아티야 준군 - 오늘의AI위키

1. 개요

아티야 준군은 매끄러운 다양체 M과 리 군 G에 대해 정의되는 리 준군으로, 매끄러운 주다발 G → P → M에 대응된다. 아티야 리 준대수와 게이지 군체, 아티야 순서, 아티야 대수체와 같은 관련 개념들이 존재하며, 주 접속과의 관계, 사상 등 다양한 성질을 갖는다. 아티야 대수다발은 전이적이며 적분 가능하며, 주 주다발의 아티야 시퀀스의 분할은 주 접속과 일대일 대응을 이룬다. 마이클 아티야가 도입했다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 과 리 군 $G$ (그 리 대수는 $\mathfrak{lie}(G) = \mathfrak g$ 로 표기)에 대해, 매끄러운 주다발 $G\hookrightarrow P \,\overset\pi\twoheadrightarrow\, M$ 에 대응되는 아티야 준군 $\operatorname{At}(P)$ 은 다음과 같이 정의되는 리 준군이다.

* 대상의 매끄러운 다양체는 $\operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P)) = M$ 이다.
* 사상의 매끄러운 다양체는 $\operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P)) =(P \times P) / G = P \times P / ((p,q) \sim (p\cdot g,q\cdot g)\forall g\in G)$ 이다. 여기서 $G$ 의 오른쪽 군 작용은 $P\times P$ 위에 성분별로 작용한다.
* 정의역과 공역 사상 $\operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P)) \rightrightarrows \operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P))$ 는 $(P\times P)/G$ 의 두 사영 사상 $\operatorname{proj}_1,\operatorname{proj}_2 \colon (P\times P) / G \to P/G = M$ 으로 주어진다.
* 사상의 합성은 $(q,r)\cdot G \circ (p,q)\cdot G = (p,r)\cdot G$ 로 주어진다.
* 항등원 사상 $\operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P)) \to \operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P))$ 은 대각 사상 $x \mapsto (p,p)\cdot G$ ( $p\in\pi^{-1}(x)$ )으로 주어진다.

이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다. 임의의 주 $G$ -다발 $P \to M$ 은 이와 연관된 리 군체를 가지며, 이를 게이지 군체라고 부른다.

$A = TP/G$ 이며, 앵커 사상 $A \to TM$ 은 미분 $d\pi: TP \to TM$ 에 의해 주어지며, 이는 $G$ -불변이다. 앵커의 커널은 $P \times_G \mathfrak{g}$ 와 동형이다.

아티야 순서는 벡터 다발의 단면 공간을 취함으로써 $\mathcal{C}^{\infty}(M)$ -가군의 짧은 완전 순서를 생성한다. $P$ 의 아티야 대수체의 단면은 리 괄호 하에서 $P$ 위의 $G$ -불변 벡터장의 리 대수이며, 이는 $M$ 위의 벡터장의 리 대수를 $G$ -불변 수직 벡터장으로 확장한 것이다.

2.1. 아티야 준군

매끄러운 다양체 $M$ 과 리 군 $G$ (그 리 대수는 $\mathfrak{lie}(G) = \mathfrak g$ 로 표기)에 대해, 매끄러운 주다발 $G\hookrightarrow P \,\overset\pi\twoheadrightarrow\, M$ 에 대응되는 아티야 준군 $\operatorname{At}(P)$ 은 다음과 같이 정의되는 리 준군이다.

