사유한군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
- 3.1. 사유한 완비화
4. 예
5. 관련 개념
참조

1. 개요

사유한군은 위상군 G에 대해, 하우스도르프 콤팩트 완전 분리 공간이거나, 하우스도르프 콤팩트 공간이며 열린 부분군으로 구성된 1의 국소 기저가 존재하거나, 이산 유한군들의 사영 극한과 동형인 위상군을 의미한다. 사유한군은 콤팩트하고 완전 불연속인 위상군이며, 무한 개수의 사유한군들의 직접곱이나 닫힌 부분군 역시 사유한군이다. 사유한 완비화는 군 G의 모든 유한 지표 정규 부분군에 대한 몫군들의 사영 극한으로 정의되며, 갈루아 이론, 대수기하학, 대수적 위상수학 등 다양한 분야에서 나타난다. 사유한군과 관련된 개념으로는 투사적 사유한군, 사순환군, 국소 유한군 등이 있다.

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사유한군

2. 정의

위상군 $G$ 가 다음 조건들을 만족시키면 사유한군이라고 한다.^[13] 이 조건들은 서로 동치이다.

하우스도르프 콤팩트 완전 분리 위상군이다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 부분군들로 구성된 $1\in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 $1\in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

2. 1. 동치 조건

위상군

G

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[13]

하우스도르프 콤팩트 완전 분리 위상군이다. 즉, 스톤 공간인 위상군이다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 부분군들로 구성된 $1\in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
하우스도르프 콤팩트 위상군이며, 열린 정규 부분군들로 구성된 $1\in G$ 의 국소 기저가 존재한다.
이산 유한군들의 사영 극한과 동형이다.

3. 성질

(무한할 수도 있는 개수의) 사유한군들의 (곱위상이 주어진) 직접곱은 사유한군이다. 사유한군의 닫힌 부분군은 사유한군이다.
사유한군의 부분군이 열린집합일 필요충분조건은 이 부분군이 유한 지표의 닫힌집합이라는 것이다.
모든 프로유한군 $G$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, $G$ 에 하르 측정이 존재하며, 이를 통해 $G$ 의 부분집합의 "크기"를 측정하고, 특정 확률을 계산하며, $G$ 에서 함수를 적분할 수 있다.
니콜라이 니콜로프와 댄 세갈의 정리에 따르면, 모든 위상적으로 유한 생성 프로유한군(즉, 조밀한 유한 생성 부분군을 갖는 프로유한군)에서 유한 지수의 부분군은 열려 있다. 이는 위상적으로 유한 생성 프로-p 군에 대한 장-피에르 세르의 이전의 유사한 결과를 일반화한 것이다.
위의 니콜로프-세갈 결과의 쉬운 따름 정리로, 프로유한군 $G$ 와 $H$ 사이의 임의의 전사적 이산 군 준동형사상 $\varphi : G \to H$ 는 $G$ 가 위상적으로 유한 생성되는 한 연속적이다.

3. 1. 사유한 완비화

임의의 군

G

의 '''사유한 완비화'''(射有限完備化, profinite completion^영어)

\widehat G

는 다음과 같이 정의된다.

:

\widehat G=\varprojlim_G/N

즉,

G

의 모든 유한 지표 정규 부분군

N

에 대한 몫군들의 사영 극한이다.

\widehat G

는 자연스럽게 사유한군이 되며, 자연스러운 군 준동형

G\to\widehat G

가 존재한다. 이 준동형의 상은

\widehat G

의 조밀 집합이다. 이 준동형은 일반적으로 단사 사상이 아니지만, 군

G

가 잔류 유한일 경우에는 단사 함수이다.

사유한 완비화는 군의 범주에서 사유한군의 범주로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반 함자이다.^[14]

준동형

\eta

는 다음과 같은 보편 성질로 특징지어진다. 임의의 사유한군 ''H''와 임의의 군 준동형 ''f'': ''G'' → ''H''가 주어졌을 때, ''f'' = ''g''η를 만족하는 유일한 연속 군 준동형 ''g'': ''G''^{^} → ''H''가 존재한다.

4. 예

모든 이산 유한군은 사유한군이다.^[3]

p진 정수 $\mathbb Z_p$ 는 사유한군이다. 이는 순환군 $\mathbb Z/p^n$ 들의 사영 극한으로 정의된다. 정수의 사유한 완비화는 모든 p진 정수군의 직접곱과 동형이다.

