두 군 표현의 '''텐서곱'''이라고 한다.

군

G

의 같은 체 위의 벡터 공간

V_i

에서의 표현

\rho_i\colon G\to GL(V_i)

(

i=1,\ldots,n

)이 주어졌을 때,

\rho_1(g)v_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n(g)v_n

(

\forall g\in G,\,v_i\in V_i

)에 텐서곱의 보편성을 적용함으로써, 표현의 텐서곱

\rho_1\otimes\dotsb\otimes \rho_n\colon G\to GL(V_1\otimes\dotsb\otimes V_n)

이 유도된다.

5. 3. 텐서 멱

음이 아닌 정수 n^영어에 대해, 벡터 공간 $V$의 $n$차 '''텐서 멱'''은 $V$ 자체의 $n$중 텐서곱이다.

:

V^{\otimes n} \stackrel{\text{def}} \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n\text{ factors}}

$n$차 텐서 멱을 제$n$차 성분으로 갖는 등급 선형 공간은 텐서곱을 곱셈으로 하는 텐서 대수라고 불리는 등급 대수를 이룬다.

5. 4. 텐서 공간

음이 아닌 정수

r

과

s

에 대해, 벡터 공간

V

위의 타입

(r, s)

텐서는 다음과 같은 원소이다.

T^r_s(V) = \underbrace{ V \otimes \cdots \otimes V}_r \otimes \underbrace{ V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_s = V^{\otimes r} \otimes \left(V^*\right)^{\otimes s}.

여기서

V^*

는 쌍대 벡터 공간 (이는 선형 맵

f

를

V

에서 기본 필드

K

로의 모든 선형 맵으로 구성된다.)이다.

텐서곱 이라고 하는 곱 맵이 있다.^[2]

T^r_s (V) \otimes_K T^{r'}_{s'} (V) \to T^{r+r'}_{s+s'}(V).

이는 모든 발생한 "인자"

V

를 함께 묶어 정의된다.

V

의 원소를

v_i

로, 쌍대 공간의 원소를

f_i

로 표기하면 다음과 같다.

(v_1 \otimes f_1) \otimes (v'_1) = v_1 \otimes v'_1 \otimes f_1.

만약

V

가 유한 차원이라면,

V

의 기저와

V^*

의 해당 쌍대 기저를 선택하면 자연스럽게

T_s^r(V)

의 기저가 유도된다 (이 기저는 크로네커 곱에 대한 문서에 설명되어 있다).

음이 아닌 정수

r, s

에 대해

(r, s)

-형 텐서 공간

:

T^r_s(V) = V^{\otimes r}\otimes V^{*\otimes s}

의

r, s

에 관한 무한 직합(이중 계수 선형 공간)으로서의 텐서 공간에서 텐서 곱은 자연스러운 동형 사상

:

T^p_q(V)\otimes T^r_s(V) \to T^{p+r}_{q+s}(V)

의 의미로 계수 쌍선형 곱을 정의한다.

벡터

v

와 선형 형식

f

에 관해,

v, f

^영어 = f(v)는 쌍선형이므로, 텐서 곱의 보편성에 의해 텐서 축약이라 불리는 선형 사상

:

T^p_q(V) \to T^{p-1}_{q-1}(V)

이 유일하게 유도된다. 이는 성분으로 보면, 상하에 나타나는 같은 첨자를 상쇄하는 것과 같다. 이는 또한

T_p(V) = (V^*)^{\otimes p} \cong (V^{\otimes p})^* = (T^p(V))^*

의 쌍대성을 이끌어낸다.

5. 5. 대칭곱과 교대곱

외대수는 외적으로부터 구성된다. 벡터 공간

V

에 대해 외적

V \wedge V

는 다음과 같이 정의된다.

:

V \wedge V := V \otimes V \big/ \{v\otimes v \mid v\in V\}.

V

의 기저체가 표수 2를 갖지 않을 경우, 이 정의는 다음과 동등하다.

:

V \wedge V := V \otimes V \big/ \bigl\{v_1 \otimes v_2 + v_2 \otimes v_1 \mid (v_1, v_2) \in V^2\bigr\}.

외적에서

v_1 \otimes v_2

의 이미지는 일반적으로

v_1 \wedge v_2

로 표기하며, 구성상

v_1 \wedge v_2 = - v_2 \wedge v_1

을 만족한다.

V \otimes \dots \otimes V

(

n

개의 인자)에 대해서도 유사한 구성을 할 수 있으며, 이로부터

V

의

n

번째 외력인

\Lambda^n V

가 생성된다. 후자의 개념은 미분

n

-형식의 기초가 된다.

대칭 곱으로부터는 대칭 대수가 유사한 방식으로 구성된다.

