리 준대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

리 준대수는 매끄러운 다양체, 매끄러운 벡터 다발, 리 대수 구조, 그리고 닻이라고 불리는 벡터 다발 사상으로 구성된다. 이들은 특정 호환 조건을 만족해야 하며, 리 대수 준다발은 벡터 다발, 리 괄호, 그리고 앵커라고 불리는 사상으로 구성된 삼중항이다. 리 준대수는 기본 성질과 부분 준대수, 아이디얼, 준동형사상 등의 개념을 가지며, 리 군을 리 대수에 대응시키는 표준적인 구성을 일반화한다. 리 준대수는 리 군-리 대수 대응, 리 함자, 그리고 리 준대수의 적분과 관련된 다양한 개념들을 포함한다. 리 준대수의 적분 가능성은 리 정리와 Ševera-Weinstein 군체와 관련이 있으며, 특정 조건에서 적분 불가능할 수 있다. 이 개념은 1967년 장 프라딘에 의해 처음 소개되었다.

더 읽어볼만한 페이지

미분의 일반화 - 기울기 (벡터)
기울기(벡터)는 스칼라장의 특정 지점에서 값이 가장 빠르게 증가하는 방향과 변화율을 나타내는 벡터로, 함수의 등위면에 수직이며 크기는 해당 방향의 변화율을 나타내고, 스칼라 함수의 각 성분에 대한 편미분으로 구성되며 나블라 연산자로 표현된다.
미분의 일반화 - 야코비 행렬
야코비 행렬은 열린 집합 U에서 정의된 함수 f의 각 성분 편도함수를 요소로 가지는 행렬이며, 함수가 미분 가능할 때 전미분을 나타내고, n=m일 경우 행렬식은 함수의 동작에 대한 정보를 제공하며 다양한 분야에 응용된다.
미분 연산자 - 기울기 (벡터)
기울기(벡터)는 스칼라장의 특정 지점에서 값이 가장 빠르게 증가하는 방향과 변화율을 나타내는 벡터로, 함수의 등위면에 수직이며 크기는 해당 방향의 변화율을 나타내고, 스칼라 함수의 각 성분에 대한 편미분으로 구성되며 나블라 연산자로 표현된다.
미분 연산자 - 델 (연산자)
델 연산자는 3차원 유클리드 공간에서 편미분 연산자를 항으로 하는 벡터로 정의되며, 기울기, 발산, 회전, 라플라시안 등 다양한 연산을 표현하는 데 사용되며 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 다양한 분야에 응용된다.
벡터 다발 - 법다발
법다발은 다양체 $M$에 매장된 다양체 $N$의 접다발을 $M$의 접다발로 확장한 몫다발로, 리만 다양체에서는 법선 공간들의 모임으로 정의되며 여법선 다발과 관련이 깊다.
벡터 다발 - 접다발
접다발은 매끄러운 다양체 위의 각 점에 접하는 벡터 공간들을 모아놓은 공간으로, 국소 좌표계를 사용하여 정의되며, 사영 사상을 통해 매끄러운 벡터 다발을 이루고, 다양체의 미분 구조 연구에 중요한 역할을 한다.

2. 정의

'''리 준대수'''(Lie algebroid) 또는 '''리 대수 준다발'''은 다음과 같은 데이터들로 구성된다.

매끄러운 다양체 $M$ 위에 정의된 벡터 다발 $A \to M$
$A$ 의 매끄러운 단면들의 공간 $\Gamma(A)$ 위에 정의된 리 대수 구조, 즉 리 괄호 연산 $[\cdot, \cdot] : \Gamma(A) \times \Gamma(A) \to \Gamma(A)$
'''닻'''(anchor^영어) 또는 '''앵커'''라고 불리는 벡터 다발 사상 $\rho : A \to TM$ . 여기서 $TM$ 은 $M$ 의 접다발이다.

이 데이터들은 다음의 호환 조건(또는 라이프니츠 규칙)을 만족해야 한다.

:

[X, fY] = (\rho(X)f) Y + f[X, Y] \qquad \forall X, Y \in \Gamma(A), \; f \in C^\infty(M, \mathbb{R})

여기서

C^\infty(M, \mathbb{R})

은

M

위에서 정의된 매끄러운 함수들의 공간이며,

\rho(X)f

는 벡터장

\rho(X)

를 따른 함수

f

의 리 미분을 의미한다.

(\rho(X)f) Y

는 함수

\rho(X)f

와 단면

Y

의 점별 곱셈을 나타낸다.

리 준대수는 종종 괄호와 앵커가 문맥상 명확할 때 단순히

A \to M

으로 표기되기도 한다. 일부 문헌에서는 리 준대수를 리 군대수(Lie groupoid)의 "무한소 극한"으로 간주하여

A \Rightarrow M

으로 표기하기도 한다.

2. 1. 기본 성질

정의에 따르면 다음이 성립한다.

모든 $x \in M$ 에 대해, 커널 $\mathfrak{g}_x(A)=\ker(\rho_x)$ 는 '''등방성 리 대수'''라고 불리는 리 대수이다.
커널 $\mathfrak{g}(A)=\ker(\rho)$ 는 (반드시 국소적으로 자명하지 않은) 리 대수의 다발로, '''등방성 리 대수 다발'''이라고 불린다.
이미지 $\mathrm{Im}(\rho) \subseteq TM$ 는 적분 가능한 특이 분포로, 즉, 모든 $x \in \mathcal O$ 에 대해 $\mathrm{Im}(\rho_x) = T_x \mathcal{O}$ 를 만족하는 '''궤도'''라고 불리는 최대의 몰입된 부분 다양체 $\mathcal O \subseteq M$ 을 허용한다. 동등하게, 궤도는 '''A-경로'''에 의해 연결된 점들의 집합으로 명시적으로 설명될 수 있다. 즉, $A$ 와 $M$ 의 경로 쌍 $(a: I \to A, \gamma: I \to M)$ 는 $a(t) \in A_{\gamma(t)}$ 이고 $\rho (a(t)) = \gamma'(t)$ 을 만족한다.
앵커 맵 $\rho$ 는 단면 간의 맵 $\rho: \Gamma(A) \rightarrow \mathfrak{X}(M)$ 로 내려가며, 이는 리 대수 준동형사상이다. 즉,

:

\rho([X,Y])=[\rho(X),\rho(Y)]

모든

X,Y \in \Gamma(A)

에 대해 성립한다.

\rho

가 리 대수 준동형사상을 유도한다는 속성은 리 준대수의 원래 정의에서 공리로 채택되었다.^[1] 이러한 중복성은 프라딘의 정의 이전에 이미 대수적인 관점에서 알려졌음에도 불구하고,^[3] 훨씬 나중에야 발견되었다.^[4]^[5]

2. 2. 부분 준대수와 아이디얼

리 대수 준다발

(A, [\cdot,\cdot], \rho)

의 '''리 부분 준다발'''은

A_{\mid M'} \to M'

의 벡터 부분다발

A'\to M'

이며, 다음 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

1. 앵커 사상

\rho

를

A'

에 제한한

\rho_{\mid A'}

의 값이

TM'

안에 포함된다.

2.

A

의 단면 중

M'

위에서

A'

의 단면이 되는 것들의 집합

\Gamma(A,A'):= \{ \alpha \in \Gamma(A) \mid \alpha_{\mid M'} \in \Gamma(A') \}

가 전체 단면 공간

\Gamma(A)

의 리 부분 대수를 이룬다.

