리우빌 수는 무리수이며, 유리수로 특별히 잘 근사될 수 있는 수이다. 무리수 x에 대해, 리우빌 수의 정의는 임의의 양의 정수 n에 대해 |x - p/q| < 1/q^n을 만족하는 정수 p와 q가 존재한다는 것이다. 이는 리우빌 수가 초월수임을 증명하는 데 사용될 수 있으며, 리우빌 상수는 리우빌 수의 예시이다. 리우빌 수는 초월수이지만, 모든 초월수가 리우빌 수인 것은 아니다.
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무리수 의 '''무리성 측도'''(irrationality measure영어)는 다음과 같다.
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무리수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 '''리우빌 수'''라고 한다.
. 즉, 임의의 양의 실수 에 대하여, 인 두 정수 가 무한히 많이 존재한다.
임의의 양의 정수 에 대하여, 이며 인 두 정수 가 존재한다.
실수 의 '''리우빌-로스 무리도 척도'''('''무리도 지수''', '''근사 지수''', 또는 '''리우빌-로스 상수''')는 이 수가 유리수로 얼마나 "가깝게" 근사될 수 있는지를 나타내는 척도이다. 이는 리우빌 수의 정의를 적용하여 정의된다. 부등식이 각 에 대해 성립하게 하는 쌍 의 수열의 존재를 요구하는 대신—필연적으로 무한히 많은 서로 다른 쌍을 포함하는 수열—무리도 지수 는 그러한 무한 수열이 존재하는 의 집합의 상한으로 정의된다. 즉, 이 인 무한히 많은 정수 쌍 에 의해 만족되는 의 집합이다.[5] 어떤 값 에 대해, 위의 부등식을 만족하는 모든 유리수 의 무한 집합은 의 좋은 근사를 제공한다. 반대로, 이면, 부등식을 만족하는 인 는 많아야 유한 개 존재한다. 가 리우빌 수이면 이다.
2. 2. 리우빌 수
무리수 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 '''리우빌 수'''라고 한다.
. 즉, 임의의 양의 실수 에 대하여, 인 두 정수 가 무한히 많이 존재한다.
임의의 양의 정수 에 대하여, 이며 인 두 정수 가 존재한다.
리우빌 수는 명시적인 구성을 통해 존재함을 보일 수 있다.
임의의 정수 와 모든 에 대해 이고 무한히 많은 에 대해 을 만족하는 정수열 에 대해, 다음과 같이 수를 정의한다.
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이고 모든 에 대해 인 특수한 경우, 결과로 얻어지는 수 를 리우빌 상수라고 한다.
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의 정의에 따라 그 밑수- 표기는 다음과 같다.
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여기서 번째 항은 번째 자리에 있다.
이 밑수- 표기는 반복되지 않으므로 는 유리수가 아니다. 따라서 임의의 유리수 에 대해, 이다.
이제 임의의 정수 에 대해 과 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
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그러면,
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따라서 그러한 모든 는 리우빌 수이다.
라는 숫자(와 는 정수이고 )는 리우빌 수 정의를 만족하는 부등식을 만족할 수 없음을 보인다. 모든 유리수는 로 표현될 수 있으므로, 어떤 리우빌 수도 유리수일 수 없다는 것을 보일 수 있다.
더 구체적으로, 을 만족하는 (동등하게는, 를 만족하는) 충분히 큰 모든 양의 정수 에 대해, 다음의 두 부등식을 동시에 만족하는 정수 쌍 가 존재하지 않음을 보인다.
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이 주장이 참이라면, 원하는 결론이 나온다.
와 를 인 임의의 정수라고 하자. 그러면,
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만약 이라면,
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이는 그러한 정수 쌍 가 어떤 의 선택과 관계없이 리우빌 수의 정의에서 ''첫 번째'' 부등식을 위반함을 의미한다.
반면에, 이므로, 는 정수이므로, 이다. 이로부터 다음이 따라 나온다.
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이제 임의의 정수 에 대해, 위의 마지막 부등식은 다음을 의미한다.
