자연로그의 밑의 원주율 제곱

1. 개요

자연로그의 밑 e의 원주율 π 제곱, 즉 e^π는 약 23.140692632779...의 값을 가지는 무리수이다. 오일러 공식과 겔폰트-슈나이더 정리에 의해 e^π는 초월수임이 증명되었으며, 연분수와 특정 수열을 통해 근사할 수 있다. e^π - π는 거의 정수에 가까운 값을 가지며, 라마누잔 상수, π^e, iⁱ 등과 관련된 수학적 성질을 갖는다.

2. 값

$e^\backslash pi$의 값은 다음과 같다.
:$e^\backslash pi=23.140692632779\backslash cdots$

3. 성질

여기서 i를 허수 단위라고 할 때,

e^π는 오일러 공식에 의해
:$e^\{ix\}\; =\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x$
에서 다음과 같이 변형될 수 있다. $e^\{\backslash pi\}\; =(e^\{i\; \backslash pi\}\; )^\{-i\}\; =(\backslash cos\; \backslash pi\; +i\backslash sin\; \backslash pi\; )^\{-i\}\; =(-1)^\{-i\}$

단, i의 i승과 마찬가지로 $e^\{3\backslash pi\}$, $e^\{5\backslash pi\}$…나 $e^\{-\backslash pi\}$, $e^\{-3\backslash pi\}$… 등 $e^\{(2k+1)\backslash pi\}$(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^\{-i\}$가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "a를 0, 1이 아닌 대수적 수, b를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, a^b는 초월수이다"라는 내용이다. a = −1, b = −i는 이 조건을 만족하므로 (−1)⁻ⁱ는 초월수이다. 즉, e^π는 초월수이다.

덧붙여서, e^e, π^π, π^e 등은 유리수인지, 무리수인지, 초월수인지 여부는 증명되지 않았다.

$k\_0\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ 로 하고
:$k\_n\; =\backslash frac\{1-\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}\{1+\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}$
로 정의될 때, 수열
:$\backslash left(\; \backslash frac\{4\}\{k\_\{n+1\}\}\; \backslash right)^\{2^\{-n\}\}$
는 e^π에 수렴한다.

e^π − π는 거의 정수이다.
:e^π − π = 19.99909997918947…

3.1. 초월성

오일러 항등식에 따라,
:$e^\backslash pi=(e^\{i\backslash pi\})^\{-i\}=(-1)^\{-i\}$
이다. $-i$가 대수적 수이며, 실수가 아니므로 유리수가 아니다. 겔폰트-슈나이더 정리에 의하여, $e^\backslash pi$는 초월수이다.

여기서 i를 허수 단위라고 할 때, e^π는 오일러 공식에 의해
:$e^\{ix\}\; =\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x$
에서 다음과 같이 변형될 수 있다. $e^\{\backslash pi\}\; =(e^\{i\; \backslash pi\}\; )^\{-i\}\; =(\backslash cos\; \backslash pi\; +i\backslash sin\; \backslash pi\; )^\{-i\}\; =(-1)^\{-i\}$

단, i의 i승과 마찬가지로 $e^\{3\backslash pi\}$, $e^\{5\backslash pi\}$…나 $e^\{-\backslash pi\}$, $e^\{-3\backslash pi\}$… 등 $e^\{(2k+1)\backslash pi\}$(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^\{-i\}$가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "a를 0, 1이 아닌 대수적 수, b를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, a^b는 초월수이다"라는 내용이다. a = −1, b = −i는 이 조건을 만족하므로 (−1)⁻ⁱ는 초월수이다. 즉, e^π는 초월수이다.

$k\_0\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ 로 하고
:$k\_n\; =\backslash frac\{1-\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}\{1+\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}$
로 정의될 때, 수열
:$\backslash left(\; \backslash frac\{4\}\{k\_\{n+1\}\}\; \backslash right)^\{2^\{-n\}\}$
는 e^π에 수렴한다.

3.2. 연분수 표현

$e^\backslash pi$는 다음과 같은 연분수 전개를 갖는다.
:$e^\backslash pi=23+\backslash cfrac\; 1\{7+\backslash cfrac\; 1\{9+\backslash cfrac\; 1\{3+\backslash cfrac\; 1\{1+\backslash cfrac\; 1\{1+\backslash cfrac\; 1\{591+\backslash cfrac\; 1\{2+\backslash cfrac\; 1\{9+\backslash cfrac\; 1\{1+\backslash cfrac\; 1\{2+\backslash cfrac\; 1\{34+\backslash ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$
허수 단위 i에 대하여, 오일러 공식에 의해
:$e^\{ix\}\; =\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x$
에서 다음과 같이 변형될 수 있다. $e^\{\backslash pi\}\; =(e^\{i\; \backslash pi\}\; )^\{-i\}\; =(\backslash cos\; \backslash pi\; +i\backslash sin\; \backslash pi\; )^\{-i\}\; =(-1)^\{-i\}$

