양자 소용돌이

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1. 개요
2. 초유동에서의 양자 소용돌이
3. 초전도에서의 양자 소용돌이 (아브리코소프 소용돌이)
- 3.1. 아브리코소프 소용돌이의 자기장 분포
4. 강자성체 및 반강자성체에서의 양자 소용돌이
5. 양자 소용돌이의 통계 역학
6. 양자 소용돌이의 쌍 상호작용
7. 자발적 양자 소용돌이
참조

1. 개요

양자 소용돌이는 초유동체나 초전도체에서 나타나는 소용돌이 형태를 의미한다. 초유동체에서는 소용돌이 축을 중심으로 유체가 회전하며, 순환이 양자화된다. 초전도체에서는 자기장의 침입을 막는 마이스너 효과로 인해 양자 소용돌이 격자가 형성될 수 있으며, 특히 아브리코소프 소용돌이는 제2종 초전도체에서 자속 양자가 관통할 때 나타나는 초전도 전류의 와류이다. 강자성체 및 반강자성체에서도 소용돌이 상태가 나타나 정보 저장에 활용될 수 있으며, 양자 소용돌이는 통계 역학 및 쌍 상호작용 연구의 대상이 된다. 또한, 키블-주렉 메커니즘을 통해 자발적으로 생성될 수 있다.

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양자 소용돌이
개요
정의	양자화된 유체 흐름의 선적분
관련 물리량	초유체 초전도체 보스-아인슈타인 응축
발견	라스 온사거(1949) 리처드 파인만(1955)
연구	알렉세이 아브리코소프(초전도체) 조 빈েন(액체 헬륨)
초유체에서의 양자 소용돌이
특성	에너지 최소화 위상 특이점
선적분 값	h/m (h는 플랑크 상수, m은 입자 질량)
입자 종류	4He 원자 (액체 헬륨) 알칼리 금속 원자 (기체 BEC)
초전도체에서의 양자 소용돌이 (플럭손)
특성	자기장 양자화 아브리코소프 소용돌이 격자 형성
선적분 값	h/2e (e는 기본 전하)
입자 종류	쿠퍼 쌍
기타 시스템
해당 시스템	원자 충돌 광학 소용돌이 액체 결정 우주 진공

2. 초유동에서의 양자 소용돌이

초유동체에서 양자 소용돌이는 소용돌이 축을 중심으로 초유동체가 순환하는 위상적 결함, 즉 일종의 구멍이다. 소용돌이 내부에는 초유동체가 존재하지 않으며, 대신 들뜬 입자, 공기, 또는 진공 상태 등이 있을 수 있다. 소용돌이 선(vortex line)의 두께는 유체의 종류에 따라 다르다. 예를 들어, 액체 헬륨에서는 그 두께가 몇 옹스트롬 정도이며, 구체적으로 헬륨-4 (⁴He)에서는 약 1Å (옹스트롬), 헬륨-3 (³He)에서는 약 100nm의 오더이다. 특히 초유동 헬륨-4에서 양자 소용돌이는 비교적 단순한 구조를 가지며, 소용돌이 중심은 질서 변수의 특이점으로 기술될 수 있다.

초유동성의 핵심적인 특징은 계 전체를 설명하는 거시적 파동 함수 $\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{\rho(\mathbf{r})} e^{i\phi(\mathbf{r})}$ 로부터 비롯된다. 여기서 $\rho(\mathbf{r})$ 는 초유동체의 밀도이고, $\phi(\mathbf{r})$ 는 파동 함수의 위상이다. 초유동체의 국소적 속도 $\boldsymbol{v}_s$ 는 이 위상의 기울기에 비례한다.

: $\boldsymbol{v}_s = \frac{\hbar}{m} \nabla \phi$

여기서 $\hbar$ 는 환산 플랑크 상수이고, m은 초유동체를 구성하는 입자(예: 헬륨 원자)의 질량이며, $\nabla$ 는 나블라 연산자이다.