: $\widehat\mathbb Z=\varprojlim_{n\in\mathbb N}\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\prod_p\mathbb Z_p$

사유한군은 갈루아 이론에서 등장한다. 갈루아 확대 $L/K$ 가 주어지면 $K$ 를 고정시키는 체 자기 동형 사상들의 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 는 사유한군이다. 이는 유한 갈루아 확대 $F/K$ 들의 사영 극한이다. 모든 사유한군은 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이다.^[15]

대수기하학의 에탈 기본군은 사유한군이다.

5. 관련 개념

사유한군과 관련된 개념에는 투사적 사유한군, 사순환군, 국소 유한군 등이 있다.

투사적 사유한군: 모든 전사 사상에서 프로유한군 $H \to G$ 에 대해 단면 $G \to H$ 가 존재할 경우 $G$ 는 투사적이다.^[7]^[8] 투사적 프로유한군은 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다.^[9]
사순환군 (Procyclic group): 하나의 원소 $\sigma$ 에 의해 위상적으로 생성되는 위상군 $G = \overline{\langle \sigma \rangle}$ 를 말한다.^[10]
국소 유한군 (Ind-finite group): 유한군들의 귀납적 시스템의 귀납 극한이다. 폰트랴긴 쌍대성을 적용하면, 아벨 프로유한군은 국소 유한 이산 아벨 군과 쌍대 관계에 있음을 알 수 있다.

5. 1. 투사적 사유한군

프로유한군은 모든 확장에 대해 리프팅 성질을 가지면 투사적이다. 이는 모든 전사 사상에서 프로유한군

H \to G

에 대해 단면

G \to H

가 존재할 경우

G

가 투사적이라는 것과 같다.^[7]^[8]

프로유한군

G

의 투사성은 다음 두 속성 중 하나와 동치이다.^[7]

코호몰로지 차원 $\operatorname{cd}(G) \leq 1$
모든 소수 $p$ 에 대해 $G$ 의 실로우 $p$ -부분군은 자유 프로- $p$ -군이다.

모든 투사적 프로유한군은 유사 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군으로 실현될 수 있다. 이 결과는 알렉산더 루보츠키와 루 반 덴 드리에스가 증명하였다.^[9]

5. 2. 사순환군 (Procyclic group)

위상군

G

가 사순환군(procyclic group)이란, 하나의 원소

\sigma

에 의해 위상적으로 생성되는 경우를 말한다. 즉,

G = \overline{\langle \sigma \rangle}

가 성립하는 경우인데, 여기서

\langle \sigma \rangle = \left\{\sigma^n: n \in \Z\right\}

는 부분군의 폐포이다.^[10]

위상군

G

가 사순환군일 필요충분조건은

G \cong {\textstyle\prod\limits_{p\in S}} G_p

이며, 여기서

p

는 소수들의 집합

S

의 원소를 순회하고,

G_p

는

\Z_p

또는

\Z/p^n \Z, n \in \N

중 하나와 동형이다.^[11]

5. 3. 국소 유한군 (Ind-finite group)

국소 유한군은 유한군들의 귀납적 시스템의 귀납 극한이다. 어떤 군

G

의 모든 유한 생성 부분군이 유한하면 그 군을 국소 유한이라고 한다. 폰트랴긴 쌍대성을 적용하면, 아벨 프로유한군은 국소 유한 이산 아벨 군과 쌍대 관계에 있음을 알 수 있다. 후자는 단순히 아벨 비틀림 군이다.

참조

_[1] arXiv Some aspects of profinite group theory 2007-03-29
_[2] 서적 Profinite groups Clarendon Press 1998
_[3] 웹사이트 Profinite Groups http://websites.math[...]
_[4] 웹사이트 Inverse limits and profinite groups https://www.math.ucd[...]
_[5] 저널 On finitely generated profinite groups. I: Strong completeness and uniform bounds. II: Products in quasisimple groups 2007
_[6] 문서 Fried & Jarden (2008) p. 497
_[7] 문서 Serre (1997) p. 58
_[8] 문서 Fried & Jarden (2008) p. 207
_[9] 문서 Fried & Jarden (2008) pp. 208,545
_[10] 서적 Algebraic Number Theory http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 1999
_[11] 웹사이트 MO. decomposition of procyclic groups https://mathoverflow[...]
_[12] 문서 William C. Waterhouse. Profinite groups are Galois groups. Proc. Amer. Math. Soc. 42 (1973), pp. 639–640.
_[13] 서적 2008
_[14] 저널 2017
_[15] 저널 Profinite groups are Galois groups American Mathematical Society 1974

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