* 대상의 매끄러운 다양체는 $\operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P)) = M$ 이다.
* 사상의 매끄러운 다양체는 $\operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P)) =(P \times P) / G = P \times P / ((p,q) \sim (p\cdot g,q\cdot g)\forall g\in G)$ 이다. 여기서 $G$ 의 오른쪽 군 작용은 $P\times P$ 위에 성분별로 작용한다.
* 정의역과 공역 사상 $\operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P)) \rightrightarrows \operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P))$ 는 $(P\times P)/G$ 의 두 사영 사상 $\operatorname{proj}_1,\operatorname{proj}_2 \colon (P\times P) / G \to P/G = M$ 으로 주어진다.
* 사상의 합성은 $(q,r)\cdot G \circ (p,q)\cdot G = (p,r)\cdot G$ 로 주어진다.
* 항등원 사상 $\operatorname{Ob}(\operatorname{At}(P)) \to \operatorname{Mor}(\operatorname{At}(P))$ 은 대각 사상 $x \mapsto (p,p)\cdot G$ ( $p\in\pi^{-1}(x)$ )으로 주어진다.

이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다. 임의의 주 $G$ -다발 $P \to M$ 은 이와 연관된 리 군체를 가지며, 이를 게이지 군체라고 부른다.

$A = TP/G$ 이며, 앵커 사상 $A \to TM$ 은 미분 $d\pi: TP \to TM$ 에 의해 주어지며, 이는 $G$ -불변이다. 앵커의 커널은 $P \times_G \mathfrak{g}$ 와 동형이다.

아티야 순서는 벡터 다발의 단면 공간을 취함으로써 $\mathcal{C}^{\infty}(M)$ -가군의 짧은 완전 순서를 생성한다. $P$ 의 아티야 대수체의 단면은 리 괄호 하에서 $P$ 위의 $G$ -불변 벡터장의 리 대수이며, 이는 $M$ 위의 벡터장의 리 대수를 $G$ -불변 수직 벡터장으로 확장한 것이다.

2.2. 아티야 리 준대수

$\pi\colon P\twoheadrightarrow M$ 의 미분
: $\mathrm d\pi \in \Omega^1(P;\pi^* \mathrm TM)$
을 생각하자. 이는 다음과 같은 $P$ 위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.
: $P\times0 \to \mathrm VP = P\times\mathfrak g \to \mathrm TP \,\overset{\mathrm d\pi} \to\, \pi^*\mathrm TM \to P\times0$
여기서 수직 벡터 다발 $\mathrm VP$ 은 $P$ 가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은 $G$ 의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.
: $\begin{matrix}P \times 0 & \to & P\times\mathfrak g & \to &\mathrm TP & \overset{\mathrm d\pi}\to & \pi^*\mathrm TM & \to & P \times 0\\{\scriptstyle\pi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\pi} && \downarrow && \downarrow && \downarrow && {\color{White}\scriptstyle\pi}\downarrow{\scriptstyle\pi}\\M \times 0 & \to & \operatorname{ad}(P) & \to & \dfrac{\mathrm TP}G & \to & \mathrm TM & \to & M \times 0\end{matrix}$
여기서
* 연관 벡터 다발 $\operatorname{ad}(P) = P\times_G\mathfrak g \twoheadrightarrow M$ 은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다.
* $\operatorname{at}(P) = (\mathrm TP)/G \twoheadrightarrow M$ 의 매끄러운 단면 $X\in\Gamma^\infty(M; (\mathrm TP)/G)$ 은 $P$ 위의 벡터장 $\tilde X \in \Gamma^\infty(\mathrm TP) = \operatorname{Vect}(P)$ 가운데, $G$ 의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
*: $\begin{matrix}P & \overset{\tilde X}\to & \mathrm TP \\{\scriptstyle\pi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\pi} && \downarrow \\M & \underset X\to & \dfrac{\mathrm TP}G\end{matrix}$
** $M$ -벡터 다발 사상 $\operatorname{at}(P) \twoheadrightarrow \mathrm TM$ 의 오른쪽 역사상의 데이터는 $P$ 위의 주접속의 데이터와 동치이다.

