아르프 불변량

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. F₂의 경우의 정의
- 2.2. 일반적인 정의
3. 성질
4. 역사
5. 응용
참조

1. 개요

아르프 불변량은 표수 2의 체 K에 대한 이차 형식에 대해 정의되며, 쌍선형 형식의 비특이성을 통해 유도되는 불변량이다. 이 불변량은 이차 형식의 동치류를 구별하는 데 사용되며, 특히 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식에 대한 아르프 불변량은 0 또는 1의 값을 갖는다. 아르프 불변량은 두 이차 형식의 직교 합에 대해 가법적이며, 매듭 이론, 4차원 다양체 분류, 위상수학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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아르프 불변량
일반 정보
이름	아르프 불변량
로마자 표기	Arupeu bulbyeonnyang
영어 이름	Arf invariant
분야
분야	수학, 특히 대수적 위상수학
세부 분야	매듭 이론
역사
창시자	자히트 아르프
창시 연도	1941년
관련 개념
관련 개념	이차 형식 클리포드 대수

2. 정의

아르프 불변량은 표수가 2인 체 ''K''에 대한 이차 형식 ''q''에 대해 정의된다. 이때, ''b(u,v) = q(u+v) - q(u) - q(v)''로 정의되는 연관된 쌍선형 형식은 비퇴화이며, ''K''의 표수가 2이므로 교대 형식이 된다. 이러한 성질 때문에 표수가 2인 체에서 비특이 이차 형식은 항상 짝수 차원을 갖는다.

''K'' 위에서의 모든 이진(2차원) 비특이 이차 형식은 $q(x,y) = ax^2 + xy + by^2$ ( $a$ , $b$ 는 ''K''의 원소) 형태와 동등하다. 아르프 불변량은 이 형식에서 $ab$ 곱으로 정의된다. 만약 $q'(x,y) = a'x^2 + xy + b'y^2$ 형식이 $q(x,y)$ 와 동등하다면, $ab$ 와 $a'b'$ 는 ''K''의 원소 $u$ 에 대한 $u^2 + u$ 형태의 원소만큼 차이가 난다. 이러한 원소들은 ''K''의 덧셈 부분군 ''U''를 형성한다. 따라서 $ab$ 를 ''U''로 나눈 잉여류가 ''q''의 불변량이 된다.

''K''에서의 모든 비특이 이차 형식 ''q''는 비특이 이진 형식의 직접 합( $q = q_1 + \cdots + q_r$ )과 동등하며, 아르프 불변량 Arf( $q$ )는 각 $q_i$ 의 아르프 불변량의 합으로 정의된다. 이는 ''K''를 ''U''로 나눈 잉여류이다. 아르프는^[1] Arf( $q$ )가 $q$ 의 불변량임을 보였다.

아르프 불변량은 가법적이다. 즉, 두 이차 형식의 직교 합의 아르프 불변량은 각 아르프 불변량의 합과 같다.

표수가 2인 체 ''K''에서, 아르틴-슈라이어 이론은 ''U''로 ''K''를 나눈 몫군을 갈루아 코호몰로지 군 ''H''¹(''K'', '''F'''₂)와 동일시한다. 이는 ''K''/''U''의 0이 아닌 원소가 ''K''의 분리 가능 이차 확대 체와 일대일 대응됨을 의미한다. 따라서 ''K''에 대한 비특이 이차 형식의 아르프 불변량은 0이거나, ''K''의 분리 가능 이차 확대체를 나타낸다. 이는 표수가 2가 아닌 체 ''F''에서 비특이 이차 형식의 판별식과 유사한데, 판별식은 ''F''^*/(''F''^*)²의 값을 가지며, 쿠머 이론에 의해 ''H''¹(''F'', '''F'''₂)와 동일시될 수 있다.

2. 1. F₂의 경우의 정의

\mathbb F_2

(유한체) 위의 벡터 공간에서 정의되는 아르프 불변량은 다음과 같다.

유한 차원

\mathbb F_2

-벡터 공간

V

와

V

위의 비퇴화 이차 형식

Q\colon V\to K

가 주어졌을 때, 항상 다음이 성립한다.