이때,

A'\to M'

는

\Gamma(A,A') \to \Gamma(A')

가 리 대수 준동형이 되도록 하는 유일한 리 대수 준다발 구조를 갖는다. 즉, 포함 사상

A' \hookrightarrow A

는 리 대수 준다발 준동형이다.

리 부분 준다발 중에서 밑공간이 원래 공간과 같은 경우, 즉

M' = M

일 때 이를 '''넓은 부분 준다발'''이라고 부른다.

리 대수의 아이디얼 정의와 유사하게, 리 대수 준다발의 '''아이디얼'''은 넓은 리 부분 준다발

I \subseteq A

중에서 그 단면 공간

\Gamma(I)

가

\Gamma(A)

의 리 아이디얼이 되는 것을 말한다. 그러나 이 정의는 아이디얼

I

가 반드시 앵커 사상의 핵

\ker(\rho)

안에 포함되어야 한다는 점에서 매우 제한적인 개념이다. 이러한 한계를 극복하기 위해 더 유연한 개념인 '''무한소 아이디얼 시스템'''이 도입되었다.^[6]

2. 3. 준동형사상

두 리 준대수

(A_1, [\cdot,\cdot]_{A_1}, \rho_1)

와

(A_2, [\cdot,\cdot]_{A_2}, \rho_2)

사이의 '''리 준대수 준동형사상'''은 다음 조건을 만족하는 벡터 다발 준동형사상

\phi: A_1 \to A_2

이다.

1. 두 리 준대수는 동일한 기저 다양체

M

을 가진다.

2.

\phi

는 리 괄호 연산을 보존한다. 즉,

A_1

의 모든 단면

\alpha, \beta \in \Gamma(A_1)

에 대해

\phi ([\alpha,\beta]_{A_1}) = [\phi(\alpha),\phi(\beta)]_{A_2}

가 성립한다.

3.

\phi

는 앵커 사상과 호환된다. 즉,

\rho_2 \circ \phi = \rho_1

이다.

만약 두 리 준대수가 서로 다른 기저 다양체를 가질 경우에도 준동형사상을 정의할 수 있지만, 리 괄호와의 호환성 조건은 더 복잡해진다.^[7] 리 준대수 준동형사상의 동등한 정의는, 준동형사상

\phi: A_1 \to A_2

의 그래프가 곱 리 준대수

A_1 \times A_2

의 부분 준대수(subalgebroid)가 되는 것이다.^[8]

리 준대수들과 그 사이의 준동형사상들은 하나의 범주를 형성한다.

3. 예시

리 준대수는 다양한 수학적 구조에서 자연스럽게 나타나는 개념이다. 몇 가지 기본적인 예시는 다음과 같다.

모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간 위의 리 준대수로 볼 수 있다.
매끄러운 다양체 $M$ 의 접다발 $\mathrm TM$ 은 자연스러운 리 준대수 구조를 가진다. 이때 닻 사상은 항등 함수이고, 리 괄호는 벡터장의 리 미분으로 정의된다.
푸아송 다양체 $(M,\{-,-\})$ 의 코탄젠트 다발 $\mathrm T^*M$ 은 푸아송 리 준대수(Poisson Lie algebroid^영어)라는 리 준대수 구조를 가진다.
매끄러운 주다발에는 '''아티야 리 준대수'''라는 표준적인 리 준대수가 대응된다.

이 외에도 다양한 형태의 리 준대수가 존재하며, 구체적인 정의와 추가적인 예시는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 자명한 경우와 극단적인 경우

모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간

\{\bullet\}

위의 리 준대수로 간주할 수 있다.

또한, 임의의 매끄러운 다양체

M

위의 영 벡터 다발

M \times \{0\} \to M

은 영(0) 괄호 연산과 영(0) 앵커 사상을 부여하여 리 준대수로 만들 수 있다.

반대로, 하나의 점

\{*\}

위에 정의된 리 준대수

A \to \{*\}

는 일반적인 리 대수의 개념과 동일하다.

3. 2. 미분기하학에서의 예시

매끄러운 다양체

M

위에서, 접다발

E=\mathrm TM

에 항등 함수

\rho = \operatorname{id}_{\mathrm TM}

를 닻 사상으로, 리 미분

[X,Y] = \mathcal L_XY

를 리 괄호로 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다.

보다 일반적으로,

\mathrm TM

의 적분 가능 부분 다발, 즉

[E,E]\subseteq E

를 만족하는 부분 벡터 다발

E \subseteq \mathrm TM

은 위 리 준대수의 부분 리 준대수를 형성한다.

임의의 매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E \twoheadrightarrow M

에 대하여, 닻 사상과 리 괄호를 모두 0으로 정의하면 (

\rho = 0

,

[-,-] = 0

), 이는 자명하게 리 준대수를 이룬다. 이는 아벨 리 대수의 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

푸아송 다양체

(M,\{-,-\})

가 주어졌다고 하자. 푸아송 괄호

\{-,-\}

는 항상

:

\{f,g\}=\pi(\mathrm df,\mathrm dg)

를 만족하는 (2,0)차 반대칭 텐서장

\pi

를 정의한다. 이때, 코탄젠트 다발

E=\mathrm T^*M

위에 다음과 같이 닻 사상

\rho

와 리 괄호

[-,-]

를 정의하면 리 준대수가 된다.

:

\rho(\alpha) = \pi(\alpha,-)\qquad(\alpha\in\Omega^1(M))

:

[\alpha,\beta] = \mathcal L_{\rho\alpha}\beta - \mathcal L_{\rho\beta}\alpha - \mathrm d(\pi(\alpha,\beta))\qquad(\alpha,\beta\in\Omega^1(M))

이를 푸아송 리 준대수(Poisson Lie algebroid^영어)라고 한다.

다음은 미분기하학에서 나타나는 리 준대수의 다른 예시들이다.

엽층 대수: 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 가 $M$ 에 주어지면, 연관된 부분 다발 $\mathcal{F} \subseteq TM$ 은 접다발의 리 준대수 구조로부터 유도된 괄호와 닻 사상을 가지며, 이를 엽층 대수라고 한다.
작용 대수: 다양체 $M$ 에 대한 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 작용이 주어지면, 자명한 벡터 다발 $\mathfrak{g} \times M \to M$ 위에 리 준대수 구조를 줄 수 있다. 여기서 닻 사상은 주어진 리 대수 작용으로 정의되고, 리 괄호는 $\mathfrak{g}$ 의 리 괄호와 라이프니츠 규칙을 통해 유일하게 결정된다. 이를 작용 대수라고 한다.
아티야 대수: 다양체 '' $M$ '' 위에 정의된 주 $G$ -다발 '' $P$ ''가 주어지면, $A = TP/G$ 는 리 준대수를 이루며, 이를 아티야 대수라고 한다. 이는 다음 짧은 완전열을 만족한다.
: $0 \to \ker(\rho) \to TP/G\xrightarrow{\rho} TM \to 0.$

: 아티야 대수의 단면 공간은 ''

P

'' 위의 ''

G

''-불변 벡터장들의 리 대수와 동형이다. 핵

\ker(\rho)

는 수반 다발

P\times_G \mathfrak g

와 동형이며, 위 완전열의 오른쪽 분할은 ''

P

'' 위의 주 접속에 해당한다.

