오일러 항등식

3. 증명

오일러 공식의 특수한 경우로, 오일러 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:$e^\{ix\}=\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\backslash mathbb\; R$

위 식에서 $x=\backslash pi$를 대입하면 오일러 항등식을 얻을 수 있다.

일반적으로, $e^z$는 지수 함수의 특성 중 하나를 실수 지수에서 복소 지수로 확장하여 복소수 z에 대해 정의된다. 예를 들어, 일반적인 정의 중 하나는 다음과 같다.

:$e^z\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; z\; n\; \backslash right)^n.$

따라서 오일러 항등식은 n이 무한대로 접근할 때 $(1\; +\; i\backslash pi/n)^n$의 극한이 −1과 같다고 명시한다.

오일러 공식에 따르면, 모든 실수 x에 대해 다음이 성립한다.

: $e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x$

여기서 삼각 함수 사인과 코사인의 입력은 라디안으로 주어진다.

특히, x = π 일 때,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash pi\; +\; i\backslash sin\; \backslash pi.$

:$\backslash cos\; \backslash pi\; =\; -1$ 이고, $\backslash sin\; \backslash pi\; =\; 0,$이므로,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1\; +\; 0\; i,$

가 성립하고, 이는 오일러 항등식을 유도한다.

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; +1\; =\; 0.$

복소해석학에서 임의의 실수 $\backslash varphi$에 대해 성립하는 오일러 공식

:$e^\{i\backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi$

에서 삼각 함수 sin과 cos의 인자 $\backslash varphi$는 라디안이다. 양변에 $\backslash varphi\; =\; \backslash pi$를 대입하면,

:$\backslash cos\; \backslash pi\; =\; -1$

:$\backslash sin\; \backslash pi\; =\; 0$

이므로

:$e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1$

따라서

:$e^\{i\; \backslash pi\}\; +1\; =\; 0$

을 얻는다.

4. 역사

레온하르트 오일러가 1768년에 출판한 책 《Introduction》에 수록되었다.^[16] 오일러 항등식은 1748년에 출판된 그의 기념비적인 수학 분석 저서인 ''무한소 해석 입문(Introductio in analysin infinitorum)''에서 오일러 공식의 직접적인 결과이지만, 다섯 개의 기본 상수를 간결한 형태로 연결하는 특정한 개념이 오일러 자신에게 귀속될 수 있는지는 의문이며, 그는 이를 표현하지 않았을 수도 있다.^[17]

로빈 윌슨은 다음과 같이 말했다.^[18]

: 우리는 이것[오일러 항등식]이 요한 베르누이와 로저 코츠의 결과로부터 쉽게 유도될 수 있지만, 그들 중 어느 누구도 그렇게 한 것 같지 않다는 것을 알게 되었다. 오일러조차도 명시적으로 기록하지 않은 것 같으며, 그의 출판물 어디에도 나타나지 않지만, 그는 분명히 자신의 항등식 [즉, 오일러 공식]으로부터 즉시 도출된다는 것을 깨달았을 것이다. 더욱이, 누가 처음으로 이 결과를 명시적으로 언급했는지는 알려지지 않은 것 같다...

오일러 항등식은 1748년에 출판된 그의 해석학 기념비적 연구에 등장한다는 주장이 있어 왔다.^[27] 그러나, 특히 이 개념이 오일러에게 귀속될 수 있는지에 대해서는, 그가 그것을 표시하지 않았기 때문에 의심을 받기도 한다.^[28] 오일러는 ''Introductio''에서 "오일러 공식"이라고 불리는 것, 복소수 세계에서 e|e^영어를 ''코사인''과 ''사인''의 말로 연결하는 것에 대해 언급했고^[29], 영국의 수학자 로저 코츠도 이 공식에 대해 알고 있었다.^[28]

5. 수학적 아름다움과 평가

오일러 항등식은 수학적 아름다움의 예시로 자주 언급된다.^[5] 이 항등식은 덧셈, 곱셈, 지수라는 세 가지 기본 산술 연산을 각각 한 번씩 포함하며, 다음과 같은 다섯 가지 기본 수학 상수를 연결한다.^[6]

• 숫자 0: 덧셈 항등원
• 숫자 1: 곱셈 항등원
• 수 π: (π = 3.1415...) 기본적인 원 상수
• 수 e: (e = 2.718...) 오일러 수라고도 하며, 수학적 분석에서 널리 사용됨
• 수 i: $i^2=-1$을 만족하는 허수 단위

• 폴 나힌의 ''Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills'' (2011)^[13]
• 데이비드 스티프의 ''A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics'' (2017)^[14]
• 로빈 윌슨의 ''Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics'' (2018).^[15]

6. 기하학적 해석

7. 일반화

오일러 항등식은 일 때 번째 단위근의 합이 0이라는 더 일반적인 항등식의 특별한 경우이다.

:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash frac\{k\}\{n\}\}\; =\; 0\; .$

오일러 항등식은 인 경우이다.

사원수 지수에도 유사한 항등식이 적용된다. 를 기저 사원수라고 하면,

:$e^\{\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 3\}(i\; \backslash pm\; j\; \backslash pm\; k)\backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0.$

더 일반적으로, 를 실수부가 0이고 노름이 인 사원수라고 하자. 즉, $q=ai+bj+ck,$이며 $a^2+b^2+c^2=1.$ 그러면 다음이 성립한다.

:$e^\{q\backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0.$

동일한 공식은 팔원수에도 적용되며, 실수부가 0이고 노름이 이다. 이 공식들은 오일러 항등식의 직접적인 일반화이다. 왜냐하면 $i$와 $-i$는 실수부가 0이고 노름(절댓값)이 인 유일한 복소수이기 때문이다.

오일러 등식은 1의 거듭제곱근에 관한 다음 등식의 특수한 경우로 간주할 수 있다.

:$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\{n-1\}\; e^\{i\backslash cdot\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{n\}k\}\; =\; 0$

일반적인 이 식은 2 이상의 정수 에 대해 1의 제곱근의 총합은 0임을 의미한다. 로 하면 오일러 등식을 얻는다.

참조

_[1] 서적 https://books.google[...] 1999
_[2] Eom Euler identity
_[3] citation The Transcendence of π and the Squaring of the Circle 2020
_[4] 웹사이트 e is transcendental https://math.colorad[...]
_[5] 뉴스 Mathematics: Why the brain sees maths as beauty https://www.bbc.co.u[...] 2014-02-13
_[6] 서적 1992
_[7] 서적 https://books.google[...] 2006
_[8] 서적 2006
_[9] 서적
_[10] 서적 https://books.google[...]
_[11] 서적 1990
_[12] 서적 2004
_[13] 서적 Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills Princeton University Press 2011
_[14] 서적 A Most Elegant Equation : Euler's Formula and the Beauty of Mathematics Basic Books 2017
_[15] 서적 Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics Oxford University Press 2018
_[16] 서적
_[17] 서적
_[18] 서적
_[19] 간행물 http://www.springer.[...]
_[20] 서적 2006
_[21] 서적 2004
_[22] 서적 2007
_[23] 서적
_[24] 서적
_[25] 서적
_[26] 서적 2006
_[27] 서적
_[28] 서적
_[29] 서적