오일러 항등식

1. 개요

오일러 항등식은 자연 로그의 밑, 허수 단위, 원주율, 덧셈 항등원, 곱셈 항등원 등 5개의 수학 상수를 연결하는 중요한 공식이다. 이 공식은 오일러 공식의 특수한 경우로, 복소 평면에서 기하학적으로 해석될 수 있으며, 수학적 아름다움을 인정받아 '수학에서 가장 아름다운 정리'로 꼽히기도 했다. 오일러 항등식은 1748년 오일러에 의해 발표된 오일러 공식을 통해 증명된다. 또한, 더 일반적인 형태의 단위근의 합에 대한 항등식의 특별한 경우로 볼 수 있으며, 사원수 및 팔원수 지수에도 적용될 수 있다.

2. 정의

자연 로그의 밑인 e, 허수 단위인 i, 원주율인 π 에 대해, 오일러 항등식은 다음과 같다.
:$e^\{i\backslash pi\}=\; -1$
또는 다음과 같이도 표현한다.
:$e^\{i\backslash pi\}+1=0$
오일러 항등식은 수학적 아름다움으로 인해 많은 사람들에게 특별하게 여겨진다.

이 등식은 다음과 같은 5가지 기본적인 수학 상수를 포함한다.
* 1: 곱셈에 대한 항등원
* 0: 덧셈에 대한 항등원, 즉 영원
* π: 원주율. 삼각비, 유클리드 기하학, 미분적분학에서 자주 등장하며, 대략 3.14159이다.
* e: 자연 상수. 자연 로그의 밑이며, 미분적분학에서 널리 나타나고, 대략 2.71828이다.
* i: 허수 단위. 복소수에서의 허수 단위이며, 적분 등의 연산에서 중요한 역할을 한다.

또한, 이 등식은 다음 세 가지 기본적인 산술 연산을 통해 위의 상수들을 간결하게 연결한다.
* 덧셈
* 곱셈
* 지수 함수

기하학, 해석학, 대수학에서 각각 독립적으로 정의된 세 상수(π, e, i)가 이처럼 간단한 등식으로 연결된다는 점이 주목할 만하다. 해석학에서는 보통 방정식의 한쪽(주로 우변)에 "0"을 두는 형태로 표현한다.

3. 증명

오일러 공식의 특수한 경우로, 오일러 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:$e^\{ix\}=\backslash cos\; x+i\backslash sin\; x\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\backslash mathbb\; R$

위 식에서 $x=\backslash pi$를 대입하면 오일러 항등식을 얻을 수 있다.

일반적으로, $e^z$는 지수 함수의 특성 중 하나를 실수 지수에서 복소 지수로 확장하여 복소수 z에 대해 정의된다. 예를 들어, 일반적인 정의 중 하나는 다음과 같다.

:$e^z\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; z\; n\; \backslash right)^n.$

따라서 오일러 항등식은 n이 무한대로 접근할 때 $(1\; +\; i\backslash pi/n)^n$의 극한이 −1과 같다고 명시한다.

오일러 공식에 따르면, 모든 실수 x에 대해 다음이 성립한다.

: $e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x$

여기서 삼각 함수 사인과 코사인의 입력은 라디안으로 주어진다.

특히, x = π 일 때,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash pi\; +\; i\backslash sin\; \backslash pi.$

:$\backslash cos\; \backslash pi\; =\; -1$ 이고, $\backslash sin\; \backslash pi\; =\; 0,$이므로,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1\; +\; 0\; i,$

가 성립하고, 이는 오일러 항등식을 유도한다.

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; +1\; =\; 0.$

복소해석학에서 임의의 실수 $\backslash varphi$에 대해 성립하는 오일러 공식

:$e^\{i\backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi$

에서 삼각 함수 sin과 cos의 인자 $\backslash varphi$는 라디안이다. 양변에 $\backslash varphi\; =\; \backslash pi$를 대입하면,

:$\backslash cos\; \backslash pi\; =\; -1$
:$\backslash sin\; \backslash pi\; =\; 0$

이므로

:$e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1$

따라서

:$e^\{i\; \backslash pi\}\; +1\; =\; 0$

을 얻는다.

4. 역사

레온하르트 오일러가 1768년에 출판한 책 《Introduction》에 수록되었다. 오일러 항등식은 1748년에 출판된 그의 기념비적인 수학 분석 저서인 무한소 해석 입문(Introductio in analysin infinitorum)에서 오일러 공식의 직접적인 결과이지만, 다섯 개의 기본 상수를 간결한 형태로 연결하는 특정한 개념이 오일러 자신에게 귀속될 수 있는지는 의문이며, 그는 이를 표현하지 않았을 수도 있다.

로빈 윌슨은 다음과 같이 말했다.