일반 선형 대수: 벡터 다발 $E \to M$ 이 주어지면, $E$ 의 미분 연산자들로 구성된 리 준대수를 정의할 수 있다. 이는 $\mathfrak{gl}(E)$ 또는 $\mathrm{Der}(E)$ 로 표기된다. 단면은 $E$ 의 미분, 즉 $f \in \mathcal{C}^{\infty}(M), \sigma \in \Gamma(E)$ 에 대해 라이프니츠 규칙 $D(f \sigma) = f D(\sigma) + \rho(D)(f) \sigma$ 를 만족하는 1차 미분 연산자 $D: \Gamma(E) \to \Gamma(E)$ 이다. 여기서 $\rho(D)$ 는 $M$ 위의 벡터장이다. 닻 사상은 $D \mapsto \rho(D)$ 로 주어지고, 리 괄호는 미분 연산자들의 교환자로 정의된다.
코탄젠트 대수: 푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 가 주어지면, 코탄젠트 다발 $A = T^*M$ 은 다음과 같은 리 괄호와 닻 사상을 갖는 리 준대수를 이룬다.

::닻 사상:

\pi^\sharp: T^*M \to TM, \alpha \mapsto \pi(\alpha,\cdot)

::리 괄호:

[\alpha,\beta]:= \mathcal{L}_{\pi^\sharp (\alpha)} (\beta) - \mathcal{L}_{\pi^\sharp (\beta)} (\alpha) - d \pi( \alpha, \beta)

닫힌 2-형식으로 정의된 리 준대수: 닫힌 2-형식 $\omega \in \Omega^2(M)$ 가 주어지면, 벡터 다발 $A_\omega := TM \times \mathbb{R} \to M$ 위에 리 준대수 구조를 정의할 수 있다. 닻 사상은 첫 번째 성분으로의 사영이고, 리 괄호는 다음과 같다.

::

[(X,f), (Y,g)]:= \Big( [X,Y], \mathcal{L}_X(g) - \mathcal{L}_Y(f) - \omega(X,Y) \Big).

: 이 괄호는 임의의 2-형식

\omega

에 대해 정의될 수 있지만,

A_\omega

가 야코비 항등식을 만족하여 리 준대수가 되는 것은

\omega

가 닫힌 형식일 때뿐이다.

3. 3. 다른 리 준대수로부터의 구성

임의의 리 대수 올다발 $(A \to M,[\cdot,\cdot],\rho)$ 이 주어지면, 앵커의 접다발과 $M$ 의 미분을 고려하여 얻어지는 접선 대수 올다발이라고 하는 리 대수 올다발 $(TA \to TM,[\cdot,\cdot],\rho)$ 이 존재한다.
임의의 리 대수 올다발 $(A \to M,[\cdot,\cdot]_A,\rho_A)$ 이 주어지면, 리 괄호가 $[j^k \alpha,j^k\beta] := j^k [\alpha,\beta]_A$ 로 고유하게 정의되고 앵커가 $\rho(j^k_x\alpha):= \rho_A(\alpha(x) )$ 인 $A \to M$ 의 k-제트 다발을 고려하여 얻어지는 k-제트 대수 올다발이라고 하는 리 대수 올다발 $(J^k A \to M,[\cdot,\cdot],\rho)$ 이 존재한다.
두 개의 리 대수 올다발 $A_1 \to M_1$ 과 $A_2 \to M_2$ 가 주어지면, 이들의 직접 곱은 앵커가 $(\alpha_1, \alpha_2) \mapsto \rho_1(\alpha_1) \oplus \rho_2 (\alpha_2) \in TM_1 \oplus TM_2 \cong T(M_1 \times M_2),$ 이고 $\Gamma(A_1) \oplus \Gamma(A_2) \to \Gamma(A_1 \times A_2), \alpha_1 \oplus \alpha_2 \mapsto \mathrm{pr}_{M_1}^*\alpha_1 + \mathrm{pr}_{M_2}^*\alpha_2$ 가 리 대수 준동형사상인 고유한 리 대수 올다발 $A_1 \times A_2 \to M_1 \times M_2$ 이다.
리 대수 올다발 $(A \to M,[\cdot,\cdot]_A,\rho_A)$ 와 그 미분이 앵커 사상 $\rho: A \to TM$ 과 횡단하는 사상 $f: M' \to M$ 이 주어지면(예를 들어, $f$ 가 전사 서브머전이면 충분하다), 당겨올 대수 올다발은 $f^!A:=TM' \times_{TM} A \to M'$ 가 당겨올 벡터 다발이고 $\rho_{f^!A}: f^!A \to TM'$ 가 첫 번째 성분에 대한 투영인, $f^!A \to A$ 가 리 대수 올다발 사상인 고유한 리 대수 올다발 $f^!A \to M'$ 이다.

4. 리 준대수의 중요한 부류

리 준대수는 그 구조, 특히 앵커 사상 ρ: A → TM의 성질에 따라 여러 중요한 부류로 나눌 수 있다. 앵커 사상은 리 준대수 A의 구조를 바탕이 되는 다양체 M의 기하학적 구조(TM은 M의 접다발)와 연결하는 핵심적인 역할을 한다.

주요 부류들은 다음과 같다.

'''완전 비전이적 리 준대수''': 앵커 사상이 모든 점에서 0인 경우(ρ = 0)이다. 이는 리 준대수가 바탕 다양체의 접벡터 공간 구조와 직접적으로 상호작용하지 않음을 의미하며, 리 대수 다발의 개념과 밀접하게 연관된다.
'''전이적 리 준대수''': 앵커 사상이 전사 사상인 경우이다. 즉, 앵커 사상을 통해 리 준대수 A의 원소가 바탕 다양체 M의 모든 접벡터를 만들어낼 수 있다. 이 경우 리 준대수는 바탕 다양체 위에서 '자유롭게 움직이는' 성질을 가지며, 아티야 준대수가 대표적인 예이다.
'''정칙 리 준대수''': 앵커 사상의 계수(rank)가 바탕 다양체 M의 모든 점에서 일정한 값을 갖는 경우이다. 이는 앵커 사상이 만드는 상(image)이 바탕 다양체 위에 정칙적인 엽층 구조를 정의하게 한다.

이러한 분류는 리 준대수의 기하학적, 대수적 성질을 이해하고 응용하는 데 중요한 기초를 제공한다. 각 부류에 대한 자세한 내용은 해당 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 완전 비전이적 리 준대수

리 준대수 올다발

(A, \rho, [-,-])

에서 벡터 다발 사상인 앵커 사상

\rho: A \to TM

이 영 사상일 때, 즉 모든

A

의 단면

X \in \Gamma(A)

에 대해

\rho(X) = 0 \in \mathfrak{X}(M)

(여기서

\mathfrak{X}(M)

은

M

위의 벡터장들의 공간)일 때, 이 리 준대수를 '''완전 비전이적'''(totally intransitive)이라고 한다.

이 정의는 리 대수 다발의 개념과 밀접하게 연관된다. 모든 리 대수 다발은 정의에 따라 앵커 사상이 0이므로, 항상 완전 비전이적 리 준대수가 된다. 역으로, 완전 비전이적 리 준대수는 그 구조상 필연적으로 리 대수 다발과 동일한 것으로 간주할 수 있다. 즉,

A

가 완전 비전이적이면, 이는 자신의 등방 리 대수 다발과 일치해야 한다.

가장 기본적인 완전 비전이적 리 준대수의 예시는 임의의 매끄러운 다양체

M

위의 임의의 매끄러운 벡터 다발

E \twoheadrightarrow M

위에 앵커 사상

\rho = 0

과 리 괄호

[-,-] = 0

(즉, 모든 단면

X, Y \in \Gamma(E)

에 대해

[X, Y] = 0

)을 부여하는 경우이다. 이 구조는 각 올

E_x

가 아벨 리 대수인 리 대수 다발에 해당하며, 자명하게 완전 비전이적 리 준대수의 조건을 만족시킨다.