:

|\{v\in V\colon Q(v) = 0\}| \ne |\{v\in V\colon Q(v) = 1\}|

이때,

Q

의 아르프 불변량은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Arf}(Q) =\begin{cases}0 & |\{v\in V\colon Q(v) = 0\}| > |\{v\in V\colon Q(v) = 1\}| \\1 & |\{v\in V\colon Q(v) = 0\}| < |\{v\in V\colon Q(v) = 1\}| \\\end{cases}\in\mathbb F_2

즉,

Q(v) = 0

인

v

의 개수가 더 많으면 아르프 불변량은 0이고,

Q(v) = 1

인

v

의 개수가 더 많으면 아르프 불변량은 1이다.

아르프 불변량은 표수 2의 체에서 정의되는 이차 형식의 불변량으로, 특히 '''F'''₂의 경우, 이차 형식이 이진 형식

xy

의 직접 합과 동치이면 0이고,

x^2+xy+y^2

와 몇 개의

xy

사본의 직접 합이면 1이다.

윌리엄 브라우더는 아르프 불변량을 ''민주적 불변량''이라고 불렀는데^[3], 이는 이차 형식이 가장 자주 취하는 값이기 때문이다.^[4]

2. 2. 일반적인 정의

표수 2의 체

K

위의 유한 차원 벡터 공간

V

에 대한 이차 형식

Q\colon V\to K

가 주어졌을 때,

Q

는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

:

Q = \sum_{i = 1}^{\lfloor n/2\rfloor } a_i x_{2i}^2 + x_{2i} x_{2i+1} + b_i x_{2i+1}^2

여기서

(x_1,x_2,\dotsc,x_n)

는

V

의 기저이고,

a_1,\dots,a_{\lfloor n/2\rfloor},b_1,\dots,b_{\lfloor n/2\rfloor}\in K

이다. 만약

V

가 비특이 이차 형식이면

n

은 항상 짝수이다.

이때,

\sum_{i=0}^{\lfloor n/2\rfloor} a_ib_i

값은 선택한 기저에 따라 달라지지만, 다른 기저를 선택했을 때의 값은

\{a^2+a\colon a\in K\}

의 원소만큼 차이가 난다. 이 집합은

K

의 덧셈 부분군을 이룬다.

따라서, 덧셈 아벨 군

(K,+)/\{a^2+a\colon a\in K\}

에서 취한 이 합은

Q

의 불변량이 되며, 이를

Q

의 '''아르프 불변량'''이라고 한다.

특히,

K=\mathbb F_2

(원소가 2개인 유한체)일 경우,

\{a^2+a\colon a\in\mathbb F_2\} = \{0\}

이므로 아르프 불변량은

\mathbb F_2

의 원소가 된다.

아르프 불변량은 표수 2의 체 ''K''에 대한 이차 형식 ''q''에 대해 정의되며,

b(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)

로 정의되는 쌍선형 형식은 비퇴화이다. 형식

b

는 ''K''의 표수가 2이므로 교대이며, 따라서 표수 2에서 비특이 이차 형식은 짝수 차원을 갖는다.

''K''에 대한 모든 이진(2차원) 비특이 이차 형식은

a, b

가 ''K''에 속하는 형식

q(x,y)= ax^2 + xy +by^2

와 동등하다. 이때 아르프 불변량은 곱

ab

로 정의된다. 만약 다른 형식

q'(x,y)=a'x^2 + xy+b'y^2

이

q(x,y)

와 동등하다면, 곱

ab

와

a'b'

는 ''K''에 있는

u

에 대한 형식

u^2+u

의 원소만큼 차이가 난다. 이러한 원소들은 ''K''의 덧셈 부분군 ''U''를 형성한다. 따라서

ab

모듈로 ''U''의 잉여류는

q

의 불변량이 된다.

''K''에 대한 모든 비특이 이차 형식

q

는 비특이 이진 형식의 직접 합

q = q_1 + \cdots + q_r

과 동등하다. 아르프 불변량 Arf(

q

)는

q_i

의 아르프 불변량의 합으로 정의되며, 이는 ''K'' 모듈로 ''U''의 잉여류이다. 아르프는^[1] Arf(

q

)가

q

의 불변량임을 보였다.

아르프 불변량은 가법적이다. 즉, 두 이차 형식의 직교 합의 아르프 불변량은 그들의 아르프 불변량의 합이다.

