디감마 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 기본적 성질
4. 급수 표현
5. 적분 표현
6. 반사 공식
7. 점근 전개
8. 특수값
9. 트리감마 함수
10. 관련 정리 및 공식
- 10.1. 가우스의 디감마 정리
- 10.2. 곱셈 정리
11. 부등식
12. 디감마 함수의 근
참조

1. 개요

디감마 함수는 감마 함수의 로그 미분으로 정의되며, 감마 함수와 관련된 특수한 함수이다. 이 함수는 복소 평면에서 극점을 가지며, 폴리감마 함수의 첫 번째 함수로 간주된다. 디감마 함수는 감마 함수의 바이어슈트라스 무한 곱 표현을 미분하여 얻을 수 있으며, 오일러-마스케로니 상수와 조화수를 포함한 다양한 특수값과 관계를 갖는다. 디감마 함수는 급수, 적분, 반사 공식, 점근 전개 등 다양한 표현과 성질을 가지며, 가우스의 디감마 정리를 통해 유리수에 대한 닫힌 형식의 값을 얻을 수 있다. 또한, 트리감마 함수와 같은 관련 함수가 존재하며, 부등식과 근에 대한 연구도 이루어졌다.

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디감마 함수
개요
종류	특수 함수
수학 분야	수학, 해석학
기호	ψ₀(x), ψ(x)
정의
함수 정의	감마 함수의 로그 도함수
성질
점근적 성질	ln(x) - 1/(2x) + O(1/x²)
유리수 인수의 값	복잡한 공식으로 표현됨
덧셈 정리	ψ(1 + x) = ψ(x) + 1/x
곱셈 정리	ψ(mx) = ln(m) + (1/m) * Σ ψ(x + k/m) (k = 0부터 m-1까지)
특이점	음의 정수에서 극점을 가짐
영점	없음
관련 함수
관련 함수	감마 함수 다감마 함수 조화수

2. 정의

디감마 함수는 폴리감마 함수 중 첫 번째 함수( $n=0$ )이다.

: $\psi_0(z) = \psi(z)$

감마 함수 $\Gamma(z)$ 의 로그 미분은 다음과 같다.

: $\psi(z)= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln{\Gamma(z)} = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

이 식을 '''디감마 함수'''라고 부른다.

디감마 함수는 $z = 0, -1, -2, \ldots (z \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^+)$ 에서 일차 극점을 가지며, 해당 점들을 제외한 모든 복소 평면에서 해석적이다.

3. 기본적 성질

감마 함수의 바이어슈트라스 무한 곱 표현에 따르면, 디감마 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.^[35]

: $\psi(z)=\lim_{n \to \infty}\left \{ \ln{n}-\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z+k} \right \}$

특히, $z=1$ 일 때, 다음 특수값을 얻는다.^[35]

: $\psi(1)=\lim_{n \to \infty}\left \{ \ln{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right \}=-\gamma$

여기서 $\gamma = 0.5772\ldots$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.

디감마 함수는 다음 점화식을 만족한다.^[35]

: $\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}$

이 관계식으로부터 일반적인 경우를 유도할 수 있다.^[35]

: $\psi(z+n) = \psi(z) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1}$

특히, $z=1$ 로 두면, 다음 특수값을 얻는다.^[35]

: $\psi(n+1) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

디감마 함수는 조화수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,$

4. 급수 표현

디감마 함수는 다음과 같은 급수로 표현된다. 감마 함수의 바이어슈트라스 무한 곱 표현의 로그 미분으로부터 유도된다.^[29]

: $\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl (\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )= -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)}$

$z=1$ 근처에서 테일러 급수를 통해 전개하면 다음과 같다.

: $\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n\zeta(n) z^{n-1}$

단, $\zeta(n)$ 은 리만 제타 함수이다. ( $|z|<1$ 영역에서 수렴)^[29]

레르크 초월자(Lerch transcendent)를 이용한 급수 표현은 다음과 같다.

