쌍대뿔

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1. 개요

쌍대뿔은 주어진 공간의 부분 집합에 대해 정의되는 개념으로, 집합의 모든 원소와 내적했을 때 특정 조건을 만족하는 원소들의 집합을 의미한다. 실수 내적 공간, 선형 공간, 위상 벡터 공간 등 다양한 공간에서 정의되며, 정의에 따라 쌍대뿔, 내부 쌍대뿔, 극뿔 등으로 불린다. 쌍대뿔은 항상 볼록뿔이며, 원래 집합이 뿔이 아니더라도 쌍대뿔은 뿔이 된다. 쌍대뿔은 포함 관계가 반대로 적용되며, 이중 쌍대뿔은 원래 집합을 포함한다. 자기 쌍대뿔은 내적을 적절히 정의했을 때 자신의 쌍대뿔과 같아지는 뿔을 의미하며, 대칭뿔과 밀접한 관련이 있다.

쌍대뿔

정의

쌍대뿔 (K*)	K* = { y ∈ X : ⟨x, y⟩ ≥ 0, ∀ x ∈ K }
극뿔 (K°)	K° = { y ∈ X : ⟨x, y⟩ ≤ 0, ∀ x ∈ K }

설명

쌍대뿔	주어진 벡터 공간 X의 부분 집합 K에 대해 정의됨. 쌍대뿔 K*는 K의 모든 원소와 양의 쌍대적 곱을 갖는 X의 모든 원소의 집합임.
극뿔	극뿔 K°는 K의 모든 원소와 음의 쌍대적 곱을 갖는 X의 모든 원소의 집합임. 즉, 극뿔은 쌍대뿔의 음수임: K° = -K*.

속성

닫힌 볼록뿔	쌍대뿔과 극뿔은 항상 닫힌 볼록뿔임.
쌍대	K가 X의 닫힌 볼록뿔이면, K의 쌍대뿔의 쌍대뿔은 K 자신임: (K) = K.
극뿔의 극뿔	K가 X의 닫힌 볼록뿔이면, K의 극뿔의 극뿔은 K 자신임: (K° )° = K.

예시

Rn의 양의 사분면	Rn의 양의 사분면의 쌍대뿔은 자기 자신임.
부분 공간	부분 공간 M의 쌍대뿔은 M에 직교하는 부분 공간임.
원뿔	원뿔의 쌍대뿔은 원뿔의 "반대쪽"을 가리킴.

활용

최적화	쌍대뿔과 극뿔은 최적화 문제, 특히 볼록 최적화 문제에서 중요한 역할을 함.
듀얼리티 이론	듀얼리티 이론은 주어진 최적화 문제를 쌍대 문제로 변환하여 원래 문제에 대한 해를 구하는 데 사용됨.

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 자기 쌍대뿔
6. 극뿔

2. 정의

쌍대뿔은 특정 벡터 공간의 부분 집합에 대해 정의되는 개념으로, 어떤 종류의 공간을 다루는지에 따라 정의가 달라진다. 예를 들어 실수 내적 공간, 일반적인 벡터 공간, 또는 위상 벡터 공간 등에서 각각 다른 방식으로 정의될 수 있다. 각 공간에서의 구체적인 정의는 하위 섹션에서 다룬다.

2.1. 실수 내적 공간에서의 쌍대뿔

실수 내적 공간 $(V, \langle ,\rangle)$ 가 주어졌다고 하자. $V$ 의 임의의 부분 집합 $C\subseteq V$ 의 쌍대뿔(dual cone) $C^\vee$ 는 $C$ 의 모든 원소 $c$ 에 대해 내적 $\langle c,v\rangle$ 이 0 이상이 되는 모든 원소 $v \in V$ 들의 집합이다. 수식으로는 다음과 같이 정의된다.
: $C^\vee = \{v\in V \colon \langle c,v\rangle \ge 0 \;\forall c\in C\}$

특히 실수 힐베르트 공간 $X$ (예: 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 에 유클리드 내적을 부여한 경우)의 맥락에서는 쌍대뿔을 다음과 같이 정의하며, 이를 내적 쌍대뿔(internal dual cone)이라고도 부른다.
: $C^* := \left \{y\in X: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C \right \}.$
이 정의에서 $C$ 가 볼록 집합이나 선형뿔이 아니더라도, 쌍대뿔 $C^*$ 는 항상 볼록뿔이다.