표수 2의 체 ''K''에 대해, 아르틴-슈라이어 이론은 부분군 ''U''로 ''K''를 나눈 몫군을 갈루아 코호몰로지 군 ''H''¹(''K'', '''F'''₂)와 동일시한다. 즉, ''K''/''U''의 비영 원소는 ''K''의 분리 가능 이차 확대 체와 일대일 대응을 이룬다. 따라서 ''K''에 대한 비특이 이차 형식의 아르프 불변량은 0이거나 ''K''의 분리 가능 이차 확대 체를 설명한다. 이는 표수가 2가 아닌 체 ''F''에 대한 비특이 이차 형식의 판별식과 유사하며, 판별식은 ''F''^*/(''F''^*)²에서 값을 가지며, 이는 쿠머 이론에 의해 ''H''¹(''F'', '''F'''₂)와 동일시될 수 있다.

3. 성질

$K$ 가 표수 2인 완전체일 때, $K$ 위의 유한 차원 비특이 이차 형식의 동형류들은 항상 그 차원과 아르프 불변량에 의하여 완전히 결정된다. 그러나 완전체가 아닌 경우에는 일반적으로 성립하지 않는다.^[1]

아르프 불변량은 가법적이다. 즉, 두 이차 형식의 직교합의 아르프 불변량은 그들의 아르프 불변량의 합이다.

아르틴-슈라이어 이론은 ''K''를 부분군 ''U''로 나눈 몫군을 갈루아 코호몰로지 군 ''H''¹(''K'', '''F'''₂)와 동일시한다. 즉, ''K''/''U''의 0이 아닌 원소는 ''K''의 분리 가능 이차 확대 체와 일대일 대응을 이룬다. 따라서 ''K''에 대한 비특이 이차 형식의 아르프 불변량은 0이거나 ''K''의 분리 가능 이차 확대 체를 설명한다. 이는 표수가 2가 아닌 체 ''F''에 대한 비특이 이차 형식의 판별식과 유사하다. 그 경우, 판별식은 ''F''^*/(''F''^*)²에서 값을 가지며, 이는 쿠머 이론에 의해 ''H''¹(''F'', '''F'''₂)와 동일시될 수 있다.

만약 체 ''K''가 완전체라면, ''K'' 위의 모든 비특이 이차 형식은 차원과 아르프 불변량에 의해 (동치까지) 유일하게 결정된다. 특히, 이는 체 '''F'''₂에서 성립한다. 이 경우, 부분군 ''U''는 0이고, 따라서 아르프 불변량은 기저 체 '''F'''₂의 원소이며, 0 또는 1이다.

만약 표수 2인 체 ''K''가 완전체가 아니라면 (즉, ''K''가 제곱의 부분체 ''K''²와 다르다면), 클리포드 대수는 이차 형식의 또 다른 중요한 불변량이다. 아르프의 원래 진술에 대한 수정된 버전은 차수 [''K'': ''K''²]가 2 이하이면, ''K'' 위의 모든 이차 형식은 차원, 아르프 불변량 및 클리포드 대수에 의해 완전히 특징지어진다는 것이다.^[2]

'''F'''₂에서, 아르프 불변량은 이차 형식이 이진 형식 $xy$ 의 직접 합과 동치일 경우 0이고, 형식은 $x^2+xy+y^2$ 와 몇 개의 $xy$ 사본의 직접 합일 경우 1이다.

윌리엄 브라우더는 아르프 불변량을 ''민주적 불변량''이라고 불렀는데,^[3] 이는 이차 형식이 가장 자주 취하는 값이기 때문이다.^[4]

4. 역사

자히트 아르프가 1941년에 도입하였다.^[5]^[6]^[7] 아르프는^[1] $\operatorname{Arf}(q)$ 가 동등한 이차 형식으로 대체되어도 변경되지 않음을 보였다. 표수 2의 유한체의 경우, 이 내용은 딕슨에 의해 더 일찍 관찰되었다.

5. 응용

아르프 불변량은 매듭 이론과 $4k+2$ 꼴의 차원을 갖는 매끄러운 다양체 분류에 사용된다.

매듭 이론에서의 활용은 하위 섹션에서 이미 다루어졌으므로, 여기서는 4차원 다양체와 위상수학적 측면, 특히 수술 이론에서의 응용을 간략하게 언급한다.

