디감마 함수

1. 개요

디감마 함수는 감마 함수의 로그 미분으로 정의되며, 감마 함수와 관련된 특수한 함수이다. 이 함수는 복소 평면에서 극점을 가지며, 폴리감마 함수의 첫 번째 함수로 간주된다. 디감마 함수는 감마 함수의 바이어슈트라스 무한 곱 표현을 미분하여 얻을 수 있으며, 오일러-마스케로니 상수와 조화수를 포함한 다양한 특수값과 관계를 갖는다. 디감마 함수는 급수, 적분, 반사 공식, 점근 전개 등 다양한 표현과 성질을 가지며, 가우스의 디감마 정리를 통해 유리수에 대한 닫힌 형식의 값을 얻을 수 있다. 또한, 트리감마 함수와 같은 관련 함수가 존재하며, 부등식과 근에 대한 연구도 이루어졌다.

2. 정의

디감마 함수는 폴리감마 함수 중 첫 번째 함수($n=0$)이다.

:$\backslash psi\_0(z)\; =\; \backslash psi(z)$

감마 함수 $\backslash Gamma(z)$의 로그 미분은 다음과 같다.

:$$
\psi(z)
= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln{\Gamma(z)} = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}


이 식을 디감마 함수라고 부른다.

디감마 함수는 $$
z = 0, -1, -2, \ldots (z \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^+)
에서 일차 극점을 가지며, 해당 점들을 제외한 모든 복소 평면에서 해석적이다.

3. 기본적 성질

감마 함수의 바이어슈트라스 무한 곱 표현에 따르면, 디감마 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$
\psi(z)=\lim_{n \to \infty}
\left \{ \ln{n}-\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z+k} \right \}


특히, $z=1$일 때, 다음 특수값을 얻는다.

:$$
\psi(1)=\lim_{n \to \infty}
\left \{ \ln{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right \}
=-\gamma


여기서 $\backslash gamma\; =\; 0.5772\backslash ldots$는 오일러-마스케로니 상수이다.

디감마 함수는 다음 점화식을 만족한다.

:$\backslash psi(z+1)=\backslash psi(z)+\backslash frac\{1\}\{z\}$

이 관계식으로부터 일반적인 경우를 유도할 수 있다.

:$$
\psi(z+n) = \psi(z) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1}


특히, $z=1$로 두면, 다음 특수값을 얻는다.

:$$
\psi(n+1) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}


디감마 함수는 조화수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:$\backslash psi(n)=H\_\{n-1\}-\backslash gamma,$

4. 급수 표현

디감마 함수는 다음과 같은 급수로 표현된다. 감마 함수의 바이어슈트라스 무한 곱 표현의 로그 미분으로부터 유도된다.

:$$
\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl (
\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )
= -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)}


$z=1$ 근처에서 테일러 급수를 통해 전개하면 다음과 같다.

:$$
\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n
\zeta(n) z^{n-1}


단, $\backslash zeta(n)$은 리만 제타 함수이다. ( 영역에서 수렴)

레르크 초월자(Lerch transcendent)를 이용한 급수 표현은 다음과 같다.

:$\backslash psi\_0(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{zk+1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{z\}\backslash phi(-1,1,z^\{-1\})$
:$\backslash quad\; =\; \{1\backslash over\{2z\}\}\backslash left(\; \backslash psi\_0\backslash left(\; \backslash right)-\; \backslash psi\_0\backslash left(\; \backslash right)\; \backslash right)$
:$\backslash phi(a,b,c)$는 레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수)이다.

슈테른이 유도한 뉴턴 급수(슈테른 급수) 표현은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\psi(s)
&= -\gamma + (s-1) - \frac{(s-1)(s-2)}{2\cdot2!} + \frac{(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot3!}\cdots,\quad\Re(s)> 0, \\
&= -\gamma - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} \binom{s-1}{k}\cdots,\quad\Re(s)> 0.
\end{align}

여기서 는 이항 계수이다.

5. 적분 표현

$\backslash mathrm\{Re\}(z)>0$일 때, 디감마 함수는 다음과 같은 적분으로 표현된다.

