리우빌 수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 무리성 측도
- 2.2. 리우빌 수
3. 성질
4. 예
- 4.1. 리우빌 상수
5. 역사
6. 리우빌 수와 근사
- 6.1. 디오판토스 근사
- 6.2. 무리성 척도
참조

1. 개요

리우빌 수는 무리수이며, 유리수로 특별히 잘 근사될 수 있는 수이다. 무리수 x에 대해, 리우빌 수의 정의는 임의의 양의 정수 n에 대해 |x - p/q| < 1/q^n을 만족하는 정수 p와 q가 존재한다는 것이다. 이는 리우빌 수가 초월수임을 증명하는 데 사용될 수 있으며, 리우빌 상수는 리우빌 수의 예시이다. 리우빌 수는 초월수이지만, 모든 초월수가 리우빌 수인 것은 아니다.

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리우빌 수
일반 정보
이름	리우빌 수
유형	초월수의 한 종류인 무리수
정의	모든 양의 정수 n에 대해 다음 부등식을 만족하는 유리수 p/q (q > 1)가 존재한다. \|α - p/q\| < 1/q^n
특징	임의의 대수적 수보다 더 잘 유리수 근사시킬 수 있는 수
발견자	조제프 리우빌
예시	Σ{k=1,∞} 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000... Σ{k=1,∞} 2^{-k!} Σ{k=1,∞} (1/k!)
성질
초월성	모든 리우빌 수는 초월수이다.
무리수	모든 리우빌 수는 무리수이다.
비가산성	리우빌 수의 집합은 비가산 집합이다.
관련 개념
디리클레 근사 정리	무리수는 무한히 많은 유리수로 근사될 수 있다.
로트 수	디리클레 근사 정리보다 '나쁜' 유리수 근사 값을 갖는 대수적 무리수

2. 정의

리우빌 수는 다음 조건을 만족하는 무리수이다.^[5]

2 이상의 임의의 정수 $b$ 와 모든 $k$ 에 대해 $a_k\in\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ 이고, 무한히 많은 $k$ 에 대해 $a_k\ne 0$ 을 만족하는 정수열 $(a_1,a_2,\ldots)$ 에 대해, 다음과 같이 수를 정의한다.

: $x=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}$

$b=10$ 이고 모든 $k$ 에 대해 $a_k=1$ 인 특수한 경우, 결과로 얻어지는 수 $x$ 를 리우빌 상수라고 하며, 다음과 같다.

: $L=0.{\color{red}11}000{\color{red}1}00000000000000000{\color{red}1}\ldots$

$x$ 의 정의에 따라 그 밑수- $b$ 표기는 다음과 같다.

: $x=(0.a_1a_2000a_300000000000000000a_4\ldots)_b$

여기서 $n$ 번째 항은 $n!$ 번째 자리에 있다.

이 밑수- $b$ 표기는 반복되지 않으므로 $x$ 는 유리수가 아니다.

임의의 양의 정수 $n$ 에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$ 이며 $q\ge 2$ 인 두 정수 $p,q$ 가 존재한다.

2. 1. 무리성 측도

무리수

x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q

의 '''무리성 측도'''(irrationality measure^영어)는 다음과 같다.

:

\mu(x)=\inf\left\{n\in\mathbb R^+\colon\left|\left\{(p,q)\in\mathbb Z^2\colon\left|x-\frac pq\right|<\frac 1{q^n}\right\}\right|<\aleph_0\right\}

무리수

x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는

x

를 '''리우빌 수'''라고 한다.

$\mu(x)=\infty$ . 즉, 임의의 양의 실수 $n\in\mathbb R^+$ 에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$ 인 두 정수 $p,q\in\mathbb Z$ 가 무한히 많이 존재한다.
임의의 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$ 이며 $q\ge 2$ 인 두 정수 $p,q\in\mathbb Z$ 가 존재한다.

