정규수 (수론)

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1. 개요

정규수(수론)는 무한 수열의 각 자릿수가 특정 빈도로 나타나는 수로, 모든 기수에서 정규인 수를 절대 정규수 또는 정규수라고 한다. 수열의 정규성은 단순 정규, 정규, 풍부, 절대 비정규 등으로 분류되며, 실수의 기수별 전개, 수열의 균등 분포, 유한 상태 기계 등 다양한 정의와 성질을 갖는다. 챔퍼노운 상수와 코플랜드-에르되시 상수는 정규수의 예시이며, 거의 모든 실수가 정규수이지만, 특정 숫자의 정규성은 증명되지 않은 경우도 많다.

정규수 (수론)

일반 정보

유형	실수
기호	없음

성질

소수 전개	모든 기저에서 수열이 정상적임

관련 항목	수 실수 무리수 초월수 균등 분포

2. 정의

를 자릿수의 유한 알파벳이라고 하고, 를 해당 알파벳에서 추출할 수 있는 모든 무한 수열의 집합, 를 유한 수열 또는 문자열의 집합이라고 하자. 를 그러한 수열이라고 하자. 의 각 에 대해, 은 수열 의 처음 자릿수에서 숫자 가 나타나는 횟수를 나타낸다.

각 에 대해 극한

: $\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(a,n)}{n} = \frac{1}{b}$

이면 가 단순 정규라고 한다.

이제 를 의 유한한 문자열이라고 하고, 를 수열 의 처음 자릿수에서 문자열 가 부분 문자열로 나타나는 횟수라고 하자. (예를 들어, 이면 .) 모든 유한 문자열 에 대해,

: $\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(w,n)}{n} = \frac{1}{b^$

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}

이면 는 정규이다. 여기서 는 문자열 의 길이를 나타낸다. 즉, 는 길이가 같은 모든 문자열이 동일한 점근적 빈도로 나타나면 정규이다.

예를 들어, 정규 이진 수열(알파벳 에 대한 수열)에서 과 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , , , , , 은 각각 빈도 로 나타나는 식이다. 대략적으로 말해서, 의 특정 위치에서 문자열 를 찾을 확률은 해당 수열이 무작위로 생성된 경우와 정확히 같다.

가 1보다 큰 정수이고 가 실수라고 가정하자. 위치적 기수법에서 의 무한 자릿수 수열 전개 를 고려해 보자(소수점은 무시한다). 수열 가 단순 정규이면 가 b진법으로 단순 정규라고 하며, 수열 가 정규이면 가 b진법으로 정규라고 한다. 모든 정수 가 1보다 큰 모든 기수 에 대해 정규이면 수 를 정규수라고 한다(또는 때로는 절대 정규수).

분리 수열은 모든 유한 문자열이 나타나는 수열이다. 정규 수열은 분리적이지만, 분리 수열이 정규일 필요는 없다. 기수 에서 풍부수는 기수 에서의 전개가 분리적인 수이다. 모든 기수에 대해 분리적인 것은 절대 분리라고 하거나 사전이라고 한다. 기수 에서 정규인 수는 기수 에서 풍부하지만, 그 반대는 반드시 성립하지 않는다. 실수 는 집합 이 조밀 집합에 단위 구간에 조밀하면 기수 에서 풍부하다.

각 개별 숫자가 빈도 로 나타나면 기수 에서 숫자가 단순 정규라고 정의했다. 주어진 기수 에 대해, 숫자는 단순 정규(하지만 정규 또는 풍부하지 않음), 풍부(하지만 단순 정규 또는 정규하지 않음), 정규(따라서 단순 정규 및 풍부) 또는 이 중 아무것도 아닐 수 있다. 숫자가 모든 기수에서 단순 정규가 아니면 절대 비정규 또는 절대 비정상이라고 한다.