4. 2. 전이적 리 준대수

리 준대수는 닻 사상

\rho: A \to TM

이 전사일 때 '''전이적'''(transitive)이라고 한다. 이 경우 다음과 같은 중요한 성질들이 성립한다.

다음과 같은 벡터 다발의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0 \to \ker(\rho) \to A \xrightarrow{\rho} TM \to 0

여기서

\ker(\rho)

는 등방성 리 대수 다발이다.

닻 사상 $\rho$ 의 오른쪽 분할(right splitting), 즉 $\rho \circ s = \mathrm{id}_{TM}$ 을 만족하는 매끄러운 벡터 다발 사상 $s: TM \to A$ 는 등방성 리 대수 다발 $\ker(\rho)$ 에 대한 주 다발 접속을 정의한다.
등방성 다발 $\ker(\rho)$ 는 국소적으로 자명하다. 즉, 리 대수의 다발로서 국소적으로 곱공간과 동형이다.
임의의 매끄러운 함수 $f: M' \to M$ 에 대해, 리 준대수 $A$ 의 당김 $f^*A$ 가 존재한다.

전이적 리 준대수의 대표적인 예는 아티야 준대수이다. 구체적인 예시는 다음과 같다.

접선 준대수 $TM$ 은 닻 사상이 항등 사상이므로 자명하게 전이적이다. 이는 사실 항등 사상 $M \to M$ 을 주 다발로 보고, 자명한 구조 군 $\{e\}$ 에 대한 아티야 준대수로 해석할 수 있다.
리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 한 점 $\{*\}$ 위의 리 준대수로 볼 수 있으며, $T\{*\} = \{0\}$ 이므로 닻 사상은 영 사상이다. 만약 $M = \{*\}$ 이면 $TM = \{0\}$ 이므로, 닻 사상 $\rho: \mathfrak{g} \to \{0\}$ 은 전사 사상이 되어 자명하게 전이적이다. 이는 $\mathfrak{g}$ 를 적분하는 리 군 $G$ 에 대한 주 $G$ -다발 $G \to \{*\}$ 의 아티야 준대수로 볼 수 있다.
벡터 다발 $E \to M$ 의 미분 연산자들로 구성된 일반 선형 준대수 $\mathfrak{gl}(E)$ 는 전이적이다. 이는 $E$ 의 틀 다발 $Fr(E)\to M$ 의 아티야 준대수이다.

아티야 준대수와 유사하게, 임의의 전이적 리 준대수는 때때로 '''추상 아티야 열'''(abstract Atiyah sequence)이라고 불리며, 그 등방성 리 대수 다발

\ker(\rho)

는 '''수반 다발'''(adjoint bundle)이라고도 불린다. 그러나 모든 전이적 리 준대수가 아티야 준대수인 것은 아니다. 예를 들면 다음과 같다.

전이적 리 준대수의 당김은 여전히 전이적이다.
푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 와 관련된 여접선 준대수 $T^*M$ 은 푸아송 구조 $\pi$ 가 비퇴화(non-degenerate), 즉 심플렉틱 구조일 때 전이적이다. 이 경우 닻 사상은 $\pi^\sharp: T^*M \to TM$ 이다.
닫힌 2-형식 $\omega \in \Omega^2(M)$ 으로 정의된 리 준대수 $A_\omega = TM \times \mathbb{R}$ (특정 조건 하에 정의됨)는 전이적이다.

이러한 예시들은 리 준대수의 적분 이론에서 중요하다. 모든 아티야 준대수는 게이지 군 준환(gauge groupoid)으로 적분 가능하지만, 모든 전이적 리 준대수가 적분 가능한 것은 아니다.

4. 3. 정칙 리 준대수

리 준대수는 앵커 사상(anchor map)

\rho: A \to TM

의 계수가 일정할 때 '''정칙'''(regular)이라고 한다. 여기서

A

는 미분 다양체

M

위의 벡터 다발이고,

TM

은

M

의 접다발이다.

정칙 리 준대수는 다음과 같은 결과를 가진다.

앵커 사상 $\rho$ 의 상(image)은 $M$ 에 정칙 엽층 구조(foliation)를 정의한다.
각 잎(leaf) $\mathcal{O} \subseteq M$ 에 대한 $A$ 의 제한 $A|_{\mathcal{O}}$ 는 추이적 리 준대수(transitive Lie algebroid)이다.

정칙 리 준대수의 예시는 다음과 같다.

모든 추이적 리 준대수는 앵커 사상의 계수가 최대로 일정하므로 정칙이다.
모든 완전 비추이적 리 준대수(totally intransitive Lie algebroid)는 앵커 사상의 계수가 0으로 일정하므로 정칙이다.
엽층 구조에 대응하는 리 준대수는 항상 정칙이다.
푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 에 관련된 코탄젠트 다발 $T^*M$ 위의 리 준대수는 푸아송 구조 $\pi$ 가 정칙일 때, 즉 $\pi$ 의 계수가 일정할 때만 정칙이다.

5. 추가적인 관련 개념

'''리 대수 준다발'''(Lie algebroid^eng)은 다음 세 가지 요소로 구성된 수학적 구조 $(A, [\cdot,\cdot], \rho)$ 이다.

다양체 $M$ 위의 벡터 다발 $A \to M$
$A$ 의 단면(section)들의 공간 $\Gamma (A)$ 위에 정의된 리 괄호 연산 $[\cdot,\cdot] : \Gamma(A) \times \Gamma(A) \to \Gamma(A)$
벡터 다발 사상 $\rho: A\rightarrow TM$ . 여기서 $TM$ 은 $M$ 의 접다발이며, 이 사상 $\rho$ 를 '''앵커'''(anchor)라고 부른다.

이 세 요소는 다음 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)을 만족해야 한다.

:

[X,fY]=\rho(X)(f) \cdot Y + f[X,Y]

여기서

X, Y \in \Gamma(A)

는

A

의 단면들이고,

f \in C^\infty(M)

는

M

위의 매끄러운 함수이다.

\rho(X)(f)

는 벡터장

\rho(X)

를 따라 함수

f

를 미분한 것을 의미한다. 즉,

\rho(X)(f) = \mathcal{L}_{\rho(X)} f

이다.

\rho(X)(f) \cdot Y

는 함수

\rho(X)(f)

와 단면

Y

를 점별로 곱한 것이다.

리 대수 준다발은 종종 괄호

[\cdot,\cdot]

와 앵커

\rho

가 문맥상 명확할 때 간단히 ''

A \to M

''으로 표기된다. 일부 문헌에서는 리 군다발(Lie groupoid)의 "극한" 개념과 연관지어 ''

A \Rightarrow M

''으로 표기하기도 한다. 이는 리 군다발에서 원점(source)과 대상(target) 사상이 "무한소"로 가까워지는 상황을 나타낸다.

5. 1. 작용

리 대수 준다발

A \to M

은 매끄러운 다양체

P

위에 매끄러운 사상

\mu: P \to M

을 따라서 작용할 수 있다. 이 작용은 다음 두 조건을 만족하는 리 대수 준동형사상

a: \Gamma(A) \to \mathfrak{X}(P)

으로 정의된다. 여기서

\Gamma(A)

는

A

의 단면들의 공간이고,

\mathfrak{X}(P)

는

P

위의 벡터장들의 리 대수이다.