실수

x

의 '''리우빌-로스 무리도 척도'''('''무리도 지수''', '''근사 지수''', 또는 '''리우빌-로스 상수''')는 이 수가 유리수로 얼마나 "가깝게" 근사될 수 있는지를 나타내는 척도이다. 이는 리우빌 수의 정의를 적용하여 정의된다. 부등식이 각

n

에 대해 성립하게 하는 쌍

(p,q)

의 수열의 존재를 요구하는 대신—필연적으로 무한히 많은 서로 다른 쌍을 포함하는 수열—무리도 지수

\mu(x)

는 그러한 무한 수열이 존재하는

n

의 집합의 상한으로 정의된다. 즉,

0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^n}

이

q>0

인 무한히 많은 정수 쌍

(p,q)

에 의해 만족되는

n

의 집합이다.^[5] 어떤 값

n\le\mu(x)

에 대해, 위의 부등식을 만족하는 모든 유리수

p/q

의 무한 집합은

x

의 좋은 근사를 제공한다. 반대로,

n>\mu(x)

이면, 부등식을 만족하는

q>0

인

(p,q)

는 많아야 유한 개 존재한다.

x

가 리우빌 수이면

\mu(x)=\infty

이다.

2. 2. 리우빌 수

무리수

x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는

x

를 '''리우빌 수'''라고 한다.

$\mu(x)=\infty$ . 즉, 임의의 양의 실수 $n\in\mathbb R^+$ 에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$ 인 두 정수 $p,q\in\mathbb Z$ 가 무한히 많이 존재한다.
임의의 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$ 이며 $q\ge 2$ 인 두 정수 $p,q\in\mathbb Z$ 가 존재한다.

리우빌 수는 명시적인 구성을 통해 존재함을 보일 수 있다.

임의의 정수

b\ge2

와 모든

k

에 대해

a_k\in\{0,1,2,\ldots,b-1\}

이고 무한히 많은

k

에 대해

a_k\ne 0

을 만족하는 정수열

(a_1,a_2,\ldots)

에 대해, 다음과 같이 수를 정의한다.

:

x=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}

b=10

이고 모든

k

에 대해

a_k=1

인 특수한 경우, 결과로 얻어지는 수

x

를 리우빌 상수라고 한다.

:

L=0.{\color{red}11}000{\color{red}1}00000000000000000{\color{red}1}\ldots

x

의 정의에 따라 그 밑수-

b

표기는 다음과 같다.

:

x=(0.a_1a_2000a_300000000000000000a_4\ldots)_b

여기서

n

번째 항은

n!

번째 자리에 있다.

이 밑수-

b

표기는 반복되지 않으므로

x

는 유리수가 아니다. 따라서 임의의 유리수

p/q

에 대해,

|x-p/q|>0

이다.

이제 임의의 정수

n\ge1

에 대해

p_n

과

q_n

을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

q_n=b^{n!}\,;\quad p_n=q_n\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}=\sum_{k=1}^na_kb^{n!-k!}

그러면,

:

\begin{align}0<\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|&=\left|x-\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}\right|=\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}-\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}\right|=\left|\left(\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}+\sum_{k=n+1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}\right)-\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}\right|=\sum_{k=n+1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}\\[6pt]&\le\sum_{k=n+1}^\infty\frac{b-1}{b^{k!}}<\sum_{k=(n+1)!}^\infty\frac{b-1}{b^k}=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}+\frac{b-1}{b^{(n+1)!+1}}+\frac{b-1}{b^{(n+1)!+2}}+\cdots\\[6pt]&=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^0}+\frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^1}+\frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^2}+\cdots=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{b^k}\\[6pt]&=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\cdot\frac{b}{b-1}=\frac{b}{b^{(n+1)!}}\le\frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}=\frac{1}{b^{(n+1)!-n!}}=\frac{1}{b^{(n+1)n!-n!}}=\frac{1}{b^{n(n!)+n!-n!}}=\frac{1}{b^{(n!)n}}=\frac{1}{q_n^n}\end{align}

따라서 그러한 모든

x

는 리우빌 수이다.

~ x = c / d ~

라는 숫자(

c

와

d

는 정수이고

~ d > 0 ~

)는 리우빌 수 정의를 만족하는 부등식을 만족할 수 없음을 보인다. 모든 유리수는

~ c / d ~

로 표현될 수 있으므로, 어떤 리우빌 수도 유리수일 수 없다는 것을 보일 수 있다.

