인자 대수

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1. 개요

인자 대수는 폰 노이만 대수의 한 종류로, 중심이 1의 스칼라배인 폰 노이만 대수를 의미한다. 인자 대수는 Ⅰ종, Ⅱ₁종, Ⅱ_∞종, Ⅲ종으로 분류되며, Ⅰ종 인자는 복소수 힐베르트 공간의 유계 작용소 대수와 동형이다. Ⅱ_∞종 인자는 Ⅰ종과 Ⅱ₁종 인자의 텐서곱으로 표현 가능하며, Ⅲ종 인자는 도미타-다케사키 이론에 의해 분류된다. 인자 대수는 양자역학 연구를 위해 폰 노이만과 머레이에 의해 도입되었고, Ⅲ종 인자 대수의 분류는 콘에 의해 완성되었다.

인자 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 특별한 원소
3. 분류
4. 역사

2. 정의

폰 노이만 대수 $A$ 에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 폰 노이만 대수를 인자 대수라고 한다.

* $\operatorname Z(A)=\mathbb C1_A$ . 즉, $A$ 의 중심은 모두 1의 스칼라배이다.
* 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 $A\hookrightarrow\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 에 대하여, $A\cap\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)=\mathbb C$ 이다.
* 어떤 복소수 힐베르트 공간 표현 $A\hookrightarrow\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 에 대하여, $\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(A)))=\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 이다.

여기서
* $\mathcal H$ 는 어떤 복소수 힐베르트 공간이다.
* $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 는 $\mathcal H\to\mathcal H$ 유계 작용소의 폰 노이만 대수이다.
* $\operatorname C_{\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)}(-)$ 는 $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 속에서 취한 중심화 부분환이다.

마지막 조건은 $\mathcal H$ 위의 모든 유계 작용소를 $A$ 의 원소 및 $A$ 와 가환하는 원소들의 곱들의 열의 (약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상에서의) 극한으로 나타낼 수 있다는 뜻이다. 다시 말해, $\mathcal H$ 를 상태 공간으로 하는 양자 역학 계는 $A$ 에 속하는 관찰 가능량들과 $A$ 와 ‘분리된’ (즉, 가환하는) 관찰 가능량들로 구성되며, $A$ 는 $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 를 구성하는 ‘인자’로 여길 수 있다.

2.1. 특별한 원소

C* 대수 $A$ 의 원소 $a\in A$ 가운데, $a=a^2=a^*$ 인 것을 사영원(射影元, projection^영어)이라고 하고, 사영원들의 집합을 $\operatorname{Proj}(A)$ 로 표기한다.

복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위에 표현된 폰 노이만 대수 $\mathcal A\subseteq\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 의 사영원 $A\in\mathcal A$ 의 상 $A\mathcal H\subseteq\mathcal H$ 으로 나타내어지는 부분 공간을 $\mathcal A$ 에 속하는 부분 공간이라고 한다. 이는 $\mathcal A$ 의 사영원들의 집합과 $\mathcal A$ 에 속하는 부분 공간들의 집합 사이에 일대일 대응을 정의한다.

폰 노이만 대수 $\mathcal A$ 의 두 사영원 $A,B\in\mathcal A$ 에 대하여, 만약 $A=CC^*$ 이자 $B=C^*C$ 인 $C\in\mathcal A$ 가 존재한다면, $A$ 와 $B$ 가 서로 머리-폰 노이만 동치(Murray–von Neumann equivalent^영어)라고 하고, $A\sim B$ 로 표기한다. 이는 $\mathcal A$ 의 사영원들의 집합 위의 동치 관계를 이룬다.

$\mathcal A$ 의 사영원들의 집합 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.
: $A\lesssim B\iff\exists C\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)\colon A\sim C,\;C\mathcal H\subseteq B\mathcal H$
폰 노이만 인자의 경우, 이는 사실 사영원들의 머리-폰 노이만 동치류들의 집합 위의 전순서를 이룬다.

