위그너 분류

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1. 개요
2. 4차원 위그너 분류
- 2.1. 유질량 ( $P^2 > 0$ )
- 2.2. 타키온 ( $P^2 < 0$ )
3. 3차원 위그너 분류
- 3.1. 카시미르 연산자
- 3.2. 표현 분류
4. 기타 대칭군
5. 사영 표현 이론
6. 추가 분류
참조

1. 개요

위그너 분류는 푸앵카레 군의 기약 유니타리 표현을 통해 입자를 분류하는 방법이다. 4차원 위그너 분류는 질량과 파울리-루반스키 벡터의 제곱을 이용하여 유질량 입자, 타키온, 무질량 입자 등으로 분류하며, 각 경우에 따라 안정자군과 표현이 달라진다. 3차원에서는 애니온의 존재로 인해 분류가 달라지며, 카시미르 연산자와 나선도를 사용하여 표현을 분류한다. 또한, 초 푸앵카레 군, 등각 대칭군 등 다른 대칭군에 대한 위그너 표현도 연구되었다. 물리적으로는 푸앵카레 군의 사영 유니타리 표현이 중요하며, 바르그만의 정리에 따라 푸앵카레 군의 이중 덮개를 통해 반정수 스핀 경우를 포함한다. 위그너 분류에서 타키온 해, 고정 질량이 없는 해 등은 제외되지만, 가상 상태를 고려할 때 중요한 역할을 한다.

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위그너 분류

2. 4차원 위그너 분류

4차원 시공간에서 푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 $P^2$ 과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 $W^2$ 이다. 이 불변량들을 이용하여 입자를 분류할 수 있다.^[1]

예를 들어, $~ m > 0 ~,$ 및 $~ s = 0~$ 인 기약 유니타리 표현은 질량 스칼라장의 공간에 해당한다. 이 경우, 다음과 같은 쌍곡면 시트 $M$ 을 정의할 수 있다.

: $~ P_0^2 - P_1^2 - P_2^2 - P_3^2 = m^2 ~, \quad$ $~P_0 > 0~.$

민코프스키 메트릭은 $M$ 에 리만 메트릭으로 제한되며, $M$ 에 쌍곡 공간의 메트릭 구조를 부여한다. 이는 쌍곡면 모델에 해당한다. 푸앵카레 군은 $M$ 에 작용하는데, 이는 민코프스키 내적을 보존하기 때문이다. 푸앵카레 군의 번역 부분군 원소 $x$ 는 $~ L^2(M) ~$ 에 적절한 위상 승수를 곱하여 작용한다.

: $~ \exp \left( -i \vec{p} \cdot \vec{x} \right) ~,$

여기서 $~ p \in M ~.$ 이 두 작용은 유도 표현을 사용하여 결합되어 $M$ 의 움직임과 위상 곱셈을 결합하여 $~ L^2(M) ~,$ 에 작용한다.

이것은 민코프스키 공간의 초표면 $M$ 에서 정의된 제곱 적분 가능 함수 공간에 대한 푸앵카레 군의 작용을 생성한다. 이는 민코프스키 공간에서 다음과 같이 정의된 집합 $M$ 에 집중된 측도로 볼 수 있다.

: $E^2 - P_1^2 - P_2^2 - P_3^2 = m^2~, \quad$ $~E ~\equiv~ P_0 > 0~.$

그러한 측도의 푸리에 변환(4개 변수 모두에서)은 민코프스키 공간에서 정의된 클라인-고든 방정식의 양의 에너지, 유한 에너지 해를 생성한다.

: $\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + m^2 \psi = 0,$

물리적 단위는 없다. 이러한 방식으로, 푸앵카레 군의 $~ m > 0, \quad s = 0 ~$ 기약 표현은 선형 파동 방정식의 적절한 해 공간에서의 작용으로 실현된다.

2. 1. 유질량 ( $P^2 > 0$ )

이 경우, 정지틀에서 안정자군은 SO(3)이다. (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3)) 따라서 유질량 입자는 양의 실수

m

과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수(half-integer^영어}) 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다.

예를 들어,

~ m > 0 ~,

및

~ s = 0~

인 기약 유니타리 표현은 질량 스칼라장의 공간에 해당한다.

:

~ P_0^2 - P_1^2 - P_2^2 - P_3^2 = m^2 ~, \quad

~P_0 > 0~.