: 우리는 이것[오일러 항등식]이 요한 베르누이와 로저 코츠의 결과로부터 쉽게 유도될 수 있지만, 그들 중 어느 누구도 그렇게 한 것 같지 않다는 것을 알게 되었다. 오일러조차도 명시적으로 기록하지 않은 것 같으며, 그의 출판물 어디에도 나타나지 않지만, 그는 분명히 자신의 항등식 [즉, 오일러 공식]으로부터 즉시 도출된다는 것을 깨달았을 것이다. 더욱이, 누가 처음으로 이 결과를 명시적으로 언급했는지는 알려지지 않은 것 같다...

오일러 항등식은 1748년에 출판된 그의 해석학 기념비적 연구에 등장한다는 주장이 있어 왔다. 그러나, 특히 이 개념이 오일러에게 귀속될 수 있는지에 대해서는, 그가 그것을 표시하지 않았기 때문에 의심을 받기도 한다. 오일러는 Introductio에서 "오일러 공식"이라고 불리는 것, 복소수 세계에서 e^영어를 코사인과 사인의 말로 연결하는 것에 대해 언급했고, 영국의 수학자 로저 코츠도 이 공식에 대해 알고 있었다.

5. 수학적 아름다움과 평가

오일러 항등식은 수학적 아름다움의 예시로 자주 언급된다. 이 항등식은 덧셈, 곱셈, 지수라는 세 가지 기본 산술 연산을 각각 한 번씩 포함하며, 다음과 같은 다섯 가지 기본 수학 상수를 연결한다.

* 숫자 0: 덧셈 항등원
* 숫자 1: 곱셈 항등원
* 수 π: (π = 3.1415...) 기본적인 원 상수
* 수 e: (e = 2.718...) 오일러 수라고도 하며, 수학적 분석에서 널리 사용됨
* 수 i: $i^2=-1$을 만족하는 허수 단위

이 방정식은 수학의 여러 분야에서 흔히 사용되는 방식처럼 0과 같은 형태로 주어지기도 한다.

스탠퍼드 대학교 수학 교수 키스 데블린은 "사랑의 본질을 포착하는 셰익스피어 소네트나 피부 깊숙이 존재하는 인간의 아름다움을 드러내는 그림과 같이, 오일러의 방정식은 존재의 가장 깊은 곳까지 도달한다"고 말했다. 뉴햄프셔 대학교 명예교수인 폴 나힌은 오일러 공식과 그 응용을 푸리에 해석에 전념하는 책을 썼으며, 오일러의 항등식을 "절묘한 아름다움"이라고 묘사했다.

수학 저술가 콘스턴스 리드는 오일러의 항등식이 "모든 수학에서 가장 유명한 공식"이라고 평했다. 19세기 미국의 철학자이자 수학자, 하버드 대학교 교수였던 벤자민 피어스는 강의 중 오일러의 항등식을 증명한 후, "이 항등식은 절대적으로 역설적이다. 우리는 그것을 이해할 수 없고, 그것이 무엇을 의미하는지 모르지만, 증명했으므로 진실임은 알고 있다"고 말했다.

1990년 수학 인텔리전서의 독자 설문 조사에서 오일러의 항등식을 "수학에서 가장 아름다운 정리"로 선정했다. 2004년 물리학 월드의 독자 설문 조사에서 오일러의 항등식은 맥스웰 방정식 (전자기학)과 함께 "역대 최고의 방정식"으로 공동 1위를 차지했다.

최소 세 권의 대중 수학 서적이 오일러의 항등식에 관해 출판되었다.

* 폴 나힌의 Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (2011)
* 데이비드 스티프의 A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics (2017)
* 로빈 윌슨의 Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (2018).

오일러 등식은 기하학, 해석학, 대수학 분야에서 각각 독립적으로 정의된 세 개의 상수 (π, e, i)가 간단한 등식으로 관련되어 있다는 점과, 일반적으로 해석학에서는 방정식이 한쪽(대개 우변)에 "0"을 두는 형태로 표기된다는 점에서 그 수학적 아름다움이 돋보인다.

카를 프리드리히 가우스는 "이 공식을 본 학생이 즉시 그 의미를 이해하지 못한다면, 그 학생은 일류 수학자가 될 수 없다"라고 언급했다.

Bob Palais가 2001년에 공개한 에세이 "π is wrong!"에서는 원주율 π 대신 "τ=2π"라는 수 τ, 즉 원의 둘레와 반지름의 비율을 사용하면 이 공식은 $e^\{i\; \backslash tau\}\; =\; 1$이라는 더 간단한 표현이 된다고 언급했다.

