쌍곡선

3. 정의

쌍곡선은 기하학적으로 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다.

= \frac

= e= \frac{c}{a} \, .

한편, 쌍곡선은 직교좌표계에서 다음과 같은 이차방정식으로 정의할 수도 있다.

:$$

A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C = 0



이때, 계수 ''A''_''xx'', ''A''_''xy'', ''A''_''yy'', ''B''_''x'', ''B''_''y'', ''C'' 가 다음을 만족해야 한다.

:$$

D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0\,



특별한 경우로, 교차하는 두 직선으로 이루어진 '''퇴화 쌍곡선'''(degenerate hyperbola)이 있으며, 이는 아래의 행렬식 Δ가 0일 때 발생한다.

:$$

\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} = 0



이 행렬식 Δ를 원뿔곡선의 판별식이라 부르기도 한다.^[23]

3. 1. 용어

쌍곡선 관련 변수 설명:

• ''a'' — 중심 ''C''로부터 꼭짓점까지의 거리
• ''b'' — 꼭짓점에서 횡단축에 수직하게 점근선까지 그은 선분의 길이
• ''c'' — 중심 ''C''에서 초점, '''F'''₁ 또는 '''F'''₂까지의 거리
• θ — 점근선과 횡단축이 이루는 각

초점이 $x$축 위에 있고, 원점을 중심으로 대칭인 쌍곡선은 직교 좌표계로 표현하면 다음과 같은 식이 된다.

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

여기서 $a,\; b$는 고정된 상수값이다.

$\backslash textstyle\; c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$일 때, 초점의 좌표는 $(-c,0),\; (c,0)$이다.

쌍곡선의 이심률(Eccentricity)은 $\backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}\}\{a\}$으로 정의된다.

쌍곡선의 점근선은 $y\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; x$으로, 두 개의 직선이 된다.

두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 $xy=k$ ($k$는 고정된 상수) 식으로 표현 가능하다.

4. 방정식

• ''a'' — 중심 ‘’C’’로부터 꼭짓점 까지의 거리
• ''b'' — 꼭짓점에서 횡단축에 수직하게 점근선까지 그은 선분의 길이
• ''c'' — 중심 ‘’C’’에서 초점, '''F'''₁ 또는 '''F'''₂까지의 거리
• θ — 점근선과 횡단축이 이루는 각

두 축을 점근선으로 하는 쌍곡선은 다음과 같은 식으로 표현 가능하다.

:$xy=k$ (단, $k$는 상수)

유클리드 평면의 아핀 변환은 $\backslash vec\; x\; \backslash to\; \backslash vec\; f\_0+A\backslash vec\; x$의 형태를 갖는다. 여기서 $A$는 정칙 행렬(그 행렬식은 0이 아니다)이고 $\backslash vec\; f\_0$는 임의의 벡터이다. 만약 $\backslash vec\; f\_1,\; \backslash vec\; f\_2$가 행렬 $A$의 열 벡터라면, 단위 쌍곡선 $(\backslash pm\backslash cosh(t),\backslash sinh(t)),\; t\; \backslash in\; \backslash R,$은 다음 쌍곡선으로 사상된다.

:$$\backslash vec\; x\; =\; \backslash vec\; p(t)=\backslash vec\; f\_0\; \backslash pm\backslash vec\; f\_1\; \backslash cosh\; t\; +\backslash vec\; f\_2\; \backslash sinh\; t\; \backslash \; .$$

$\backslash vec\; f\_0$는 중심이고, $\backslash vec\; f\_0+\; \backslash vec\; f\_1$은 쌍곡선 위의 한 점이며, $\backslash vec\; f\_2$는 이 점에서의 접선 벡터이다. 크래머의 법칙을 이용하여 매개변수 표현 $\backslash cosh\; t,\; \backslash sinh\; t$를 풀고 $\backslash ;\backslash cosh^2t-\backslash sinh^2t\; -1\; =\; 0\backslash ;$를 사용하면 다음과 같은 음함수 표현을 얻는다.

