단체 범주

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 첨가 단체 범주
- 3.2. 호몰로지
4. 예
참조

1. 개요

단체 범주는 유한 정렬 집합의 범주, 모노이드 대상에 의해 생성되는 자유 모노이드 범주, 단체와 연속 함수의 범주로 정의될 수 있는 작은 범주이다. 단체 대상은 단체 범주 위의 준층이며, 단체 집합은 집합의 범주 위의 단체 대상이다. 확장된 단체 범주는 모든 유한 순서수와 순서를 보존하는 사상의 범주로, 모노이드 구조를 갖는다. 단체 범주와 확장된 단체 범주는 호몰로지, 단체 집합, 쌍대 모노이드 대상, 막대 복합체, 돌트-칸 대응, 모노이드 돌트-칸 대응 등 다양한 수학적 개념과 연관되어 있다.

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단체 범주
개요
범주	수학적 범주
대상	비어 있지 않은 유한 순서수
사상	순서 보존 함수
속성	골격 작은 엄격한 모노이드
같이 보기
관련 개념	단체 대상 확대된 단체 대상

2. 정의

'''단체 범주''' $\triangle$ 와 '''첨가 단체 범주''' $\triangle_+$ 와 '''준단체 범주'''(準單體範疇, pre-simplex category^영어) $\triangle_{\operatorname{pre}}$ 는 세 개의 특별한 작은 범주이며, 그 개념은 여러 가지 동등한 방식으로 정의될 수 있다.^[1]^[2]^[3]

단체 범주를 정의하는 주요 접근 방식은 다음과 같으며, 이들은 모두 서로 동치인 범주를 정의한다.

'''순서론적 정의''': 단체 범주를 유한 정렬 집합들과 그 사이의 순서 보존 함수들의 범주(와 동치인 작은 범주)로 정의한다. 이 관점에서 대상은 보통 $[n] = \{0, 1, \dots, n\}$ 과 같은 형태로 표기되는 공집합이 아닌 유한 순서수를 나타내며, 사상은 순서 보존 함수이다. 공집합 $[-1]=\emptyset$ 까지 포함하는 경우 '''확장된 단체 범주''' 또는 '''첨가 단체 범주''' $\Delta_+$ 가 된다.
'''대수적 정의''': (첨가) 단체 범주를 하나의 모노이드 대상으로 생성되는 자유 모노이드 범주로 정의한다. 이 정의는 모노이드 범주 내의 코모노이드 대상이나 모나드로부터 단체 대상을 구성하는 방식을 이해하는 데 유용하다.
'''위상수학적 정의''': 단체 범주를 기하학적 단체들과 그 사이의 면 사상(face map^영어) 및 퇴화 사상(degeneracy map^영어)이라는 특정 연속 함수들의 범주(의 반대 범주)로 정의한다. 이 사상들은 단체 항등식(simplicial identity^영어)이라는 특정 관계를 만족한다.

이러한 단체 범주들을 사용하여 다른 범주

\mathcal C

안의 구조를 정의할 수 있다.

범주 $\mathcal C$ 의 '''단체 대상'''은 단체 범주의 반대 범주 $\triangle^{\operatorname{op}}$ 에서 $\mathcal C$ 로 가는 함자 $\triangle^{\operatorname{op}}\to\mathcal C$ 이다. 이는 $\mathcal C$ 값을 갖는 준층으로 볼 수 있다. 단체 대상의 범주는 보통 $\operatorname s(\mathcal C)=\mathcal C^{\triangle^{\operatorname{op}}}$ 로 표기된다.
마찬가지로, $\mathcal C$ 의 '''첨가 단체 대상'''은 첨가 단체 범주의 반대 범주 $\triangle_+^{\operatorname{op}}$ 에서 $\mathcal C$ 로 가는 함자 $\triangle_+^{\operatorname{op}}\to\mathcal C$ 이다. 첨가 단체 대상의 범주는 보통 $\operatorname s_+(\mathcal C)=\mathcal C^{\triangle_+^{\operatorname{op}}}$ 로 표기된다.
(첨가) 단체 대상의 '''사상'''은 함자 사이의 자연 변환이다.