5. 1. 매듭 이론

매듭 이론에서 아르프 불변량은 Seifert 곡면을 통해 정의된다. 아르프 불변량은 Seifert 곡면의 선택과 무관하며(S-동치, 튜브 추가/제거의 기본 수술 변경은

H^{0,0}

직합을 추가/삭제함), 따라서 매듭 불변량이다. 또한 연결합에 따라 가산적이며, 절편 매듭에서는 0이 되므로 매듭 일치 불변량이다.

(M^2,\partial M) \subset S^3

을 매듭의 Seifert 곡면으로 하자.

\partial M = K : S^1 \hookrightarrow S^3

이며, 이는 밴드가 부착된 디스크

D^2

로 표현할 수 있다. 밴드는 일반적으로 꼬이고 매듭이 져 있을 것이다. 각 밴드는 생성자

x \in H_1(M;\Z_2)

에 해당하며,

x

는 밴드 중 하나를 가로지르는 원으로 표현될 수 있다. 이때,

\mu(x)

는 밴드의 전체 꼬임 횟수를 2로 나눈 나머지로 정의한다.

S^3

이

D^4

를 경계로 하고, Seifert 곡면

M

을

D^4

로 밀어 넣어 경계가 여전히

S^3

에 있도록 하자. 임의의 생성자

x \in H_1(M,\partial M)

주위에는 이제 자명한 법선 3-평면 벡터 다발이 존재한다. 필요한 두 개의 단면에 대해

M \hookrightarrow D^4

매장의 법선 다발의 자명한 프레이밍을 사용하여 자명화한다. 세 번째 단면의 경우,

x

에 수직으로 유지되면서 항상

M

에 접하는 단면을 선택한다. 이 자명화는 다시

\pi_1(SO(3))

의 원소를 결정하며, 이를

\mu(x)

로 정의한다. 이는

\mu

의 이전 정의와 일치한다.

5. 2. 4차원 다양체

매듭 이론에서, 4차원 다양체는 아르프 불변량이 사용되는 중요한 공간이다.

프레임된 곡면의 아르프 불변량

\Phi(M)

은 경계가 주어진 프레이밍을 확장하는 3차원 다양체의 존재 여부를 알려준다. 예를 들어, 토러스

T^2

는

H^{1,1}

이 경계를 이루지 않기 때문에, 두 생성자 모두에서 꼬임이 홀수인 자명화를 갖는다. 원 위의 자명한 3-평면 다발은 호모토피까지 두 가지 선택이 있는데, 이는

\pi_1(SO(3))

의 두 원소에 해당한다. 이 중 홀수 번 꼬임(Lie 군 프레이밍)은 디스크를 가로질러 확장되지 않지만, 짝수 번 꼬임은 확장된다. 이는 곡면에 스핀 구조를 적용하는 것과 관련이 있다. 폰트랴긴은 프레임된 곡면의 아르프 불변량을 사용하여 2차원 프레임된 코보디즘 그룹

\Omega^\text{framed}_2 \cong \pi_m(S^{m-2}) \, (m \geq 4) \cong \Z_2

를 계산했으며, 이는 Lie 군 프레이밍을 갖는 토러스

T^2

에 의해 생성된다. 여기서 동형은 Pontrjagin-Thom 구성을 통해 얻어진다.

Seifert 곡면

(M^2,\partial M) \subset S^3

을 생각해보자. 여기서

\partial M = K : S^1 \hookrightarrow S^3

이며, 이는 밴드가 부착된 디스크

D^2

로 나타낼 수 있다. 각 밴드는

H_1(M;\Z_2)

의 생성자

x

에 해당하며, 밴드를 가로지르는 원으로 표현할 수 있다. 이때,

\mu(x)

는 밴드의 전체 꼬임 횟수를 2로 나눈 나머지로 정의된다. Seifert 곡면

M

을

D^4

로 밀어 넣어 경계가

S^3

에 있도록 하면, 임의의 생성자

x \in H_1(M,\partial M)

주위에 자명한 법선 3-평면 벡터 다발이 생긴다. 자명화는

\pi_1(SO(3))

의 원소를 결정하며, 이를

\mu(x)

로 정의한다.