유체 내에서 임의의 닫힌 경로 C를 따라 순환 $\Gamma$ 를 정의할 수 있다. 만약 경로 C로 둘러싸인 영역이 단순 연결되어 있고 초유동체로 완전히 채워져 있다면, 스토크스 정리에 의해 순환은 0이 된다 ( $\nabla \times \boldsymbol{v}_s \propto \nabla \times (\nabla\phi) = \vec{0}$ 이므로). 이는 초유동 흐름이 기본적으로 비회전성이며 포텐셜 흐름임을 의미한다.

하지만 경로 C가 양자 소용돌이 선을 둘러싸는 경우, 경로 내부 영역은 단순 연결이 아니게 된다(소용돌이 중심에는 초유동체가 없기 때문). 이 경우 경로를 따라 적분한 순환은 0이 아닐 수 있다.

: $\Gamma = \oint_{C} \boldsymbol{v}_s \cdot d\boldsymbol{l} = \frac{\hbar}{m} \oint_{C} \nabla\phi \cdot d\boldsymbol{l} = \frac{\hbar}{m} \Delta\phi_C$

여기서 $\Delta\phi_C$ 는 경로 C를 따라 한 바퀴 돌았을 때 파동 함수의 총 위상 변화량이다. 파동 함수는 공간에서 단일 값(single-valued)을 가져야 하므로, 경로를 한 바퀴 돌아 출발점으로 돌아왔을 때 위상 $\phi$ 는 $2\pi$ 의 정수 배만큼만 변할 수 있다. 즉, $\Delta\phi_C = 2\pi n$ 이며, 여기서 n은 정수이다.

결과적으로 초유동체 내의 순환은 다음과 같이 양자화된다.

: $\Gamma = \oint_{C} \boldsymbol{v}_s \cdot d\boldsymbol{l} = n \frac{h}{m}$

여기서 $h = 2\pi\hbar$ 는 플랑크 상수이다. 기본 단위 $\kappa = h/m$ 를 '''순환 양자'''(quantum of circulation)라고 부른다. 에너지 고려에 따르면, n=1인 소용돌이가 가장 안정적이며, n ≥ 2인 소용돌이는 n=1인 소용돌이 여러 개로 나뉘는 것이 에너지적으로 더 유리하다. 따라서 실제 초유동체에서 관찰되는 양자 소용돌이는 대부분 n=1의 순환 양자를 가진다.

3. 초전도에서의 양자 소용돌이 (아브리코소프 소용돌이)

초전도체의 주요 특성 중 하나는 자기장을 밀어내는 마이스너 효과이다. 그러나 자기장이 충분히 강해지면 초전도 상태가 파괴되기도 하는데, 제2종 초전도체의 경우 초전도 상태를 유지하면서 양자화된 자기 선속을 운반하는 양자 소용돌이 격자를 형성하는 것이 에너지 측면에서 더 유리할 수 있다. 이러한 소용돌이 격자를 형성할 수 있는 초전도체를 제2종 초전도체라고 하며, 초전도체에서 소용돌이가 양자화되는 현상은 일반적으로 나타난다.

초전도체 내부의 어떤 닫힌 면적 S를 통과하는 자기 선속 $\Phi$ 는 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\Phi = \iint_S\mathbf{B}\cdot\mathbf{\hat{n}}\,d^2x = \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$

여기서 $\mathbf B$ 는 자기선속 밀도이고, 두 번째 등식은 스토크스 정리를 이용한 것이다.

런던 방정식으로부터 얻어지는 초전도 전류 밀도 $\mathbf{j}_s$ 와 위상 $\phi$ 의 관계식( $\mathbf{j}_s = -\frac{n_se_s^2}{m} \mathbf{A} + \frac{n_se_s\hbar}{m} \boldsymbol{\nabla}\phi$ )을 이용하면 자기 선속은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $\Phi =-\frac{m}{n_s e_s^2}\oint_{\partial S}\mathbf{j}_s\cdot d\mathbf{l} +\frac{\hbar}{e_s} \oint_{\partial S}\boldsymbol{\nabla}\phi\cdot d\mathbf{l}$

여기서 ''n_s'', ''m'', ''e_s''는 각각 쿠퍼 쌍의 수 밀도, 질량, 전하이다.