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그러므로, 인 경우, 그러한 정수 쌍 는 어떤 양의 정수 에 대해 리우빌 수의 정의에서 ''두 번째'' 부등식을 위반한다.
따라서, 를 리우빌 수로 만들 수 있는 인 정수 쌍 는 존재하지 않는다. 즉 리우빌 수는 유리수 일 수 없다.
3. 성질
임의의 무리수 에 대하여, 가 성립한다. 만약 가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, 이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.
모든 리우빌 수가 초월수임은 '''리우빌 정리'''(Liouville’s theorem영어)를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 수의 주요 성질은 다음과 같다.
리우빌 수는 임의의 정수 와 정수열 에 대해 다음과 같이 정의된다. 여기서 이고 무한히 많은 에 대해 이다.
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이고 모든 에 대해 인 경우, 리우빌 상수 을 얻는다.
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의 밑수- 표기는 반복되지 않으므로 는 유리수가 아니다. 따라서 임의의 유리수 에 대해, 이다.
임의의 정수 에 대해 과 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
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그러면 다음과 같은 부등식을 통해 리우빌 수가 유리수로 얼마나 잘 근사될 수 있는지 알 수 있다.
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6. 1. 디오판토스 근사
디오판토스 근사는 유리수를 사용하여 무리수를 근사하는 방법을 연구하는 분야이다. 리우빌 수는 이 디오판토스 근사 이론에서 중요한 역할을 한다.
만약 (와 는 정수, )라는 수가 리우빌 수의 정의를 만족하는 부등식을 만족할 수 없음을 보이면, 모든 유리수는 로 표현될 수 있으므로, '''어떤 리우빌 수도 유리수일 수 없다'''는 것을 증명할 수 있다.
(또는 )을 만족하는 충분히 큰 모든 양의 정수 에 대해, 다음 두 부등식을 동시에 만족하는 정수 쌍 ()는 존재하지 않는다.
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만약 와 가 인 임의의 정수라면,
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이다. 만약 이라면,
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이 되고, 이는 의 선택과 관계없이 리우빌 수 정의의 첫 번째 부등식을 위반한다.
반면, 이라면, 는 정수이므로, 이다. 따라서,
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이다. 이제 임의의 정수 에 대해, 위의 마지막 부등식은 다음을 의미한다.
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그러므로, 인 경우, 그러한 정수 쌍 는 어떤 양의 정수 에 대해서도 리우빌 수 정의의 두 번째 부등식을 위반한다.
결론적으로, 를 리우빌 수로 만들 수 있는 인 정수 쌍 는 존재하지 않는다. 따라서 리우빌 수는 유리수일 수 없다. '''리우빌 수는 대수적이지 않다.''' 이 주장을 증명하기 위해, 먼저 무리수인 대수적 수의 성질을 확립한다. 이 성질은 본질적으로 무리수 대수적 수는 분모가 커질수록 "잘 근사"되는 조건이 더 엄격해지기 때문에 유리수로 잘 근사될 수 없다는 것이다. 리우빌 수는 무리수이지만 이 성질을 갖지 않으므로 대수적일 수 없고 초월수여야 한다. 다음의 정리는 일반적으로 '''리우빌 정리(디오판토스 근사)'''로 알려져 있으며, 리우빌 정리로 알려진 여러 결과가 있다.
'''정리:''' 가 정수 계수를 갖는 차수 의 기약 다항식의 무리수 근이면, 모든 정수 ()에 대해 다음을 만족하는 실수 가 존재한다.
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'''정리 증명:''' 을 인 정수 계수를 갖는 최소 다항식이라고 하자.
대수학의 기본 정리에 의해, 는 최대 개의 서로 다른 근을 갖는다. 따라서, 모든 에 대해 을 얻는 이 존재한다.
가 의 최소 다항식이므로 이고, 는 연속 함수이다. 따라서, 최대값 정리에 의해 모든 에 대해 을 얻는 과 이 존재한다.
두 조건 모두 에 대해 만족된다.
이제 를 유리수라고 하자. 일반성을 잃지 않고 라고 가정할 수 있다. 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는 가 존재한다.