오리엔티폴드

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 초끈 이론에서의 응용
- 5.1. 초대칭성 깨짐
- 5.2. 장의 함량에 미치는 영향
6. 역사
참조

1. 개요

오리엔티폴드는 초끈 이론에서 끈의 방향을 뒤집는 연산자와 시공간의 대칭성을 결합하여 정의되는 개념이다. 오리엔티폴드는 오리엔티폴드 연산자의 고정점으로 정의되는 오리엔티폴드 평면을 포함하며, D-막과 유사하게 라몽-라몽 전하를 가지지만 음의 장력을 갖는다. 오리엔티폴드는 끈 이론의 다양한 측면에 응용되며, 특히 초대칭성을 깨뜨리고 모듈 공간의 수를 감소시키는 데 기여한다. 1989년 잔프란코 프라디시, 아우구스토 사뇨티, 다이진, 로버트 리, 조지프 폴친스키에 의해 발견되었으며, '오리엔테이션'과 '오비폴드'의 합성어이다.

2. 정의

초끈 이론에서 끈의 방향을 뒤집는 연산자와 시공간 대칭성을 결합하여 오리엔티폴드를 정의한다.^[4]

끈이 움직이는 시공간 $M$ 이 어떤 (유한) 대칭군 $G$ 를 갖는다고 할 때, 총 대칭군 $G \times \operatorname{Dih}(4)$ 의 임의의 부분군 $H \le G \times \operatorname{Dih}(4)$ 를 골라 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 만약 $H \le G \times \{1\}$ 이라면 (즉, 끈 세계면 2차원 등각 장론의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 오비폴드 $M/H$ 위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로 $H \not\le G \times \{1\}$ 이라면, 이를 '''오리엔티폴드'''라고 한다.

ⅡA의 경우, $\Omega$ 는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합 $I \colon M\to M$ 와 합성하였을 때 $I\Omega$ 등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다.

2. 1. 오리엔티폴드 연산자

ⅡB종 초끈 이론의 기본 끈의 세계면의

\mathcal N=(1,1)

2차원 등각 장론에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다.^[4]

$\Omega$ : 끈의 방향을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다.
$(-)^{F_L}$ : 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 −1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다.
$(-)^{F_R}$ : 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 −1로 작용한다.

이들은 다음을 따른다.

:

\Omega^2 = ((-)^{F_L})^2 = ((-)^{F_R})^2 = 1

:

\Omega (-)^{F_L} = (-)^{F_R} \Omega

이는 크기 8의 정이면체군

\operatorname{Dih}(4)

을 이룬다.

장	$\Omega$	$(-)^{F_{\text{L}}}$ 또는 $(-)^{F_{\text{R}}}$
$g_{\mu\nu}$	+	+
$B_{\mu\nu}$	−	+
$\Phi$	+	+
$C_0$	−	−
$C_2$	+	−
$C_4$	−	−
$C_6$	+	−
$C_8$	−	−

보다 일반적으로, 시공간 $M$ 의 방향을 보존하는 대합 $I\colon M\to M$ 에 대하여, $I\Omega$ 등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다.

2. 2. 오리엔티폴드 평면

고정점의 집합을 '''오리엔티폴드 평면'''이라고 한다. 오리엔티폴드 평면은 O-평면이라고도 불리며, D-막과 유사하게 게이지 전하를 가지지만, 음의 장력을 가지고 동적이지 않다. 즉, O-평면에 국한된 진동모드가 없다.

p+1

차원의 오리엔티폴드 평면을 Op-평면으로 표기한다. 예를 들어,

G

가 자명한 (

G=1

) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다.^[7]

일반적으로,

:

\operatorname{Dih}(4) = \{1, (-)^{F_L+F_R}, \Omega, \Omega (-)^{F_L+F_R}, (-)^{F_L}, (-)^{F_R}, \Omega(-)^{F_L}, \Omega(-)^{F_R}\}

에서, 총 페르미온 수

(-)^{F_L+F_R}

를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.^[7] 이를 무시하면, 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. 에드워드 위튼은 이를 다음과 같이 명명하였다.^[8]

'''(ⅰ)종 오리엔티폴드'''(type (ⅰ) orientifold^영어): $\Omega$
'''(ⅱ)종 오리엔티폴드'''(type (ⅱ) orientifold^영어): $(-)^{F_L}$ (또는 $(-)^{F_R}$ )
'''(ⅲ)종 오리엔티폴드'''(type (ⅲ) orientifold^영어): $\Omega(-)^{F_L}$ (또는 $\Omega(-)^{F_R}$ )

