자이베르그-위튼 이론

1. 개요

자이베르그-위튼 이론은 1994년 나탄 자이베르그와 에드워드 위튼에 의해 도입되었으며, $\backslash mathcal\{N\}=2$ 초대칭을 가진 게이지 이론을 연구하는 데 사용된다. 이 이론은 모듈러스 공간, 스펙트럼 곡선(자이베르그-위튼 곡선), 그리고 끈 이론 및 M이론과의 관계를 포함하는 기하학적 구조를 가진다. 자이베르그-위튼 이론은 자기 홀극, 색 가둠, 질량 간극, 강-약 이중성과 같은 물리적 현상을 설명하며, 인스턴톤 계산을 통해 자이베르그-위튼 프리퍼텐셜을 계산할 수 있다.

2. 역사

나탄 자이베르그와 에드워드 위튼이 1994년에 도입하였다.

3. 이론의 전개

자이베르그-위튼 이론은 N=2 초대칭을 갖는 게이지 이론에서 시작한다. 이론의 모듈러스 공간은 게이지 불변 카시미르 불변량으로 좌표화되는 리만 구이다. SU(2) 게이지 군의 경우, 모듈러스 공간은 복소 평면의 한 점 $u$로 나타낼 수 있다. 프리퍼텐셜은 $u$ 공간에서 세 특이점 ($u\; =\; \backslash infty,\; \backslash pm\; \backslash Lambda^2$)을 가지며, 이 점들 근처에서 모노드로미가 발생한다. 모노드로미는 초대칭의 성질을 통해 알 수 있으며, 이를 통해 프리퍼텐셜을 결정할 수 있다. 이 과정을 리만-힐베르트 문제(Riemann–Hilbert problem^영어)라고 부른다.

일반적으로 게이지 군 $G$가 주어졌을 때, 모듈러스 공간은 $G$의 카르탕 부분군 $T(G)\backslash subset\; G$의 바일 군($G$의 근계의 자기동형사상군) $W(G)$에 대한 몫공간 $T(G)/W(G)$이다. 이 모듈러스 공간은 바일 군 불변, 게이지 불변 카시미르 불변량들로 좌표를 잡을 수 있다.

3.1. 모듈러스 공간과 모노드로미

자이베르그-위튼 이론은 N=2 초대칭을 갖는 게이지 이론에서 시작한다. 이론의 모듈러스 공간은 게이지 불변 카시미르 불변량으로 좌표화되는 리만 구이다. SU(2) 게이지 군의 경우, 모듈러스 공간은 복소 평면의 한 점 $u$로 나타낼 수 있다. 프리퍼텐셜은 $u$ 공간에서 세 특이점 ($u\; =\; \backslash infty,\; \backslash pm\; \backslash Lambda^2$)을 가지며, 이 점들 근처에서 모노드로미가 발생한다. 모노드로미는 초대칭의 성질을 통해 알 수 있으며, 이를 통해 프리퍼텐셜을 결정할 수 있다. 이 과정을 리만-힐베르트 문제(Riemann–Hilbert problem^영어)라고 부른다.

일반적으로 게이지 군 $G$가 주어졌을 때, 모듈러스 공간은 $G$의 카르탕 부분군 $T(G)\backslash subset\; G$의 바일 군($G$의 근계의 자기동형사상군) $W(G)$에 대한 몫공간 $T(G)/W(G)$이다. 이 모듈러스 공간은 바일 군 불변, 게이지 불변 카시미르 불변량들로 좌표를 잡을 수 있다.

모듈러스 공간에 $u\; =\; -1,\; +1$ 및 $\backslash infty$에서 세 개의 특이점만 있다고 가정하면, 각 지점에서의 모노드로미 데이터로 인해 모듈러스 공간 $\backslash mathcal\{M\}$은 $H/\backslash Gamma(2)$로 주어진다. 여기서 $H$는 쌍곡선 반평면이고 는 2차 주 합동 부분군이며, 다음으로 생성된다.



이 공간은 모듈 군의 기본 영역의 6겹 피복이며, 자이베르그-위튼 곡선으로 명시적인 설명을 할 수 있다.

$$y^2\; =\; (x\; -\; 1)(x\; +\; 1)(x\; -\; u),$$

3.2. 스펙트럼 곡선 (자이베르그-위튼 곡선)

$u$ 공간에서의 모노드로미는 어떤 타원 곡선의 모듈러 군으로 해석할 수 있다. 이 타원 곡선을 자이베르그-위튼 곡선(Seiberg–Witten curve^영어) 또는 스펙트럼 곡선(spectral curve^영어)이라고 한다. 타원 곡선은 위상수학적으로 원환면이므로, 1차 호몰로지 $H^1(\backslash mathbb\; T^2)\backslash cong\backslash mathbb\; Z^2$의 기저 $\backslash \{\backslash alpha,\backslash beta\backslash \}$를 잡을 수 있다. 타원 곡선 위에 유리형 1차 미분 형식 $\backslash lambda$가 존재하여, $a=\backslash int\_\backslash alpha\backslash lambda$, $a\_D=\backslash int\_\backslash beta\backslash lambda$로 쓸 수 있다.