대표적인 예로, 집합의 범주

\operatorname{Set}

위의 단체 대상을 '''단체 집합'''이라고 한다. 비슷하게, 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

위의 단체 대상은 '''단체 아벨 군'''(單體Abel群, simplicial Abelian group^영어)이라고 부른다.

2. 1. 순서론적 정의

모든 정렬 집합과 증가 함수의 범주

\operatorname{Ord}

를 생각할 수 있다. 이 범주를 바탕으로 단체 범주와 관련된 여러 범주를 순서론적으로 정의할 수 있다.

'''첨가 단체 범주'''( $\triangle_+$ ): $\operatorname{Ord}$ 중에서 유한 집합인 정렬 집합만을 대상으로 하는 충만한 부분 범주이다. 대상은 모든 유한 정렬 집합(공집합 $[-1]=\emptyset$ 포함)이고, 사상은 그 사이의 모든 증가 함수이다. 이 범주는 '''FinOrd'''로 표기하거나 '''확장된 단체 범주'''라고도 불린다.
'''단체 범주'''( $\triangle$ ): $\operatorname{Ord}$ 중에서 공집합이 아닌 유한 집합인 정렬 집합만을 대상으로 하는 충만한 부분 범주이다. 대상은 공집합이 아닌 유한 정렬 집합이고, 사상은 그 사이의 모든 증가 함수이다. 흔히 '''단순 범주'''라고도 불린다.
'''준단체 범주'''( $\triangle_{\operatorname{pre}}$ ): $\operatorname{Ord}$ 중에서 공집합이 아닌 유한 집합인 정렬 집합만을 대상으로 하지만, 사상으로는 단사 함수인 증가 함수만을 포함하는, 충만하지 않은 부분 범주이다.

첨가 단체 범주

\triangle_+

는 단체 범주

\triangle

에 공집합을 대상으로 추가한 것으로 볼 수 있다.

이 범주들은 엄밀히 말해 작은 범주가 아니다. 왜냐하면 대상의 모임이 고유 모임이기 때문이다. 하지만 같은 순서형을 갖는 정렬 집합들은 서로 동형이므로, 각 범주에서 동형류는 가산 무한 개만 존재한다. 구체적으로,

\triangle_+

의 동형류는 자연수 (유한 순서수)

n \ge 0

(

[n]

형태)에 대응하고,

\triangle

와

\triangle_{\operatorname{pre}}

의 동형류는 양의 정수

n \ge 1

(

[n-1]

형태)에 대응한다. 따라서 이들과 동치인 작은 범주를 만들어 사용할 수 있다.

단순 범주

\triangle

는 다음과 같이 구체적으로 설명할 수 있다.

대상: 공집합이 아닌 유한 순서수 $[n] = \{0, 1, \dots, n\}$ (여기서 $n \ge 0$ ). 각 $[n]$ 은 $n+1$ 개의 원소를 가진 전순서 집합이다.
사상: 대상들 사이의 순서 보존 함수 (즉, $i \le j$ 이면 $f(i) \le f(j)$ 인 함수 $f: [m] \to [n]$ ).

확장된 단체 범주

\triangle_+

는 단순 범주

\triangle

에 공집합

[-1] = \emptyset

을 추가한 것이다. 즉, 대상은 모든 유한 순서수

[n]

(

n \ge -1

)이고, 사상은 순서 보존 함수이다.

확장된 단체 범주

\triangle_+

는 자연스러운 모노이드 구조를 가진 모노이드 범주이다. 이 구조에서 항등원은 공집합

[-1]

이고, 두 순서수

[m]

과

[n]

의 모노이드 곱은 두 전순서 집합을 이어 붙여 만드는 새로운 전순서 집합

[m+n+1]

에 해당한다. 반면, 단체 범주

\triangle

는 항등원(공집합)이 없기 때문에 이러한 모노이드 구조를 가지지 않는다.