$\mathcal A$ 의 사영원 $A\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 유한 사영원(finite projection^영어)이라고 한다.
: $\forall B\in\operatorname{Proj}(\mathcal A)\colon B\mathcal H\subsetneq A\mathcal H\implies B\not\sim A$

3. 분류

인자 대수는 Ⅰ종, Ⅱ₁종, Ⅱ_∞종, Ⅲ종으로 분류된다.

* Ⅰ종 인자: $\operatorname{Proj}(A)\setminus\{0\}$ 에 가장 작은, 0이 아닌 사영원 동치류가 존재한다.
* Ⅱ종 인자: Ⅰ종 인자가 아니며, 0이 아닌 유한 사영원을 갖는다.
* Ⅱ₁종 인자: 항등원이 유한 사영원이다.
* Ⅱ_∞종 인자: 항등원이 유한 사영원이 아니다.
* Ⅲ종 인자: Ⅰ종 인자나 Ⅱ종 인자가 아니다.

폰 노이만 대수의 분류는 사실상 Ⅱ₁종 인자의 분류로 귀결된다. Ⅱ₁종 인자는 일반적으로 복잡한 구조를 가지기 때문이다. Ⅱ_∞종 인자와 Ⅲ종 인자는 각각 Ⅰ종 인자와 Ⅱ₁종 인자로부터 구성될 수 있다.

3.1. Ⅰ종 인자 대수

Ⅰ종 인자 대수는 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 에 대하여 $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 와 C* 대수로서 동형이다.

복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 의 임의의 단위 벡터 $|v\rangle\in\mathcal H$ 에 대하여, $|v\rangle\langle v|$ 는 0이 아닌 유한 사영원이다.

복소수 힐베르트 공간은 그 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류된다. 차원이 기수 $\kappa$ 일 때, 이에 대응하는 Ⅰ종 인자 대수를 $\operatorname I_\kappa$ 형이라고 한다. 분해 가능 복소수 힐베르트 공간의 경우 차원이 가산 기수이다. 이 경우 $\aleph_0$ 차원 경우는 보통 $\operatorname I_\infty$ 으로 표기된다.

3.2. Ⅱ<sub>∞</sub>종 인자 대수

Ⅱ_∞종 인자 대수는 항상 Ⅱ₁종 인자 대수와 무한 차원 Ⅰ종 인자 대수의 텐서곱으로 표현될 수 있다.

3.3. Ⅲ종 인자 대수

도미타-다케사키 이론은 Ⅲ종 인자의 분류 이론이다.

도미타-다케사키 이론에 따르면, 각 폰 노이만 대수 $A$ 에 대해 음이 아닌 실수 집합 $\operatorname S(A)\subseteq[0,\infty)$ 를 대응시킬 수 있으며, 이를 $A$ 의 콘 스펙트럼(Connes spectrum^영어)이라고 한다. Ⅲ종 인자 대수의 경우, 가능한 콘 스펙트럼은 다음과 같다.

* $\operatorname S(A)\setminus\{0\}=\{1\}$ 인 경우, Ⅲ₀종 인자 대수라고 한다.
* $\operatorname S(A)\setminus\{0\}=\{\dotsc,\lambda^{-2},\lambda^{-1},1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\dotsc\}\quad(0<\lambda<1)$ 인 경우, Ⅲ_λ종 인자 대수라고 한다.
* $\operatorname S(A)\setminus\{0\}=\mathbb R^+$ 인 경우, Ⅲ₁종 인자 대수라고 한다.

( $\operatorname S(A)\setminus\{0\}$ 은 항상 $\mathbb R^+$ 의 닫힌 부분군이므로 다른 가능성은 존재하지 않는다.)

4. 역사

양자역학을 분석하기 위하여 존 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(Francis Joseph Murray^영어, 1911~1996)가 인자 대수의 개념 및 Ⅰ종·Ⅱ종·Ⅲ종 인자 대수로의 분류를 도입하였다.

알랭 콘은 도미타-다케사키 이론을 통한 Ⅲ종 인자 대수의 분류를 1976년에 완료하였다.