i의 i승과 마찬가지로 $e^\{3\backslash pi\}$, $e^\{5\backslash pi\}$…나 $e^\{-\backslash pi\}$, $e^\{-3\backslash pi\}$… 등 $e^\{(2k+1)\backslash pi\}$(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^\{-i\}$가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "a를 0, 1이 아닌 대수적 수, b를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, a는 초월수이다"라는 내용이다. a = −1, b = −i는 이 조건을 만족하므로 (−1)는 초월수이다. 즉, e^π는 초월수이다.

$k\_0\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ 로 하고
:$k\_n\; =\backslash frac\{1-\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}\{1+\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}$
로 정의될 때, 수열
:$\backslash left(\; \backslash frac\{4\}\{k\_\{n+1\}\}\; \backslash right)^\{2^\{-n\}\}$
는 e^π에 수렴한다.

e^π − π는 거의 정수이다.
:e^π − π = 19.99909997918947…

3.3. 극한 공식

$e^\backslash pi$는 다음과 같은 극한을 통해 빠르게 근사할 수 있다.
:$e^\backslash pi=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}(k\_n/4)^\{-1/2^\{n-1\}\}$
여기서
:$k\_0=1/\backslash sqrt\; 2$
:$k\_\{n+1\}=\backslash frac\{1-\backslash sqrt\{1-k\_n^2\}\}\{1+\backslash sqrt\{1-k\_n^2\}\}$
여기서 i를 허수 단위라고 할 때, e^π는 오일러 공식에 의해
:$e^\{ix\}\; =\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x$
에서 다음과 같이 변형될 수 있다. $e^\{\backslash pi\}\; =(e^\{i\; \backslash pi\}\; )^\{-i\}\; =(\backslash cos\; \backslash pi\; +i\backslash sin\; \backslash pi\; )^\{-i\}\; =(-1)^\{-i\}$

단, i의 i승과 마찬가지로 $e^\{3\backslash pi\}$, $e^\{5\backslash pi\}$…나 $e^\{-\backslash pi\}$, $e^\{-3\backslash pi\}$… 등 $e^\{(2k+1)\backslash pi\}$(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^\{-i\}$가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "a를 0, 1이 아닌 대수적 수, b를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, a는 초월수이다"라는 내용이다. a = −1, b = −i는 이 조건을 만족하므로 (−1)는 초월수이다. 즉, e^π는 초월수이다.

$k\_0\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ 로 하고
:$k\_n\; =\backslash frac\{1-\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}\{1+\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}$
로 정의될 때, 수열
:$\backslash left(\; \backslash frac\{4\}\{k\_\{n+1\}\}\; \backslash right)^\{2^\{-n\}\}$
는 e^π에 수렴한다.

e^π − π는 거의 정수이다.
:e^π − π = 19.99909997918947…

4. 수학적 성질

e^π는 오일러 공식에 의해 다음과 같이 변형될 수 있다.
:$e^\{ix\}\; =\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x$
:$e^\{\backslash pi\}\; =(e^\{i\; \backslash pi\}\; )^\{-i\}\; =(\backslash cos\; \backslash pi\; +i\backslash sin\; \backslash pi\; )^\{-i\}\; =(-1)^\{-i\}$
단, i의 i승과 마찬가지로 $e^\{3\backslash pi\}$, $e^\{5\backslash pi\}$…나 $e^\{-\backslash pi\}$, $e^\{-3\backslash pi\}$… 등 $e^\{(2k+1)\backslash pi\}$(k는 임의의 정수)에서도 이러한 변형이 가능하므로, $(-1)^\{-i\}$가 다가이며 하나의 실수로 정해지지 않는다는 점에 주의해야 한다.

겔폰트-슈나이더 정리는 "a를 0, 1이 아닌 대수적 수, b를 유리수가 아닌 대수적 수라고 하면, a는 초월수이다"라는 내용이다. a = −1, b = −i는 이 조건을 만족하므로 (−1)는 초월수이다. 즉, e^π는 초월수이다.

$k\_0\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ 로 하고
:$k\_n\; =\backslash frac\{1-\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}\{1+\backslash sqrt\{1-\{k\_\{n-1\}\}^2\}\}$
로 정의될 때, 수열
:$\backslash left(\; \backslash frac\{4\}\{k\_\{n+1\}\}\; \backslash right)^\{2^\{-n\}\}$
는 e^π에 수렴한다.

e^π − π는 거의 정수이다.
:e^π − π = 19.99909997918947…

5.