더 구체적으로,

~ 2^{n - 1} > d > 0~

을 만족하는 (동등하게는,

~ n > 1 + \log_2(d) ~

를 만족하는) 충분히 큰 모든 양의 정수

n

에 대해, 다음의 두 부등식을 동시에 만족하는 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~

가 존재하지 않음을 보인다.

:

0 < \left|x - \frac{\,p\,}{q}\right| < \frac{1}{\;q^n\,}~.

이 주장이 참이라면, 원하는 결론이 나온다.

p

와

q

를

~q > 1~

인 임의의 정수라고 하자. 그러면,

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| = \left| \frac{\,c\,}{d} - \frac{\,p\,}{q}  \right| = \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q }

만약

\left| c\,q - d\,p \right| = 0~

이라면,

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~

이는 그러한 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~

가 어떤

n

의 선택과 관계없이 리우빌 수의 정의에서 ''첫 번째'' 부등식을 위반함을 의미한다.

반면에,

~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~

이므로,

c\,q - d\,p

는 정수이므로,

\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~

이다. 이로부터 다음이 따라 나온다.

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}

이제 임의의 정수

~n > 1 + \log_2(d)~

에 대해, 위의 마지막 부등식은 다음을 의미한다.

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.

그러므로,

~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~

인 경우, 그러한 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~

는 어떤 양의 정수

n

에 대해 리우빌 수의 정의에서 ''두 번째'' 부등식을 위반한다.

따라서,

~ x = c / d ~

를 리우빌 수로 만들 수 있는

~ q > 1 ~

인 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~

는 존재하지 않는다. 즉 리우빌 수는 유리수 일 수 없다.

3. 성질

임의의 무리수 $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 에 대하여, $\mu(x)\ge 2$ 가 성립한다. 만약 $x$ 가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, $\mu(x)=2$ 이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.

모든 리우빌 수가 초월수임은 '''리우빌 정리'''(Liouville’s theorem^영어)를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 수의 주요 성질은 다음과 같다.

리우빌 수는 초월수이다(리우빌의 정리).
리우빌 수는 마일러의 분류에서 ''U''수에 속한다.
0이 아닌 임의의 실수는 두 리우빌 수의 합과 곱으로 표현할 수 있다.
리우빌수 전체로 이루어진 집합은 비가산 집합이며, 실수 내에서 조밀하지만, 1차원 르베그 측도는 0이다.^[3]

위의 성질로 인해, 대부분의 초월수는 리우빌 수가 아니다. 리우빌 수가 아닌 것으로 알려진 수는 다음과 같다.

자연로그의 밑인 오일러 수.
원주율.^[3]
참퍼나운 상수 0.123456789101112….
1이 아닌 임의의 유리수 ''r''에 대한 자연로그 log ''r''.
임의의 정수 ''d'' ≥ 2에 대한 $\sum_{n=1}^\infty d^{-n^2}$ .

3. 1. 초월성

모든 리우빌 수는 초월수이다. 이는 리우빌 정리(Liouville’s theorem^영어)를 사용하여 증명할 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의

n\ge 2

차 대수적 무리수

x

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수

M\in\mathbb Z^+

가 존재한다.^[3]

임의의 정수 $p\in\mathbb Z$ 및 양의 정수 $q\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $\left|x-p/q\right|>1/(Mq^n)$

귀류법을 사용하여 리우빌 수

x

가

n\ge 2

차 대수적 무리수라고 가정하면,^[3]

2^{k-n}>M

인 양의 정수

k\in\mathbb Z^+

를 취할 때,^[3] 리우빌 수의 정의에 따라, 다음을 만족시키는 두 정수

p,q\in\mathbb Z

가 존재한다.^[3]

:

\frac 1{q^k}>\left|x-\frac pq\right|>\frac 1{Mq^n}

:

q\ge 2

따라서

M>q^{k-n}\ge 2^{k-n}>M

이며, 이는 모순이다.^[3] 즉, 리우빌 수는 대수적일 수 없으므로 초월수이다.