=== 수열을 이용한 정의 ===
를 자릿수의 유한 알파벳이라고 하고, 를 해당 알파벳에서 추출할 수 있는 모든 무한 수열의 집합, 를 유한 수열 또는 문자열의 집합이라고 하자. 를 그러한 수열이라고 하자. 의 각 에 대해, 은 수열 의 처음 자릿수에서 숫자 가 나타나는 횟수를 나타낸다.

각 에 대해 극한
:

\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(a,n)}{n} = \frac{1}{b}

이면 가 단순 정규라고 한다.

를 의 유한한 문자열이라고 하고, 를 수열 의 처음 자릿수에서 문자열 가 부분 문자열로 나타나는 횟수라고 하자. (예를 들어, 이면 .) 모든 유한 문자열 에 대해,
:

\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(w,n)}{n} = \frac{1}{b^

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}
이면 는 정규이다. 여기서 는 문자열 의 길이를 나타낸다. 즉, 는 길이가 같은 모든 문자열이 동일한 점근적 빈도로 나타나면 정규이다.

예를 들어, 정규 이진 수열(알파벳 에 대한 수열)에서 과 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , , , , , 은 각각 빈도 로 나타나는 식이다. 대략적으로 말해서, 의 특정 위치에서 문자열 를 찾을 확률은 해당 수열이 무작위로 생성된 경우와 정확히 같다.

=== 실수를 이용한 정의 ===
가 1보다 큰 정수이고 가 실수라고 가정하자. 위치적 기수법에서 의 무한 자릿수 수열 전개 를 고려해 보자(소수점은 무시한다). 수열 가 단순 정규이면 가 b진법으로 단순 정규라고 하며, 수열 가 정규이면 가 b진법으로 정규라고 한다. 모든 정수 가 1보다 큰 모든 기수 에 대해 정규이면 수 를 정규수라고 한다(또는 때로는 절대 정규수).

주어진 무한 수열은 정규이거나 정규가 아니며, 실수, 즉 각 정수 에 대해 다른 기수- 전개를 가지므로, 한 기수에서는 정규일 수 있지만 다른 기수에서는 정규가 아닐 수 있다. 가 유리수인 기수 와 의 경우(따라서 및 ), 기수 에서 정규인 모든 수는 기수 에서도 정규이다. 가 무리수인 기수 과 의 경우, 각 기수에서 정규이지만 다른 기수에서는 정규가 아닌 무수히 많은 수가 있다.

분리 수열은 모든 유한 문자열이 나타나는 수열이다. 정규 수열은 분리적이지만, 분리 수열이 정규일 필요는 없다. 기수 에서 풍부수는 기수 에서의 전개가 분리적인 수이다. 모든 기수에 대해 분리적인 것은 절대 분리라고 하거나 사전이라고 한다. 기수 에서 정규인 수는 기수 에서 풍부하지만, 그 반대는 반드시 성립하지 않는다. 실수 는 집합 이 조밀 집합에 단위 구간에 조밀하면 기수 에서 풍부하다.

각 개별 숫자가 빈도 로 나타나면 기수 에서 숫자가 단순 정규라고 정의했다. 주어진 기수 에 대해, 숫자는 단순 정규(하지만 정규 또는 풍부하지 않음), 풍부(하지만 단순 정규 또는 정규하지 않음), 정규(따라서 단순 정규 및 풍부) 또는 이 중 아무것도 아닐 수 있다. 숫자가 모든 기수에서 단순 정규가 아니면 절대 비정규 또는 절대 비정상이라고 한다.

=== 균등 분포를 이용한 정의 ===
수 x가 밑 b에서 정규수일 필요충분조건은 수열

{\left( b^k x \right) }_{k=0}^\infty

가 1을 법으로 균등 분포를 이룬다는 것이다. 또는 동등하게, 바일의 판정법을 사용하면 다음과 같다.

:

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2 \pi i m b^k x}=0 \quad\text{ 모든 정수 } m\geq 1에 대해.