: $\psi_0(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{zk+1} = \frac{1}{z}\phi(-1,1,z^{-1})$

: $\quad = {1\over{2z}}\left( \psi_0\left( \right)- \psi_0\left( \right) \right)$

: $\phi(a,b,c)$ 는 레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수)이다.

슈테른이 유도한 뉴턴 급수(슈테른 급수) 표현은 다음과 같다.^[8]^[9]^[10]

: $\begin{align}\psi(s)&= -\gamma + (s-1) - \frac{(s-1)(s-2)}{2\cdot2!} + \frac{(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot3!}\cdots,\quad\Re(s)> 0, \\&= -\gamma - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s-1}{k}\cdots,\quad\Re(s)> 0.\end{align}$

여기서 는 이항 계수이다.

5. 적분 표현

$\mathrm{Re}(z)>0$ 일 때, 디감마 함수는 다음과 같은 적분으로 표현된다.^[4]

: $\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( e^{-s}-\frac{1}{(1+s)^z}\biggr) \frac{\mathrm{d}s}{s}$

: $\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-zs}}{1-e^{-s}}\biggr) \mathrm ds$

: $\psi(z)= -\gamma + \int_{1}^{\infty} \frac{s^{z-1}-1}{s^z (s-1)}\mathrm ds$

: $\psi(z+1) = \ln{z}-\frac{1}{2z}$

\int_{0}^{\infty} \biggl (

\frac{1}{2} \operatorname{coth} \left(\dfrac{s}{2}\right)- \frac{1}{s}\biggr ) e^{-zs} \mathrm ds

단,

\operatorname{coth}\left(\frac{s}{2}\right)

는 쌍곡선 여현 함수를 나타낸다.

또한, 디감마 함수끼리의 차이에 대해 다음이 성립한다.

:

\psi(y) -\psi(x)=  \int_{0}^{1} \frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}\mathrm du

6. 반사 공식

감마 함수의 반사 공식의 로그 미분을 통해 다음 관계식을 얻는다.

: $\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x$

단, $\cot(\pi z)$ 는 코탄젠트 함수를 나타낸다.

7. 점근 전개

$z\to\infty\,(|\arg z|<\pi)$ 일 때, 디감마 함수는 다음 점근 전개를 갖는다.

: $\psi(z)\sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}}= \ln{z}- \frac{1}{2z}- \frac{1}{12z^2}+ \frac{1}{120z^4}- \frac{1}{252z^6} +\cdots$

여기서 $B_{2n}$ 은 베르누이 수이다.^[18]

8. 특수값

디감마 함수는 양의 정수에서 다음 값을 갖는다.^[1]

: $\psi(n)=H_{n-1}-\gamma$

여기서 $H_{n-1}$ 은 조화수이고, $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다. ( $H_0 = 0$ )

양의 반정수(半整數, half-integer)에 대해서는 다음 값을 갖는다.^[1]

: $\psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 + 2H_{2n}-H_n$

다음은 디감마 함수의 특수값들이다.^[1]

$z$	$\psi(z)$
$1$	$-\gamma$
$\tfrac{1}{2}$	$-2\ln{2} - \gamma$
$\tfrac{1}{3}$	$-\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3\ln{3}}{2} - \gamma$
$\tfrac{1}{4}$	$-\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$
$\tfrac{1}{6}$	$-\frac{\pi\sqrt{3}}{2} -2\ln{2} -\frac{3\ln{3}}{2} - \gamma$
$\tfrac{1}{8}$	$-\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac {\pi + \ln \left (\sqrt{2} + 1 \right ) - \ln \left (\sqrt{2} - 1 \right ) }{\sqrt{2}} - \gamma$

9. 트리감마 함수

트리감마 함수는 디감마 함수의 미분으로 정의된다. 폴리감마 함수 중 $n=1$ 인 경우에 해당한다.

10. 관련 정리 및 공식

가우스의 디감마 정리에 따르면, 양의 정수 $r$과 $m$ ($r < m$)에 대해 디감마 함수는 오일러-마스케로니 상수와 유한 개의 기본 함수로 표현될 수 있다.^[16] 이 식은 재귀 방정식 때문에 모든 유리수 인수에 대해 성립한다.