이에 따라, 주어진 $u$에서 가능한 복소 결합 상수 $\backslash tau$들의 모듈러스 공간은 모듈러 곡선 $X\_0(4)=\backslash mathbb\; H/\backslash Gamma\_0(4)$가 된다. 여기서 $\backslash mathbb\; H$는 복소 상반평면이고, $\backslash Gamma\_0(4)$는 모듈러 군의 합동 부분군의 한 종류다. 모듈러 곡선은 특정 구조를 가진 타원곡선의 모듈러스 공간이다. 여기서 특정 구조는 타원곡선의 주어진 4차 순환 부분군이다. 따라서, 이 모듈러 곡선을 자이베르그-위튼 곡선의 모듈러스 공간으로 해석한다.

3.3. 일반적인 게이지 군의 경우

게이지 군 $G$가 주어졌을 때, 모듈러스 공간은 $G$의 카르탕 부분군 $T(G)\backslash subset\; G$의 바일 군($G$의 근계의 자기동형사상군) $W(G)$에 대한 몫공간 $T(G)/W(G)$이다. 이 모듈러스 공간은 바일 군 불변, 게이지 불변 카시미르 불변량들로 좌표를 잡을 수 있다.

예를 들어, 게이지 군이 $G=SU(N)$인 경우, 카르탕 부분군은 $N-1$차원이며, 바일 군은 대칭군 $S\_N$이다. 따라서 그 모듈러스 공간은 $\backslash mathbb\; C^\{N-1\}/S\_N$이며, 바일 불변 카시미르 불변량 $u\_2,u\_3,\backslash dots,u\_N$은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash det\_\{N\backslash times\; N\}(1\_\{N\backslash times\; N\}x-\backslash phi)=x^N-u\_2x^\{N-2\}-u\_3x^\{N-3\}\backslash cdots-u\_\{N-1\}x-u\_N$

4. 기하학적 구조

일반적으로, 초대칭 게이지 이론에서 낮은 에너지 진공 해는 낮은 에너지 라그랑지안의 운동 방정식을 풀어 결정된다. SU(2) 게이지 군을 가진 이론의 경우, 스칼라 장의 진공 기대값은 카르탕 부분대수로 게이지 회전될 수 있으며, 이는 무흔적 대각 복소 행렬로 나타낼 수 있다. 게이지 불변량은 $u\; =\; a^2/2\; =\; Tr(\backslash phi^2)$로 주어진다.

켈러 메트릭은 $a$로 표현될 수 있다.
$$ds^2\; =\; \backslash mathrm\{Im\}\backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash mathcal\{F\}\}\{\backslash partial\; a^2\}dad\backslash bar\; a\; =\; \backslash mathrm\{Im\}da\_Dd\backslash bar\; a\; =\; -\backslash frac\{i\}\{2\}(da\_D\; d\backslash bar\; a\; -\; da\; d\backslash bar\; a\_D)\; =:\; \backslash mathrm\{Im\}\backslash tau(a)dad\backslash bar\; a,$$
여기서 $a\_D\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{F\}\}\{\backslash partial\; a\}$이다.

$a$와 $a\_D$의 대칭으로 인해, 국소 좌표 $a\_D$를 도입할 수 있다. 이는 전기-자기 이중성 변환의 한 예로 해석될 수 있다.

모듈러스 공간은 특정 모노드로미 데이터를 갖는 리만 곡면으로 주어지며, 이는 자이베르그-위튼 곡선으로 명시적으로 표현할 수 있다.
$$y^2\; =\; (x\; -\; 1)(x\; +\; 1)(x\; -\; u),$$

5. 물리적 현상

자이베르그-위튼 이론은 자기 홀극, 가둠, 질량 간극 생성과 강-약 이중성 같은 물리적 현상을 설명한다. 이러한 현상들은 자이베르그-위튼 불변량 이론의 동기가 되었다.

저에너지 작용은 게이지 군 $\backslash mathrm\{U\}(1)$을 갖는 $\backslash mathcal\{N\}\; =\; 2$ 카이랄 멀티플렛 $\backslash mathcal\{A\}$로 설명된다. 이는 원래 $\backslash mathrm\{SU\}(2)$ 대칭에서 남은 깨지지 않은 게이지이다. 이 설명은 큰 $u$에서는 약하게 결합되지만, 작은 $u$에서는 강하게 결합된다. 그러나 강하게 결합된 지점에서 이론은 약하게 결합된 이중 설명을 허용한다. 이중 이론은 두 개의 $\backslash mathcal\{N\}\; =\; 1$ 카이랄 초장 $M,\; \backslash tilde\; M$과 이중 광자 $\backslash mathcal\{A\}\_D$를 갖는 다른 장 내용물을 가진다. 이는 홀극이 질량이 없는 상태가 되는 임계점 $u\; =\; \backslash pm\; u\_0$에서 위튼의 홀극 방정식, 즉 자이베르그-위튼 방정식인 운동 방정식을 제공하는 전위를 갖는다.