6. 기하학적 해석

오일러 항등식은 $e^\{i\backslash pi\}$가 -1과 같다고 나타낸다. $e^\{i\backslash pi\}$는 지수 함수 $e^z$의 특수한 경우이며, 일반적으로 $e^z$는 다음과 같이 정의된다.

:$e^z\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1+\backslash frac\; z\; n\; \backslash right)^n.$

따라서 오일러 항등식은 n이 무한대로 접근할 때 $(1\; +\; i\backslash pi/n)^n$의 극한이 -1과 같다는 것을 의미하며, 이는 오른쪽 애니메이션에 설명되어 있다.

오일러 항등식은 모든 실수 x에 대해 다음을 나타내는 오일러 공식의 특수한 경우이다.

: $e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x$

여기서 삼각 함수 사인과 코사인의 입력은 라디안으로 주어진다.

특히, x = π 일 때,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; \backslash cos\; \backslash pi\; +\; i\backslash sin\; \backslash pi.$

$\backslash cos\; \backslash pi\; =\; -1$이고 $\backslash sin\; \backslash pi\; =\; 0$이므로,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; =\; -1\; +\; 0\; i,$

따라서,

: $e^\{i\; \backslash pi\}\; +1\; =\; 0.$

이다.

복소수 $z\; =\; x\; +\; iy$는 복소 평면에서 점 $(x,\; y)$로 나타낼 수 있다. 이 점은 극좌표 $(r,\; \backslash theta)$로도 나타낼 수 있는데, 여기서 r은 z의 절댓값(원점으로부터의 거리)이고, $\backslash theta$는 z의 편각(양의 x축으로부터 반시계 방향으로의 각도)이다. 사인과 코사인의 정의에 따르면, 이 점은 $(r\; \backslash cos\; \backslash theta,\; r\; \backslash sin\; \backslash theta)$의 데카르트 좌표를 가지므로, $z\; =\; r(\backslash cos\; \backslash theta\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta)$이다. 오일러 공식에 따르면, 이는 $z\; =\; r\; e^\{i\backslash theta\}$와 같다.

오일러 항등식은 $-1\; =\; e^\{i\backslash pi\}$라고 말한다. $e^\{i\backslash pi\}$는 r = 1이고 $\backslash theta\; =\; \backslash pi$일 때 $r\; e^\{i\backslash theta\}$이므로, 복소 평면에서 숫자 -1에 대한 사실로 해석될 수 있다. 즉, 원점으로부터의 거리는 1이고, 양의 x축으로부터의 각도는 $\backslash pi$ 라디안이다.

또한, 임의의 복소수 z에 $e^\{i\backslash theta\}$를 곱하면, 복소 평면에서 z를 반시계 방향으로 $\backslash theta$ 각도만큼 회전시키는 효과가 있다. -1을 곱하는 것은 점을 원점에 대해 대칭시키는 것이므로, 오일러 항등식은 임의의 점을 원점에 대해 $\backslash pi$ 라디안 회전시키는 것은 그 점을 원점에 대해 대칭시키는 것과 같은 효과를 가진다고 해석할 수 있다. 마찬가지로, $\backslash theta$를 $2\backslash pi$로 설정하면 $e^\{2\backslash pi\; i\}\; =\; 1$이 되는데, 이는 임의의 점을 원점을 중심으로 한 바퀴 회전시키면 원래 위치로 돌아온다는 것을 의미한다.

7. 일반화

오일러 항등식은 일 때 번째 단위근의 합이 0이라는 더 일반적인 항등식의 특별한 경우이다.

:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; \backslash frac\{k\}\{n\}\}\; =\; 0\; .$

오일러 항등식은 인 경우이다.

사원수 지수에도 유사한 항등식이 적용된다. 를 기저 사원수라고 하면,
:$e^\{\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; 3\}(i\; \backslash pm\; j\; \backslash pm\; k)\backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0.$

더 일반적으로, 를 실수부가 0이고 노름이 인 사원수라고 하자. 즉, $q=ai+bj+ck,$이며 $a^2+b^2+c^2=1.$ 그러면 다음이 성립한다.
:$e^\{q\backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0.$

동일한 공식은 팔원수에도 적용되며, 실수부가 0이고 노름이 이다. 이 공식들은 오일러 항등식의 직접적인 일반화이다. 왜냐하면 $i$와 $-i$는 실수부가 0이고 노름(절댓값)이 인 유일한 복소수이기 때문이다.

오일러 등식은 1의 거듭제곱근에 관한 다음 등식의 특수한 경우로 간주할 수 있다.
:$\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\{n-1\}\; e^\{i\backslash cdot\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{n\}k\}\; =\; 0$
일반적인 이 식은 2 이상의 정수 에 대해 1의 제곱근의 총합은 0임을 의미한다. 로 하면 오일러 등식을 얻는다.