모든 점

p \in P

, 단면

X \in \Gamma(A)

, 그리고 함수

f \in \mathcal{C}^\infty(M)

에 대해 다음이 성립해야 한다:

:

d_p\mu (a(X)_p) = \rho_{\mu(p)} (X_{\mu(p)})

:

a(f \cdot X) = (f \circ \mu) \cdot a(X)

여기서

d\mu

는

\mu

의 미분이고,

\rho: A \to TM

는 리 대수 준다발

A

의 앵커 사상이다. 첫 번째 조건은 작용

a

가 앵커 사상

\rho

와 호환되어야 함을 의미하고, 두 번째 조건은 작용

a

가

\mathcal{C}^\infty(M)

-선형임을 의미한다.

만약

A

가 일반적인 리 대수

\mathfrak{g}

이고

M

이 하나의 점으로 이루어진 공간

\{*\}

이라면, 앵커 사상

\rho: \mathfrak{g} \to T\{*\} \cong \{0\}

과 사상

\mu: P \to \{*\}

는 모두 자명하다. 이 경우, 위의 두 조건은 아무런 제약을 주지 않으며, 따라서 이 정의는 다양체

P

에 대한 리 대수

\mathfrak{g}

의 표준적인 작용 개념으로 환원된다.

5. 2. 접속

리 대수 준다발

A \to M

이 주어졌을 때, 벡터 다발

E \to M

위의 A-접속은 다음 조건을 만족하는 사상

\nabla

를 의미한다.

\nabla: \Gamma(A) \times \Gamma(E) \to \Gamma(E), \quad (\alpha,s) \mapsto \nabla_\alpha (s)

여기서

\Gamma(A)

는 리 대수 준다발

A

의 단면(section)들의 공간이고,

\Gamma(E)

는 벡터 다발

E

의 단면들의 공간이다. 이 사상

\nabla

는 다음과 같은 성질을 가진다.

1. $\mathbb{R}$ -쌍선형성:

\nabla

는 실수체

\mathbb{R}

위에서 두 변수

\alpha

와

s

각각에 대해 선형이다.

2. 첫 번째 인수에 대한 $\mathcal{C}^\infty(M)$ -선형성: 임의의 매끄러운 함수

f \in \mathcal{C}^\infty(M)

에 대해

\nabla_{f\alpha}(s) = f \nabla_\alpha(s)

를 만족한다.

3. 라이프니츠 규칙: 임의의

\alpha \in \Gamma(A)

,

s \in \Gamma(E)

,

f \in \mathcal{C}^{\infty}(M)

에 대해 다음 규칙을 만족한다.

\nabla_\alpha (fs) = f \nabla_\alpha (s) + \mathcal{L}_{\rho(\alpha)} (f) s

여기서

\mathcal{L}_{\rho(\alpha)}

는 리 대수 준다발의 앵커 사상

\rho

에 의해 결정되는 벡터장

\rho(\alpha)

에 대한 리 미분을 나타낸다. 즉, 함수

f

를 벡터장

\rho(\alpha)

방향으로 미분한 값에 단면

s

를 곱한 항이 추가된다.

A-접속

\nabla

가 주어졌을 때, 이 접속의 곡률

R_\nabla

는 다음과 같이 정의되는 사상이다.

R_\nabla: \Gamma(A) \times \Gamma(A) \to \mathrm{Hom}(E,E), \quad (\alpha, \beta) \mapsto \nabla_\alpha \nabla_\beta - \nabla_\beta \nabla_\alpha - \nabla_{[\alpha,\beta]}

여기서

\mathrm{Hom}(E,E)

는

E

의 단면을

E

의 단면으로 보내는 선형 사상들의 공간이며,

[\alpha,\beta]

는 리 대수 준다발

A

의 단면 공간

\Gamma(A)

에 정의된 리 괄호이다. 곡률

R_\nabla

는

\mathcal{C}^\infty(M)

-쌍선형 사상이다. 만약 곡률이

R_\nabla = 0

이면, 즉 모든

\alpha, \beta \in \Gamma(A)

에 대해

\nabla_\alpha \nabla_\beta - \nabla_\beta \nabla_\alpha - \nabla_{[\alpha,\beta]} = 0

이 성립하면, 그 접속

\nabla

는 평탄하다고 한다.

특별히 리 대수 준다발이 접다발

A=TM

인 경우를 생각해보자. 이 경우, A-접속의 개념은 벡터 다발 위의 접속에 대한 일반적인 정의와 일치하게 된다. 마찬가지로, 곡률과 평탄성의 개념 역시 벡터 다발 이론에서 통용되는 곡률 및 평탄성의 개념과 동일해진다.

5. 3. 표현

리 준대수

A \to M

의 표현은 벡터 다발

E \to M

에 평탄한 A-접속

\nabla

가 주어진 것을 의미한다. 이는 리 준대수 준동형사상

A \to \mathfrak{gl}(E)

와 동일한 개념으로 볼 수 있다. 여기서

\mathfrak{gl}(E)

는 벡터 다발

E

의 자기 사상으로 이루어진 일반 선형 리 대수를 나타낸다.

리 준대수

A \to M

의 표현들의 동형류 집합

\mathrm{Rep}(A)

는 벡터 다발의 직합과 텐서 곱 연산을 통해 자연스러운 반환 구조를 가진다.

리 준대수 표현의 몇 가지 예시는 다음과 같다.

리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 점으로 사상하는 가장 간단한 리 준대수 $A=\mathfrak{g} \to \{pt\}$ 의 경우, A-접속은 선형 사상 $\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$ 가 된다. 이때 평탄 조건은 이 사상이 리 대수 준동형사상이 되어야 함을 의미하며, 이는 리 대수 표현의 표준적인 정의와 일치한다.
리 대수 $\mathfrak{g}$ 와 다양체 $M$ 의 곱으로 주어지는 리 준대수 $A = \mathfrak{g} \times M \to M$ 를 생각해보자. 만약 $V$ 가 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 표현이라면, 자명한 벡터 다발 $V \times M \to M$ 은 자연스럽게 $A$ 의 표현 구조를 가진다.
다양체 $M$ 의 접다발로 정의되는 접선 준대수 $A =TM \to M$ 의 표현은 평탄한 접속이 주어진 벡터 다발과 같다.
모든 리 준대수 $A \to M$ 는 $A$ 의 최고차 외대수 거듭제곱과 $T^*M$ 의 최고차 외대수 거듭제곱의 텐서 곱으로 정의되는 선다발 $Q_A := \wedge^{top} A \otimes \wedge^{top} T^*M \to M$ 위에 자연스러운 표현을 가진다. 이 표현과 관련된 코호몰로지 군 $H^1(A, Q_A)$ 의 특정 원소를 리 준대수의 모듈러 클래스라고 부른다.^[9] 특히, 푸아송 다양체 $(M,\pi)$ 에 대응하는 공변접 준대수 $T^*M \to M$ 의 경우, 이 모듈러 클래스는 푸아송 구조 $\pi$ 의 모듈러 클래스와 일치한다.^[10]

리 군이 자신의 리 대수에 대해 수반 표현을 가지는 것과 달리, 임의의 리 군로이드는 일반적으로 자신의 리 준대수에 대한 정규적인 표현을 가지지 않는다. 그러나 호모토피까지 고려하는 더 일반적인 표현 개념을 도입하면 이러한 표현을 정의할 수 있다.

5. 4. 리 준대수 코호몰로지

리 준대수

A \to M

와 그 표현

(E, \nabla)

가 주어졌다고 하자.