만약 초전도체 내부 깊숙한 곳처럼 전류 밀도 $\mathbf{j}_s$ 가 0인 경로 $\partial S$ 를 따라 적분하면 첫 번째 항은 사라진다. 또한, 파동 함수의 위상 $\phi$ 는 경로를 한 바퀴 돌아왔을 때 $2\pi$ 의 정수배만큼만 변할 수 있으므로( $\Delta^\text{tot}\phi = 2\pi n$ ), 자기 선속은 다음과 같이 양자화된다.

: $\Phi = \frac{\hbar}{e_s} \oint_{\partial S}\boldsymbol{\nabla}\phi\cdot d\mathbf{l} = \frac{\hbar}{e_s} \Delta^\text{tot}\phi = \frac{2\pi\hbar}{e_s}n$

여기서 n은 정수이다. 쿠퍼 쌍의 전하 $e_s$ 는 전자 전하 e의 두 배인 $2e$ 이므로, 자속 양자화의 기본 단위는 $\Phi_0 = h/2e$ 가 된다. 이를 '''자속 양자(magnetic flux quantum)'''라고 하며, 그 값은 약 2.068×10^-15 Wb이다.^[23]

제2종 초전도체에서 나타나는 이러한 양자 소용돌이는 특히 '''아브리코소프 소용돌이'''(Abrikosov vortex)라고 불린다. 이는 알렉세이 아브리코소프가 1957년에 이론적으로 예측한 것으로^[24], 자속 양자가 제2종 초전도체를 관통할 때 그 주위에 형성되는 초전도 전류의 와류를 말한다. 아브리코소프 소용돌이의 중심부는 상전도 상태이며, 그 주위의 초전도 영역을 따라 고리 모양의 초전도 전류가 흐른다. 이 소용돌이의 크기(상전도 중심부의 반경)는 긴즈버그-란다우 이론의 결맞음 길이 ξ와 관련이 있으며, 전류 밀도는 런던 침투 깊이 λ 정도의 범위에 걸쳐 분포하며 중심에서 멀어질수록 지수 함수적으로 감소한다. 각 소용돌이는 하나의 자속 양자 $\Phi_0$ 를 운반한다.

외부 자기장이 특정 임계 자기장( $H_{c1}$ )을 넘어서면, 자기장은 이러한 아브리코소프 소용돌이 형태로 초전도체 내부로 침투하기 시작한다. 이상적인 경우, 이 소용돌이들은 서로 반발하여 안정된 삼각 격자 형태를 이루며 배열되는데, 이를 아브리코소프 격자라고 한다. 이 격자의 평균적인 소용돌이 밀도는 외부에서 가해준 자기장의 세기에 비례한다. 실제 초전도체에서는 격자 결함 등에 소용돌이가 고정(pinning)될 수 있다. 소용돌이 내부를 흐르는 전류는 전자기 유도를 통해 약간의 전기 저항을 유발하여 에너지 손실의 원인이 되기도 한다.^[8]

3. 1. 아브리코소프 소용돌이의 자기장 분포

아브리코소프 소용돌이가 만드는 자기장은 단일 자속 양자

\Phi_0

와 같다. 때로는 이를 양자론적 관점에서 플럭손이라고 부르기도 한다.

소용돌이 중심에서 충분히 먼 거리(

r \gg \lambda

, 여기서

\lambda

는 런던 침투 깊이)에서 자기장

B(r)

의 분포는 다음과 같이 기술된다.

:

B(r) = \frac{\Phi_0}{2\pi\lambda^2}K_0\left(\frac{r}{\lambda}\right)\approx \sqrt{\frac{\lambda}{r}} \exp\left(-\frac{r}{\lambda}\right)

여기서

K_0(z)

는 0차 베셀 함수이다. 이 식에 따르면, 자기장은 중심에서 멀어질수록 지수 함수적으로 감소한다.

위 식을

r \to 0

으로 극한을 취하면, 자기장은

B(r)\propto\ln(\lambda/r)

가 되어 대수 함수적으로 발산하는 것처럼 보인다. 그러나 실제 소용돌이 중심(

r\lesssim\xi

, 여기서

\xi

는 결맞음 길이)에서는 자기장이 유한한 값을 가지며, 다음과 같이 주어진다.