이러한 연결은 수열

\left({x \beta^k}\right)_{k=0}^\infty

가 1을 법으로 균등 분포를 이룰 경우에만 모든 실수 β에 대해 x가 밑 β에서 정규수라는 용어를 사용하게 한다.

2.1. 수열을 이용한 정의

를 자릿수의 유한 알파벳이라고 하고, 를 해당 알파벳에서 추출할 수 있는 모든 무한 수열의 집합, 를 유한 수열 또는 문자열의 집합이라고 하자. 를 그러한 수열이라고 하자. 의 각 에 대해, 은 수열 의 처음 자릿수에서 숫자 가 나타나는 횟수를 나타낸다.

각 에 대해 극한
: $\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(a,n)}{n} = \frac{1}{b}$
이면 가 단순 정규라고 한다.

를 의 유한한 문자열이라고 하고, 를 수열 의 처음 자릿수에서 문자열 가 부분 문자열로 나타나는 횟수라고 하자. (예를 들어, 이면 .) 모든 유한 문자열 에 대해,
: $\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(w,n)}{n} = \frac{1}{b^$

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}
이면 는 정규이다. 여기서 는 문자열 의 길이를 나타낸다. 즉, 는 길이가 같은 모든 문자열이 동일한 점근적 빈도로 나타나면 정규이다.

예를 들어, 정규 이진 수열(알파벳 에 대한 수열)에서 과 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , , , , , 은 각각 빈도 로 나타나는 식이다. 대략적으로 말해서, 의 특정 위치에서 문자열 를 찾을 확률은 해당 수열이 무작위로 생성된 경우와 정확히 같다.

가 1보다 큰 정수이고 가 실수라고 가정하자. 위치적 기수법에서 의 무한 자릿수 수열 전개 를 고려해 보자(소수점은 무시한다). 수열 가 단순 정규이면 가 b진법으로 단순 정규라고 하며, 수열 가 정규이면 가 b진법으로 정규라고 한다. 모든 정수 가 1보다 큰 모든 기수 에 대해 정규이면 수 를 정규수라고 한다(또는 때로는 절대 정규수).

분리 수열은 모든 유한 문자열이 나타나는 수열이다. 정규 수열은 분리적이지만, 분리 수열이 정규일 필요는 없다. 기수 에서 풍부수는 기수 에서의 전개가 분리적인 수이다. 모든 기수에 대해 분리적인 것은 절대 분리라고 하거나 사전이라고 한다. 기수 에서 정규인 수는 기수 에서 풍부하지만, 그 반대는 반드시 성립하지 않는다. 실수 는 집합 이 조밀 집합에 단위 구간에 조밀하면 기수 에서 풍부하다.

각 개별 숫자가 빈도 로 나타나면 기수 에서 숫자가 단순 정규라고 정의했다. 주어진 기수 에 대해, 숫자는 단순 정규(하지만 정규 또는 풍부하지 않음), 풍부(하지만 단순 정규 또는 정규하지 않음), 정규(따라서 단순 정규 및 풍부) 또는 이 중 아무것도 아닐 수 있다. 숫자가 모든 기수에서 단순 정규가 아니면 절대 비정규 또는 절대 비정상이라고 한다.

2.2. 실수를 이용한 정의

를 자릿수의 유한 알파벳이라고 하고, 를 해당 알파벳에서 추출할 수 있는 모든 무한 수열의 집합, 를 유한 수열 또는 문자열의 집합이라고 하자. 를 그러한 수열이라고 하자. 의 각 에 대해, 은 수열 의 처음 자릿수에서 숫자 가 나타나는 횟수를 나타낸다. 각 에 대해 극한

: $\lim_{n \to +\infty} \frac{N_S(a,n)}{n} = \frac{1}{b}$

이면 가 단순 정규라고 말한다.