E

벡터 다발의 값을 가지는

A

위의

n

-미분 형식들의 공간을

\Omega^n(A,E) := \Gamma(\wedge^n A^* \otimes E)

로 표기한다. 이때 다음과 같은 코쥘(Koszul) 형식의 미분 연산자

d^n: \Omega^n(A,E) \to \Omega^{n+1}(A,E)

를 정의할 수 있다.

d \omega(\alpha_0,\ldots,\alpha_n) := \sum_{i=1}^n (-1)^i \nabla_{\alpha_i} \big( \omega (\alpha_0, \ldots, \widehat{\alpha_i}, \ldots, \alpha_n) \big) - \sum_{i

여기서

\nabla

는 평탄하다고 가정한다. 이 조건 덕분에,

(\Omega^n(A,E),d^n)

은 코체인 복합체를 이루게 된다. 이 코체인 복합체의 코호몰로지를

H^*(A,E)

로 표기하며, 이를 표현

(E, \nabla)

를 계수로 하는 리 준대수

A

의 '''리 준대수 코호몰로지'''라고 부른다.

리 준대수 코호몰로지의 정의는 매우 일반적이어서, 여러 잘 알려진 코호몰로지 이론들을 특별한 경우로 포함한다.

리 준대수가 점으로 사상하는 리 대수 $\mathfrak{g} \to \{*\}$ 인 경우, 그 코호몰로지는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 슈발레-에일렌베르크 코호몰로지와 같다.
리 준대수가 다양체 $M$ 의 접다발인 경우, 즉 접 리 준대수 $TM \to M$ 의 코호몰로지는 다양체 $M$ 의 드람 코호몰로지와 같다.
리 준대수가 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 에서 오는 경우, 즉 엽층 구조 리 준대수 $\mathcal{F} \to M$ 의 코호몰로지는 엽층 구조 $\mathcal{F}$ 의 잎별 코호몰로지(leafwise cohomology)와 같다.
리 준대수가 푸아송 구조 $\pi$ 를 가진 다양체 $M$ 의 공변접다발인 경우, 즉 여접 리 준대수 $T^*M$ 의 코호몰로지는 푸아송 구조 $\pi$ 의 푸아송 코호몰로지(Poisson cohomology)와 같다.

6. 리 군-리 대수 대응

리 군에 대응하는 리 대수를 찾는 일반적인 방법은 리 군체와 리 준대수의 관계로 확장될 수 있다. 모든 리 군체 $G \rightrightarrows M$ 에 대해, 다음과 같은 방법으로 리 준대수 $\mathrm{Lie}(G)$ 를 정의할 수 있다.

먼저, 리 준대수의 기반이 되는 벡터 다발 $A$ 는 $\mathrm{Lie}(G) = A:=u^*T^sG$ 로 정의된다. 여기서 $T^s G \subseteq TG$ 는 출발점 사상(source map) $s: G \to M$ 에 대한 수직 벡터들로 이루어진 다발(수직 다발)이며, $u: M \to G$ 는 군체의 항등원 사상(unit map)이다. 즉, 항등원 사상을 통해 수직 다발을 밑공간 $M$ 위로 당겨온 것이 벡터 다발 $A$ 가 된다.

다음으로, 벡터 다발 $A$ 의 단면들의 공간 $\Gamma(A)$ 에는 리 괄호가 주어진다. 이는 $A$ 의 단면들이 $G$ 위의 오른쪽 불변 벡터장들과 자연스럽게 동일시될 수 있기 때문에, 오른쪽 불변 벡터장들의 리 괄호 연산을 그대로 가져와 정의한다.

마지막으로, 앵커 사상 $\rho: A \to TM$ 은 목표점 사상(target map) $t: G \to M$ 의 미분을 벡터 다발 $A$ 에 제한한 것, 즉 $\rho := dt_{\mid A}$ 로 정의된다.

이 구성은 대칭적이다. 즉, 출발점 사상과 목표점 사상의 역할을 바꾸고, 오른쪽 불변 벡터장 대신 왼쪽 불변 벡터장을 사용해도 유사한 리 준대수를 구성할 수 있다. 이렇게 얻어진 두 리 준대수 사이의 동형 사상은 군체의 역원 사상(inverse map) $i: G \to G$ 의 미분을 통해 주어진다.

리 준대수의 단면 $\alpha \in \Gamma(A)$ 에 대해, 흐름(flow)이라는 개념을 정의할 수 있다. 이는 1-모수 이분(bisection) $\phi^\epsilon_\alpha \in \mathrm{Bis}(G)$ 으로 주어지며, $\alpha$ 에 대응하는 오른쪽 불변 벡터장 $\tilde{\alpha} \in \mathfrak{X}(G)$ 의 흐름 $\phi^\epsilon_{\tilde{\alpha}} \in \mathrm{Diff}(G)$ 를 이용하여 $\phi^\epsilon_\alpha(x):= \phi^\epsilon_{\tilde{\alpha}}(1_x)$ 와 같이 정의된다. 여기서 $1_x$ 는 $x \in M$ 에서의 항등원이다.

이 흐름 개념을 사용하여, 리 군 이론의 지수 사상과 유사한 사상을 리 준대수에서도 정의할 수 있다. 이는 $\exp: \Gamma(A) \to \mathrm{Bis}(G)$ 로 주어지며, $\exp(\alpha)(x):= \phi^1_\alpha(x)$ 로 정의된다. 즉, 시간 $\epsilon=1$ 에서의 흐름 값이 지수 사상의 값이 된다.

6. 1. 리 함자

리 군

G

를 그에 대응하는 리 대수

\mathrm{Lie}(G)

로 보내는 대응 관계는 범주론적인 함자 구조의 일부로 이해할 수 있다. 구체적으로, 임의의 리 군 준동형 사상

\phi: G_1 \to G_2

가 주어졌을 때, 이 사상을 미분하여 관련된 리 대수 사이의 준동형 사상

d\phi_{\mid \mathrm{Lie}(G_1)}: \mathrm{Lie}(G_1) \to \mathrm{Lie}(G_2)

를 얻을 수 있다.

이러한 대응 관계는 리 군과 그 준동형 사상들의 범주에서, 리 대수와 그 준동형 사상들의 범주로 가는 함자를 정의한다. 이 함자를 '''리 함자'''라고 부른다.

6. 2. 군체에서 준대수로 유도되는 구조와 성질

리 군체

G\rightrightarrows M

와 그에 연관된 리 준대수

(A \to M, [\cdot,\cdot],\rho)

사이에는 여러 구조와 성질이 다음과 같이 연결된다:

