부분 대상과 몫 대상

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 동치 관계의 해석 (Interpretation)
참조

1. 개요

부분 대상과 몫 대상은 범주론에서 서로 쌍대적인 개념으로, 대상의 부분 대상과 몫 대상을 정의하는 데 사용된다. 부분 대상은 공역이 A인 단사 사상의 동치류로 정의되며, 몫 대상은 정의역이 A인 전사 사상의 동치류로 정의된다. 범주 내에서 부분 대상의 모임이 집합일 경우 정멱 범주, 몫 대상의 모임이 집합일 경우 쌍대 정멱 범주라고 한다. 집합의 범주에서 부분 대상은 부분 집합에 해당하며, 군의 범주에서는 부분군에 대응된다.

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부분 대상과 몫 대상
정의
부분 대상 (Subobject)	대상의 일반화된 부분집합이다.
몫 대상 (Quotient object)	대상의 일반화된 몫집합이다.
부분 대상 (Subobject)
정의	수학, 특히 범주론에서 대상 X의 부분 대상은 X로의 단사 사상으로, 동형 사상까지 유일하다. 부분 대상은 대상의 일반화된 부분집합이다. 형식적으로 대상 X의 부분 대상은 범주 C에서 한 쌍 (A, m)으로, A는 C의 대상이고 m : A → X는 단사 사상이다. 두 개의 부분 대상 (A, m)과 (B, n)이 주어지면 (A, m) ≤ (B, n)일 때 A에서 B로의 사상 i : A → B가 존재하여 m = n i이다. 그러한 사상 i는 단사 사상이며 유일하다. (A, m)과 (B, n)이 동형 사상인 경우 A에서 B로의 동형 사상 i : A → B가 존재하여 m = n i이다. 부분 대상은 동형 사상까지 유일하다.
예시	그룹 G의 부분군은 포함 사상 m : H → G와 함께 G의 부분 대상이다. 위상 공간 X의 열린 부분 집합은 포함 사상 m : U → X와 함께 X의 부분 대상이다.
몫 대상 (Quotient object)
정의	몫 대상은 부분 대상의 쌍대 개념이다. 형식적으로 대상 X의 몫 대상은 범주 C에서 한 쌍 (B, e)으로, B는 C의 대상이고 e : X → B는 전사 사상이다. 두 개의 몫 대상 (B, e)과 (D, f)가 주어지면 (B, e) ≤ (D, f)일 때 B에서 D로의 사상 i : B → D가 존재하여 f = i e이다. 그러한 사상 i는 전사 사상이며 유일하다. (B, e)과 (D, f)가 동형 사상인 경우 B에서 D로의 동형 사상 i : B → D가 존재하여 f = i e이다. 몫 대상은 동형 사상까지 유일하다.
예시	그룹 G의 몫군은 몫 사상 e : G → G/N과 함께 G의 몫 대상이다. 여기서 N은 G의 정규 부분군이다. 위상 공간 X의 몫 공간은 몫 사상 e : X → Y와 함께 X의 몫 대상이다.
참고 사항
부분 대상 분류자 (Subobject classifier)	부분 대상 분류자

2. 정의

부분 대상과 몫 대상은 범주론에서 서로 쌍대가 되는 개념이다. 즉, 어떤 범주 $\mathcal C$ 의 대상 $X$ 에 대해, $X$ 의 부분 대상들의 범주 $\operatorname{Sub}_{\mathcal C}(X)$ 와 쌍대 범주 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에서의 $X$ 의 몫 대상들의 범주 $\operatorname{Quot}_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X)$ 사이에는 다음과 같은 범주의 동형 관계가 성립한다.

: $(\operatorname{Sub}_{\mathcal C}(X))^{\operatorname{op}}\equiv\operatorname{Quot}_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X)$

일반적으로 부분 대상은 주어진 대상을 공역으로 하는 단사 사상들의 동치류로 정의되며, 몫 대상은 주어진 대상을 정의역으로 하는 전사 사상들의 동치류로 정의된다. 각 개념에 대한 자세한 정의는 아래 하위 섹션에서 다룬다.

그러나 이러한 일반적인 정의가 모든 상황에 적합한 것은 아니다. 예를 들어, 위상 공간의 범주에서는 모든 단사 연속 함수가 부분 공간 포함 사상은 아니며, 환의 범주에서는 정수환 $\mathbb{Z}$ 에서 유리수체 $\mathbb{Q}$ 로의 포함 사상이 전사 사상이지만, 이는 일반적인 환의 몫과는 다르다. 따라서 특정 범주에서는 부분 대상이나 몫 대상의 개념과 더 잘 부합하도록, 정규 단사 사상(normal monomorphism, 두 사상의 균등화기로 표현될 수 있는 단사 사상)이나 정규 전사 사상(normal epimorphism, 두 사상의 공균등화기로 표현될 수 있는 전사 사상)과 같이 추가적인 조건을 만족하는 사상들만을 고려하여 정의를 수정하기도 한다.