민코프스키 메트릭은 위에 정의된 쌍곡면 시트

M

에 대한 리만 메트릭으로 제한되며,

M

에 쌍곡 공간의 메트릭 구조를 부여한다. 이는 쌍곡 공간의 쌍곡면 모델이다. 푸앵카레 군은 민코프스키 내적을 보존하기 때문에

M

에 작용한다. 푸앵카레 군의 번역 부분군의 원소

x

는

~ L^2(M) ~

에 적절한 위상 승수를 곱하여 작용한다.

:

~ \exp \left( -i \vec{p} \cdot \vec{x} \right) ~,

여기서

~ p \in M ~.

이 두 작용은 유도 표현을 사용하여 결합되어

M

의 움직임과 위상 곱셈을 결합하여

~ L^2(M) ~,

에 작용한다.

이것은 민코프스키 공간의 초표면

M

에서 정의된 제곱 적분 가능 함수 공간에 대한 푸앵카레 군의 작용을 생성한다. 이는 민코프스키 공간에서 다음과 같이 정의된 집합

M

에 집중된 측도로 볼 수 있다.

:

E^2 - P_1^2 - P_2^2 - P_3^2 = m^2~, \quad

~E ~\equiv~ P_0 > 0~.

그러한 측도의 푸리에 변환(4개 변수 모두에서)은 민코프스키 공간에서 정의된 클라인-고든 방정식의 양의 에너지, 유한 에너지 해를 생성한다.

:

\frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + m^2 \psi = 0,

물리적 단위가 없다. 이러한 방식으로, 푸앵카레 군의

~ m > 0, \quad s = 0 ~

기약 표현은 선형 파동 방정식의 적절한 해 공간에서의 작용으로 실현된다.

2. 2. 타키온 ( $P^2 < 0$ )

타키온은

P^2 < 0

인 경우이다. 타키온은 자연계에 존재하지 않는 것으로 알려져 있다.^[1]

이 분류에서 타키온 해, 고정 질량이 없는 해, 고정 질량이 없는 인프라입자 등은 제외된다. 이러한 해는 가상 상태를 고려할 때 물리적으로 중요하다. 그 예시로, 입사하는 렙톤과 하드론 사이에서 가상 시공간형 광자가 교환되는 심하게 비탄성 산란이 있다.^[1] 이는 이러한 가상 상태를 하드론 내부 쿼크와 글루온 내용의 효과적인 탐침으로 간주할 때, 횡 및 종 편광된 광자의 도입과 횡 및 종 구조 함수의 관련 개념을 정당화한다. 수학적 관점에서, 질량 있는 경우에 나타나는 일반적인 SO(3) 그룹 대신 SO(2,1) 그룹을 고려한다.^[1] 이는

~ \epsilon_T^{\lambda=1,2} ~

및

~ \epsilon_L ~

의 두 개의 횡 편광 벡터가 발생하는 이유를 설명하며,

~ \epsilon_T^2 = -1 ~

및

~ \epsilon_L^2 = +1 ~

을 만족한다. 그리고 세 개의 편광 벡터

~\epsilon_T^\lambda \text{ for } \lambda = 1,2,3~

를 갖는 자유

~Z_0~

보존의 일반적인 경우와 비교할 수 있으며, 각각은

~ \epsilon_T ^2 = -1 ~

을 만족한다.^[1]

3. 3차원 위그너 분류

3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다.^[6] 3차원 위그너 분류는 불변 질량( $m$ )과 상대론적 나선도( $h$ )에 따라 달라진다. 유질량 입자의 경우에는 나선도에 따라 보손, 페르미온, 애니온으로 분류되며, 무질량 입자의 경우에는 안정자군에 따라 무질량 보손, 무질량 페르미온, 연속 스핀 표현(자연계에 존재하지 않음)으로 분류된다.

3. 1. 카시미르 연산자

위그너 분류에서 카시미르 연산자는 다음과 같다.^[6]

:

P^2=m^2

:

P\cdot J=mh

여기서

m

은 불변 질량이며,

h

는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도

h

는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다.

3. 2. 표현 분류

음이 아닌 에너지를 가진 표현은 다음과 같이 분류된다.^[6]

유질량( $m>0$ )인 경우: 정지틀 안정자군이 $O(2)$ 이므로, 이는 나선도 $h\in\mathbb R$ 에 따라 분류된다.
* $h\in\mathbb Z$ : 보손
* $h+1/2\in\mathbb Z$ : 페르미온
* $2h\not\in\mathbb Z$ : 애니온
무질량( $m=0$ )인 경우: 안정자군은 $(\mathbb Z/2)\times\mathbb R$ 이며, 표현은 $\mathbb Z/2$ 기약표현 $\epsilon=\pm$ 과 $\mathbb R$ 의 기약표현으로 나타내어진다. 후자의 기약표현은 실수 $t\in\mathbb R$ 에 따라 분류된다.
* 무질량 보손: $(\epsilon=+,t=0)$
* 무질량 페르미온: $(\epsilon=-,t=0)$
* 연속 스핀 표현: $t\ne0$ (자연계에 존재하지 않음)
진공: 이 경우 안정자군은 $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ 전체이다. $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$ 의 표현은 여러 가지가 있으나, 자연계에 존재하는 것은 그 자명한 표현(진공)밖에 없다.

