호흐실트 호몰로지

1. 개요

호흐실트 호몰로지는 가환환 K, K-결합 대수 A, 그리고 (A, K, A)-쌍가군 M에 대해 정의되는 호몰로지 이론이다. Ext 함자 또는 Tor 함자를 사용하여 추상적으로 정의되거나, 호흐실트 (공)사슬 복합체를 통해 구체적으로 정의될 수 있으며, 단체 대상의 이론을 통해서도 정의될 수 있다. 호흐실트 호몰로지는 K-가군이며, 함자적 성질을 갖는다. 가환 대수의 경우 0차 호흐실트 호몰로지는 M, 1차 호흐실트 호몰로지는 켈러 미분의 가군과 관련되며, 호흐실트-코스탄트-로젠버그 정리를 통해 매끄러운 대수에 대한 동형 사상을 제공한다. 특성 p인 경우 위상적 호흐실트 호몰로지를 사용하여 문제를 해결하며, 스펙트럼 범주에서 정의되는 위상적 호흐실트 호몰로지(THH)는 호흐실트 호몰로지의 일반화이다. 호흐실트 호몰로지는 1945년 게르하르트 호흐실트에 의해 처음 도입되었다.

2. 정의

호흐실트 (코)호몰로지는 가환환과 결합 대수에 대해 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

* Ext 함자 (또는 Tor 함자)의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (공)사슬 복합체(Hochschild (co)chain complex^영어)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 구체적으로 정의될 수 있다.
* 단체 대상의 이론을 통해 정의될 수 있다.

2.1. 추상적 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 가환환 $K$
* $K$-결합 대수 $A$
* $(A,K,A)$-쌍가군 $\_AM\_A$. 즉, $M$은 $(A,A)$-쌍가군이며, 또한 $M$ 위의 왼쪽 $K$-작용이 오른쪽 $K$-작용과 일치한다고 하자.

$A$의 포락 대수(包絡代數, enveloping algebra^영어)
:$A^\{\backslash operatorname\{e\}\}=A\backslash otimes\_KA^\{\backslash operatorname\{op\}\}$
를 정의할 수 있다. 이는 $K$-결합 대수이며, $M$은 $A^\{\backslash operatorname\{e\}\}$-왼쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로, $A$도 $A^\{\backslash operatorname\{e\}\}$의 왼쪽 가군을 이룬다. 구체적으로,
:$(a\backslash otimes\_K\; b^\{\backslash operatorname\{op\}\})\backslash cdot\; m=a\backslash cdot\; m\backslash cdot\; b\backslash qquad\backslash forall\; a,b\backslash in\; A,m\backslash in\; M$
:$(a\backslash otimes\_K\; b^\{\backslash operatorname\{op\}\})\backslash cdot\; c=a\backslash cdot\; c\backslash cdot\; b\backslash qquad\backslash forall\; a,b,c\backslash in\; A$
이다.

$A$의 $M$계수의 호흐실트 호몰로지 군 $\backslash operatorname\{HH\}\_n(A;M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 군 $\backslash operatorname\{HH\}^n(A;M)$은 다음과 같이 Ext 함자 및 Tor 함자로 정의된다.
:$\backslash operatorname\{HH\}\_n(A;M)=\backslash operatorname\{Tor\}\_n^\{A^\{\backslash operatorname\{e\}\}\}(A,M)$
:$\backslash operatorname\{HH\}^n(A;M)=\backslash operatorname\{Ext\}^n\_\{A^\{\backslash operatorname\{e\}\}\}(A,M)$

$k$를 체로, $A$를 결합적 $k$-대수, $M$을 $A$-쌍가군이라고 하자. $A$의 포락 대수는 $A$와 반대 대수의 텐서 곱 $A^e=A\backslash otimes\; A^o$이다. $A$ 위의 쌍가군은 본질적으로 $A$의 포락 대수 위의 모듈과 동일하므로, 특히 $A$와 $M$은 $A^e$-모듈로 간주될 수 있다. 카르탕과 에일렌베르크는 Tor 함자와 Ext 함자를 사용하여 $M$을 계수로 하는 $A$의 호흐실트 호몰로지 및 코호몰로지 군을 다음과 같이 정의했다.