이제 를 의 유한한 문자열이라고 하고, 를 수열 의 처음 자릿수에서 문자열 가 부분 문자열로 나타나는 횟수라고 하자. (예를 들어, 이면 .) 모든 유한 문자열 에 대해,

: $\lim_{n\to\infty} \frac{N_S(w,n)}{n} = \frac{1}{b^$

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}

이면 는 정규이다. 여기서 는 문자열 의 길이를 나타낸다. 즉, 는 길이가 같은 모든 문자열이 동일한 점근적 빈도로 나타나면 정규이다. 예를 들어, 정규 이진 수열(알파벳 에 대한 수열)에서 과 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , 은 각각 빈도 로 나타나고, , , , , , , , 은 각각 빈도 로 나타나는 식이다. 대략적으로 말해서, 의 특정 위치에서 문자열 를 찾을 확률은 해당 수열이 무작위로 생성된 경우와 정확히 같다.

가 1보다 큰 정수이고 가 실수라고 가정하자. 위치적 기수법에서 의 무한 자릿수 수열 전개 를 고려해 보자(소수점은 무시한다). 수열 가 단순 정규이면 가 b진법으로 단순 정규라고 하며, 수열 가 정규이면 가 b진법으로 정규라고 한다. 모든 정수 가 1보다 큰 모든 기수 에 대해 정규이면 수 를 정규수라고 한다(또는 때로는 절대 정규수).

주어진 무한 수열은 정규이거나 정규가 아니며, 실수, 즉 각 정수 에 대해 다른 기수- 전개를 가지므로, 한 기수에서는 정규일 수 있지만 다른 기수에서는 정규가 아닐 수 있다. 가 유리수인 기수 와 의 경우(따라서 및 ), 기수 에서 정규인 모든 수는 기수 에서도 정규이다. 가 무리수인 기수 과 의 경우, 각 기수에서 정규이지만 다른 기수에서는 정규가 아닌 무수히 많은 수가 있다.

분리 수열은 모든 유한 문자열이 나타나는 수열이다. 정규 수열은 분리적이지만, 분리 수열이 정규일 필요는 없다. 기수 에서 풍부수는 기수 에서의 전개가 분리적인 수이다. 모든 기수에 대해 분리적인 것은 절대 분리라고 하거나 사전이라고 한다. 기수 에서 정규인 수는 기수 에서 풍부하지만, 그 반대는 반드시 성립하지 않는다. 실수 는 집합 이 조밀 집합에 단위 구간에 조밀하면 기수 에서 풍부하다.

각 개별 숫자가 빈도 로 나타나면 기수 에서 숫자가 단순 정규라고 정의했다. 주어진 기수 에 대해, 숫자는 단순 정규(하지만 정규 또는 풍부하지 않음), 풍부(하지만 단순 정규 또는 정규하지 않음), 정규(따라서 단순 정규 및 풍부) 또는 이 중 아무것도 아닐 수 있다. 숫자가 모든 기수에서 단순 정규가 아니면 절대 비정규 또는 절대 비정상이라고 한다.

2.3. 균등 분포를 이용한 정의

수 x가 밑 b에서 정규수일 필요충분조건은 수열 ${\left( b^k x \right) }_{k=0}^\infty$ 가 1을 법으로 균등 분포를 이룬다는 것이다. 또는 동등하게, 바일의 판정법을 사용하면 다음과 같다.

: $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2 \pi i m b^k x}=0 \quad\text{ 모든 정수 } m\geq 1에 대해.$

이러한 연결은 수열 $\left({x \beta^k}\right)_{k=0}^\infty$ 가 1을 법으로 균등 분포를 이룰 경우에만 모든 실수 β에 대해 x가 밑 β에서 정규수라는 용어를 사용하게 한다.