4. 기타 대칭군

민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고,^[7] 초다중항들에 해당한다.

4차원 등각 대칭군 $\operatorname{SU}(2,2)$ 의 경우에도 위그너 표현이 알려져 있다.^[8]

5. 사영 표현 이론

물리적으로는 푸앵카레 군의 사영 유니타리 표현이 중요하다. 양자 힐베르트 공간에서 상수 곱으로만 다른 두 벡터는 동일한 물리적 상태를 나타내기 때문이다. 따라서 항등원의 배수로만 다른 두 유니타리 연산자는 물리적 상태에 대해 동일하게 작용한다. 그러므로 푸앵카레 대칭을 나타내는 유니타리 연산자는 상수까지 정의되며, 군 합성 법칙은 상수까지만 성립하면 된다.

바르그만의 정리에 따르면, 푸앵카레 군의 모든 사영 유니타리 표현은 이중 덮개인 보편 덮개의 일반 유니타리 표현에서 나온다. 이는 푸앵카레 군의 이중 덮개가 비자명한 1차원 중심 확대를 허용하지 않기 때문에 가능하다.

이중 덮개로 넘어가는 것은 반정수 스핀 경우를 허용하기 때문에 중요하다. 예를 들어 양의 질량의 경우, 작은 군은 SO(3) 대신 SU(2)이며, SU(2)의 표현에는 정수 및 반정수 스핀 경우가 모두 포함된다.

위그너가 분류를 할 당시에는 바르그만의 정리의 일반적인 기준이 알려지지 않았기 때문에, 그는 수동으로 위 연산자에서 위상들을 선택하여 그룹의 합성 법칙을 부호까지 반영할 수 있음을 보여주어야 했다. 이는 푸앵카레 군의 이중 덮개로 넘어감으로써 설명되었다.

6. 추가 분류

이 분류에서 제외되는 것은 타키온 해, 고정 질량이 없는 해, 고정 질량이 없는 인프라입자 등이다. 이러한 해는 가상 상태를 고려할 때 물리적으로 중요하다. 잘 알려진 예시로, 입사하는 렙톤과 입사하는 하드론 사이에서 가상 시공간형 광자가 교환되는 심하게 비탄성 산란 경우가 있다. 이는 이러한 가상 상태를 하드론 내부 쿼크와 글루온 내용의 효과적인 탐침으로 간주할 때, 횡 및 종 편광된 광자의 도입과 횡 및 종 구조 함수의 관련 개념을 정당화한다. 수학적 관점에서 볼 때, 위에서 논의된 일반적인 질량 있는 경우에 나타나는 일반적인 SO(3) 군 대신 SO(2,1) 군을 고려한다. 이는 $~ \epsilon_T^{\lambda=1,2} ~$ 및 $~ \epsilon_L ~$ 의 두 개의 횡 편광 벡터가 발생하는 이유를 설명하며, 이는 $~ \epsilon_T^2 = -1 ~$ 및 $~ \epsilon_L^2 = +1 ~$ 을 만족하고, 세 개의 편광 벡터 $~\epsilon_T^\lambda \text{ for } \lambda = 1,2,3~$ 를 갖는 자유 $~Z_0~$ 보존의 일반적인 경우와 비교할 수 있으며, 각각은 $~ \epsilon_T ^2 = -1 ~$ 을 만족한다.

참조

_[1] 저널 Unitary Representations of the inhomogeneous Lorentz Group and their Significance in Quantum Physics 2008-09-03
_[2] 서적 Mathematical Aspects of Quantum Field Theory http://www.cambridge[...] 2010-08
_[3] 저널 On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group https://web.archive.[...] 2013-01-22
_[4] 저널 Group theoretical discussion of relativistic wave equations 1948-05-01
_[5] 저널 Continuous spin representations of the Poincaré and super-Poincaré groups 2002-12
_[6] 저널 Relativistic field theories in three dimensions 1981
_[7] 저널 Supersymmetries and their representations https://web.archive.[...] 2014-06-18
_[8] 저널 All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy http://projecteuclid[...] 1977

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