역학적 에너지

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1. 개요
2. 역학적 에너지의 정의
- 2.1. 위치 에너지
- 2.2. 운동 에너지
3. 역학적 에너지 보존 법칙
4. 역학적 에너지의 소산 (비보존력)
5. 에너지 변환
6. 다른 형태의 에너지와의 구분
참조

1. 개요

역학적 에너지는 물체의 위치 에너지와 운동 에너지의 합으로 정의되는 스칼라량이다. 역학적 에너지 보존 법칙에 따르면, 보존력만 작용하는 고립계에서 역학적 에너지는 일정하게 유지된다. 그러나 마찰력과 같은 비보존력이 존재하면 역학적 에너지는 감소하며, 이러한 에너지 손실은 열 에너지로 변환된다. 역학적 에너지는 전동기, 발전기, 수력 발전소, 내연 기관 등 다양한 장치에서 다른 형태의 에너지로 변환될 수 있으며, 화학 에너지, 핵 에너지, 전자기 에너지 등 다른 형태의 에너지와 구분된다.

2. 역학적 에너지의 정의

역학적 에너지는 스칼라량이며, 시스템의 역학적 에너지는 위치 에너지와 운동 에너지의 합으로 나타낸다.^[1]^[2]

: $E_\text{mechanical}=U+K$

보존력만 받는 물체 또는 시스템의 경우, 역학적 에너지는 일정하게 유지된다(역학적 에너지 보존의 법칙).^[10] 보존력에 의한 일은 경로에 무관하지만, 비보존력에 의한 일은 경로에 의존한다.^[11]^[12]

2. 1. 위치 에너지

위치 에너지는 보존력을 받는 물체의 위치에 따라 달라진다. 물체의 중력 위치 에너지는 물체의 무게 ''W''에 임의의 기준점과 관련된 물체의 질량 중심 높이 ''h''를 곱한 값과 같다.

:

U = W h

물체의 위치 에너지는 물체가 일을 할 수 있는 능력으로 정의될 수 있으며, 물체가 힘의 반대 방향으로 이동할 때 증가한다.^[1] ''F''가 보존력, ''x''가 위치를 나타내는 경우, 두 위치 ''x₁''과 ''x₂'' 사이의 힘의 위치 에너지는 ''x₁''에서 ''x₂''까지의 ''F''의 음의 적분으로 정의된다.^[4]

:

U = - \int_{x_1}^{x_2} \vec{F}\cdot d\vec{x}

2. 2. 운동 에너지

운동 에너지(''K'')는 물체의 속도에 따라 다르며, 움직이는 물체가 다른 물체와 충돌할 때 다른 물체에 일을 할 수 있는 능력이다.^[8] 이것은 물체의 질량과 속도의 제곱의 곱의 절반으로 정의되며, 물체 시스템의 총 운동 에너지는 각 물체의 운동 에너지의 합이다.^[1]^[9]

:

K={1 \over 2}mv^2

3. 역학적 에너지 보존 법칙

역학적 에너지 보존 법칙은 물체나 시스템이 보존력만 받을 때, 그 역학적 에너지가 일정하게 유지된다는 것을 의미한다.^[10] 보존력과 비보존력의 차이점은 보존력이 물체를 한 지점에서 다른 지점으로 이동시킬 때 한 일은 경로에 무관하다는 것이다. 반대로, 비보존력이 작용할 때는 그 일은 경로에 의존한다.^[11]^[12]

고립계에서 역학적 에너지는 마찰력 등 비보존력이 없다면 시간에 따라 일정하게 유지된다. 실제로는 마찰력 등이 존재하지만, 많은 경우 그 영향이 작아 역학적 에너지 보존 법칙을 근사적으로 사용할 수 있다. 에너지는 생성되거나 소멸될 수 없지만, 다른 형태의 에너지로 에너지 변환될 수 있다.^[1]^[13]

월터 르윈 MIT 교수의 역학적 에너지 보존 시연 영상은 다음과 같다.

3. 1. 흔들리는 진자

속도 벡터(녹색)와 가속도 벡터(파란색)를 가진 흔들리는 진자. 속도 벡터의 크기인 진자의 속력은 수직 위치에서 가장 크며, 진자는 극단적인 위치에서 지구로부터 가장 멀리 떨어져 있다.