하지만 역은 성립하지 않는다. 즉, 모든 초월수가 리우빌 수인 것은 아니다. 예를 들어 e나 원주율(π)은 초월수이지만 리우빌 수가 아니다.^[3]

3. 2. 집합론적 성질

리우빌 수의 집합의 크기는 실수와 같은 continuum|연속체^영어 농도인

2^{\aleph_0}

이다.

다음과 같은 수를 생각해 보자.

:3.1400010000000000000000050000....

:3.14(3개의 0)1(17개의 0)5(95개의 0)9(599개의 0)2(4319개의 0)6...

여기서 숫자는 π의 소수점 이하 자릿수에서 소수점 뒤에 오는 n번째 숫자가 숫자의 값과 같은 위치의 ''n''!을 제외하고는 0이다.

리우빌 수의 존재 부분에서 볼 수 있듯이, 이 숫자와 마찬가지로 0이 아닌 숫자가 비슷한 위치에 있는 다른 모든 무한 소수는 리우빌 수의 정의를 만족한다. 모든 0이 아닌 숫자의 시퀀스 집합은 연속체 농도를 가지므로 모든 리우빌 수의 집합도 마찬가지이다.

리우빌 수는 조밀 집합인 실수 집합의 부분 집합을 형성한다.

리우빌 수는 초월수이다.
리우빌 수는 마일러의 분류에서 ''U''수에 속한다.
0이 아닌 임의의 실수는 두 리우빌 수의 합과 곱으로 표현할 수 있다.
리우빌 수 전체로 이루어진 집합은 비가산 집합이며, 실수 내에서 조밀하지만, 1차원 르베그 측도는 0이다.^[6]

위의 성질로 인해, 대부분의 초월수는 리우빌 수가 아니다.

측도론의 관점에서, 리우빌 수 전체

L

은 작다고 할 수 있다. 정확히는 르베그 측도

\lambda(L)

가 0이다.

또한, 리우빌 수 전체의 집합은 하우스도르프 차원이 0임을 보일 수도 있다 (이는 르베그 측도가 0임을 보이는 것보다 엄밀하게 강한 성질이다).

3. 3. 위상수학적 성질

리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합의 여집합이며, 실수선은 베르 공간이므로, 이는 조밀 집합이다.

각 양의 정수

n

에 대해 다음과 같이 집합을 정의한다.

:

~ U_n  = \bigcup\limits_{q=2}^\infty ~ \bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty  ~ \left\{ x \in \mathbb R : 0 <  \left |x- \frac{p}{\,q\,} \right |< \frac{1}{\;q^n\,}\right\} = \bigcup\limits_{q=2}^\infty ~ \bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty ~ \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}~,~\frac{p}{\,q\,} + \frac{1}{\;q^n\,}\right) \setminus \left\{\frac{p}{\,q\,}\right\} ~

그러면 리우빌 수의 집합은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

~ L ~=~ \bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n ~=~ \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}_1} ~ \bigcup\limits_{ q \geqslant 2} ~ \bigcup \limits_{ p \in \mathbb{Z} }\,\left(\,\left(\,\frac{\,p\,}{q} - \frac{1}{\;q^n\,}~,~ \frac{\,p\,}{q} + \frac{1}{\;q^n\,} \,\right) \setminus \left\{\,\frac{\,p\,}{q}\,\right\} \,\right) ~.

각

~ U_n ~

은 열린 집합이다. 그 폐포는 모든 유리수(각 천공된 구간의

~p / q~

)를 포함하므로, 실수의 조밀 집합의 부분 집합이다. 가산 개의 이러한 열린 조밀 집합의 교집합이므로, L은 comeagre이며, 다시 말해, ''조밀'' G_δ 집합이다.

3. 4. 측도론적 성질

리우빌 수의 집합은 르베그 측도가 0이며, 임의의 차원의 하우스도르프 측도도 0이다.^[4] 측도론 관점에서 모든 리우빌 수 집합은 작다고 할 수 있다.

증명은 다음과 같다. 양의 정수 n>2와 q≥2에 대해,

:

V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)

라고 하면,

:

L\subseteq \bigcup_{q=2}^\infty V_{n,q}.

이다. 여기서 L은 리우빌 수의 집합을 의미한다.

각 양의 정수 m≥1에 대해,

:

L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap(-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).

가 성립한다.