:

B(0)\approx \frac{\Phi_0}{2\pi\lambda^2}\ln\kappa

여기서

\kappa = \lambda / \xi

는 긴즈버그-란다우 파라미터라고 불리는 중요한 물리량이다. 제2종 초전도체는

\kappa>1/\sqrt{2}

조건을 만족하는 초전도체를 의미한다.

4. 강자성체 및 반강자성체에서의 양자 소용돌이

강자성체 또는 반강자성체 물질 내의 소용돌이 상태는 정보 기술 측면에서 중요하게 다루어진다.^[9] 이러한 소용돌이는 초유체나 초전도체의 경우와는 다른, 더 복잡한 수학적 접근을 필요로 한다. 일반적인 소용돌이의 와도( $\vec \Omega (\mathrm r,t)$ )는 공간 및 시간 좌표에 대한 함수이고, $\delta (x,y)$ 는 디랙 델타 함수일 때 $\operatorname{curl} \ \vec v (x,y,z,t)\propto\vec \Omega (\mathrm r,t)\cdot\delta (x,y)$ 형태의 방정식으로 표현될 수 있다. 하지만 강자성체 및 반강자성체에서는 다음과 같은 형태를 가진다.

$\operatorname{curl} \, \vec v (x,y,z,t)\propto\vec m_\mathrm{eff} (\mathrm r,t)\cdot\delta(x,y)$

여기서 중요한 점은 임의의 지점과 시간에 대해 자화 벡터 $\vec m(x,y,z,t)$ 의 크기가 $M_0$ 라는 상수로 일정하게 유지되어야 한다는 제약 조건 $m_x^2(\mathrm r, t)+m_y^2(\mathrm r,t)+m_z^2(\mathrm r,t)\equiv M_0^2$ 이 존재한다는 것이다. 이 제약 조건 때문에 위 방정식에서 자화 벡터 $\vec m$ 은 더 복잡한 형태의 유효 자화 벡터 $\vec m_\mathrm{eff}$ 로 수정되어 나타난다.

이러한 특성으로 인해 강자성체 또는 반강자성체 내의 소용돌이는 이동을 통해 정보를 저장하고 인식하는 데 활용될 수 있다. 예를 들어, 이는 양자수 ''n''의 변화에 해당할 수 있다.^[9] 자화는 일반적인 방위각 방향을 가지며, 초유체에서처럼 와도 양자화를 갖더라도, 소용돌이 중심에 가까워질수록 자화 방향은 방위각 방향에서 위 또는 아래 방향으로 변하게 된다. 이는 원형 적분선이 중심 축에서 충분히 멀리 떨어져 있을 때와는 다른 양상이다.

결과적으로, 각 방향 요소 $\mathrm d\varphi \,\mathrm d\vartheta$ 에 대해 두 가지 상태가 아닌 네 가지 상태, 즉 네 비트의 정보를 저장할 수 있게 된다. 처음 두 비트는 소용돌이의 회전 방향(시계 방향 또는 시계 반대 방향)과 관련되고, 나머지 두 비트는 중심 특이선의 편광(위 또는 아래 방향)과 관련된다. 이러한 회전 방향이나 편광의 변화는 위상수학과 관련된 복잡한 현상이다.^[10]

5. 양자 소용돌이의 통계 역학

온사거와 파인만은 초유체나 초전도체의 온도가 올라갈 때 소용돌이 고리가 2차 상전이를 겪을 수 있음을 보였다. 이는 구성 엔트로피가 소용돌이 선의 생성을 억제하는 볼츠만 인자를 극복할 때 발생하며, 이때 소용돌이 선들이 응축물을 형성하게 된다. 소용돌이 선의 중심인 소용돌이 코어는 일반 액체 또는 일반 도체 상태이기 때문에, 이러한 응축 과정은 초유체나 초전도체를 일반 상태로 되돌린다. 소용돌이 선들의 앙상블과 이들의 상전이는 게이지 이론을 통해 효과적으로 설명될 수 있다.