마찰력과 같은 공기 저항과 피벗에서의 마찰이 무시할 수 있는 보존적인 중력을 받는 흔들리는 진자와 같은 역학적 시스템에서 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지 사이를 오가지만 시스템을 벗어나지는 않는다. 진자는 수직 위치에서 가장 큰 운동 에너지와 가장 작은 위치 에너지를 갖는데, 이때 가장 빠른 속도를 가지며 이 지점에서 지구에 가장 가깝기 때문이다. 반면에, 진자는 스윙의 극단적인 위치에서 가장 작은 운동 에너지와 가장 큰 위치 에너지를 갖는데, 이때 속도가 0이고 이 지점에서 지구로부터 가장 멀리 떨어져 있기 때문이다. 그러나 마찰력을 고려할 때, 시스템은 이러한 비보존력에 의해 진자에 가해지는 음의 일 때문에 각 스윙마다 역학적 에너지를 잃는다.^[2]

3. 2. 비가역성

어떤 계에서 역학적 에너지 손실이 항상 그 계의 온도를 상승시킨다는 것은 오랫동안 알려져 왔다. 아마추어 물리학자 제임스 프레스콧 줄은 마찰에 반하여 수행된 특정 양의 일이 물질을 구성하는 입자들의 무작위 운동으로 간주되어야 하는 뚜렷한 양의 열을 발생시킨다는 것을 실험적으로 증명하였다.^[14] 역학적 에너지와 열 사이의 이러한 등가성은 충돌하는 물체를 고려할 때 특히 중요하다. 탄성 충돌에서는 역학적 에너지가 보존된다. 즉, 충돌하는 물체의 역학적 에너지의 합은 충돌 전후가 같다. 그러나 비탄성 충돌 후에는 계의 역학적 에너지가 변하게 된다. 일반적으로 충돌 전의 역학적 에너지가 충돌 후의 역학적 에너지보다 크다. 비탄성 충돌에서 충돌하는 물체의 역학적 에너지의 일부는 구성 입자의 운동 에너지로 변환된다. 구성 입자의 운동 에너지의 증가는 온도 상승으로 감지된다. 이 충돌은 충돌하는 물체의 역학적 에너지의 일부가 동일한 양의 열로 변환되었다고 말함으로써 설명할 수 있다. 따라서 계의 역학적 에너지가 감소했음에도 불구하고 계의 총 에너지는 변하지 않는다.^[1]^[15]

보존력이 아닌 힘을 비보존력이라고 한다. 비보존력이 일을 할 경우, 역학적 에너지는 보존되지 않는다.

구체적인 비보존력의 예는 다음과 같다.

운동 마찰력: $-\mu \hat{\boldsymbol{v}}$
점성 저항력: $-\gamma \boldsymbol{v}=-\gamma v \hat{\boldsymbol{v}}$
관성 저항력: $-\beta v \boldsymbol{v}=-\beta v^2 \hat{\boldsymbol{v}}$

(단,

v=\left| \boldsymbol{v} \right|

,

\hat{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{v}/v

이다.)

일반적으로 비보존력 '''''f'''''는

(f(v)>0)

로 하여,

:

\boldsymbol{f}=-f(v) \, \hat{\boldsymbol{v}}

로 나타낸다.

운동 방정식

:

m \dot{\boldsymbol{v}}= -\nabla U + \boldsymbol{f}

이다.

이 식의 양변에 속도를 곱하면 다음과 같다.

:

\begin{align}m \dot{\boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{v} &= -(\nabla U)\cdot \boldsymbol{v} + \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{v} \\\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} mv^2\right) &= -\frac{dU}{dt} - f(v) v \\\frac{d}{dt}E &= -f(v) v\end{align}

역학적 에너지의 시간 변화율은

-f(v)\,v

이다. 비보존력이 일을 하면, 역학적 에너지는 반드시 감소한다.

비보존력에 의해 역학적 에너지가 감소하는 것을 산일이라고 한다.

3. 3. 인공위성

질량

m

인 인공위성이 지구 중심으로부터 거리

r

에 있을 때, 운동 에너지

K

와 중력 위치 에너지

U

를 갖는다. 지구의 질량은

M

이다.

따라서, 위성-지구 시스템의 역학적 에너지

E_\text{mechanical}

는 다음과 같다.

E_\text{mechanical} = U + K

E_\text{mechanical} = - G \frac{M m}{r}\ + \frac{1}{2}\, m v^2

위성이 원형 궤도에 있는 경우, 에너지 보존 방정식은 다음과 같이 더 단순화될 수 있다.

E_\text{mechanical} = - G \frac{M m}{2r}

이는 원운동에서 뉴턴의 제2 운동 법칙이 다음과 같이 간주될 수 있기 때문이다.

G \frac{M m}{r^2}\ = \frac{m v^2}{r}

4. 역학적 에너지의 소산 (비보존력)

보존력이 아닌 힘을 비보존력이라고 한다. 비보존력이 일을 할 경우, 역학적 에너지는 보존되지 않는다.^[1]

구체적인 비보존력의 예는 다음과 같다.

; 운동 마찰력

: $-\mu \hat{\boldsymbol{v}}$

; 점성 저항력

: $-\gamma \boldsymbol{v}=-\gamma v \hat{\boldsymbol{v}}$

; 관성 저항력

: $-\beta v \boldsymbol{v}=-\beta v^2 \hat{\boldsymbol{v}}$

(단, $v=\left| \boldsymbol{v} \right|$ , $\hat{\boldsymbol{v}}=\boldsymbol{v}/v$ 이다.)