2. 1. 부분 대상 (Subobject)

범주

\mathcal C

의 대상

X

의 '''부분 대상'''(subobject)은

X

를 공역으로 하는 단사 사상들의 동치류이다.

두 개의 단사 사상

u: S \to X

와

v: T \to X

가 주어졌을 때, 이들이 동치 관계

u \equiv v

에 있다는 것은

u = v \circ \phi

를 만족하는 동형 사상

\phi: S \to T

가 존재함을 의미한다. 이 동치 관계에 따른 동치류 하나하나가

X

의 부분 대상이 된다. 두 단사 사상이 같은 부분 대상을 나타낸다면, 그들의 정의역

S

와

T

는 서로 동형이다.

X

의 부분 대상들의 모임

\operatorname{Sub}(X)

에는 다음과 같은 부분 순서 관계

\le

가 자연스럽게 정의된다. 두 부분 대상

[u]

와

[v]

에 대해,

[u] \le [v]

라는 것은

u

가

v

를 통해 요인 분해됨을 의미한다. 즉,

u = v \circ h

를 만족하는 사상

h: S \to T

가 존재한다는 뜻이다. 이 부분 순서 관계에 따라

\operatorname{Sub}(X)

는 부분 순서 모임이 된다.

주의할 점은, 대상

X

의 부분 대상들의 모임

\operatorname{Sub}(X)

가 항상 집합인 것은 아니며, 진클래스일 수도 있다는 것이다. 만약 어떤 범주에서 모든 대상의 부분 대상 모임이 집합이라면, 그 범주를 '''well-powered''' 범주라고 부른다.

상황에 따라서는 모든 단사 사상이 아니라 특정 조건을 만족하는 단사 사상만을 고려하여 부분 대상을 정의하기도 한다. 예를 들어, 정규 단사 사상(normal monomorphism, 두 사상의 균등화기로 표현될 수 있는 단사 사상)의 동치류를 부분 대상으로 정의하는 경우가 있다. 이는 위상 공간의 범주나 환의 범주 등에서 기존의 부분 구조 개념과 더 잘 일치하기 때문이다.

2. 2. 몫 대상 (Quotient Object)

범주

\mathcal C

의 대상

X\in\mathcal C

의 '''몫 대상'''은

X

를 정의역으로 하는 전사 사상들의 동치류이다. 여기서 사용되는 동치 관계는 다음과 같다. 만약

:

f\colon X\twoheadrightarrow Y

:

g\colon X\twoheadrightarrow Z

이며,

:

f=h\circ g

:

g=\tilde h\circ f

인 사상

:

h\colon Z\to Y

:

\tilde h\colon Y\to Z

이 존재한다면,

:

f\sim g

로 놓는다. (이 경우

h

와

\tilde h

는 유일하며, 동형 사상이며, 서로 역사상이다.)

X

의 몫 대상의 모임

\operatorname{Quot}(X)

에는 다음과 같은 자연스러운 부분 순서

\le

가 정의된다.

:

[f]\le[g]\iff\exists h\colon h\circ f=g

이에 따라,

\operatorname{Quot}(X)

는 (사상 모임이 공집합이거나 하나의 원소만을 가진) 범주로 간주할 수 있다.

2. 3. 정멱 범주 (Well-powered Category)

범주 ''C''에서, 주어진 대상 ''X''의 부분 대상 모임 Sub(''X'')는 고유 모임일 수 있다. 만약 모든 대상의 부분 대상 모임이 집합이라면, ''C''를 '''정멱 범주'''(整冪範疇, well-powered category|^영어)라고 한다. 이는 어떤 대상의 부분 대상 모음이 집합인 경우를 의미하며, 해당 범주는 '정멱(well-powered)'이라고 부르거나, 드물게는 '국소적으로 작은'이라고 부른다. 하지만 이는 두 대상 사이의 사상 모임이 집합이라는 국소적으로 작은 범주의 일반적인 정의와는 다른 용법이므로 주의해야 한다.

마찬가지로, 범주 ''C''의 모든 대상의 몫 대상 모임이 집합이라면, ''C''를 '''쌍대 정멱 범주'''(雙對整冪範疇, co-well-powered category|^영어)라고 한다.