1949년 온사거는 유한한 영역에 갇힌 중성 점 소용돌이 시스템 모델을 분석했다.^[1] 그는 2차원 점 소용돌이의 특성 때문에 경계가 있는 영역(즉, 유한한 위상 공간) 내의 시스템이 음의 온도를 가질 수 있음을 밝혔다. 이는 일부 고립된 시스템이 음의 볼츠만 온도를 가질 수 있다는 최초의 예측이었다. 온사거의 예측은 2019년 보스-아인슈타인 응축 상태의 양자 소용돌이 시스템 실험을 통해 확인되었다.^[11]^[12]

6. 양자 소용돌이의 쌍 상호작용

비선형 양자 유체에서 소용돌이 코어의 동역학과 구성은 유효한 소용돌이-소용돌이 쌍 상호작용의 관점에서 연구될 수 있다. 유효한 소용돌이 간 포텐셜은 양자 상전이에 영향을 미치고, 몇 개의 소용돌이 분자 및 다체 소용돌이 패턴을 발생시키는 것으로 예측된다.^[13]^[14]

엑시톤-폴라리톤 유체라는 특정 시스템에서 수행된 예비 실험은 두 개의 동일 방향 소용돌이 사이에서 유효한 인력-반발 소용돌이 간 동역학을 보여주었으며, 이 인력 성분은 유체의 비선형성 양에 의해 조절될 수 있다.^[15]

7. 자발적 양자 소용돌이

양자 소용돌이는 키블-주렉 메커니즘을 통해 형성될 수 있다. 급냉각을 통해 응축물이 만들어질 때, 각각 독립적인 위상을 가진 원시 응축물들이 먼저 생긴다. 이후 이러한 위상 영역들이 서로 합쳐지는 과정에서, 양자 소용돌이가 생성되는 응축물의 질서 매개변수 안에 갇히게 될 수 있다. 2008년에는 원자 보스-아인슈타인 응축 상태에서 자발적으로 양자 소용돌이가 발생하는 것이 관찰되었다.^[16]

참조

_[1] 논문 Analysis of low-field isotropic vortex glass containing vortex groups in YBa₂Cu₃O_7−x thin films visualized by scanning SQUID microscopy
_[2] 논문 Statistical Hydrodynamics
_[3] 논문 Application of quantum mechanics to liquid helium
_[4] 논문 "On the Magnetic properties of superconductors of the second group" https://archive.toda[...]
_[5] 논문 Vortices in a Bose–Einstein Condensate
_[6] 논문 Theory of Deep Minima in $(e,2e)$ Measurements of Triply Differential Cross Sections 2010-01-20
_[7] 논문 Vortices in ionization collisions by positron impact http://stacks.iop.or[...]
_[8] 웹사이트 First vortex 'chains' observed in engineered superconductor http://www.physorg.c[...] Physorg.com 2017-06-20
_[9] 뉴스 "Magnetic vortices in nanodisks reveal information" http://phys.org/news[...] Phys.org 2015-03-03
_[10] 간행물 "Polarity Switching in Magnets with Surface Anisotropy" https://arxiv.org/ab[...] arxiv.org 2015-01
_[11] 논문 Giant vortex clusters in a two-dimensional quantum fluid
_[12] 논문 Evolution of large-scale flow from turbulence in a two-dimensional superfluid
_[13] 논문 Pattern formation in vortex matter with pinning and frustrated intervortex interactions
_[14] 논문 Equilibrium vortex structures of type-II/1 superconducting films with washboard pinning landscapes 2018
_[15] 논문 Interactions and scattering of quantum vortices in a polariton fluid
_[16] 논문 Spontaneous vortices in the formation of Bose–Einstein condensates
_[17] 논문 Statistical hydrodynamics
_[18] 논문 Application of quantum mechanics to liquid helium
_[19] 논문 On the Magnetic properties of superconductors of the second group http://www.mn.uio.no[...]
_[20] 논문 On the Magnetic properties of superconductors of the second group
_[21] 논문 Detection of Single Quanta of Circulation in Rotating Helium II
_[22] 논문 The detection of single quanta of circulation in liquid helium II
_[23] 웹사이트 magnetic flux quantum - 2010 CODATA recommended values http://physics.nist.[...] 2013-02-04
_[24] 논문 The magnetic properties of superconducting alloys http://www.sciencedi[...]

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