매듭의 아르프 불변량은 Seifert 곡면을 통해 정의되며, Seifert 곡면의 선택과 무관하다. 이는 매듭 불변량이며, 연결합에 대해 가산적이고, 절편 매듭에서는 0이 되므로 매듭 일치 불변량이다.

(2''k'' + 1)차원

\Z_2

계수 호몰로지

H_{2k+1}(M;\Z_2)

에는 교차 형식이 존재하며, 프레임된 (4''k'' + 2)차원 다양체 ''M''은 프레이밍에 의존하는 2차 개선

\mu

를 갖는다.

k \neq 0,1,3

일 때,

x \in H_{2k+1}(M;\Z_2)

가 매장

x\colon S^{2k+1}\subset M

으로 표현되면,

\mu(x)\in \Z_2

는

x

의 법선 다발의 자명성 여부에 따라 결정된다. 프레임된 (4''k'' + 2)차원 다양체 ''M''의 Kervaire 불변량은

H_{2k+1}(M;\Z_2)

에 대한 2차 개선

\mu

의 Arf 불변량이다. 이는 (4''k'' + 2)차원 구의 안정된 호모토피 군에 대한 사상

\pi_{4k+2}^S \to \Z_2

이다.

수술 이론에서 모든 4k+2차원 정규 맵

(f,b):M \to X

에 대해

\Z_2

계수 호몰로지 커널에 대한 비특이 2차 형식

(K_{2k+1}(M;\Z_2),\mu)

이 정의된다.

:

K_{2k+1}(M;\Z_2)=ker(f_*:H_{2k+1}(M;\Z_2)\to H_{2k+1}(X;\Z_2))

이는 호몰로지 교차 형식

\lambda

를 개선한다. 이 형식의 Arf 불변량은 (''f'',''b'')의 Kervaire 불변량이다.

X=S^{4k+2}

인 경우, 이는 ''M''의 Kervaire 불변량이다. Michel Kervaire와 John Milnor의 이국적인 구 분류와 수술 이론에 의한 다양체 분류에서 Kervaire 불변량이 나타난다. William Browder는 Steenrod square 함수를, C. T. C. Wall은 프레임된 침입을 사용하여

\mu

를 정의했다. 2차 개선

\mu(x)

는

\lambda(x,x)

보다 더 많은 정보를 제공하며,

\mu(x)=0

인 경우에만 수술로 ''x''를 제거할 수 있다. 해당 Kervaire 불변량은 L-군

L_{4k+2}(\Z)=\Z_2

에서

(f,b)

의 수술 방해를 감지한다.

5. 3. 위상수학

매듭 이론과 4k+2 차원 매끄러운 다양체 분류에 아르프 불변량이 등장한다.

경계 ∂''M''을 갖는 콤팩트하고 연결된 2''k''차원 다양체 ''M''에 대해, Z₂ 계수 호몰로지에서의 유도 사상

:

H_k(M,\partial M;\Z_2) \to H_{k-1}(\partial M;\Z_2), \quad H_k(\partial M;\Z_2) \to H_k(M;\Z_2)

가 모두 0이라고 가정한다(예를 들어 ''M''이 닫혀 있는 경우). 교차 형식

:

\lambda : H_k(M;\Z_2)\times H_k(M;\Z_2)\to \Z_2

는 비특이적이다. (위상수학자들은 일반적으로 '''F'''₂를 Z₂로 표기한다.) λ에 대한 이차적 개선은 다음을 만족하는 함수 μ : H_k(M;Z₂) → Z₂이다.

:

\mu(x+y) + \mu(x) + \mu(y) \equiv \lambda(x,y) \pmod 2 \; \forall \,x,y \in H_k(M;\Z_2)

{x,y}를 λ(x,y) = 1을 만족하는 H_k(M;Z₂)의 2차원 부분 공간이라고 할 때, μ(x+y), μ(x), μ(y)가 모두 1이거나, 그 중 하나만 1이고 나머지 두 개는 0인 두 가지 경우가 있을 수 있다. 전자를 H^1,1, 후자를 H^0,0라고 부른다. 모든 형식이 심플렉틱 형식과 동치이므로 항상 ''x''와 ''y''가 λ-쌍대인 부분 공간 {x,y}를 찾을 수 있다. 따라서 H_k(M;Z₂)를 H^0,0 또는 H^1,1에 동형인 부분 공간의 직합으로 분해할 수 있다. 또한, H^0,0 ⊕ H^0,0 ≅ H^1,1 ⊕ H^1,1 이므로 아르프 불변량을 다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname{Arf}(H_k(M;\Z_2);\mu) = (\text{분해에서 } H^{1,1} \text{의 복사본 수 mod 2}) \in \Z_2.