등방 대수 '' $\mathfrak{g}_x(A)$ ''는 등방 군 '' $G_x$ ''의 리 대수이다.
'' $G$ ''의 궤도는 '' $A$ ''의 궤도와 일치한다.
'' $G$ ''가 전이적이고 사상 '' $(s,t): G \to M \times M$ ''이 침강사상인 것은 '' $A$ ''가 전이적이라는 것과 동치이다.
'' $G$ ''가 올다발 '' $P \to M$ ''에 작용할 때 ( $m: G \times_M P \to P$ ), 이는 '' $A$ ''의 무한소 작용(''infinitesimal action'') $a: \Gamma(A) \to \mathfrak{X}(P)$ 를 유도한다. 이 작용은 다음과 같이 정의된다: $a(\alpha)_p := d_{1_{\mu(p)}} m (\cdot, p) (\alpha_{\mu(p)}) = d_{(1_{\mu(p)},p)} m (\alpha_{\mu(p)},0)$ .
벡터 다발 '' $E \to M$ ''에 대한 '' $G$ ''의 표현은 '' $A$ ''의 표현 '' $\nabla$ ''를 유도한다. 이는 다음과 같이 정의된다: $\nabla_\alpha \sigma (x):= \frac{d}{d \epsilon}_{\mid \epsilon=0} \Big(\phi^\epsilon_\alpha(x) \Big)^{-1} \cdot \sigma \Big (t (\phi^\epsilon_\alpha(x) )\Big)$ . 또한, 함자 $\mathrm{Rep}(G) \to \mathrm{Rep}(A)$ 가 존재하며, '' $G$ ''가 원점 단일 연결(source simply connected)이면 이는 동형 사상이 된다.
반 에스트 사상(''van Est map'') $VE^k: H_d^k(G,E) \to H^k(A,E)$ 이 존재한다. 이는 '' $E$ ''-계수를 갖는 '' $G$ ''의 미분 가능 코호몰로지에서 '' $E$ ''-계수를 갖는 '' $A$ ''의 코호몰로지로 가는 사상이다. 만약 '' $G$ ''의 '' $s$ ''-올(fiber)이 호몰로지적으로 '' $n$ ''-연결되어 있다면, 반 에스트 사상은 '' $k \leq n$ ''에 대해 동형사상이고, '' $k = n+1$ ''에 대해 단사 사상이다.^[11]

6. 3. 예시

리 군 $G \rightrightarrows \{*\}$ 의 리 준대수는 해당 리 군의 리 대수 $\mathfrak{g} \to \{*\}$ 이다.
다양체 $M$ 위의 쌍 군체 $M\times M \rightrightarrows M$ 와 기본 군체 $\Pi_1(M) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 접다발 $TM \to M$ 이다.
다양체 $M$ 위의 단위 군체 $u(M) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 영 벡터 다발 $M \times \{0\} \to M$ 이다.
리 군 다발 $G \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 대응하는 리 대수 다발 $A \to M$ 이다.
리 군 $G$ 가 다양체 $M$ 에 작용할 때 정의되는 작용 군체 $G\times M \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 작용 준대수 $\mathfrak{g} \times M \to M$ 이다. 여기서 $\mathfrak{g}$ 는 $G$ 의 리 대수이다.
주다발 $P \to M$ 에 대한 게이지 군체 $(P \times P)/G \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 아티야 준대수 $TP/G \to M$ 이다.
벡터 다발 $E \to M$ 위의 일반 선형 군체 $GL(E) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 일반 선형 리 대수 다발 $\mathfrak{gl}(E) \to M$ 이다.
엽층 $\mathcal{F}$ 의 홀로노미 군체 $\mathrm{Hol}(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ 와 모노드로미 군체 $\Pi_1(\mathcal{F}) \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 엽층 $\mathcal{F} \to M$ 자체이다.
리 군 $G$ 의 접다발 $TG$ 로 구성된 접선 군체 $TG \rightrightarrows TM$ 의 리 준대수는 $G$ 의 리 대수 $A = \mathrm{Lie}(G)$ 의 접다발인 $TA \to TM$ 이다.
리 군 다발 $G \rightrightarrows M$ 의 $k$ -제트로 구성된 제트 군체 $J^k G \rightrightarrows M$ 의 리 준대수는 대응하는 리 대수 다발 $A = \mathrm{Lie}(G)$ 의 $k$ -제트 다발인 $J^k A \to M$ 이다.

7. 리 준대수의 적분

리 준대수를 '적분'한다는 것은 해당 리 준대수가 어떤 리 군군 $G \rightrightarrows M$ 의 미분 구조, 즉 $\mathrm{Lie}(G)$ 와 동형인지를 묻는 문제이다.^[12] 만약 이러한 리 군군이 존재하면, 리 준대수는 '''적분 가능'''하다고 한다.

고전적인 리 대수의 경우, 리 제3정리에 의해 모든 유한 차원 리 대수는 연결 단순 연결 리 군으로 적분될 수 있다. 그러나 리 준대수의 경우에는 상황이 다르다. 모든 리 준대수가 리 군군으로 적분될 수 있는 것은 아니며,^[15] 이는 리 준대수 이론의 중요한 특징 중 하나이다.

리 준대수의 적분 가능성에 대한 조건과 장애물은 오랫동안 연구되어 왔으며, 크라이닉과 페르난데스는 적분 가능성을 판별하는 일반적인 기준을 제시했다.^[17] 이는 '모노드로미 군'과 같은 개념과 관련되며, 특정 조건(예: 모노드로미 군의 이산성)을 만족해야 적분이 가능하다.

어떤 종류의 리 준대수는 항상 적분 가능하지만(예: 리 대수, 주 다발의 Atiyah algebroid|아티야 준대수^eng, foliation algebroid|엽층 준대수^eng 등^[21]^[12]), 특정 기하학적 구조에서 유도되는 리 준대수는 적분이 불가능한 경우도 존재한다.^[17] 적분 가능 여부는 리 준대수의 구조와 그것이 정의된 다양체의 위상적 성질에 따라 달라진다.

7. 1. 리 정리

리 준대수는 어떤 리 군군

G \rightrightarrows M

에 대해 동형일 경우, 즉

\mathrm{Lie}(G)

와 동형인 경우 '''적분 가능'''하다고 한다. 고전적인 '''리 제1정리'''의 리 준대수 버전은 다음과 같다.^[12]

만약 $A$ 가 적분 가능한 리 준대수라면, $A$ 를 적분하는 유일한(동형까지) $s$ -단순 연결 리 군군 $G$ 가 존재한다.

마찬가지로, 적분 가능한 리 준대수 사이의 사상

F: A_1 \to A_2

는 만약 그것이

A_1

과

A_2

의 두 적분 사이의 어떤 사상

\phi: G_1 \to G_2

에 대한 미분

F = d\phi_{ \mid A}

인 경우, '''적분 가능'''하다고 한다. 고전적인 '''리 제2정리'''의 리 준대수 버전은 다음과 같다.^[13]

만약 $F: \mathrm{Lie}(G_1) \to \mathrm{Lie}(G_2)$ 가 적분 가능한 리 준대수의 사상이고, $G_1$ 이 $s$ -단순 연결이라면, $F$ 를 적분하는 유일한 리 군군의 사상 $\phi: G_1 \to G_2$ 가 존재한다.

특히,

G_2

를 벡터 다발

E

의 일반 선형 군군

GL(E)

로 선택하면, 적분 가능한 리 준대수의 모든 표현은 해당

s

-단순 연결 적분 리 군군의 표현으로 적분된다는 것을 알 수 있다.

반면에, 고전적인 '''리 제3정리'''의 리 준대수 버전은 존재하지 않는다. 즉, 모든 리 준대수가 리 군군으로 적분될 수 있는 것은 아니다. 프라디네스(Pradines)는 그러한 명제가 성립한다고 주장했지만,^[14] 적분 불가능한 리 준대수의 첫 번째 명시적 예시는 엽층 이론 등에서 비롯되어 몇 년 후에 나타났다.^[15] 추이적인 경우에 대한 완전한 해를 포함한 여러 부분적인 결과에도 불구하고,^[16] 임의의 리 준대수가 적분 가능한지에 대한 일반적인 장애물은 2003년에 크라이닉(Marius Crainic)과 페르난데스(Rui Loja Fernandes)에 의해서야 발견되었다.^[17] 더 일반적인 접근 방식을 사용하면, 모든 리 준대수는 스태키(stacky) 리 군군으로 적분된다는 것을 알 수 있다.^[18]^[19]

7. 2. Ševera-Weinstein 군체

임의의 리 대수

A

가 주어졌을 때, 그 적분(integration)의 자연스러운 후보는

G(A):= P(A)/\sim

로 주어진다. 여기서

P(A)

는

A

-경로(path)들의 공간을 나타내고,

\sim

는 이들 사이의

A

-호모토피(homotopy) 관계를 나타낸다. 이 구성은 종종 '''바인슈타인 군체'''(Weinstein groupoid) 또는 '''셰베라-바인슈타인 군체'''(Ševera-Weinstein groupoid)라고 불린다.^[20]^[17]

실제로,

G(A)

는 경로의 연결(concatenation)에 의해 유도된 곱셈 연산을 갖는

s

-단순 연결 위상 군체(topological groupoid)임을 보일 수 있다. 또한, 만약 리 대수

A

가 적분 가능하다면,

G(A)

는 매끄러운 구조(smooth structure)를 가지며, 이는

A

를 적분하는 유일한

s

-단순 연결 리 군체(Lie groupoid)와 일치한다.