이 경우, 사용되는 원소

X

는 페르미온에 대하여

X^2=+1

이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, O''p''-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.^[9]^[7]

:

I_{9-p}\Omega \cdot \begin{cases}1 & p \equiv 0,1\pmod4\\(-)^{F_L} & p \equiv 2,3\pmod4\end{cases}

ⅡA에서 ''p''는 짝수이며, ⅡB에서 ''p''는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. 정이면체군 Dih(4)의 중심의 원소

(-)^F

를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면(anti-orientifold plane^영어)에 해당한다.^[10]

오리엔티폴드 작용이 문자열 방향의 변화로 축소되는 장소를 오리엔티폴드 평면이라고 한다. 인볼루션은 시공간의 큰 차원에 영향을 미치지 않으므로 오리엔티폴드는 최소한 3차원 O-평면을 가질 수 있다.

\sigma (\Omega) = \Omega

의 경우, 모든 공간적 차원이 변경되지 않은 상태로 남을 수 있으며 O9 평면이 존재할 수 있다. I형 문자열 이론의 오리엔티폴드 평면은 시공간을 채우는 O9-평면이다.

일반적으로 차원 ''p''가 D''p''-브레인과 유사하게 계산되는 오리엔티폴드 O''p''-평면을 고려할 수 있다. O-평면과 D-브레인은 동일한 구성 내에서 사용될 수 있으며 일반적으로 서로 반대되는 장력을 가집니다. 그러나 D-브레인과 달리 O-평면은 동적이지 않다. D-브레인이 문자열 경계 조건에 의해 정의되는 것과 달리, 인볼루션의 작용에 의해 완전히 정의된다.

2. 3. 다양한 오리엔티폴드 평면

캘브-라몽 장 세기 또는 라몽-라몽 장 세기를 추가하여 다양한 종류의 오리엔티폴드 평면을 구성할 수 있다.^[9]^[11]^[12] O-평면, Õ-평면 등 다양한 종류가 존재하며, 각각 다른 장력과 라몽-라몽 전하를 가진다.

이름	캘브-라몽 장 세기	라몽-라몽 장 세기	장력	라몽-라몽 전하	$N$ 개 반(半) D-막의 게이지 군
Op⁻	0	0	$-2^{p-4}$	$-2^{p-4}$	$\operatorname{SO}(N)$
Op⁺	≠0	0	$2^{p-4}$	$2^{p-4}$	$\operatorname{USp}(N)$
Õp⁻	0	≠0	$1-2^{p-4}$	$1-2^{p-4}$	$\operatorname{SO}(N+1)$
Õp⁺	≠0	≠0	$2^{p-4}$	$2^{p-4}$	$\operatorname{USp}(N)$

위 표에서, Õ''p''⁻-평면은 O''p''⁻-평면과 ½개의 D''p''-막이 결합한 상태로 볼 수 있다. $(-)^F$ 를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있는데, 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호는 반대가 된다.

3. 성질

D-막과 마찬가지로 라몽-라몽 장에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 오리엔티폴드 평면의 D-막 전하는 T-이중성으로 계산할 수 있다.^[13]

O-평면	Op 전하 / Dp 전하
O9	−32
O8	−16
O7	−8
O6	−4
O5	−2
O4	−1
O3	−½
O2	−¼
O1	−⅛

Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 −32개의 D9-막과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면 $\mathbb T^n$ 에 축소화하여 T-이중성을 가하면, $2^n$ 개의 O $(9-n)$ -평면이 32개의 D $(9-n)$ -막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. (여기서 $2^n$ 은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 T-이중성을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 D8-막이 존재한다.

위 표에서, “ $k$ 개의 D-막”이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨진다. (즉, $k$ 는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(''k'')를 발생시킨다.)

4. 예시

Ⅰ종 끈 이론은 ⅡB종 끈 이론에서 $H = \{(1,\Omega)\}$ 에 대한 오리엔티폴드를 취하여 얻을 수 있다. 이 경우, 항등 함수의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 파인먼 도형을 상쇄시키고 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되도록 만들기 위해 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 이렇게 하면 O(32) 게이지 군을 얻게 되는데, 이는 Ⅰ종 끈 이론의 게이지 군과 같다.