감마 함수의 곱셈 정리에 대응하는 디감마 함수의 곱셈 정리는 다음과 같다.^[17]

10. 1. 가우스의 디감마 정리

양의 정수 $r$과 $m$ ($r < m$)에 대해, 디감마 함수는 오일러-마스케로니 상수와 유한 개의 기본 함수로 표현될 수 있다.^[16]

:

\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right)

이 식은 재귀 방정식 때문에 모든 유리수 인수에 대해 성립한다.

10. 2. 곱셈 정리

감마 함수의 곱셈 정리에 대응하는 디감마 함수의 곱셈 정리는 다음과 같다.^[17]

:

\psi(nz)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \psi\left(z+\frac{k}{n}\right) +\ln n .

11. 부등식

$x > 0$ 일 때, 다음 부등식이 성립한다.^[19]

: $\ln x - \frac{1}{x} \le \psi(x) \le \ln x - \frac{1}{2x}.$

이는 감마 함수에 대한 Binet의 첫 번째 적분식에서 나오는 적분 표현에 Bernstein의 단조 함수 정리를 적용한 결과이다. 또한, $s \in (0, 1)$ 에 대해, 다음이 성립한다.^[19]

: $\frac{1 - s}{x + s} < \psi(x + 1) - \psi(x + s)$

Elezovic, Giordano 및 Pecaric는 $x > 0$ 에 대해 다음 부등식을 증명했다.^[20]

: $\ln(x + \tfrac{1}{2}) - \frac{1}{x} < \psi(x) < \ln(x + e^{-\gamma}) - \frac{1}{x},$

여기서 $\gamma=-\psi(1)$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.^[20] 이 부등식에 나타나는 상수( $0.5$ 와 $e^{-\gamma}\approx0.56$ )는 가능한 최상의 값이다.^[21]

평균값 정리는 Gautschi의 부등식과 유사한 형태를 갖는다. 만약 $x > c$ ( $c \approx 1.461$ 는 디감마 함수의 유일한 양의 실수 근)이고, $s > 0$ 이면, 다음이 성립한다.

: $\exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + 1)}{\psi(x + 1)}\right) \le \frac{\psi(x + 1)}{\psi(x + s)} \le \exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + s)}{\psi(x + s)}\right).$

또한, 등식은 $s = 1$ 일 때만 성립한다.^[22]

Horzt Alzer와 Graham Jameson은 고전적인 감마 함수에 대한 조화 평균값 부등식에서 영감을 받아 디감마 함수에 대한 조화 평균값 부등식을 증명했다.

: $-\gamma \leq \frac{2 \psi(x) \psi(\frac{1}{x})}{\psi(x)+\psi(\frac{1}{x})}$ ( $x>0$ 이고, 등호 조건은 $x=1$ )^[23]

12. 디감마 함수의 근

디감마 함수의 근은 복소 감마 함수의 안장점이다. 따라서 모든 근은 실수 축 위에 놓인다. 양의 실수 축에 있는 유일한 근은 감마 함수의 고유한 최솟값이며, 1.46163214496836234126...에서 발생한다. 다른 모든 근은 음의 축에서 극점 사이에 하나씩 나타난다.

''x''₁ = -0.50408300826445540925...
''x''₂ = -1.57349847316239045877...
''x''₃ = -2.61072086844414465000...
''x''₄ = -3.63529336643690109783...

:

\vdots

1881년에 샤를 에르미트는 다음과 같은 결과를 관찰했다.^[28]

:

x_n = -n + \frac{1}{\ln n} + O\left(\frac{1}{(\ln n)^2}\right)

이는 점근적으로 성립한다. 근의 위치에 대한 더 나은 근사는 다음과 같다.

:

x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n}\right)\qquad n \ge 2

추가 항을 사용하면 더욱 정확해진다.

:

x_n \approx -n + \frac{1}{\pi}\arctan\left(\frac{\pi}{\ln n + \frac{1}{8n}}\right)\qquad n \ge 1

두 식 모두 다음 반사 공식을 따른다.