경계 ∂''M''이 비어있거나 연결되어 있는, 방향가능한 2차원 다양체 즉, 곡면으로 ''g'' 종수를 갖는 조밀하고 연결된 다양체 ''M''을 매장시키자.(m ≥ 4) ''M''의 프레임, 즉 법선 (''m'' − 2) 평면 벡터 다발의 자명화를 선택한다. (m =3에 대해 가능하며, 따라서 m ≥ 4에 대해 확실히 가능하다.) H₁(M)=Z^2g에 대한 심플렉틱 기저 x₁, x₂, ……, x_2g-1,x_2g를 선택한다. 각 기저 요소는 매장된 원 x_i:S¹ ⊂ M로 표현된다. S¹ ⊂ M ⊂ S^m의 법선 (''m'' − 1) 평면 벡터 다발은 두 개의 자명화를 가지는데, 하나는 표준 매장 S¹ ⊂ S^m의 표준 프레이밍에 의해, 다른 하나는 ''M''의 프레이밍에 의해 결정되며, 이는 맵 S¹ → SO(m-1), 즉 m ≥ 4에 대해 π₁(SO(m-1)) ≅ Z₂의 원소에 의해 다르다. 이는 또한 Ω^framed₁ ≅ π_m(S^m-1) (m ≥ 4) ≅ Z₂인 1차원 프레임 코보디즘 그룹에서 이 프레이밍을 갖는 S¹의 프레임 코보디즘 클래스로 볼 수 있으며, 이는 Lie 군 프레이밍을 갖는 원 S¹에 의해 생성된다. 여기서의 동형성은 Pontrjagin-Thom 구성을 통해 이루어진다. 이 원소를 μ(x)∈ Z₂로 정의한다. 이제 프레임된 곡면의 Arf 불변량은 다음과 같이 정의된다.

::

\Phi(M) = \operatorname{Arf}(H_1(M,\partial M;\Z_2);\mu) \in \Z_2

::

\pi_1(SO(2)) \cong \Z

이므로, Z₂의 원소를 얻기 위해 ''m''을 최소 4로 하여 안정화해야 했다. 프레이밍을 2로 나눈 나머지를 취하는 한, m=3인 경우도 허용된다.

프레임된 곡면의 Arf 불변량 Φ(M)은 경계가 주어진 프레이밍을 확장하는 주어진 곡면인 3차원 다양체가 있는지 감지한다. H^1,1이 경계를 이루지 않기 때문이다. H^1,1은 H₁(T²;Z₂)의 두 생성자 모두에서 꼬임이 홀수 번인 자명화를 갖는 토러스 T²를 나타낸다. 호모토피까지 원 위의 자명한 3-평면 다발의 두 가지 선택이 있으며, 이는 π₁(SO(3))의 두 원소에 해당한다는 것이 핵심이다. Lie 군 프레이밍으로 알려진 홀수 번의 꼬임은 디스크를 가로질러 확장되지 않지만, 짝수 번의 꼬임은 확장된다. (이것은 우리의 곡면에 스핀 구조를 적용하는 것에 해당한다.) Pontrjagin은 프레임된 곡면의 Arf 불변량을 사용하여 2차원 프레임된 코보디즘 그룹 Ω^framed₂ ≅ π_m(S^m-2) (m ≥ 4) ≅ Z₂를 계산했는데, 이는 Lie 군 프레이밍을 갖는 토러스 T²에 의해 생성된다. 여기서의 동형성은 Pontrjagin-Thom 구성을 통해 이루어진다.