3. 성질

* 모든 0이 아닌 실수는 두 개의 정규수의 곱이다.
* x가 밑 b에서 정규수이고, a ≠ 0이 유리수라면, $x \cdot a$ 역시 밑 b에서 정규수이다.
* $A\subseteq\N$ 가 조밀하고(모든 $\alpha<1$ 에 대해, 충분히 큰 n에 대해 $|A \cap \{1,\ldots,n\}| \geq n^\alpha$ ), $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 가 A의 원소들의 밑-b 전개라면, A의 원소들을 연결하여 형성된 수 $0.a_1a_2a_3\ldots$ 는 밑 b에서 정규수이다.
* 수열은 모든 같은 길이의 블록이 동일한 빈도로 나타날 때 유일하게 만약 정규수이다.
* 수는 모든 $k\in\mathbb{Z}^{+}$ 에 대해 밑 b^k에서 단순 정규수일 때만 밑 b에서 정규수이다.
* 수는 모든 밑에서 단순 정규수일 때만 정규수이다.
* 수는 밑 b-정규수일 때와 $m_1 인 양의 정수의 집합이 존재하여 모든 m\in\{m_1,m_2,\ldots\} 에 대해 수가 밑$ b^m에서 단순 정규수일 때만 가능하다.
* 모든 정규 수열은 유한 변화에 닫혀있다. 즉, 정규 수열에 유한 수의 자릿수를 추가, 제거 또는 변경해도 정규성은 유지된다.

3.1. 기본 성질

어떤 유리수도 순환 소수로 반복 소수이기 때문에 어떤 기수에서도 정규수가 아니다. 비정규수의 집합은 르베그 영집합(르베그 측도가 0인 집합)이지만, 비가산 무한 집합이다.

정규수에는 다음과 같은 성질이 있다.

* 모든 0이 아닌 실수는 두 정규수의 곱이다.
* x가 밑 b에서 정규수이고, a ≠ 0이 유리수라면, $x \cdot a$ 역시 밑 b에서 정규수이다.
* 정규 수열은 유한 변화에 닫혀있다. 즉, 정규 수열에 유한 수의 자릿수를 추가, 제거 또는 변경해도 정규성은 유지된다.

챔퍼나운 상수와 코플랜드-에르되시 상수는 10을 밑으로 하는 정규수이다.

3.2. 연산과의 관계

x가 밑 b에서 정규수이고, a가 0이 아닌 유리수라면, $x \cdot a$ 역시 밑 b에서 정규수이다. 모든 0이 아닌 실수는 두 정규수의 곱으로 표현될 수 있다. 이는 모든 수가 집합 $X\subseteq\R^+$ 의 두 수의 곱이라는 일반적인 사실에서 파생되며, 여기서 X의 여집합은 르베그 측도 0을 갖는다.

3.3. 다른 수열과의 관계

보렐에 의해 1909년에 도입된 정규수의 개념은 다양한 수열과의 관계를 통해 더 잘 이해될 수 있다.

* 조밀 집합과의 관계: 어떤 집합 $A\subseteq\N$ 가 조밀하다면 (모든 $\alpha<1$ 에 대해, 충분히 큰 n에 대해 $|A \cap \{1,\ldots,n\}| \geq n^\alpha$ 를 만족), $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 를 A의 원소들의 밑-b 전개라고 할 때, A의 원소들을 연결하여 형성된 수 $0.a_1a_2a_3\ldots$ 는 밑 b에서 정규수이다.
* 챔퍼노운 상수: 0.1234567891011121314151617... 와 같이 십진 소수 표기에서 자연수가 차례로 이어져 있는 실수이다. 챔퍼노운 상수는 10진법에서 정규수이다. 하지만 다른 기수에 대해서는 정규성 여부가 알려져 있지 않다.
* 코플랜드-에르되시 상수: 0.235711131719232931374143... 와 같이 십진 소수 표기에서 소수가 차례로 이어져 있는 실수이다. 소수 정리에 따르면 소수의 집합이 조밀하기 때문에, 코플랜드-에르되시 상수는 10진법에서 정규수이다.
* 기타 관계:
* 수는 모든 $k\in\mathbb{Z}^{+}$ 에 대해 밑 b^k에서 단순 정규수일 때만 밑 b에서 정규수이다.
* 수는 모든 밑에서 단순 정규수일 때만 정규수이다.
* 모든 정규 수열은 유한 변화에 닫혀있다.