:$$
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( e^{-s}-\frac{1}{(1+s)^z}
\biggr) \frac{\mathrm{d}s}{s}


:$$
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-zs}}{1-e^{-s}}
\biggr) \mathrm ds


:$$
\psi(z)
= -\gamma + \int_{1}^{\infty} \frac{s^{z-1}-1}{s^z (s-1)}\mathrm ds


:$$
\psi(z+1) = \ln{z}-\frac{1}{2z}
- \int_{0}^{\infty} \biggl (
\frac{1}{2} \operatorname{coth} \left(\dfrac{s}{2}\right)- \frac{1}{s}
\biggr ) e^{-zs} \mathrm ds


단, $\backslash operatorname\{coth\}\backslash left(\backslash frac\{s\}\{2\}\backslash right)$는 쌍곡선 여현 함수를 나타낸다.

또한, 디감마 함수끼리의 차이에 대해 다음이 성립한다.

:$$
\psi(y) -\psi(x)
= \int_{0}^{1} \frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}\mathrm du

6. 반사 공식

감마 함수의 반사 공식의 로그 미분을 통해 다음 관계식을 얻는다.

:$\backslash psi(1-x)-\backslash psi(x)=\backslash pi\; \backslash cot\; \backslash pi\; x$

단, $\backslash cot(\backslash pi\; z)$는 코탄젠트 함수를 나타낸다.

7. 점근 전개

일 때, 디감마 함수는 다음 점근 전개를 갖는다.

:$$
\psi(z)
\sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}}
= \ln{z}- \frac{1}{2z}- \frac{1}{12z^2}+ \frac{1}{120z^4}- \frac{1}{252z^6} +\cdots


여기서 $B\_\{2n\}$은 베르누이 수이다.

8. 특수값

디감마 함수는 양의 정수에서 다음 값을 갖는다.

:$\backslash psi(n)=H\_\{n-1\}-\backslash gamma$

여기서 $H\_\{n-1\}$은 조화수이고, $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. ($H\_0\; =\; 0$)

양의 반정수(半整數, half-integer)에 대해서는 다음 값을 갖는다.

:$\backslash psi\; \backslash left(n+\backslash tfrac12\backslash right)=-\backslash gamma-2\backslash ln\; 2\; +\; 2H\_\{2n\}-H\_n$

다음은 디감마 함수의 특수값들이다.

9. 트리감마 함수

트리감마 함수는 디감마 함수의 미분으로 정의된다. 폴리감마 함수 중 $n=1$인 경우에 해당한다.

10. 관련 정리 및 공식

가우스의 디감마 정리에 따르면, 양의 정수 \(r\)과 \(m\) (\(r < m\))에 대해 디감마 함수는 오일러-마스케로니 상수와 유한 개의 기본 함수로 표현될 수 있다. 이 식은 재귀 방정식 때문에 모든 유리수 인수에 대해 성립한다.

감마 함수의 곱셈 정리에 대응하는 디감마 함수의 곱셈 정리는 다음과 같다.

10.1. 가우스의 디감마 정리

양의 정수 \(r\)과 \(m\) (\(r < m\))에 대해, 디감마 함수는 오일러-마스케로니 상수와 유한 개의 기본 함수로 표현될 수 있다.

:$\backslash psi\backslash left(\backslash frac\{r\}\{m\}\backslash right)\; =\; -\backslash gamma\; -\backslash ln(2m)\; -\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash cot\backslash left(\backslash frac\{r\backslash pi\}\{m\}\backslash right)\; +2\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{m-1\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\}\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\; nr\}\{m\}\; \backslash right)\; \backslash ln\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; n\}\{m\}\backslash right)$

이 식은 재귀 방정식 때문에 모든 유리수 인수에 대해 성립한다.

10.2. 곱셈 정리

감마 함수의 곱셈 정리에 대응하는 디감마 함수의 곱셈 정리는 다음과 같다.

:$\backslash psi(nz)=\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\; \backslash psi\backslash left(z+\backslash frac\{k\}\{n\}\backslash right)\; +\backslash ln\; n\; .$

11. 부등식

$x\; >\; 0$ 일 때, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash ln\; x\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash le\; \backslash psi(x)\; \backslash le\; \backslash ln\; x\; -\; \backslash frac\{1\}\{2x\}.$

이는 감마 함수에 대한 Binet의 첫 번째 적분식에서 나오는 적분 표현에 Bernstein의 단조 함수 정리를 적용한 결과이다. 또한, $s\; \backslash in\; (0,\; 1)$에 대해, 다음이 성립한다.

:

Elezovic, Giordano 및 Pecaric는 $x\; >\; 0$에 대해 다음 부등식을 증명했다.