(M²,∂M) ⊂ S³을 매듭의 Seifert 곡면이라고 하자. ∂M = K : S¹ ↪ S³이며, 밴드가 부착된 디스크 D²로 표현할 수 있다. 밴드는 일반적으로 꼬이고 매듭이 져 있을 것이다. 각 밴드는 생성자 x ∈ H₁(M;Z₂)에 해당한다. ''x''는 밴드 중 하나를 가로지르는 원으로 표현될 수 있다. μ(x)를 밴드의 전체 꼬임 횟수를 2로 나눈 나머지로 정의한다. S³이 D⁴를 경계로 하고, Seifert 곡면 ''M''을 D⁴로 밀어 넣어 경계가 여전히 S³에 있도록 하자. 임의의 생성자 x ∈ H₁(M,∂M) 주위에는 이제 자명한 법선 3-평면 벡터 다발이 있다. 필요한 두 개의 단면에 대해 M hookrightarrow D⁴ 매장의 법선 다발의 자명한 프레이밍을 사용하여 자명화한다. 세 번째 단면의 경우, ''x''에 수직으로 유지되면서 항상 ''M''에 접하는 단면을 선택한다. 이 자명화는 다시 π₁(SO(3))의 원소를 결정하며, 이를 μ(x)로 한다. 이것이 μ의 이전 정의와 일치한다.

매듭의 Arf 불변량은 Seifert 곡면을 통해 정의된다. Seifert 곡면의 선택과 무관하며(S-동치, 튜브 추가/제거의 기본 수술 변경은 H^0,0 직합을 추가/삭제함), 따라서 매듭 불변량이다. 연결합에 따라 가산적이며, 절편 매듭에서는 0이 되므로 매듭 일치 불변량이다.

교차 형식은 (2''k'' + 1)-차원 Z₂ 계수 호몰로지 H_2k+1(M;Z₂)에 있으며, 프레임된 (4''k'' + 2)-차원 다양체 ''M''은 프레이밍에 의존하는 2차 개선 μ를 갖는다. k ≠ 0,1,3에 대해 x ∈ H_2k+1(M;Z₂)가 매장 x:S^2k+1⊂M으로 표현되는 경우 값 μ(x)∈ Z₂는 ''x''의 법선 다발이 자명한지 여부에 따라 0 또는 1이다. 프레임된 (4''k'' + 2)-차원 다양체 ''M''의 Kervaire 불변량은 H_2k+1(M;Z₂)에 대한 2차 개선 μ의 Arf 불변량이다. Kervaire 불변량은 (4''k'' + 2)-차원 구의 안정된 호모토피 군에 대한 사상 π^S_4k+2 → Z₂이다. Kervaire 불변량은 점을 제외하고 프레임된 (4''k'' + 2)-차원 다양체 ''M''에 대해서도 정의할 수 있다.

수술 이론에서 모든 4k+2-차원 정규 맵 (f,b):M → X에 대해 Z₂ 계수 호몰로지 커널에 대한 비특이 2차 형식 (K_2k+1(M;Z₂),μ)이 정의된다.

::

K_{2k+1}(M;\Z_2)=ker(f_*:H_{2k+1}(M;\Z_2)\to H_{2k+1}(X;\Z_2))

::호몰로지 교차 형식 λ를 개선한다. 이 형식의 Arf 불변량은 (''f'',''b'')의 Kervaire 불변량이다. 특수한 경우 X=S^4k+2에서 이것은 ''M''의 Kervaire 불변량이다. Kervaire 불변량은 Michel Kervaire와 John Milnor에 의한 이국적인 구의 분류에서, 그리고 더 일반적으로 수술 이론에 의한 다양체의 분류에서 특징적으로 나타난다. William Browder는 함수 Steenrod square을 사용하여 μ를 정의했고, C. T. C. Wall은 프레임된 침입을 사용하여 μ를 정의했다. 2차 개선 μ(x)는 λ(x,x)보다 훨씬 더 많은 정보를 제공한다. 즉, μ(x)=0인 경우에만 수술로 ''x''를 제거할 수 있다. 해당 Kervaire 불변량은 L-군 L_4k+2(Z)=Z₂에서 (f,b)의 수술 방해를 감지한다.

참조

_[1] 문서 Arf 1941
_[2] 문서 Cahit Arf and his invariant. Section 9
_[3] 문서 p. 61
_[4] 문서 Proposition III.1.8
_[5] 저널 Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2 (Teil Ⅰ) http://resolver.sub.[...] 1941
_[6] 저널 On the Arf invariant in historical perspective 2010-04
_[7] 저널 On the Arf invariant in historical perspective, part 2 2011-10

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