6. 유사하거나 관련된 상수

6.1. 라마누잔 상수

수 $e^\{\backslash pi\backslash sqrt\{163\}\}$는 라마누잔 상수로 알려져 있다. 십진법 전개는 다음과 같다.

:$e^\{\backslash pi\backslash sqrt\{163\}\}$ = 262537412640768743.99999999999925007259...

이는 놀랍게도 정수 $640320^3\; +\; 744$에 매우 가깝다. 이는 Heegner 수의 응용으로 설명되며, 여기서 163은 해당 Heegner 수이다. 이 수는 1859년 수학자 샤를 에르미트에 의해 발견되었다. 1975년 사이언티픽 아메리칸 잡지의 만우절 기사에서 "수학 게임" 칼럼니스트 마틴 가드너는 이 수가 사실 정수이며, 인도의 수학 천재 스리니바사 라마누잔이 이를 예측했다고 허위로 주장했다. - 따라서 이름이 붙여졌다. 라마누잔 상수는 또한 초월수이다.

수 $640320^3\; +\; 744$의 1조 분의 1 이내의 우연의 일치는 복소수 곱셈과 q-확장 of the j-invariant에 의해 설명된다.

6.2. 수 <math>e^{\pi} - \pi</math>

수 $e^\{\backslash pi\}\; -\; \backslash pi$는 정수에 매우 가까우며, 그 소수 전개는 다음과 같다.

:$e^\{\backslash pi\}\; -\; \backslash pi$ = 19.99909997918947576726...

이 겉보기에 놀라운 일치는 야코비 세타 함수와 관련된 합의 결과로 설명된다. $$\backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\backslash left(\; 8\backslash pi\; k^2\; -2\; \backslash right)\; e^\{-\backslash pi\; k^2\}\; =\; 1.$$ 첫 번째 항이 지배적인데, $k\backslash geq\; 2$에 대한 항의 합이 $\backslash sim\; 0.0003436$이기 때문이다. 따라서 합은 $\backslash left(\; 8\backslash pi\; -2\backslash right)\; e^\{-\backslash pi\}\backslash approx\; 1,$로 절단될 수 있으며, 여기서 $e^\{\backslash pi\}$에 대해 풀면 $e^\{\backslash pi\}\; \backslash approx\; 8\backslash pi\; -2.$가 된다. $e^\{\backslash pi\}$에 대한 근사를 다시 쓰고 $7\backslash pi\; \backslash approx\; 22$에 대한 근사를 사용하면 다음과 같다. $$e^\{\backslash pi\}\; \backslash approx\; \backslash pi\; +\; 7\backslash pi\; -\; 2\; \backslash approx\; \backslash pi\; +\; 22-2\; =\; \backslash pi+20.$$따라서 항을 재배열하면 $e^\{\backslash pi\}\; -\; \backslash pi\; \backslash approx\; 20.$이 된다. 아이러니하게도, $7\backslash pi$에 대한 조잡한 근사는 정밀도의 추가 차수를 산출한다.

6.3. 수 <math>\pi^e</math>

$\backslash pi^e$의 소수 전개는 다음과 같다.

:$$
\pi^{e} = 22.45915771836104547342...


이 수가 초월수인지 여부는 알려져 있지 않다. 겔폰트-슈나이더 정리에 따르면, a와 b가 대수적일 경우 (a와 b 모두 복소수로 간주), $a^b$가 초월수인지 여부를 확실하게 추론할 수 있다. $e^\backslash pi$의 경우, 복소 지수 형태의 속성과 $(-1)^\{-i\}$로 변환하여 겔폰트-슈나이더 정리를 적용할 수 있는 위의 등가성을 통해 이 수가 초월수임을 증명할 수 있다.

$\backslash pi^e$는 그러한 등가성을 갖지 않으므로, π와 e가 모두 초월수이므로, 겔폰트-슈나이더 정리를 사용하여 $\backslash pi^e$의 초월성에 대한 결론을 내릴 수 없다. 그러나 현재 증명되지 않은 샤누엘의 추측은 그 초월성을 암시한다.

6.4. 수 <math>i^i</math>

복소 로그의 주값을 사용하여 다음을 계산할 수 있다.
$$i^\{i\}\; =\; (e^\{i\backslash pi/2\})^i\; =\; e^\{-\backslash pi/2\}\; =\; (e^\{\backslash pi\})^\{-1/2\}$$
이에 대한 소수 전개는 다음과 같다.
: $i^\{i\}\; =$ 0.20787957635076190854...
이 수의 초월성은 $e^\{\backslash pi\}$의 초월성으로부터 직접적으로 따른다.