:$$\backslash det\backslash left(\backslash vec\; x\backslash !-\backslash !\backslash vec\; f\backslash !\_0,\backslash vec\; f\backslash !\_2\backslash right)^2\; -\; \backslash det\backslash left(\backslash vec\; f\backslash !\_1,\backslash vec\; x\backslash !-\backslash !\backslash vec\; f\backslash !\_0\backslash right)^2\; -\; \backslash det\backslash left(\backslash vec\; f\backslash !\_1,\backslash vec\; f\backslash !\_2\backslash right)^2\; =\; 0\; .$$

방정식 에서 왼쪽 초점은 $(-ae,0)$이고 오른쪽 초점은 $(ae,0)$이다. 여기서 $e$는 이심률이다. 점 $(x,\; y)$에서 왼쪽 및 오른쪽 초점까지의 거리를 $r\_1$과 $r\_2$로 나타낸다. 오른쪽 가지의 점에 대해서는 $r\_1\; -\; r\_2\; =\; 2\; a,$이고 왼쪽 가지의 점에 대해서는 $r\_2\; -\; r\_1\; =\; 2\; a.$이다.

핀, 실, 자를 이용하여 쌍곡선의 호를 그리는 방법은 다음과 같다.^[6]

# 초점 $F\_1,F\_2$와 원형 준선 $c\_2$(반지름 $2a$의 원)을 선택한다.

# 자는 점 $F\_2$에 고정하고 $F\_2$를 중심으로 회전할 수 있게 한다. 점 $B$는 $2a$ 거리에 표시한다.

# 실의 한쪽 끝은 자의 점 $A$에 고정하고 길이는 $|AB|$로 한다.

# 실의 다른 쪽 끝은 점 $F\_1$에 고정한다.

# 펜을 사용하여 실을 자의 가장자리에 팽팽하게 고정한다.

# 자를 $F\_2$를 중심으로 회전하면 $|PF\_1|\; =\; |PB|$이므로(원형 준선을 이용한 쌍곡선의 정의 참조) 펜이 쌍곡선의 우측 가지의 호를 그린다.

슈타이너 곡선 생성을 이용하여 쌍곡선의 점들을 구성하는 방법은 다음과 같다.

쌍곡선 $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$의 점들을 생성하기 위해, 꼭짓점 $V\_1,\; V\_2$에서의 선속을 사용한다. $P\; =\; (x\_0,\; y\_0)$를 쌍곡선 위의 한 점이라고 하고, $A\; =\; (a,\; y\_0),\; B\; =\; (x\_0,\; 0)$이라고 하자. 선분 $\backslash overline\{BP\}$를 n개의 등간격으로 나누고, 이 나누기를 대각선 $AB$를 방향으로 하는 평행투영으로 선분 $\backslash overline\{AP\}$에 투영한다 (그림 참조). 이 평행투영은 $V\_1$과 $V\_2$에서의 선속 사이의 사영 사상의 일부이다. 임의의 두 관련된 직선 $S\_1\; A\_i$와 $S\_2\; B\_i$의 교점은 유일하게 정의된 쌍곡선 위의 점들이다.

''참고:''

• A와 B 점 너머로 세분을 확장하여 더 많은 점을 얻을 수 있지만, 교점을 결정하는 것이 더 부정확해진다. 이미 구성된 점들을 대칭으로 확장하는 것이 더 좋은 방법이다.
• 슈타이너 생성은 타원과 포물선에도 존재한다.
• 슈타이너 생성은 때때로 직사각형 대신 평행사변형으로 시작하는, 꼭짓점이 아닌 다른 점들을 사용할 수 있기 때문에 ''평행사변형 방법''이라고 불린다.

방정식 $\backslash tfrac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash tfrac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$을 갖는 쌍곡선은 다음과 같은 여러 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다.

# 쌍곡선 삼각함수를 이용한 방법

# 유리 함수를 이용한 방법

# 원형 삼각함수를 이용한 방법

# 접선의 기울기를 매개변수로 사용하는 방법: 타원의 경우와 유사하게 쌍곡선 위의 한 점에서 접선의 기울기 ''m''을 사용하는 매개변수 표현을 얻을 수 있다. 타원의 경우에서 ''b''²을 −''b''²으로 바꾸고 쌍곡선 함수에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻는다.

:$$

\vec c_\pm(m) = \left(-\frac{ma^2}{\pm\sqrt{m^2a^2 - b^2}}, \frac{-b^2}{\pm\sqrt{m^2a^2 - b^2}}\right),\quad |m| > b/a.