만약 $C$ 가 뿔(cone)이라면, 내적 쌍대뿔 $C^*$ 는 다음과 같은 성질들을 만족한다.
* 영벡터가 아닌 벡터 $y$ 가 $C^*$ 에 포함되기 위한 필요충분 조건은, $y$ 가 원점에서 $C$ 의 지지 초평면의 법선 벡터이고, $y$ 와 $C$ 가 그 지지 초평면에 대해 같은 쪽에 위치하는 것이다.
* $C^*$ 는 폐집합인 볼록 집합이다.
* 만약 $C_1 \subseteq C_2$ 이면, $C_2^* \subseteq C_1^*$ 이다.
* 만약 $C$ 의 내부가 비어 있지 않다면, $C^*$ 는 첨점 집합(pointed set)이다. 즉, $C^*$ 는 그 내부에 직선을 포함하지 않는다.
* 만약 $C$ 가 뿔이고 $C$ 의 폐포가 첨점 집합이면, $C^*$ 의 내부는 비어 있지 않다.
* $C^{**} = (C^*)^*$ 는 $C$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 볼록뿔이다. 이는 초평면 분리 정리의 결과이다.

2.2. 벡터 공간에서의 쌍대뿔

실수에 대한 선형 공간 $X$ 의 부분 집합 $C$ 가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 $X^*$ 에서 $C$ 의 쌍대뿔 $C^*$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $C^* = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C \right \}$

여기서 $\langle y, x \rangle$ 는 $X$ 와 $X^*$ 사이의 쌍대성을 나타내며, 구체적으로 $\langle y, x \rangle = y(x)$ 이다. 이 정의는 $X$ 가 유클리드 공간 Rⁿ과 같은 위상적 쌍대를 갖는 경우에도 동일하게 적용된다.

쌍대뿔 $C^*$ 는 원래 집합 $C$ 가 볼록 집합이거나 뿔이 아니더라도 항상 볼록뿔이라는 중요한 성질을 가진다.

한편, 실수 힐베르트 공간 (예: 유클리드 내적을 갖는 Rⁿ)에서는 쌍대뿔을 다음과 같이 정의하기도 하며, 이를 종종 내적 쌍대뿔(internal dual cone)이라고 부른다.

: $C^*_\text{internal} := \left \{y\in X: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C \right \}$

이 정의에서 $\langle y, x \rangle$ 는 해당 힐베르트 공간의 내적을 의미한다.

내적 쌍대뿔의 정의를 사용할 때, 만약 $C$ 가 뿔이라면 다음과 같은 성질들이 성립한다.

* 영벡터가 아닌 벡터 $y$ 가 $C^*$ 에 속할 필요충분조건은 다음 두 가지를 모두 만족하는 것이다.
1. $y$ 는 $C$ 의 지지 초평면에 대한 원점에서의 법선 벡터이다.
2. $y$ 와 $C$ 는 그 지지 초평면의 같은 쪽에 위치한다.
* $C^*$ 는 닫힌 볼록 집합이다.
* 만약 $C_1 \subseteq C_2$ 이면, $C_2^* \subseteq C_1^*$ 관계가 성립한다.
* $C$ 의 내부가 비어 있지 않다면, $C^*$ 는 첨점 집합(pointed set)이다. 즉, $C^*$ 는 내부에 직선을 포함하지 않는다.
* $C$ 가 뿔이고 $C$ 의 폐포(closure)가 첨점 집합이면, $C^*$ 의 내부는 비어 있지 않다.
* $C^{**}$ (쌍대뿔의 쌍대뿔)는 $C$ 를 포함하는 가장 작은 볼록뿔이다. 이는 분리 초평면 정리의 결과이다.