또한, :

\left|\left(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)-\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}\right)\right|=\frac{2}{q^n}

이고 n>2 이므로,

:

\begin{align}\mu(L\cap (-m,\, m)) & \leq\sum_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n} = \sum_{q=2}^\infty \frac{2(2mq+1)}{q^n}  \\[6pt]& \leq (4m+1)\sum_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}} \leq (4m+1) \int^\infty_1 \frac{dq}{q^{n-1}}\leq\frac{4m+1}{n-2}.\end{align}

이다.

:

\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0

이므로, 각 양의 정수 m에 대해, L∩(-m,m)은 르베그 측도 0을 갖는다. 결과적으로, 리우빌 수의 집합 L 또한 르베그 측도 0을 갖는다.

이와 대조적으로, 모든 실수 초월수의 집합의 르베그 측도는 무한대이다(대수적 수의 집합은 영집합이기 때문이다).

더 나아가 리우빌 수 집합은 하우스도르 차원이 0임을 보일 수 있다.

4. 예

다음은 리우빌 수가 아닌 수의 예이다.

자연로그의 밑인 오일러 수 e
원주율 π
참퍼나운 상수 0.123456789101112…
1이 아닌 임의의 유리수 ''r''에 대한 자연로그 log ''r''
임의의 정수 ''d'' ≥ 2에 대한 $\sum_{n=1}^\infty d^{-n^2}$

리우빌 상수는 리우빌 수의 한 예이다.^[9]^[10]

4. 1. 리우빌 상수

'''리우빌 상수'''(Liouville’s constant^영어)는 다음과 같이 정의되는 수이다.

:

c=\sum_{n=1}^\infty10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots

이 수는 리우빌 수의 한 예이다.^[9]^[10]

일반적으로, 2 이상의 정수

b\ge 2

와

a_1,a_2,\dots\in\{0,1,\dots,b-1\}

에 대하여,

0=a_n=a_{n+1}=\cdots

인

n\in\mathbb Z^+

가 존재하지 않는다면, 다음 수도 리우빌 수이다.

:

\sum_{n=1}^\infty a_nb^{-n!}

b=10

이고 모든

k

에 대해

a_k=1

인 경우가 리우빌 상수이며 다음과 같다.

:

L=0.{\color{red}11}000{\color{red}1}00000000000000000{\color{red}1}\ldots

5. 역사

조제프 리우빌의 이름을 따서 명명되었다.

6. 리우빌 수와 근사

리우빌 수는 임의의 정수 $b\ge2$ 와 정수열 $(a_1,a_2,\ldots)$ 에 대해 다음과 같이 정의된다. 여기서 $a_k\in\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ 이고 무한히 많은 $k$ 에 대해 $a_k\ne 0$ 이다.

: $x=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}$

$b=10$ 이고 모든 $k$ 에 대해 $a_k=1$ 인 경우, 리우빌 상수 $L$ 을 얻는다.

: $L=0.{\color{red}11}000{\color{red}1}00000000000000000{\color{red}1}\ldots$

$x$ 의 밑수- $b$ 표기는 반복되지 않으므로 $x$ 는 유리수가 아니다. 따라서 임의의 유리수 $p/q$ 에 대해, $|x-p/q|>0$ 이다.

임의의 정수 $n\ge1$ 에 대해 $p_n$ 과 $q_n$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $q_n=b^{n!}\,;\quad p_n=q_n\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}=\sum_{k=1}^na_kb^{n!-k!}$

그러면 다음과 같은 부등식을 통해 리우빌 수가 유리수로 얼마나 잘 근사될 수 있는지 알 수 있다.

: $\begin{align}0<\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|&=\sum_{k=n+1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}\\[6pt]&\le\sum_{k=n+1}^\infty\frac{b-1}{b^{k!}}<\sum_{k=(n+1)!}^\infty\frac{b-1}{b^k}=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{b^k}\\[6pt]&=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\cdot\frac{b}{b-1}=\frac{b}{b^{(n+1)!}}\le\frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}=\frac{1}{b^{(n+1)!-n!}}=\frac{1}{b^{(n!)n}}=\frac{1}{q_n^n}\end{align}$

6. 1. 디오판토스 근사

디오판토스 근사는 유리수를 사용하여 무리수를 근사하는 방법을 연구하는 분야이다. 리우빌 수는 이 디오판토스 근사 이론에서 중요한 역할을 한다.