일반적으로 비보존력 '''''f'''''는 $(f(v)>0)$ 로 하여,

: $\boldsymbol{f}=-f(v) \, \hat{\boldsymbol{v}}$

로 나타낸다.

; 운동 방정식

: $m \dot{\boldsymbol{v}}= -\nabla U + \boldsymbol{f}$

이다.

이 식의 양변에 속도를 곱하면, 다음과 같다.

$\begin{align}m \dot{\boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{v} &= -(\nabla U)\cdot \boldsymbol{v} + \boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{v} \\\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2} mv^2\right) &= -\frac{dU}{dt} - f(v) v \\\frac{d}{dt}E &= -f(v) v\end{align}$

역학적 에너지의 시간 변화율은 $-f(v)\,v$ 이다. 비보존력이 일을 하면, 역학적 에너지는 반드시 감소한다.

비보존력에 의해 역학적 에너지가 감소하는 것을 산일이라고 한다.

5. 에너지 변환

전동기는 전기 에너지를 역학적 에너지로 변환한다.^[16]^[17]^[18]
발전기는 역학적 에너지를 전기 에너지로 변환한다.^[19]
수력 발전소는 댐에 저장된 물의 역학적 에너지를 전기 에너지로 변환한다.^[20]
내연 기관은 연료를 태워 화학 에너지로부터 역학적 에너지를 얻는 열기관이다. 이 역학적 에너지로부터 내연 기관은 종종 전기를 생성한다.^[21]
증기 기관은 증기의 열 에너지를 역학적 에너지로 변환한다.^[22]
터빈은 기체 또는 액체 흐름의 운동 에너지를 역학적 에너지로 변환한다.^[23]

보존력이 아닌 힘을 비보존력이라고 한다. 비보존력이 일을 할 경우, 역학적 에너지는 보존되지 않는다.

구체적인 비보존력의 예는 다음과 같다.

운동 마찰력
점성 저항력
관성 저항력

일반적으로 비보존력 '''f'''는 (f(v)>0)로 하여, 다음과 같이 나타낸다.

: 역학적 에너지의 시간 변화율은 -f(v)v이다. 비보존력이 일을 하면, 역학적 에너지는 반드시 감소한다. 비보존력에 의해 역학적 에너지가 감소하는 것을 산일이라고 한다.

6. 다른 형태의 에너지와의 구분

화학 에너지는 화학 결합에 "저장"되는 일종의 위치 에너지이며, 화학에서 연구된다.^[24]
핵 에너지는 원자핵 내 입자 간의 상호 작용에 저장된 에너지이며, 핵물리학에서 연구된다.^[25]
전자기 에너지는 전하, 자기장 및 광자의 형태로 존재한다. 이는 전자기학에서 연구된다.^[26]^[27]
양자역학의 다양한 형태의 에너지; 예를 들어, 원자 내 전자의 에너지 준위.^[28]^[29]

참조

_[1] 백과사전 Conservation laws (physics) https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-08-26
_[2] 백과사전 mechanical energy
_[3] 문서
_[4] 웹사이트 Potential Energy https://web.archive.[...] Texas A&M University–Kingsville 2011-08-25
_[5] 문서
_[6] 백과사전 Speed https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-08-28
_[7] 백과사전 Velocity https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-08-28
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 웹사이트 Review D: Potential Energy and the Conservation of Mechanical Energy http://web.mit.edu/8[...] Massachusetts Institute of Technology 2011-08-03
_[12] 서적 Physics Wiley International Edition
_[13] 백과사전 Conservation of energy http://www.accesssci[...] McGraw-Hill Companies 2011-08-26
_[14] 백과사전 James Prescott Joule Gale
_[15] 백과사전 Collision (physics) http://accessscience[...] McGraw-Hill Companies 2011-09-03
_[16] 백과사전 Electrification, Household Charles Scribner's Sons
_[17] 백과사전 Electric motor Gale
_[18] 백과사전 Electric motor U*X*L
_[19] 백과사전 Generator U*X*L 2007-07-16
_[20] 웹사이트 Hydroelectric Power http://www.waterency[...] Water Encyclopedia 2013-08-23
_[21] 백과사전 Internal combustion engine Gale
_[22] 백과사전 Steam engine U*X*L 2007-07-16
_[23] 백과사전 Turbine Gale
_[24] 백과사전 Chemical energy https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-10-17
_[25] 백과사전 Nuclear binding energy https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-10-17
_[26] 백과사전 Electrical energy measurement https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-10-17
_[27] 백과사전 Electromagnetic radiation https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-10-17
_[28] 백과사전 Quantum mechanics https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-10-17
_[29] 백과사전 Energy level (quantum mechanics) https://web.archive.[...] McGraw-Hill Companies 2011-10-17
_[30] 서적 物理学通論 I 学術図書出版
_[31] 서적 物理学通論 I 学術図書出版

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