2.3. 위상 벡터 공간에서의 쌍대뿔

만약 X가 실수 또는 복소수에 대한 위상 벡터 공간이라면, 집합 C ⊆ X의 쌍대뿔은 X상의 연속 선형 범함수의 다음 집합이다.

: $C^{\prime} := \left\{ f \in X^{\prime} : \operatorname{Re} \left( f (x) \right) \geq 0 \text{ for all } x \in C \right\}$

이는 집합 -C의 극집합이다.
C가 어떤 집합이든 쌍대뿔 $C^{\prime}$ 는 볼록뿔이 된다.
만약 C ⊆ {0}이면, 즉 C가 영벡터만을 포함하거나 공집합이면, $C^{\prime} = X^{\prime}$ 이다. 여기서 $X^{\prime}$ 는 X의 연속 쌍대 공간을 의미한다.

2.4. 힐베르트 공간에서의 쌍대뿔 (내부 쌍대뿔)

실수 힐베르트 공간 (예: 유클리드 내적을 갖춘 Rⁿ)의 맥락에서는 쌍대뿔을 다음과 같이 정의하기도 하며, 이를 내부 쌍대뿔(internal dual cone) 또는 내적 쌍대뿔이라고 부른다.

: $C^*_\text{internal} := \left \{y\in X: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C \right \}.$

이 정의에 따르면, C가 뿔일 때 다음과 같은 성질들이 성립한다.

* 0이 아닌 벡터 y가 C*에 포함되기 위한 필요충분 조건은, y가 C의 지지 초평면(supporting hyperplane)의 원점에서의 법선 벡터이고, y와 C가 그 지지 초평면의 같은 쪽에 있는 것이다.
* C*는 닫힌 볼록 집합이다.
* C₁ ⊆ C₂ 이면 $C_2^* \subseteq C_1^*$ 이다.
* C의 내부가 비어 있지 않으면, C*는 첨점 집합이다. 즉, C*는 그 내부에 직선을 포함하지 않는다.
* C가 뿔이고, C의 폐포가 첨점 집합이면, C*의 내부는 비어 있지 않다.
* C**는 C를 포함하는 가장 작은 볼록뿔이다 (이는 분리 초평면 정리의 결과이다).

3. 성질

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 부분 집합 $C\subseteq V$ 에 대하여, 그 쌍대뿔 $C^* \subseteq V$ 는 다음과 같은 성질을 가진다.

* 쌍대뿔 $C^*$ 는 항상 뿔이며, 볼록 집합이고, 닫힌 집합이다. 이는 원래 집합 $C$ 가 뿔이나 볼록 집합이 아니더라도 성립한다.
* 포함 관계가 반대로 적용된다. 즉, 실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 두 부분 집합 $C_1, C_2 \subseteq V$ 에 대하여, 만약 $C_1 \subseteq C_2$ 라면, $C_2^* \subseteq C_1^*$ 이다.
* $C$ 의 이중 쌍대뿔 $C^{$ }는 항상 원래 집합 $C$ 를 포함한다. 즉, $C^{$ }\supseteq C이다.
* $C^{**}$ 는 $C$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 볼록뿔이다. 이는 초평면 분리 정리의 결과이다.
* 만약 $C$ 가 비어있지 않은 내부(interior)를 가지면, 쌍대뿔 $C^*$ 는 뾰족하다(pointed). 즉, $C^*$ 는 원점을 지나는 어떤 직선도 부분 집합으로 포함하지 않는다 ( $x \in C^*$ 이고 $-x \in C^*$ 이면 $x=0$ 이다).
* 만약 $C$ 가 뿔이고 $C$ 의 폐포(closure)가 뾰족하면, 쌍대뿔 $C^*$ 는 비어있지 않은 내부를 갖는다.
* 쌍대뿔은 지지 초평면(supporting hyperplane)과 밀접한 관련이 있다. 영벡터가 아닌 벡터 $y$ 가 쌍대뿔 $C^*$ 에 속하기 위한 필요충분조건은, $y$ 가 원점에서 $C$ 의 어떤 지지 초평면에 대한 법선 벡터이고, 동시에 $y$ 와 $C$ 가 그 지지 초평면의 같은 쪽에 위치하는 것이다. 이는 기하학적으로 쌍대뿔의 원소가 원래 뿔을 '지지하는' 방향을 나타낸다고 해석할 수 있으며, 고등학교 수학 과정에서 배우는 평면 또는 공간 벡터의 법선 벡터 개념과 연결하여 이해할 수 있다.