5. 초끈 이론에서의 응용

끈 이론에서 오리엔티폴드는 이론의 여분 차원을 축소화하고, 초대칭성을 깨뜨리는 데 사용된다. 끈 이론의 여분 차원은 칼라비-야우 다양체 형태로 나타나는데, 이 다양체에 오리엔티폴드 사영을 적용하면 초대칭 생성기의 절반이 투영되어 초대칭성이 깨진다.

5. 1. 초대칭성 깨짐

II형 끈 이론은 실수 초전하를 32개 가지고 있으며, 6차원 토러스로 콤팩트화하면 이들이 모두 깨지지 않고 남게 된다. 보다 일반적인 칼라비-야우 6차원 다양체로 콤팩트화하면 초대칭성의 3/4이 제거되어 8개의 실수 초전하(N=2)를 가진 4차원 이론이 생성된다. 이를 현상론적으로 유일하게 타당한 초대칭성, 즉 N=1로 더 깨기 위해서는 초대칭 생성기의 절반을 투영해야 하며, 이는 오리엔티폴드 투영을 적용하여 달성된다.

5. 2. 장의 함량에 미치는 영향

인볼루션은 선형 복소 구조 (1,1)-형식 ''J''에 작용한다.^[3]

IIB형: $\sigma (J) = J$
IIA형: $\sigma (J) = -J$

이는 공간을 매개변수화하는 모듈의 수를 감소시킨다.^[3]

\sigma

는 인볼루션이므로 고유값

\pm 1

을 갖는다. 오리엔티폴드의 코호몰로지의 호지 다이아몬드에 의해 정의된 (1,1)-형식 기저

\omega_{i}

는 각 기저 형식이

\sigma

에서 명확한 부호를 갖도록 작성된다. 모듈

A_{i}

는

J = A_{i}\omega_{i}

로 정의되고 ''J''는

\sigma

에 따라 위와 같이 변환되어야 하므로,

\sigma

에서 올바른 패리티를 가진 2-형식 기저 요소와 쌍을 이루는 모듈만 살아남는다. 따라서,

\sigma

는 코호몰로지를

h^{1,1} = h^{1,1}_{+} + h^{1,1}_{-}

로 분할하며, 오리엔티폴드를 설명하는 데 사용되는 모듈의 수는 일반적으로 오리엔티폴드를 구성하는 데 사용되는 오비폴드를 설명하는 데 사용되는 모듈의 수보다 적다.^[3] 오리엔티폴드가 초대칭 생성기의 절반을 투영하지만 투영하는 모듈의 수는 공간에 따라 달라질 수 있다는 점에 유의해야 한다. 어떤 경우에는

h^{1,1} = h^{1,1}_{\pm}

이며, 즉 모든 (1-1)-형식이 오리엔티폴드 투영 아래에서 동일한 패리티를 갖는다. 이러한 경우, 다양한 초대칭 내용이 모듈 동작에 들어가는 방식은 모듈이 경험하는 플럭스 의존적인 스칼라 포텐셜을 통해서이며, N=1인 경우는 N=2인 경우와 다르다.

6. 역사

1989년에 잔프란코 프라디시(Gianfranco Pradisi^it)와 아우구스토 사뇨티(Augusto Sagnotti^it),^[14] 다이진, 로버트 리(Robert G. Leigh^영어), 조지프 폴친스키가^[15] 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 D-막의 발견 논문이기도 하다.

‘오리엔티폴드’(orientifold^영어)란 orientation|오리엔테이션^영어(방향)과 ‘오비폴드’의 합성어이다.

참조

_[1] 논문 Moduli Stabilization in Type IIB Orientifolds, Lust et al.
_[2] 논문 More Dual Fluxes and Moduli Fixing, Font et al. 2006
_[3] 논문 Toroidal Orientifolds in IIA with General NS-NS Fluxes 2007
_[4] 저널 Lectures on orientifolds and duality 1998
_[5] 저널 Open strings
_[6] 저널 Notes on orientifolds of rational conformal field theories 2004-08-17
_[7] 서적 Basic concepts of string theory Springer-Verlag
_[8] 저널 "''D''-branes and K-theory"
_[9] 저널 Orientifolds, RR Torsion, and K-theory 2001
_[10] 저널 Orientifolds, RG flows, and closed string tachyons 2000
_[11] 저널 On orientifolds, discrete torsion, branes and M theory 2000
_[12] 저널 Orientifold Précis
_[13] 저널 Orientifolds: the unique personality of each spacetime dimension 1997
_[14] 저널 Open string orbifolds 1989-01-05
_[15] 저널 New connections between string theories 1989-10-20

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