:

0 = \psi(1-x_n) = \psi(x_n) + \frac{\pi}{\tan \pi x_n}

여기서 ''ψ''(''x_n'')는 수렴하지 않는 점근 급수로 대체한다. 이 급수의 올바른 두 번째 항은 1/2''n''이며, 주어진 항은 작은 n을 갖는 근을 근사하는 데 효과적이다.

에르미트의 공식은 다음과 같이 더 개선할 수 있다.^[29]

:

x_n=-n+\frac1{\log n}-\frac1{2n(\log n)^2}+O\left(\frac1{n^2(\log n)^2}\right).

최근 István Mező와 Michael Hoffman은 영점에 관한 다음 무한 합 항등식을 증명했다.^[29]^[30]

:

\begin{align}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2}&=\gamma^2+\frac{\pi^2}{2}, \\\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^3}&=-4\zeta(3)-\gamma^3-\frac{\gamma\pi^2}{2}, \\\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^4}&=\gamma^4+\frac{\pi^4}{9} + \frac23 \gamma^2 \pi^2 + 4\gamma\zeta(3).\end{align}

일반적으로, 함수

:

Z(k)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^k}

는 결정될 수 있으며, 인용된 저자들에 의해 자세히 연구되었다.

다음 결과도 성립한다.^[29]

:

\begin{align}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2+x_n}&=-2, \\\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2-x_n}&=\gamma+\frac{\pi^2}{6\gamma}\end{align}

참조

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_[2] 웹사이트 NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.11. https://dlmf.nist.go[...]
_[3] 서적 Tables of the Digamma and Trigamma Functions https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1919
_[4] 문서 Whittaker and Watson, 12.3.
_[5] 문서 Whittaker and Watson, 12.31.
_[6] 문서 Whittaker and Watson, 12.32, example.
_[7] 웹사이트 NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.9. https://dlmf.nist.go[...]
_[8] 서적 Vorlesungen über Differenzenrechnung Springer
_[9] 논문 Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions http://math.colgate.[...]
_[10] 웹사이트 Leonhard Euler's Integral: An Historical Profile of the Gamma Function https://www.maa.org/[...] 2022-04-11
_[11] 논문 Two series expansions for the logarithm of the gamma function involving Stirling numbers and containing only rational coefficients for certain arguments related to {{math|π⁻¹}}
_[12] 문서 Les intégrales eulériennes et leurs applications Dunod, Paris 1966
_[13] 문서 Series Associated with the Zeta and Related Functions Kluwer Academic Publishers, the Netherlands 2001
_[14] 논문 A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations 2014
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_[19] 논문 On Some Inequalities for the Gamma and Psi Functions https://www.ams.org/[...]
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_[21] 논문 Sharp inequalities for the psi function and harmonic numbers
_[22] 논문 Exponential, gamma and polygamma functions: Simple proofs of classical and new inequalities
_[23] 논문 A harmonic mean inequality for the digamma function and related results https://eprints.lanc[...]
_[24] 학위논문 Variational Algorithms for Approximate Bayesian Inference http://www.cse.buffa[...] The Gatsby Computational Neuroscience Unit, University College London
_[25] 문서 If it converged to a function {{math|''f''(''y'')}} then {{math|ln(''f''(''y'') / ''y'')}} would have the same [[Maclaurin series]] as {{math|ln(1 / ''y'') − ''φ''(1 / ''y'')}}. But this does not converge because the series given earlier for {{math|''φ''(''x'')}} does not converge.
_[26] 논문 Polynomial approximations to integral transforms
_[27] 논문 Chebyshev series expansion of inverse polynomials
_[28] 논문 Sur l'intégrale Eulérienne de seconde espéce 1881
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_[33] 웹사이트 Digamma function
_[34] 문서 Abramowitz & Stegun 1965, p. 258, 6.3. Psi (Digamma) Function.
_[35] 문서 "[[差分作用素]] $\\Delta$ を用いると、これは $\\Delta \\psi(z) = \\frac{1}{z}$ となる。つまりディガンマ関数 $\\psi(z)$ は $\\frac{1}{z}$ の[[不定和分]]のひとつである。"

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