4. 예시

실수 내적 공간 $V$ 가 주어졌다고 하자.
* 공집합 $\varnothing\subseteq V$ 의 쌍대뿔은 $\varnothing^\vee = V$ 이다.
* 영벡터만을 원소로 가지는 집합 $\{0\}\subseteq V$ 의 쌍대뿔은 $\{0\}^\vee = V$ 이다.
* 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 의 쌍대뿔은 $W^\vee = \operatorname{cl}W$ 이다. ( $\operatorname{cl}W$ 는 $W$ 의 폐포)
* 전체 공간 $V\subseteq V$ 의 쌍대뿔은 $V^\vee = \{0\}$ 이다.

5. 자기 쌍대뿔

벡터 공간 X의 뿔 C는 X에 내적 ⟨⋅,⋅⟩을 적절히 정의했을 때, 그 내적에 대한 내부 쌍대뿔이 C 자신과 같아지면 자기 쌍대(self-dual)라고 한다.

실수 힐베르트 공간에서 내부 쌍대뿔을 쌍대뿔로 정의하는 일부 연구자들은, 뿔이 자신의 내부 쌍대뿔과 같을 때 자기 쌍대라고 정의하기도 한다. 이는 내적의 변경을 허용하는 위의 정의와는 약간 다르다. 예를 들어, 내적 변경을 허용하는 정의에 따르면 타원형 밑면을 가진 Rⁿ의 뿔은 자기 쌍대이다. 왜냐하면 내적을 변경하여 밑면을 구형으로 만들 수 있고, Rⁿ에서 구형 밑면을 가진 뿔은 자신의 내부 쌍대뿔과 같기 때문이다.

자기 쌍대뿔의 대표적인 예는 다음과 같다.
* Rⁿ의 비음 사분면
* 모든 양의 반정부호 행렬(positive semidefinite matrices)의 공간
* 타원형 밑면을 가진 뿔 (종종 구형 뿔, 로렌츠 뿔, 또는 "아이스크림 뿔"이라고도 불림)
* 꼭짓점 수가 홀수인 정다각형의 볼록 껍질을 밑면으로 하는 R³의 모든 뿔
* 밑면이 "집" 모양(정사각형과, 정사각형의 한 변에 붙어있는 정삼각형의 볼록 껍질)인 R³의 뿔

6. 극뿔

닫힌 볼록뿔 C의 극뿔은 닫힌 볼록뿔 Co이며, 그 역도 성립한다. — 닫힌 볼록뿔 C의 극뿔은 닫힌 볼록뿔 *C^o*이며, 그 역도 성립한다.

X에 있는 집합 C에 대해, C의 극뿔은 C의 모든 원소 x와의 내적 `

\langle y , x \rangle

`이 0 이하가 되는 모든 원소 y들의 집합으로 정의된다. 수학적으로는 다음과 같이 표현한다.

:

C^o = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \leq 0 \quad \forall x\in C \right \}.

극뿔 C^o는 쌍대뿔 C*의 음수와 같다. 즉, C^o = −C*이다.

X에 있는 닫힌 볼록뿔 C의 경우, 극뿔은 C의 극집합과 동일하다.