유리수는 순환 소수이므로 정규수가 아니다. 무리수이며 대수적 수인 수가 정규수인지에 대한 여부는 알려지지 않았지만, 2의 제곱근, 원주율(π), 네이피어수(e)등은 정규수라고 추측된다.

3.4. 블록 및 유한 상태 기계와의 관계

아고포노프(Agafonov)는 유한 상태 기계와 정규 수열 간의 초기 연결을 보여주었는데, 정규 수열에서 정규 언어로 선택된 모든 무한 부분 수열도 정규 수열이다. 즉, 유한 상태 기계를 정규 수열에서 실행할 때, 유한 상태 기계의 각 상태가 "출력" 또는 "출력 없음"으로 레이블이 지정되고, 기계가 "출력" 상태에 들어간 후 다음 읽은 숫자를 출력하지만 "출력 없음" 상태에 들어간 후 다음 숫자를 출력하지 않으면, 출력하는 수열이 정규 수열이 된다.

유한 상태 도박꾼(FSG) 및 정보 무손실 유한 상태 압축기(ILFSC)와 더 깊은 연결이 존재한다.

* 유한 상태 도박꾼 (일명 유한 상태 마팅게일)은 유한 알파벳 $\Sigma$ 에 대한 유한 상태 기계로, 각 상태는 $\Sigma$ 의 각 숫자에 걸 돈의 비율로 레이블이 지정된다. 예를 들어, 이진 알파벳 $\Sigma = \{0,1\}$ 에 대한 FSG의 경우, 현재 상태 q는 도박꾼의 돈의 일부 비율 $q_0 \in [0,1]$ 를 비트 0에 걸고, 나머지 $q_1 = 1-q_0$ 비율의 도박꾼의 돈을 비트 1에 건다. 입력으로 다음에 오는 숫자에 걸린 돈(총 돈 곱하기 베팅 비율)은 $|\Sigma|$ 로 곱해지고, 나머지 돈은 잃는다. 비트가 읽혀진 후, FSG는 받은 입력에 따라 다음 상태로 전환된다. FSG d는 1부터 시작하여 수열에 무제한의 돈을 베팅하는 경우, 즉 $\limsup_{n\to\infty} d(S \upharpoonright n) = \infty,$ (상한 리미트)일 경우 무한 수열 S에서 성공한다. 여기서 $d(S \upharpoonright n)$ 은 도박꾼 d가 S의 처음 n개의 숫자를 읽은 후 갖는 돈의 양이다.
* 유한 상태 압축기는 상태 전이에 빈 문자열을 포함한 출력 문자열로 레이블이 지정된 유한 상태 기계이다. 정보 무손실 유한 상태 압축기는 입력이 출력 및 최종 상태로부터 고유하게 복구될 수 있는 유한 상태 압축기이다. 다시 말해, 상태 집합 Q를 가진 유한 상태 압축기 C의 경우, C의 입력 문자열을 C의 출력 문자열 및 최종 상태에 매핑하는 함수 $f: \Sigma^* \to \Sigma^* \times Q$ 가 단사일 경우 C는 정보 무손실이다. 허프만 코딩 또는 섀넌-파노 코딩과 같은 압축 기술은 ILFSC로 구현될 수 있다. ILFSC C는 $\liminf_{n\to\infty} \frac$

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{n} < 1, (하한 리미트)일 경우 무한 수열 S를 압축한다. 여기서

|C(S \upharpoonright n)|

은 C가 S의 처음 n개의 숫자를 읽은 후 출력하는 숫자의 수이다. 압축률은 입력을 출력에 단순히 복사하는 1-상태 ILFSC에 의해 항상 1과 같게 만들 수 있다.