:$HH\_n(A,M)\; =\; \backslash operatorname\{Tor\}\_n^\{A^e\}(A,\; M)$
:$HH^n(A,M)\; =\; \backslash operatorname\{Ext\}^n\_\{A^e\}(A,\; M)$

2.2. 구체적 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 가환환 $K$
* $K$-결합 대수 $A$
* $(A,K,A)$-쌍가군 $\_AM\_A$. 즉, $M$은 $(A,A)$-쌍가군이며, 또한 $M$ 위의 왼쪽 $K$-작용이 오른쪽 $K$-작용과 일치하는 경우이다.

호흐실트 (코)호몰로지는 호흐실트 (공)사슬 복합체(Hochschild (co)chain complex^영어)라는 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의될 수 있다.

특히, $K$ 위의 결합 대수 $A$와 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌다면, 다음과 같은 호흐실트 단체 가군(Hochschild simplicial module^영어) $C\_\backslash bullet(A;M)$을 정의할 수 있다.

:$C\_n(A;M)\; =\; M\backslash otimes\_K\; A^\{\backslash otimes\_Kn\}$
:$\backslash partial\_\{n,i\}\; \backslash colon\; C\_n\; (A;M)\backslash to\; C\_\{n+1\}(A;M)$
:$\backslash partial\_\{n,i\}\backslash colon\; m\backslash otimes\_Ka\_1\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_Ka\_n\backslash mapsto$
\begin{cases}
(ma_1)\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n&i=0\\
m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_Ka_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_K\cdots\otimes_Ka_n&0a_nm\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}&i=n
\end{cases}
:$s\_\{n,i\}\; \backslash colon\; C\_n\; (A;M)\backslash to\; C\_\{n-1\}(A;M)$
:$s\_\{n,i\}\backslash colon\; a\_0\backslash otimes\_K\; \backslash dotsb\; \backslash otimes\_K\; a\_n\backslash mapsto$
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n


결합 대수 $A$의 $M$계수 호흐실트 호몰로지란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

$C\_\backslash bullet(A;M)$은 사슬 복합체로서
:$M\backslash otimes\_\{A^\{\backslash operatorname\{e\}\}\}\backslash operatorname\{Bar\}\_\backslash bullet(A,A,A)$
의 꼴이다. 여기서 $\backslash operatorname\{Bar\}\_\backslash bullet(A,A,A)$는 $A$의 막대 복합체이다. 이를 쌍대화하여 공사슬 복합체
:$C^\backslash bullet(A;M)\; =\; \backslash hom\_\{A^\{\backslash operatorname\{e\}\}\}(\backslash operatorname\{Bar\}\_\backslash bullet(A,A,A),\; M)$
를 정의할 수 있으며, $A$의 $M^\backslash vee$계수 호흐실트 코호몰로지란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

k를 환, A를 투영 k-가군인 결합적 k-대수로 하고, M을 A-쌍가군이라고 하자. $A^\{\backslash otimes\; n\}$을 k 위에서 A의 n겹 텐서 곱으로 표기한다. 호흐실트 호몰로지를 생성하는 사슬 복합체는 다음과 같다.

:$C\_n(A,M)\; :=\; M\; \backslash otimes\; A^\{\backslash otimes\; n\}$

경계 연산자 $d\_i$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$
d_0(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) &= ma_1 \otimes a_2 \cdots \otimes a_n \\
d_i(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) &= m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n \\
d_n(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) &= a_n m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1}
\end{align}

여기서 $a\_i$는 모든 $1\backslash le\; i\backslash le\; n$에 대해 A에 속하고 $m\backslash in\; M$이다. 만약

:$b\_n=\backslash sum\_\{i=0\}^n\; (-1)^i\; d\_i,$

라고 하면 $b\_\{n-1\}\; \backslash circ\; b\_\{n\}\; =0$이므로, $(C\_n(A,M),b\_n)$은 호흐실트 복합체라고 불리는 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는 M을 계수로 하는 A의 호흐실트 호몰로지이다. 이후부터는 $b\_n$을 간단히 $b$로 표기한다.