자이베르그-위튼 불변량의 맥락에서 보면, $u\; =\; \backslash infty$에서 원래 이론을 비틀어 도널드슨 불변량이 위상 양자장 이론을 얻는 것으로 볼 수 있다. 반면에, 자이베르그-위튼 불변량은 $u\; =\; \backslash pm\; u\_0$에서 이중 이론을 비틀어 얻는다. 이론적으로 그러한 불변량은 모든 유한 $u$로부터 기여를 받아야 하지만, 실제로 두 임계점으로 국소화될 수 있으며, 홀극 방정식의 해 공간에서 위상 불변량을 읽을 수 있다.

6. 적분 가능계와의 관계

자이베르그-위튼 이론에서 진공 모듈러스 공간의 특수 켈러 기하학은 복소수 완전 적분 가능계의 기하학과 관련된다. 4차원 이론을 원으로 축소하면 진공 모듈러스 공간이 적분 가능계의 위상과 동일시될 수 있다. 이러한 변수 $a$와 그 쌍대는 자이베르그-위튼 곡선이라고 하는 리만 곡면 위의 미분의 주기로 표현될 수 있다.

7. 끈 이론 및 M이론과의 관계

자이베르그-위튼 이론은 끈 이론에서 D4-막과 NS5-막의 교차점으로 자연스럽게 해석할 수 있다. M이론에서는 D4-막과 NS5-막이 모두 M5-막으로 해석되며, 이는 리만 곡면에 감긴 M5-막으로 나타낼 수 있다. 이 리만 곡면이 자이베르그-위튼 곡선이다.

IIA형 초끈 이론에서 $\backslash mathcal\; N=2$ 초대칭 게이지 이론을 정의한다고 할 때, D4-막들과 NS5-막들의 위치는 다음과 같다.

즉, 012378 방향으로 위치한 NS5-막들 사이에 01239 방향으로 D4-막들이 놓여 있다. 예를 들어 다음과 같다.

여기서 세로는 (x⁷,x⁸)-방향으로 뻗은 NS5-막, 가로는 x⁹-방향으로 뻗은 D4-막을 나타낸다. 이 두 막들이 교차하는 0123 방향에서는 ¼-BPS, 즉 $\backslash mathcal\; N=2$ 초대칭 게이지 이론이 존재한다.

이러한 IIA형 막 배위는 M이론으로 해석할 수 있다. M이론에서는 10번째 추가 차원이 존재하고, D4-막은 이 추가 차원을 감는 M5-막으로, NS5-막은 추가 차원을 감지 않는 M5-막으로 해석한다. M5-막은 (D-막과 달리) 다른 M5-막에 붙어 있을 수 없으므로, 이는 복잡한 모양을 가진 하나의 M5-막으로 나타내어진다. 789(10) 방향을 2차원 복소 공간 $\backslash mathbb\; C^2$로 해석한다면, M5-막은 $\backslash mathbb\; C^2$ 속에 놓인 리만 곡면 $\backslash Sigma\backslash subset\backslash mathbb\; C^2$를 감게 된다. (초대칭을 보존하려면 이 곡면이 정칙 부분다양체, 즉, 리만 곡면이어야 한다.)

8. 인스턴톤 계산을 통한 자이베르그-위튼 프리퍼텐셜

초대칭 국소화 기법을 사용하면, $\backslash mathcal\{N\}=2$ 초대칭 양-밀스 이론의 분배 함수를 명시적으로 계산할 수 있다. 니키타 네크라소프의 국소화 접근법을 사용하면 자이베르그-위튼 프리포텐셜을 추출할 수 있다. 이는 소위 $\backslash Omega$-배경에 종속된 이론의 분배 함수의 평탄 공간 극한 $\backslash varepsilon\_\{1\}$, $\backslash varepsilon\_\{2\}\; \backslash to\; 0$에서 얻어진다.

Ω-배경에서, 모든 비-영 모드는 적분될 수 있으므로, $x\; \backslash to\; \backslash infty$에서 경계 조건 $\backslash phi\; \backslash to\; a$를 갖는 경로 적분은 페르미온 및 보존 행렬식의 곱과 비율의 인스턴톤 수에 대한 합으로 표현될 수 있으며, 소위 네크라소프 분배 함수를 생성한다.

$\backslash varepsilon\_\{1\}$, $\backslash varepsilon\_\{2\}$가 0에 접근하는 극한에서, 이 합은 고유한 안장점에 의해 지배된다.

한편, $\backslash varepsilon\_\{1\}$, $\backslash varepsilon\_\{2\}$가 0에 접근할 때, 다음 식이 성립한다.

:$Z(a;\backslash varepsilon\_\{1\},\backslash varepsilon\_\{2\},\backslash Lambda)=\backslash exp\; \backslash left(\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash varepsilon\_\{1\}\backslash varepsilon\_\{2\}\}\backslash left(\backslash mathcal\{F\}(a;\backslash Lambda)+\backslash mathcal\{O\}(\backslash varepsilon\_\{1\},\backslash varepsilon\_\{2\})\; \backslash right)\; \backslash right)\backslash ,$