슈노르(Schnorr)와 스팀(Stimm)은 어떤 FSG도 정규 수열에서 성공할 수 없음을 보여주었고, 보크(Bourke), 히치콕(Hitchcock) 및 비노드찬드란(Vinodchandran)은 역을 보여주었다. 즉, 문자열이 정규적이라는 것과, 그 열에 대해 "성공하는" FSG가 존재하지 않는다는 것은 동치이다.

지브(Ziv)와 렘펠(Lempel)은 문자열이 정규적이라는 것과, 그 열을 "압축하는" ILFSC가 존재하지 않는다는 것은 동치임을 보였다. 실제로 그들은 어떤 문자열의 ILFSC에 의한 최적 압축률은 그 열의 엔트로피율과 같으며, 정규적인 경우에는 정확히 1이 됨을 보였다. LZ 압축 알고리즘은 점근적으로 임의의 ILFSC 이상의 압축률을 가지므로, 임의의 비정규열을 압축할 수 있다.

정규 수열에 대한 이러한 특성들은 "정규" = "유한 상태 무작위"를 의미하는 것으로 해석될 수 있다. 즉, 정규 수열은 정확히 어떤 유한 상태 기계에도 무작위로 보이는 것들이다. 이는 어떤 알고리즘에도 무작위로 보이는 무한 수열인 알고리즘적 무작위 수열과 비교해 볼 수 있다.

4. 예시

거의 모든 실수가 정규수라는 일반적인 증명이 존재하지만, 이는 구성적 증명은 아니며, 현재까지 차이틴 상수와 같이 몇몇 특정 숫자만이 정규수로 확인되었다. 한편, $\sqrt{2}$ , π, e 등은 정규수로 추정되지만, 이에 대한 증명은 아직 없다.

Champernowne 상수는 자연수를 순서대로 연결하여 얻은 수로, 10진법에서 정규수이다.

:0.1234567891011121314151617181920212223242526272829...

Copeland–Erdős 상수는 소수를 10진법으로 연결하여 얻은 수로, 10진법에서 정규수임이 증명되었다.

:0.23571113171923293137414347535961677173798389...

{{sqrt, π, ln(2), 그리고 e는 정규수일 것으로 추측되지만, 아직 증명되지 않았다.

4.1. 챔퍼노운 상수

4.2. 코플랜드-에르되시 상수

4.3. 알려지지 않은 예시

√2, π, e, ln(2) 등이 정규수인지 여부는 알려져 있지 않다. 거의 모든 실수가 정규수라는 일반적인 증명이 주어지지만, 이는 구성적 증명은 아니며, 차이틴 상수와 같이 정규수로 알려진 예시는 극히 드물다. 무리수인 대수적 수는 정규수라는 추측이 있지만, 증명은 아직 나오지 않았다.

4.4. 비정규수의 예시

어떤 유리수도 어떤 기수에서도 정규수가 아닌데, 유리수의 숫자 시퀀스는 순환 소수로 반복 소수이기 때문이다.

Martin(2001)은 절대 비정상적인 무리수의 예를 제시한다. 다음과 같이 정의하자.

: $f\left(n\right) = \begin{cases}n^\frac{f\left(n-1\right)}{n-1}, & n\in\mathbb{Z}\cap\left[3,\infty\right) \\4, & n = 2\end{cases}$

: $\begin{align} & \alpha = \prod_{m=2}^\infty \left({1 - \frac{1}{f\left(m\right)}}\right) = \left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{64}\right)\left(1-\frac{1}{152587890625}\right)\left(1-\frac 1{6^{\left(5^{15}\right)}}\right)\ldots = \\ &=0.6562499999956991\underbrace{99999\ldots99999}_{23,747,291,559}8528404201690728\ldots\end{align}$

그러면 α는 리우빌 수이며 절대 비정상적이다.

5. 한국의 관점

유형	실수
기호	없음

성질

소수 전개	모든 기저에서 수열이 정상적임