사상 $d\_i$는 면 사상이며, $(C\_n(A,M),b)$의 모듈 족을 k-모듈 범주에서 단순 객체로 만든다. 즉, Δ는 단순 범주이고 k-mod는 k-모듈의 범주일 때, 함자 Δ^o → k-mod이다. 여기서 Δ^o는 Δ의 쌍대 범주이다. 퇴화 사상은 다음과 같이 정의된다.

:$s\_i(a\_0\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; a\_n)\; =\; a\_0\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; a\_i\; \backslash otimes\; 1\; \backslash otimes\; a\_\{i+1\}\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; a\_n.$

호흐실트 호몰로지는 이 단순 모듈의 호몰로지이다.

2.3. 위상수학적 정의

가환환 $K$에 대하여, $\backslash operatorname\{Mod\}\_K$ 속의 단체 대상 $X\; \backslash colon\; \backslash triangle^\{\backslash operatorname\{op\}\}\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mod\}\_K$가 주어졌다고 하자. 여기서 $\backslash triangle$은 단체 범주이다. 단체 가군의 범주 $\backslash hom(\backslash triangle^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)$은 아벨 범주이므로 그 속에서 Ext 함자를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 텐서곱을 정의할 수 있으며, 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

이 경우, $X$의 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지는 각각 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{HH\}\_n(X)=\backslash operatorname\{Tor\}\_n^\{\backslash hom(\backslash triangle^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)\}(K\_\backslash bullet,X)$
:$\backslash operatorname\{HH\}^n(X)=\backslash operatorname\{Ext\}^n\_\{\backslash hom(\backslash triangle^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)\}(X,K\_\backslash bullet)$
여기서 $K\_\backslash bullet$는 모든 성분이 1차원 자유 가군 $K$이며, $s\_n^i$ 및 $d\_n^i$ 모두가 항등 함수인 자명한 단체 대상이다.

만약 $A=M$이라면, 호흐실트 단체 가군 $C\_n(A;A)$는 추가로 순환 대상을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 $\backslash hom(\backslash triangle\_\{\backslash operatorname\{Cyc\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)$에서 Tor 함자와 Ext 함자를 취할 수 있으며, 이 경우 순환 (코)호몰로지를 얻는다.

단순 원 $S^1$는 유한 점 집합의 범주 $\backslash operatorname\{Fin\}\_*$에서 단순 대상, 즉 함자 $\backslash Delta^o\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Fin\}\_*$이다. 따라서, F가 함자 $F\backslash colon\; \backslash operatorname\{Fin\}\; \backslash to\; k-\backslash mathrm\{mod\}$라면, F와 $S^1$을 합성하여 단순 가군을 얻는다.

:$\backslash Delta^o\; \backslash overset\{S^1\}\{\backslash longrightarrow\}\; \backslash operatorname\{Fin\}\_*\; \backslash overset\{F\}\{\backslash longrightarrow\}\; k\backslash text\{-mod\}.$

이 단순 가군의 호몰로지는 함자 호흐실트 호몰로지 F이다. 가환 대수의 호흐실트 호몰로지에 대한 위의 정의는 F가 로데이 함자일 때의 특수한 경우이다.
유한 점 집합 범주의 골격은 다음과 같은 대상들로 주어진다.

:$n\_+\; =\; \backslash \{0,1,\backslash ldots,n\backslash \},$

여기서 0은 밑점이고, 사상은 밑점을 보존하는 집합 사상이다. A를 가환 k-대수, M을 대칭 A-쌍가군이라고 하자. Loday 함자 $L(A,M)$은 $\backslash operatorname\{Fin\}\_*$의 대상에 대해 다음과 같이 주어진다.

:$n\_+\; \backslash mapsto\; M\; \backslash otimes\; A^\{\backslash otimes\; n\}.$

사상

:$f:m\_+\; \backslash to\; n\_+$

은 다음과 같이 주어지는 사상 $f\_*$로 보내진다.