:

여기서 $\backslash gamma=-\backslash psi(1)$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 부등식에 나타나는 상수($0.5$와 $e^\{-\backslash gamma\}\backslash approx0.56$)는 가능한 최상의 값이다.

평균값 정리는 Gautschi의 부등식과 유사한 형태를 갖는다. 만약 $x\; >\; c$ ($c\; \backslash approx\; 1.461$는 디감마 함수의 유일한 양의 실수 근)이고, $s\; >\; 0$이면, 다음이 성립한다.

:$\backslash exp\backslash left((1\; -\; s)\backslash frac\{\backslash psi\text{'}(x\; +\; 1)\}\{\backslash psi(x\; +\; 1)\}\backslash right)\; \backslash le\; \backslash frac\{\backslash psi(x\; +\; 1)\}\{\backslash psi(x\; +\; s)\}\; \backslash le\; \backslash exp\backslash left((1\; -\; s)\backslash frac\{\backslash psi\text{'}(x\; +\; s)\}\{\backslash psi(x\; +\; s)\}\backslash right).$

또한, 등식은 $s\; =\; 1$일 때만 성립한다.

Horzt Alzer와 Graham Jameson은 고전적인 감마 함수에 대한 조화 평균값 부등식에서 영감을 받아 디감마 함수에 대한 조화 평균값 부등식을 증명했다.

:$-\backslash gamma\; \backslash leq\; \backslash frac\{2\; \backslash psi(x)\; \backslash psi(\backslash frac\{1\}\{x\})\}\{\backslash psi(x)+\backslash psi(\backslash frac\{1\}\{x\})\}$ ($x>0$ 이고, 등호 조건은 $x=1$)

12. 디감마 함수의 근

디감마 함수의 근은 복소 감마 함수의 안장점이다. 따라서 모든 근은 실수 축 위에 놓인다. 양의 실수 축에 있는 유일한 근은 감마 함수의 고유한 최솟값이며, 1.46163214496836234126...에서 발생한다. 다른 모든 근은 음의 축에서 극점 사이에 하나씩 나타난다.

* x₁ = -0.50408300826445540925...
* x₂ = -1.57349847316239045877...
* x₃ = -2.61072086844414465000...
* x₄ = -3.63529336643690109783...
:$\backslash vdots$

1881년에 샤를 에르미트는 다음과 같은 결과를 관찰했다.

:$x\_n\; =\; -n\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; n\}\; +\; O\backslash left(\backslash frac\{1\}\{(\backslash ln\; n)^2\}\backslash right)$

이는 점근적으로 성립한다. 근의 위치에 대한 더 나은 근사는 다음과 같다.

:$x\_n\; \backslash approx\; -n\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash ln\; n\}\backslash right)\backslash qquad\; n\; \backslash ge\; 2$

추가 항을 사용하면 더욱 정확해진다.

:$x\_n\; \backslash approx\; -n\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash ln\; n\; +\; \backslash frac\{1\}\{8n\}\}\backslash right)\backslash qquad\; n\; \backslash ge\; 1$

두 식 모두 다음 반사 공식을 따른다.

:$0\; =\; \backslash psi(1-x\_n)\; =\; \backslash psi(x\_n)\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash tan\; \backslash pi\; x\_n\}$

여기서 ψ(x_n)는 수렴하지 않는 점근 급수로 대체한다. 이 급수의 올바른 두 번째 항은 1/2n이며, 주어진 항은 작은 n을 갖는 근을 근사하는 데 효과적이다.

에르미트의 공식은 다음과 같이 더 개선할 수 있다.

:$$
x_n=-n+\frac1{\log n}-\frac1{2n(\log n)^2}+O\left(\frac1{n^2(\log n)^2}\right).


최근 István Mező와 Michael Hoffman은 영점에 관한 다음 무한 합 항등식을 증명했다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2}&=\gamma^2+\frac{\pi^2}{2}, \\
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^3}&=-4\zeta(3)-\gamma^3-\frac{\gamma\pi^2}{2}, \\
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^4}&=\gamma^4+\frac{\pi^4}{9} + \frac23 \gamma^2 \pi^2 + 4\gamma\zeta(3).
\end{align}

일반적으로, 함수

:$$
Z(k)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^k}


는 결정될 수 있으며, 인용된 저자들에 의해 자세히 연구되었다.

다음 결과도 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2+x_n}&=-2, \\
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{x_n^2-x_n}&=\gamma+\frac{\pi^2}{6\gamma}
\end{align}