이에 따라, $\operatorname{at}(P)$ 는 다음과 같이 $M$ 위의 리 준대수의 구조를 갖는다.
* 닻 $\operatorname{at}(P) \to \mathrm TM$ 은 위 가환 그림에 등장하는 $M$ -벡터 다발 사상이다.
* $\operatorname{at}(P)$ 의 단면 공간 $\Gamma^\infty(M;\operatorname{at}(P))$ 위의 리 괄호는 포함 사상 $\Gamma^\infty(M;\operatorname{at}(P))\hookrightarrow\operatorname{Vect}(P)$ 에 의하여 $\operatorname{Vect}(P)$ 의 리 미분의 제한으로 정의된다.
이를 매끄러운 주다발 $\pi\colon P\twoheadrightarrow M$ 의 아티야 리 준대수라고 한다.

임의의 주 $G$ -다발 $P \to M$ 은 이와 연관된 리 군체를 가지며, 이를 게이지 군체라고 부른다. 이 군체의 대상은 $M$ 의 점이고, 사상은 $P \times P$ 를 $G$ 의 대각 작용으로 나눈 몫의 원소이며, 출발점과 도착점은 $M$ 의 두 투영으로 주어진다. 정의에 따라, $P$ 의 아티야 대수체는 이 게이지 군체의 리 대수체 $A \to M$ 이다.

따라서 $A = TP/G$ 이며, 앵커 사상 $A \to TM$ 은 미분 $d\pi: TP \to TM$ 에 의해 주어지며, 이는 $G$ -불변이다. 마지막으로, 앵커의 커널은 정확히 $P \times_G \mathfrak{g}$ 와 동형이다.

아티야 순서는 벡터 다발의 단면 공간을 취함으로써 $\mathcal{C}^{\infty}(M)$ -가군의 짧은 완전 순서를 생성한다. 더 정확하게 말하면, $P$ 의 아티야 대수체의 단면은 리 괄호 하에서 $P$ 위의 $G$ -불변 벡터장의 리 대수이며, 이는 $M$ 위의 벡터장의 리 대수를 $G$ -불변 수직 벡터장으로 확장한 것이다. 대수적 또는 해석적 맥락에서, 아티야 순서를 벡터 다발의 국소 단면의 층의 완전 순서로 보는 것이 편리하다.

2.2.1. 아티야 시퀀스

$\pi\colon P\twoheadrightarrow M$ 의 미분
: $\mathrm d\pi \in \Omega^1(P;\pi^* \mathrm TM)$
을 생각하자. 이는 다음과 같은 $P$ 위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.
: $P\times0 \to \mathrm VP = P\times\mathfrak g \to \mathrm TP \,\overset{\mathrm d\pi} \to\, \pi^*\mathrm TM \to P\times0$
여기서 수직 벡터 다발 $\mathrm VP$ 은 $P$ 가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은 $G$ 의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.
: $\begin{matrix}P \times 0 & \to & P\times\mathfrak g & \to &\mathrm TP & \overset{\mathrm d\pi}\to & \pi^*\mathrm TM & \to & P \times 0\\{\scriptstyle\pi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\pi} && \downarrow && \downarrow && \downarrow && {\color{White}\scriptstyle\pi}\downarrow{\scriptstyle\pi}\\M \times 0 & \to & \operatorname{ad}(P) & \to & \dfrac{\mathrm TP}G & \to & \mathrm TM & \to & M \times 0\end{matrix}$
여기서
* 연관 벡터 다발 $\operatorname{ad}(P) = P\times_G\mathfrak g \twoheadrightarrow M$ 은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다.
* $\operatorname{at}(P) = (\mathrm TP)/G \twoheadrightarrow M$ 의 매끄러운 단면 $X\in\Gamma^\infty(M; (\mathrm TP)/G)$ 은 $P$ 위의 벡터장 $\tilde X \in \Gamma^\infty(\mathrm TP) = \operatorname{Vect}(P)$ 가운데, $G$ 의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
*: $\begin{matrix}P & \overset{\tilde X}\to & \mathrm TP \\{\scriptstyle\pi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\pi} && \downarrow \\M & \underset X\to & \dfrac{\mathrm TP}G\end{matrix}$
** $M$ -벡터 다발 사상 $\operatorname{at}(P) \twoheadrightarrow \mathrm TM$ 의 오른쪽 역사상의 데이터는 $P$ 위의 주접속의 데이터와 동치이다.