:$f\_*(a\_0\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; a\_m)\; =\; b\_0\; \backslash otimes\; \backslash cdots\; \backslash otimes\; b\_n$

여기서

:$\backslash forall\; j\; \backslash in\; \backslash \{0,\; \backslash ldots,\; n\; \backslash \}:\; \backslash qquad\; b\_j\; =$
\begin{cases}
\prod_{i \in f^{-1}(j)} a_i & f^{-1}(j) \neq \emptyset\\
1 & f^{-1}(j) =\emptyset
\end{cases}

가환 대수 A의 대칭 A-쌍가군 M을 계수로 하는 호흐실트 호몰로지는 다음과 같은 합성으로 정의되는 호몰로지이다.

:$\backslash Delta^o\; \backslash overset\{S^1\}\{\backslash longrightarrow\}\; \backslash operatorname\{Fin\}\_*\; \backslash overset\{\backslash mathcal\{L\}(A,M)\}\{\backslash longrightarrow\}\; k\backslash text\{-mod\}$

3. 성질

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$에 대하여, 호흐실트 호몰로지 $\backslash operatorname\{HH\}^n(A;M)$ 및 호흐실트 코호몰로지 $\backslash operatorname\{HH\}^n(A;M)$는 $K$-가군이며, 사실 $\backslash operatorname\; Z(A)$-가군을 이룬다.
임의의 가환환 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수의 범주 $\backslash operatorname\{Alg\}\_K$와, $K$-결합 대수 $A$가 주어졌을 때 $(A,K,A)$-쌍가군의 범주 $\_A\backslash operatorname\{Mod\}\_A$를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 함자를 정의한다.
:$\backslash operatorname\{HH\}\_n\; \backslash colon\; \{\}\_A\backslash operatorname\{Mod\}\_A\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mod\}\_\{\backslash operatorname\; Z(A)\}$
:$\backslash operatorname\{HH\}^n\; \backslash colon\; \{\}\_A\backslash operatorname\{Mod\}\_A\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Mod\}\_\{\backslash operatorname\; Z(A)\}$

또한, 임의의 $K$-결합 대수 준동형
:$\backslash phi\backslash colon\; B\backslash to\; A$
및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$에 대하여, $\backslash phi^*M$은 $(B,K,B)$-쌍가군을 이루며, 이는 호흐실트 호몰로지의 사상
:$\backslash phi\_*\backslash colon\; \backslash operatorname\{HH\}^\backslash bullet(B;\backslash phi^*M)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{HH\}\_n(A;M)$
및 호흐실트 코호몰로지의 사상
:$\backslash phi^*\backslash colon\; \backslash operatorname\{HH\}^\backslash bullet(A;M)\; \backslash to\; \backslash operatorname\{HH\}^n(B;\backslash phi^*M)$
을 유도한다.

특히, 만약 $M=A$일 때, 이는 $K$-결합 대수의 범주(의 반대 범주)에서 $K$-가군의 범주로 가는 함자
:$\backslash operatorname\{HH\}\_n(-)\backslash colon\; \backslash operatorname\{Alg\}\_K\; \backslash to\backslash operatorname\{Mod\}\_K$
:$\backslash operatorname\{HH\}^n(-)\backslash colon\; \backslash operatorname\{Alg\}\_K^\{\backslash operatorname\{op\}\}\; \backslash to\backslash operatorname\{Mod\}\_K$
를 정의한다.

4. 예

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 및 $(A,K,A)$-쌍가군 $M$이 주어졌을 때, 0차 및 1차 호흐실트 (코)호몰로지는 각각 환의 중심, 외부 미분과 관련된다.

0차 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash operatorname\{HH\}\_0(A;M)\; =\; \backslash frac\; M\{[M,A]\}$

0차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같이 정의되며, 이는 환의 중심 개념의 일반화이다.
:$\backslash operatorname\{HH\}^0(A;M)\; =\; \backslash \{m\backslash in\; M\backslash colon\; am=ma\backslash qquad\backslash forall\; a\backslash in\; A\backslash \}$

1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간을 내부 미분으로 나눈 몫, 즉 외부 미분의 공간으로 생각할 수 있다.