여기서 $\backslash vec\; c\_-$는 쌍곡선의 위쪽 반쪽이고, $\backslash vec\; c\_+$는 아래쪽 반쪽이다. 수직 접선을 갖는 점(꼭짓점 $(\backslash pm\; a,\; 0)$)은 이 표현에 포함되지 않는다. 점 $\backslash vec\; c\_\backslash pm(m)$에서 접선의 방정식은 $y\; =\; m\; x\; \backslash pm\backslash sqrt\{m^2a^2\; -\; b^2\}.$이다. 쌍곡선의 접선에 대한 이러한 기술은 정직교를 결정하는 데 필수적인 도구이다.

4. 1. 표준형

직교 좌표계에서 초점이 $x$축 위에 있고 원점에 대해 대칭인 쌍곡선은 다음과 같은 식으로 표현된다.^[6]

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

여기서 $a,\; b$는 상수값이다. 이 방정식을 쌍곡선의 표준형이라고 한다.

$\backslash textstyle\; c\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$일 때, 초점의 좌표는 $(-c,0),\; (c,0)$이다. 쌍곡선의 이심률은 $\backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}\}\{a\}$로 정의된다. 쌍곡선의 점근선은 $y\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; x$로, 두 개의 직선이 된다.

좌표계의 원점을 쌍곡선의 중심으로 하고, x축을 장축으로 하면, 쌍곡선은 동서 방향으로 열리는 쌍곡선이 되며,

• 초점은 점 $F\_1=(c,0),\backslash \; F\_2=(-c,0)$이고,
• 꼭짓점은 $V\_1=(a,\; 0),\backslash \; V\_2=(-a,0)$이다.

임의의 점 $(x,y)$에서 초점 $(c,0)$까지의 거리는 $\backslash sqrt\{(x-c)^2\; +\; y^2\}$이고, 다른 초점 $\backslash sqrt\{(x+c)^2\; +\; y^2\}$까지의 거리이다. 따라서 점 $(x,y)$가 쌍곡선 위에 있다면 다음 조건이 성립한다.

:$$\backslash sqrt\{(x-c)^2\; +\; y^2\}\; -\; \backslash sqrt\{(x+c)^2\; +\; y^2\}\; =\; \backslash pm\; 2a\; \backslash \; .$$

제곱근을 제거하고 $b^2\; =\; c^2-a^2$의 관계를 사용하면 쌍곡선의 방정식, 즉 표준형을 얻는다.

쌍곡선은 두 좌표축에 대해 대칭이고, 따라서 원점에 대해 대칭이다.

쌍곡선의 표준형

표준형	$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$	$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; -\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; -1$
점근선	$\backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash pm\; \backslash frac\{y\}\{b\}\; =\; 0$	$\backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash pm\; \backslash frac\{y\}\{b\}\; =\; 0$
초점	$(\backslash pm\backslash sqrt\{a^2+b^2\},0)$	$(0,\backslash pm\backslash sqrt\{a^2+b^2\})$
꼭짓점	$(\backslash pm\{a\},0)$	$(0,\backslash pm\{b\})$
준선	$x\; =\; \backslash pm\backslash frac\{a^2\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}$	$y\; =\; \backslash pm\backslash frac\{b^2\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}$
이심률	$e\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}\{a\}$	$e\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}\{b\}$

반비례 그래프도 쌍곡선의 일종이다. 이것은 직각쌍곡선을 원점을 중심으로 $45°$만큼 회전시킨 쌍곡선과 같다.

4. 2. 일반형

4. 3. 매개변수 방정식

5. 성질

• ''a'': 중심 ‘’C’’에서 꼭짓점까지의 거리
• ''b'': 꼭짓점에서 횡단축에 수직으로 점근선까지 그은 선분의 길이
• ''c'': 중심 ‘’C’’에서 초점 '''F'''₁ 또는 '''F'''₂까지의 거리
• θ: 점근선과 횡단축이 이루는 각

• 쌍곡선 위의 모든 점은 두 초점과의 거리의 차가 일정하다.
• 한 초점에서 나온 빛은 쌍곡선에 반사되면 다른 초점에서 나온 빛처럼 보인다.
• 쌍곡선 위의 점에서 점근선에 수선의 발을 내리면 그 길이의 곱은 일정하다.
• 쌍곡선 위의 한 점을 지나며 두 점근선에 평행한 두 개의 직선과 두 점근선으로 이루어진 평행사변형의 면적은 일정하다.
• 초점이 일치하는 쌍곡선과 타원은 교점에서 각각의 접선이 수직이다.