만약

~ x = c / d ~

(

c

와

d

는 정수,

~ d > 0 ~

)라는 수가 리우빌 수의 정의를 만족하는 부등식을 만족할 수 없음을 보이면, 모든 유리수는

~ c / d ~

로 표현될 수 있으므로, '''어떤 리우빌 수도 유리수일 수 없다'''는 것을 증명할 수 있다.

~ 2^{n - 1} > d > 0~

(또는

~ n > 1 + \log_2(d) ~

)을 만족하는 충분히 큰 모든 양의 정수

n

에 대해, 다음 두 부등식을 동시에 만족하는 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~

(

~q > 1~

)는 존재하지 않는다.

:

0 < \left|x - \frac{\,p\,}{q}\right| < \frac{1}{\;q^n\,}~.

만약

p

와

q

가

~q > 1~

인 임의의 정수라면,

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| = \left| \frac{\,c\,}{d} - \frac{\,p\,}{q}  \right| = \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q }

이다. 만약

\left| c\,q - d\,p \right| = 0~

이라면,

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~,

이 되고, 이는

n

의 선택과 관계없이 리우빌 수 정의의 첫 번째 부등식을 위반한다.

반면,

~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~

이라면,

c\,q - d\,p

는 정수이므로,

\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.

이다. 따라서,

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}

이다. 이제 임의의 정수

~n > 1 + \log_2(d)~

에 대해, 위의 마지막 부등식은 다음을 의미한다.

:

\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.

그러므로,

~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~

인 경우, 그러한 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~

는 어떤 양의 정수

n

에 대해서도 리우빌 수 정의의 두 번째 부등식을 위반한다.

결론적으로,

~ x = c / d ~,

를 리우빌 수로 만들 수 있는

~ q > 1 ~

인 정수 쌍

~(\,p,\,q\,)~,

는 존재하지 않는다. 따라서 리우빌 수는 유리수일 수 없다.
'''리우빌 수는 대수적이지 않다.''' 이 주장을 증명하기 위해, 먼저 무리수인 대수적 수의 성질을 확립한다. 이 성질은 본질적으로 무리수 대수적 수는 분모가 커질수록 "잘 근사"되는 조건이 더 엄격해지기 때문에 유리수로 잘 근사될 수 없다는 것이다. 리우빌 수는 무리수이지만 이 성질을 갖지 않으므로 대수적일 수 없고 초월수여야 한다. 다음의 정리는 일반적으로 '''리우빌 정리(디오판토스 근사)'''로 알려져 있으며, 리우빌 정리로 알려진 여러 결과가 있다.

'''정리:'''

\alpha

가 정수 계수를 갖는 차수

n>1

의 기약 다항식의 무리수 근이면, 모든 정수

p,q

(

q>0

)에 대해 다음을 만족하는 실수

A>0

가 존재한다.

:

\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{A}{q^n}

'''정리 증명:'''

f(x)=\sum_{k\,=\,0}^na_kx^k

을

f(\alpha)=0

인 정수 계수를 갖는 최소 다항식이라고 하자.

대수학의 기본 정리에 의해,

f

는 최대

n

개의 서로 다른 근을 갖는다. 따라서, 모든

0<|x-\alpha|<\delta_1

에 대해

f(x)\ne0

을 얻는

\delta_1>0

이 존재한다.

f

가

\alpha

의 최소 다항식이므로

f'\!(\alpha)\ne0

이고,

f'

는 연속 함수이다. 따라서, 최대값 정리에 의해 모든

|x-\alpha|<\delta_2

에 대해

0<|f'\!(x)|\le M

을 얻는

\delta_2>0

과

M>0

이 존재한다.

두 조건 모두

\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}

에 대해 만족된다.

이제

\tfrac{p}{q}\in(\alpha-\delta,\alpha+\delta)

를 유리수라고 하자. 일반성을 잃지 않고

\tfrac{p}{q}<\alpha

라고 가정할 수 있다. 평균값 정리에 의해 다음을 만족하는

x_0\in\left(\tfrac{p}{q},\alpha\right)

가 존재한다.