4.1. 가환 대수

가환환 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$ 및 $A$-가군 $M$에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{HH\}\_0(A;M)\backslash cong\; M$
:$\backslash operatorname\{HH\}\_1(A;M)\backslash cong\; M\backslash otimes\_A\backslash Omega\_\{A/K\}$
여기서 $\backslash Omega\_\{A/K\}$는 켈러 미분의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 1차 미분 형식에 대응한다. 비가환 기하학에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

가환 대수 $A/k$의 경우, $\backslash mathbb\{Q\}\backslash subseteq\; k$이고, 호흐실트 호몰로지는 매끄러운 대수에 관한 두 가지 주요 정리와 더 일반적인 비평탄 대수 $A$에 관한 정리를 갖는다. 그러나 두 번째 정리는 첫 번째 정리의 직접적인 일반화이다. 매끄러운 경우, 즉 매끄러운 대수 $A$에 대해, 호흐실트-코스탄트-로젠버그 정리는 모든 $n\; \backslash geq\; 0$에 대해 동형 사상 $$\backslash Omega^n\_\{A/k\}\; \backslash cong\; HH\_n(A/k)$$이 존재한다고 명시한다. 이 동형 사상은 반대칭화 사상을 사용하여 명시적으로 설명할 수 있다. 즉, 미분 $n$-형식은 사상$$a\backslash ,db\_1\backslash wedge\; \backslash cdots\; \backslash wedge\; db\_n\; \backslash mapsto$$
\sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sign}(\sigma)
a\otimes b_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma(n)}.을 갖는다.

대수 $A/k$가 매끄럽지 않거나 심지어 평탄하지 않은 경우에도, 코탄젠트 복소수를 사용하는 유사한 정리가 있다. 단순 분해 $P\_\backslash bullet\; \backslash to\; A$에 대해 $\backslash mathbb\{L\}^i\_\{A/k\}\; =\; \backslash Omega^i\_\{P\_\backslash bullet/k\}\backslash otimes\_\{P\_\backslash bullet\}\; A$로 설정한다. 그러면, $HH\_n(A/k)$에 하강하는 $\backslash mathbb\{N\}$-여과 $F\_\backslash bullet$가 존재하며, 이의 등급 조각은 $$\backslash frac\{F\_i\}\{F\_\{i+1\}\}\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{L\}^i\_\{A/k\}[+i].$$와 동형이다.

이 정리는 매끄러운 대수뿐만 아니라 국소 완전 교차 대수의 호흐실트 호몰로지를 계산하는 데 접근 가능하게 만든다. 이 경우, $R\; =\; k[x\_1,\backslash dotsc,x\_n]$에 대한 표현 $A\; =\; R/I$가 주어지면, 코탄젠트 복소수는 두 항 복소수 $I/I^2\; \backslash to\; \backslash Omega^1\_\{R/k\}\backslash otimes\_k\; A$이다.

4.2. 다항식환

복소수 계수 다항식환 $\backslash mathbb\; C[\backslash vec\; x]$ ($\backslash vec\; x\backslash in\backslash mathbb\; C^k$)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{HH\}\_n(\backslash mathbb\; C[\backslash vec\; x];\backslash mathbb\; C[\backslash vec\; x])=\backslash mathbb\; C[\backslash vec\; x]\backslash otimes\_\{\backslash mathbb\; C\}\backslash Lambda^n(\backslash mathbb\; C^k)$

여기서 $\backslash Lambda^n(-)$는 외대수이다. 구체적으로, $n$차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.

:$C\_n(\backslash mathbb\; C[\backslash vec\; x])=\backslash mathbb\; C[\backslash vec\; x\_0,\backslash vec\; x\_1,\backslash dotsc,\backslash vec\; x\_n]$

호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.