:

V \odot V := V \otimes V \big/ \bigl\{ v_1 \otimes v_2 - v_2 \otimes v_1 \mid (v_1, v_2) \in V^2\bigr\}.

더 일반적으로는 다음과 같다.

:

\operatorname{Sym}^n V := \underbrace{V \otimes \dots \otimes V}_n \big/ (\dots \otimes v_i \otimes v_{i+1} \otimes \dots - \dots \otimes v_{i+1} \otimes v_{i} \otimes \dots)

즉, 대칭 대수에서 인접한 두 벡터(따라서 모든 벡터)를 교환할 수 있다. 결과 객체를 대칭 텐서라고 한다.

집합

\{1, 2, \dots, n\}

의 치환

\sigma

는 벡터 공간

V

의

n

차 데카르트 거듭제곱에 대한 사상

:

\sigma\colon V^n\to V^n;\; (v_1,v_2,\dots,v_n) \mapsto \sigma(v_1,v_2,\dots,v_n) = (v_{\sigma 1}, v_{\sigma 2},\dots,v_{\sigma n})

을 유도한다.

n

차 데카르트 거듭제곱에서

n

차 텐서 거듭제곱으로의 자연스러운 다중 선형 매립

:

\varphi\colon V^n \to V^{\otimes n}

에 대해 텐서 곱의 보편성을 적용하면, 유일한 동형

:

\tau_\sigma\colon V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}\text{ s.t. }\varphi\circ\sigma = \tau_\sigma\circ\varphi

을 얻을 수 있다. 동형 사상

\tau_\sigma

는 치환

\sigma

에 수반되는 '''브레이딩 맵''' (''braiding map'') 또는 치환 작용소^[12]라고 불린다. 치환 작용소에서 유도되는 텐서 대수

T(V)

상의 대칭화 작용소

\operatorname{Sym}

및 교대화 작용소

\operatorname{Alt}

는, 균질 성분

V^{\otimes n}

위에서

:

\operatorname{Sym}_n := \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n}\tau_\sigma,\quad \operatorname{Alt}_n := \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \sgn(\sigma)\cdot\tau_\sigma

을 만족하는 것으로 하면,

k

차 텐서

t

및

k'

차 텐서

t'

에 대해

:

tt' = \operatorname{Sym}_{k+k'}(t\otimes t'),\quad t \wedge t' = \operatorname{Alt}_{k+k'}(t\otimes t')

으로 놓은 것은, 각각 대칭 텐서 공간

S(V)

및 반대칭 텐서 공간

A(V)

상의 쌍선형 곱을 주며, 각각 '''대칭'''(텐서)'''곱''', '''교대'''(텐서)'''곱'''이라고 불린다(교대곱은 외적 또는 '''그라스만 곱'''이라고도 불린다).

5. 6. 프로그래밍

배열 프로그래밍 언어는 텐서곱 연산을 내장하는 경우가 있다. 예를 들어, APL에서 텐서곱은 `○.×`로 표현된다(예: `A ○.× B` 또는 `A ○.× B ○.× C`). J에서 텐서곱은 `*/`의 이항 연산 형태이다(예: `a */ b` 또는 `a */ b */ c`).

J의 처리 방식은 `a`와 `b`가 상수 대신 함수일 수 있으므로 일부 텐서 필드의 표현도 허용한다. 이 두 함수의 곱은 파생 함수이며, `a`와 `b`가 미분 가능한 함수라면 `a */ b`도 미분 가능하다.

그러나 이러한 종류의 표기법이 모든 배열 언어에 보편적으로 존재하는 것은 아니다. 다른 배열 언어는 인덱스를 명시적으로 처리해야 할 수 있으며(예: MATLAB), 고차 함수인 야코비 도함수를 지원하지 않을 수도 있다(예: Fortran/APL).

참조

_[1] 서적 Algebras, rings and modules Springer
_[2] 문서 Analogous formulas also hold for [[covariance and contravariance of vectors|contravariant]] tensors, as well as tensors of mixed variance. Although in many cases such as when there is an [[inner product]] defined, the distinction is irrelevant.
_[3] 웹사이트 The Coevaluation on Vector Spaces https://unapologetic[...] 2008-11-13
_[4] 문서 See [[Compact closed category]].
_[5] 서적 Algebra Springer
_[6] lecture notes Advanced Algebra II 2004
_[7] arXiv Eigenconfigurations of Tensors 2015
_[8] 웹사이트 Non-existence of tensor products of Hilbert spaces https://www-users.cs[...] 2010-07-22
_[9] 서적 Fundamentals of the theory of operator algebras American Mathematical Society
_[10] 서적 An Introduction to Manifolds Springer
_[11] 서적 Algebras, rings and modules Springer
_[12] PlanetMath Permutation Operator

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