:

f'\!(x_0)=\frac{f(\alpha)-f\bigl(\frac{p}{q}\bigr)}{\alpha-\frac{p}{q}}

f(\alpha)=0

이고

f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)\ne0

이므로, 그 등식의 양변은 0이 아니다. 특히

|f'\!(x_0)|>0

이고 다음을 재정렬할 수 있다.

:

\begin{align}\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|&=\frac{\left|f(\alpha)-f\bigl(\frac{p}{q}\bigr)\right|}

=\frac{\left|f\bigl(\frac{p}{q}\bigr)\right|}

\\[5pt]&=\frac{1}

\left|\,\sum_{k\,=\,0}^na_kp^kq^{-k}\,\right|\\[5pt]&=\frac{1}

_{\ge\,1}\\&\ge\frac{1}{Mq^n}>\frac{A}{q^n}\quad:\!0

'''주장의 증명:''' 이 정리의 결과로, ''x''를 리우빌 수라고 하자. ''x''는 무리수이다. 만약 ''x''가 대수적이면, 정리에 의해 모든 ''p'', ''q''에 대해 다음을 만족하는 정수 ''n''과 양의 실수 ''A''가 존재한다.

:

\left| x - \frac{p}{q}  \right|> \frac{A}{q^{n}}

1/(2^''r'') ≤ ''A''를 만족하는 양의 정수 ''r''을 정하고, ''m'' = ''r'' + ''n''으로 정의한다. ''x''가 리우빌 수이므로, 다음을 만족하는 정수 ''a'', ''b''(''b'' > 1)가 존재한다.

:

\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n},

이는 정리에 모순된다. 따라서 리우빌 수는 대수적일 수 없으며, 따라서 초월수여야 한다.

주어진 수가 리우빌 수임을 확립하면 초월수임을 증명한다. 그러나 모든 초월수가 리우빌 수는 아니다. 모든 리우빌 수의 단순 연분수의 항은 무제한이다. 계수 인수를 사용하면 리우빌 수가 아닌 초월수가 무수히 많다는 것을 보여줄 수 있다. ''e''의 명시적인 연분수 전개를 사용하여, ''e''가 리우빌 수가 아닌 초월수의 예임을 보일 수 있다. 말러는 1953년에 π가 또 다른 그러한 예임을 증명했다.^[3]

6. 2. 무리성 척도

실수

x

의 '''리우빌-로스 무리도 척도'''('''무리도 지수''', '''근사 지수''', 또는 '''리우빌-로스 상수''')는 이 수가 유리수로 얼마나 "가깝게" 근사될 수 있는지를 나타내는 척도이다.^[5] 무리도 지수는 리우빌 수의 정의를 통해 설명할 수 있는데,

0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^n}

을 만족하는

q>0

인 무한히 많은 정수 쌍

(p,q)

가 존재하는

n

의 집합의 상한으로 정의된다.

어떤 값

n\le\mu(x)

에 대해, 위의 부등식을 만족하는 모든 유리수

p/q

의 무한 집합은

x

의 좋은 근사를 제공한다. 반대로,

n>\mu(x)

이면, 위의 부등식을 만족하는

q>0

인 정수 쌍

(p,q)

는 많아야 유한 개 존재한다.

x

가 리우빌 수이면

\mu(x)=\infty

이다.

참조

_[1] 논문 Mémoires et communications http://www.bibnum.ed[...] 1844-05
_[2] 서적 Transcendental Number Theory Cambridge University Press
_[3] 간행물 On the approximation of π 1953
_[4] 서적 Measure and Category Springer-Verlag
_[5] 서적 Distribution modulo one and Diophantine approximation Cambridge University Press
_[6] 서적 Measure and Category Springer-Verlag
_[7] 간행물 On the approximation of π 1953
_[8] 저널 The irrationality measure of π is at most 7.103205334137… 2020-01-07
_[9] 문서 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition
_[10] 문서 What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Second Edition the late Richard Courant and Herbert Robbins Revised by Ian Stewart (Liouville number)

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