만약 $P$ 가 주 $G$ -다발이라면, 그룹 $G$ 는 이 시퀀스의 벡터 다발에 작용한다. 게다가, 수직 다발 $VP$ 가 자명한 벡터 다발 $P \times \mathfrak{g} \to P$ 와 동형이므로, 여기서 $\mathfrak{g}$ 는 $G$ 의 리 대수이고, 대각 $G$ 작용에 의한 몫은 수반 다발 $P \times_G \mathfrak{g}$ 이다. 결론적으로, 위의 완전열을 $G$ 로 나눈 몫은 다음과 같은 짧은 완전열을 얻는다:
: $0 \to P\times_G \mathfrak g\to TP/G \to TM\to 0$
이 시퀀스는 $P/G \cong M$ 위의 벡터 다발이며, $P$ 의 아티야 시퀀스라고 불린다.

3. 성질

3.1. 전이성 및 적분 가능성

주요 G-다발 $P \to M$ 의 아티야 대수다발은 항상 전이적이며, 유일한 궤도는 전체 M이고, 그 등방 리 대수 다발은 연관 다발 $P \times_G \mathfrak{g}$ 이다. 또한, 게이지 군집 P로 항상 적분 가능하다.

전이성과 적분 가능성, 이 두 가지 속성은 서로 독립적이다. 적분 가능한 리 대수다발이 전이적일 필요는 없으며, 반대로 전이적 리 대수다발(종종 추상 아티야 수열이라고 불림)이 반드시 적분 가능한 것도 아니다.

모든 전이적 리 군집이 어떤 게이지 군집과 동형이지만, 모든 전이적 리 대수다발이 어떤 주다발의 아티야 대수다발인 것은 아니다. 적분 가능성은 두 개념을 구별하는 중요한 속성으로, 전이적 리 대수다발이 적분 가능하려면 어떤 주다발의 아티야 대수다발과 동형이어야 한다.

3.2. 주접속과의 관계

주 주다발 $P \to M$ 의 아티야 시퀀스의 분할 $\sigma: TM \to A$ 는 $P \to M$ 위의 주 접속과 일대일 대응을 이룬다. 이러한 접속의 곡률은 다음과 같이 정의되는 2-형식 $\Omega_\sigma \in \Omega^2(M,P[\mathfrak{g}])$ 에 해당한다.
: $\Omega_\sigma (X,Y):= [\sigma(X),\sigma(Y)]_A - \sigma ([X,Y]_{\mathfrak{X}(M)})$

3.3. 사상

주 주다발의 임의의 사상 $\phi \colon P \to P'$ 는 각 아티야 대수다발 사이의 리 대수다발 사상 $d\phi \colon TP/G \to TP/G'$ 를 유도한다.

4. 예시

주 $G \to *$ 의 아티야 대수다발은 리 대수 $\mathfrak{g} \to *$ 이다. 주 $\{e\}$ -다발 $M \to M$ 의 아티야 대수다발은 접 대수다발 $TM \to M$ 이다. 추이적 $G$ -작용이 $M$ 에 주어지면, 임의의 점에서 작용의 등방성군 $H \subseteq G$ 를 구조군으로 하는 주 다발 $G \to M$ 의 아티야 대수다발은 작용 대수다발 $\mathfrak{h} \times M \to M$ 이다. 벡터 다발 $E \to M$ 의 프레임 다발의 아티야 대수다발은 일반 선형 대수다발 $\mathrm{Der}(E) \to M$ 이다 (때로는 $E$ 의 아티야 대수다발이라고도 한다).

5. 역사

마이클 아티야가 도입하였다.