5. 1. 기하학적 성질

• 쌍곡선 위의 점(극)에 대해, 극선은 그 점에서의 접선이다.
• 쌍곡선 외부의 극 P에 대해, 그 극선과 쌍곡선의 교점은 P를 지나는 두 접선의 접점이다.
• 쌍곡선 내부의 점에 대해, 극선은 쌍곡선과 공통점을 갖지 않는다.

5. 2. 점근선

• 초점에서 점근선까지의 수직 거리는 $b$(반단축)이다.
• 쌍곡선 위의 한 점에서 두 점근선까지의 거리의 곱은 상수 $\backslash tfrac\{a^2b^2\}\{a^2+b^2\}$이며, 이심률 ''e''로도 $\backslash left(\; \backslash tfrac\{b\}\{e\}\backslash right)\; ^2$로 나타낼 수 있다.^[13]
• 쌍곡선 위의 한 점에서 점근선에 평행한 직선을 따라 점근선까지의 거리의 곱은 상수 $\backslash tfrac\{a^2+b^2\}\{4\}$이다.

5. 3. 이심률

쌍곡선 위의 임의의 점 $P$에 대해, 한 초점까지의 거리와 대응하는 준선까지의 거리의 비는 이심률과 같다.

:$\backslash frac$

6. 응용

6. 1. 과학

6. 2. 공학

6. 3. 기타

7. 한국의 관점

한국에서 쌍곡선은 고등학교 수학 교육과정에서 중요한 개념으로 다루어진다. 한국의 전통 건축물에서도 쌍곡선의 형태를 찾아볼 수 있는데, 경복궁 근정전의 지붕 선이 쌍곡선과 유사한 곡선 형태를 띠고 있는 것이 그 예이다. 한국의 과학 기술 분야에서도 쌍곡선은 다양한 응용 사례를 가지고 있다. 예를 들어, 위성 통신 안테나, 초음속 비행체의 설계 등에서 쌍곡선의 원리가 활용된다.^[1]

8. 추가 정보

8. 1. 극좌표

8. 2. 쌍곡선 함수

8. 3. 원뿔 곡선

• '''원''', 원 ''c''가 특수한 위치에 있는 경우, 예를 들어 영상면과 평행한 경우 등(입체투영 참조).
• '''타원''', ''c''가 렌즈면과 공통점이 없는 경우.
• '''포물선''', ''c''가 렌즈면과 공통점이 하나인 경우.
• '''쌍곡선''', ''c''가 렌즈면과 공통점이 두 개인 경우.

8. 4. 직교접선 (Orthoptic)

참조

_[1] 서적 Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 A History of Mathematics https://books.google[...] Wiley
_[3] 서적 A Survey of Geometry (Vol. One) Allyn and Bacon
_[4] 서적 New Horizons in Geometry The Mathematical Association of America
_[5] 문서 The German term for this circle is ''Leitkreis'' which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature
_[6] 서적 Mathematische Oeffeningen
_[7] 웹사이트 Lecture Note ''Planar Circle Geometries'', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes https://www2.mathema[...]
_[8] 서적 Vorlesungen über Geomerie der Algebren Springer
_[9] 웹사이트 Lecture Note ''Planar Circle Geometries'', an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes https://www2.mathema[...]
_[10] 웹사이트 Lecture Note ''Planar Circle Geometries'', an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes https://www2.mathema[...]
_[11] 서적 Math refresher for scientists and engineers https://books.google[...] John Wiley and Sons
_[12] 서적 Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review Dover Publ.
_[13] 간행물 A property of hyperbolas and their asymptotes 2012-07-01
_[14] 서적 Practical Conic Sections Dover Publ.
_[15] 웹사이트 A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections, containing an account of its most recent extensions, with numerous examples https://archive.org/[...]
_[16] 간행물 The 'Reflection Property' of the Conics
_[17] 웹사이트 Hyperbola http://mathafou.free[...] 2018-08-26
_[18] 웹사이트 Properties of a Hyperbola http://www.ul.ie/~ry[...] 2011-06-22
_[19] 웹사이트 Elliptic Integrals
_[20] 간행물 The Scattering of α and β Particles and Rutherford's Atom
_[21] 문서 Since 2 times the distance of '''P''' to $\backslash ell$ is '''PP'''' which is equal to '''BP''' by directrix-focus property
_[22] 서적 https://archive.org/[...]
_[23] 서적 Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review Dover Publ.