따라서, 리 대수

A

의 적분 가능성에 대한 유일한 방해 요소는

G(A)

가 매끄러운 구조를 가질 수 있는지 여부에 있다. 이러한 접근 방식은 임의의 리 대수와 관련된 '''모노드로미 군'''(monodromy group)이라는 객체의 도입으로 이어졌으며, 다음과 같은 기본적인 결과가 도출되었다.^[17]

리 대수는 그 모노드로미 군이 균일하게 이산적(uniformly discrete)일 때만 적분 가능하다.

이러한 진술은 리 대수가 추이적(transitive)인 경우 더 간단해진다.

추이적인 리 대수는 그 모노드로미 군이 이산적(discrete)일 때만 적분 가능하다.

위의 결과는 또한 모든 리 대수가 '국소' 리 군체(local Lie groupoid, 대략적으로 말하면 곱셈 연산이 항등원 근방에서만 정의되는 리 군체)로는 적분을 허용한다는 것을 보여준다.

7. 3. 적분 가능한 예시

리 대수는 리 제3정리에 따라 항상 적분 가능하다.
주 다발의 Atiyah algebroid|아티야 준대수^eng는 항상 적분 가능하며, 해당 주 다발의 게이지 군체로 적분된다.
주입적 앵커(injective anchor)를 갖는 리 준대수는 항상 적분 가능하다. 이는 엽층 준대수(foliation algebroid)를 포함하며, 프로베니우스 정리와 관련된다.
리 대수 다발은 항상 적분 가능하다.^[21]
action Lie algebroid|작용 리 준대수^eng는 항상 적분 가능하다. 다만, 그 적분이 반드시 action Lie groupoid|작용 리 군체^eng인 것은 아니다.^[22]
적분 가능한 리 준대수의 임의의 Lie subalgebroid|리 부분 준대수^eng 역시 적분 가능하다.^[12]

7. 4. 적분 불가능한 예시

닫힌 2-형식

\omega \in \Omega^2(M)

와 연관된 리 준대수

A_\omega = TM \times \mathbb{R} \to M

를 생각해 보자. 이 리 준대수의 적분 가능성은

\omega

와 관련된 '''구면 주기군'''

\Lambda

와 밀접한 관련이 있다. 구면 주기군

\Lambda

는 다음 호모토피 군의 두 번째 군 준동형 사상의 이미지(치역)로 정의된다.

\Phi: \pi_2(M) \to \mathbb{R}: \quad [f] \mapsto \int_{S^2} f^*\omega.

여기서

[f]

는

S^2

에서

M

으로 가는 연속 사상

f

의 호모토피 동치류를 나타내고, 적분은

f

에 의해 당겨진(pulled back) 2-형식

f^*\omega

를 구면

S^2

위에서 적분하는 것을 의미한다. 결과적으로

\Lambda

는

\mathbb{R}

의 부분군이 된다.

리 준대수

A_\omega

는 추이적(transitive)이다. 추이적인 리 준대수가 적분 가능하다는 것은, 그것이 어떤 주다발(principal bundle)의 아티야 대수(Atiyah algebroid)와 같다는 것을 의미한다. 더 자세히 분석하면, 이 조건은 구면 주기군

\Lambda \subseteq \mathbb{R}

이 격자, 즉 이산적인 부분군일 때와 동치임을 알 수 있다.

만약

\Lambda

가 격자가 아니라면, 리 준대수

A_\omega

는 적분 불가능하다. 이러한 예시 중 하나는

M = S^2 \times S^2

(두 개의 구면의 곱공간)이고,

\omega = \mathrm{pr}_1^* \sigma + \sqrt2 \mathrm{pr}_2^* \sigma \in \Omega^2(M)

인 경우이다. 여기서

\sigma \in \Omega^2(S^2)

는 구면

S^2

의 면적 형식(area form)이고,

\mathrm{pr}_i^*

는

i

번째 인자로의 사영(projection)에 의한 당김(pullback)이다. 이 경우, 구면 주기군

\Lambda

는

\mathbb{Z}+\sqrt2 \mathbb{Z}

가 된다. 이 집합은

\mathbb{R}

에서 조밀하며, 이산적이지 않으므로 격자가 아니다. 따라서 이 경우의 리 준대수

A_\omega

는 적분 불가능하다.

8. 역사

리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘Jean Pradines^프랑스어이 도입하였다.^[27]

참조

_[1] 논문 Théorie de Lie pour les groupoïdes dif́férentiables. Calcul différentiel dans la caté́gorie des groupoïdes infinitésimaux https://gallica.bnf.[...] 1967
_[2] arXiv On the integration of transitive Lie algebroids 2021-05-08
_[3] 논문 Pseudo-algèbres de Lie 1953
_[4] 논문 Poisson-Nijenhuis structures http://www.numdam.or[...] 1990
_[5] 논문 Quasi-derivations and QD-algebroids https://www.scienced[...] 2003-12-01
_[6] 논문 Foliated groupoids and infinitesimal ideal systems 2014-10-01
_[7] 서적 General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2005
_[8] 간행물 Lie groupoids and Lie algebroids http://www.math.toro[...] Eckhard Meinrenken 2017
_[9] 논문 Transverse measures, the modular class and a cohomology pairing for Lie algebroids https://doi.org/10.1[...] 1999-12-01
_[10] 논문 The modular automorphism group of a Poisson manifold https://linkinghub.e[...] 1997
_[11] 논문 Differentiable and algebroid cohomology, Van Est isomorphisms, and characteristic classes https://www.ems-ph.o[...] 2003-12-31
_[12] 논문 On integrability of infinitesimal actions http://muse.jhu.edu/[...] 2002
_[13] 논문 Integration of Lie bialgebroids https://www.scienced[...] 2000-05-01
_[14] 논문 Troisieme théorème de Lie pour les groupoides différentiables https://gallica.bnf.[...] 1968
_[15] 논문 Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complets 1985
_[16] 서적 Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 1987
_[17] 논문 Integrability of Lie brackets 2003
_[18] 논문 Integrating Lie algebroids via stacks 2006
_[19] arXiv Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids 2006
_[20] 논문 Some title containing the words “homotopy” and “symplectic”, e.g. this one https://math.uni.lu/[...] University of Luxembourg 2005
_[21] 논문 Espaces fibrés en algèbres de Lie et en groupes https://doi.org/10.1[...] 1966-06-01
_[22] 논문 Groupoïde d'holonomie et géométrie globale https://www.scienced[...] 1997-01-01
_[23] 저널 https://www.ams.org/[...] 1996
_[24] 서적 https://archive.org/[...] 1987
_[25] 서적 2005
_[26] 저널 2002
_[27] 저널 1967

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com