정의에 따라, 부분 대상 분류자를 갖는 국소적으로 작은 범주는 정멱 범주이다.

3. 예시

Set에서 집합 $A$ 의 부분 대상은 $A$ 의 부분 집합 $B$ 에 해당한다. 정확히 말하면, 상이 정확히 $B$ 인 집합에서 $B$ 와 대등한 모든 사상의 모임에 해당한다. Set에서 집합의 부분 대상들이 이루는 부분 순서는 부분 집합 포함 관계에 의한 격자와 같다.
Grp에서 군 $A$ 의 부분 대상은 $A$ 의 부분군에 해당한다.
부분 순서 집합 $P = (P, \le)$ 가 주어지면, $P$ 의 원소를 대상으로 하고, $p \le q$ 인 경우에만 $p$ 에서 $q$ 로 가는 유일한 사상이 존재하는 범주를 형성할 수 있다. 만약 $P$ 가 최대 원소를 갖는다면, 이 최대 원소의 부분 대상들이 이루는 부분 순서는 $P$ 자체가 된다. 이는 이러한 범주의 모든 사상이 단사 사상이기 때문이다.
종단 대상의 부분 대상을 부분 종단 대상(subterminal object^eng)이라고 한다.
순서수의 고유 모임에 최대 원소 $\infty$ 를 추가하여 만든 정렬 전순서 모임 $\operatorname{Ord}+1=\operatorname{Ord}\sqcup\{\infty\}$ 은 범주로서 정멱 범주가 아니다.
우리손 공간과 연속 함수들의 범주 $\operatorname{Ury}$ 는 쌍대 정멱 범주가 아니다.^[3]

4. 동치 관계의 해석 (Interpretation)

이 정의는 범주론 밖에서 부분 대상에 대한 일반적인 이해와 일치한다. 범주의 대상이 집합(아마도 군 구조와 같은 추가적인 구조를 가짐)이고 사상이 집합 함수(추가적인 구조를 보존함)일 때, 단사 사상을 그 상(image)의 관점에서 생각할 수 있다. 단사 사상의 동치류는 각 단사 사상의 상에 의해 결정된다. 즉, 대상 ''T''로 가는 두 단사 사상 ''f''와 ''g''는 그 상, 즉 ''T''의 동일한 부분 집합(따라서 부분 대상)인 경우에만 동치이다. 이 경우, $g^{-1} \circ f$ 는 해당 정의역(domain)들의 동형 사상이며, 정의역의 대응하는 원소가 각각 ''f''와 ''g''에 의해 ''T''의 동일한 원소로 사상됨을 의미한다. 이것이 동치 관계의 정의를 설명한다.

더 자세히 살펴보면, ''A''를 어떤 범주의 대상이라고 하자. 공역(codomain)을 ''A''로 하는 두 개의 단사 사상

: $u: S \to A$

: $v: T \to A$

가 주어졌을 때, $u \le v$ 라는 것은 ''u''가 ''v''를 경유한다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 사상 $w: S \to T$ 가 존재하여 $u = v \circ w$ 가 성립한다. 이 관계를 사용하여 다음과 같이 이항 관계 $\equiv$ 를 정의한다.

: $u \equiv v$ ⇔ $u \le v$ 이고 $v \le u$

이 관계 $\equiv$ 는 공역을 ''A''로 하는 단사 사상들 위에서의 동치 관계이며, 이러한 단사 사상에 해당하는 동치류가 바로 ''A''의 '''부분 대상'''(subobject)이다. 두 단사 사상이 ''A''의 같은 부분 대상을 나타낼 때, 그들의 시역(source object, 정의역)은 동형이다.

''A''를 공역으로 하는 단사 사상의 모임에 관계 $\le$ 를 부여하면 전순서를 이루지만, 부분 대상의 정의는 ''A''의 부분 대상의 모임이 반순서임을 보장한다. (어떤 대상의 부분 대상의 모임은 실제로는 진클래스, 즉 집합보다 더 큰 모임일 수 있다. 따라서 이 논의는 엄밀하지 않을 수 있다. 임의의 대상의 부분 대상 모임이 집합일 때, 그 범주는 '부분 대상을 잘 갖는다'(well-powered)고 한다.)

상 대상이라는 쌍대 개념을 얻기 위해서는, '단사'를 '전사'로 바꾸고 사상의 방향을 반대로 하면 된다.

참조

_[1] 서적 Mac Lane, p. 126
_[2] 서적 Mac Lane, p. 126
_[3] 저널 The category of Urysohn spaces is not cowellpowered 1983

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