:$p(\backslash vec\; x\_0,\backslash dotsc,\backslash vec\; x\_n)\backslash mapsto\backslash sum\_\{i\_1=1\}^k\backslash sum\_\{i\_2=1\}^k\backslash dotsi\backslash sum\_\{i\_n=1\}^k\backslash left.\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial(x\_1)^\{i\_1\}\}\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial(x\_2)^\{i\_2\}\}\backslash dotsm\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial(x\_n)^\{i\_n\}\}p\backslash right|\_\{\backslash vec\; x\_0=\backslash vec\; x\_1=\backslash vec\; x\_2=\backslash dotsb=\backslash vec\; x\_n=\backslash vec\; x\}\backslash mathrm\; d(x\_1)^\{i\_1\}\backslash wedge\backslash mathrm\; d(x\_2)^\{i\_2\}\backslash wedge\backslash dotsb\backslash wedge\backslash mathrm\; d(x\_n)^\{i\_n\}$

간단한 예시로, $\backslash mathbb\{Q\}$ 상의 $n$개의 생성원을 갖는 다항식 환의 호흐실트 호몰로지를 계산하는 것이 있다. HKR 정리는 다음과 같은 동형사상을 제공한다.

:$$HH\_*(\backslash mathbb\{Q\}[x\_1,\backslash ldots,\; x\_n])\; =\; \backslash mathbb\{Q\}[x\_1,\backslash ldots,\; x\_n]\backslash otimes\; \backslash Lambda(dx\_1,\backslash dotsc,\; dx\_n)$$

여기서 대수 $\backslash bigwedge(dx\_1,\backslash ldots,\; dx\_n)$는 $\backslash mathbb\{Q\}$ 상의 $n$개의 생성원을 갖는 자유 반대칭 대수이다. 곱 구조는 벡터의 쐐기곱에 의해 주어진다. 따라서 $i\; \backslash neq\; j$에 대해 다음이 성립한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
dx_i\cdot dx_j &= -dx_j\cdot dx_i \\
dx_i\cdot dx_i &= 0
\end{align}

4.3. 특성 p인 경우

특성 p인 가환 대수의 경우, 호흐실트-코스탄트-로젠버그 정리에 대한 반례가 존재한다. 예를 들어, $\backslash mathbb\{Z\}$-대수 $\backslash mathbb\{F\}\_p$를 생각해보자.

$\backslash mathbb\{F\}\_p$의 해상도를 자유 미분 등급 대수
$$\backslash mathbb\{Z\}\backslash xrightarrow\{\backslash cdot\; p\}\; \backslash mathbb\{Z\}$$
로 계산할 수 있다. 이는 유도된 교차 $\backslash mathbb\{F\}\_p\backslash otimes^\backslash mathbf\{L\}\_\backslash mathbb\{Z\}\backslash mathbb\{F\}\_p\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{F\}\_p[\backslash varepsilon]/(\backslash varepsilon^2)$를 주며, 여기서 $\backslash text\{deg\}(\backslash varepsilon)\; =\; 1$이고 미분은 0이다.

호흐실트 복소수는 다음과 같다.
$$\backslash mathbb\{F\}\_p\backslash otimes^\backslash mathbb\{L\}\_\{\backslash mathbb\{F\}\_p\backslash otimes^\backslash mathbb\{L\}\_\backslash mathbb\{Z\}\; \backslash mathbb\{F\}\_p\}\backslash mathbb\{F\}\_p$$

이를 계산하기 위해 대수 구조
$\backslash mathbb\{F\}\_p[\backslash varepsilon]/(\backslash varepsilon^2)\; \backslash to\; \backslash mathbb\{F\}\_p$
에서 $\backslash varepsilon\; \backslash mapsto\; 0$을 강제하여 복소수의 차수 0 항을 구한다. 이후 커널 $\backslash varepsilon\; \backslash cdot\; \backslash mathbb\{F\}\_p\backslash otimes^\backslash mathbf\{L\}\_\backslash mathbb\{Z\}\backslash mathbb\{F\}\_p$를 해상하여 분할 거듭제곱 대수의 기본 모듈을 얻는다.

$$(\backslash mathbb\{F\}\_p\backslash otimes^\backslash mathbf\{L\}\_\backslash mathbb\{Z\}\backslash mathbb\{F\}\_p)\backslash langle\; x\; \backslash rangle\; =$$
\frac{
(\mathbb{F}_p\otimes^\mathbf{L}_\mathbb{Z}\mathbb{F}_p)[x_1,x_2,\ldots]
}{x_ix_j = \binom{i+j}{i}x_{i+j}}

여기서 $dx\_i\; =\; \backslash varepsilon\backslash cdot\; x\_\{i-1\}$이고 $x\_i$의 차수는 $2i$이다. 이 대수를 $\backslash mathbb\{F\}\_p\backslash otimes^\backslash mathbf\{L\}\_\backslash mathbb\{Z\}\backslash mathbb\{F\}\_p$ 위에서 $\backslash mathbb\{F\}\_p$로 텐서 곱하면 다음을 얻는다.

$$HH\_*(\backslash mathbb\{F\}\_p)\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_p\backslash langle\; x\; \backslash rangle$$

이는 $\backslash varepsilon$가 $\backslash mathbb\{F\}\_p$의 모든 원소와 곱해지면 0이 되기 때문이다.

이러한 계산은 기술적인 인공물로 간주되는데, 링 $\backslash mathbb\{F\}\_p\backslash langle\; x\; \backslash rangle$가 제대로 동작하지 않기 때문이다 (예: $x^p\; =\; 0$). 이 문제에 대한 해결책으로 구 스펙트럼 $\backslash mathbb\{S\}$로 기본 링 $\backslash mathbb\{Z\}$를 대체하는 위상적 호흐실트 호몰로지를 사용하기도 한다.

5. 위상수학적 호흐실트 호몰로지

스펙트럼 범주에서 정의되는 호흐실트 호몰로지의 일반화를 위상적 호흐실트 호몰로지라고 하며, $THH(R)$로 표시된다. 호흐실트 복합체는 (복소수) $k$ 모듈 범주를 ∞-범주 $\backslash mathcal\{C\}$로 대체하고, $A$를 이 범주 내의 결합 대수로 대체하여 구성할 수 있다. 이 구성을 스펙트럼의 범주 $\backslash mathcal\{C\}=\backslash textbf\{Spectra\}$에 적용하고, $A$를 일반 링 $R$과 관련된 아이렌버그-맥레인 스펙트럼으로 설정하면 위상적 호흐실트 호몰로지가 생성된다.

구면 스펙트럼에 대한 텐서 곱을 $\backslash Z$ (또는 아이렌버그-맥레인 스펙트럼 $H\backslash Z$)에 대한 텐서 곱으로 대체하면 자연스러운 비교 사상 $THH(R)\; \backslash to\; HH(R)$이 발생한다. 이 사상은 차수 0, 1, 2에서 호모토피 군에 대한 동형 사상을 유도하지만, 일반적으로 이들은 다르며 $THH$는 HH보다 더 간단한 군을 생성하는 경향이 있다. 예를 들어, 한 변수의 분할된 거듭제곱 링과 비교하여 (차수 2의 x를 갖는) 다항식 링은 다음과 같다.

:$THH(\backslash mathbb\{F\}\_p)\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_p[x],$
:$HH(\backslash mathbb\{F\}\_p)\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_p\backslash langle\; x\; \backslash rangle$

Lars Hesselholt(2016)은 $\backslash mathbb\{F\}\_p$ 위의 매끄러운 고유 다양체의 하세-바일 제타 함수를 위상적 호흐실트 호몰로지와 관련된 정규화된 행렬식을 사용하여 표현할 수 있음을 보였다.

6. 역사

게르하르트 호흐실트가 1945년에 체 위의 결합 대수에 대하여 도입하였다. 이후 앙리 카르탕과 사무엘 에일렌베르크가 일반적인 가환환 위의 결합 대수에 대하여 정의하였다.