2. 2. 대수적 정의

'''첨가 단체 범주'''

\triangle_+

는 하나의 모노이드 대상

e

로 생성되는 자유 모노이드 범주

(\mathcal C,\otimes)

이다. 즉,

\triangle_+

의 대상은

:

\overbrace{e\otimes e\otimes\dotsb\otimes e}^n\qquad(n\in\mathbb N)

의 꼴이며, 사상들은

e

의 모노이드 연산

:

\mu \colon e^{\otimes2} \to e

:

\eta \colon e^{\otimes0} \to e

들의 텐서곱들의 합성이다.

첨가 단체 범주

\triangle_+

에서, 시작 대상

e^{\otimes0}

및 이를 정의역 또는 공역으로 갖는 모든 사상들을 삭제한 충만한 부분 범주를 '''단체 범주'''

\triangle

라고 한다.

\triangle

에서,

\mu

를 포함한 모든 사상들을 삭제한 (충만하지 않은) 부분 범주

\triangle_{\operatorname{pre}}

를 '''준단체 범주'''라고 한다.

이 정의 사이의 관계는 다음과 같다.

순서론적 정의	대수적 정의	위상수학적 정의
크기 $n$ 의 정렬 집합 $(S,\le)$	$e^{\otimes n}$	$n-1$ 차원 단체 $\Delta_{n-1}$
증가 함수 $f_i^n\colon k\in\{0,\dots,n-1\}\mapsto\begin{cases} k&k$	모노이드 곱 $\overbrace{\operatorname{id}_e \otimes\dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^i \otimes \mu \otimes \overbrace{\operatorname{id}_e \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^{n-i-2}$	면 사상 $\partial_{n,i}\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1}$ 의 반대 사상
증가 함수 $g_i^n\colon k\in\{0,\dots,n+1\}\mapsto\begin{cases} k&k\le i\\ k-1&k>i\end{cases}$	모노이드 항등원 $\overbrace{\operatorname{id}_e \otimes\dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^i \otimes \eta \otimes \overbrace{\operatorname{id}_e \otimes \dotsb\otimes\operatorname{id}_e}^{n-i}$	퇴화 사상 $s_{n,i}\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1}$ 의 반대 사상
두 전순서 집합의 분리합집합 $(S,T)\mapsto S\sqcup T$ , $s<_{S\sqcup T}t\;\forall (s,t)\in S\times T$	모노이드 연산 $(e^{\otimes m},e^{\otimes n}) \mapsto e^{\otimes(m+n)}$	$\Delta_m$ 과 $\Delta_n$ 의 $(m+1)+(n+1)$ 개의 꼭짓점들로 구성된 단체 $\Delta_{m+n+1}$

모든 증가 함수 $\{0,1,\dots,n\}\to\{0,1,\dots,k\}$ 는 $f_i^n$ 및 $g_i^n$ 와 같은 함수들의 합성으로 나타낼 수 있다.

'''확장된 단체 범주'''는 $\Delta_+$ 로 표기하며, ''모든 유한 순서수와 순서를 보존하는 사상''의 범주이다. 즉, $\Delta_+=\Delta\cup [-1]$ 이며, 여기서 $[-1]=\emptyset$ 이다. 따라서 이 범주는 '''FinOrd'''로 표기될 수도 있다. 확장된 단체 범주는 때때로 대수학자의 단체 범주라고 불리며, 위의 버전은 위상학자의 단체 범주라고 불린다.

$\Delta_+$ 에서 정의된 반변 함자는 '''확장된 심플리셜 대상'''이라고 불리며, $\Delta_+$ 에서 나오는 공변 함자는 '''확장된 코심플리셜 대상'''이라고 불린다. 예를 들어, 공역 범주가 집합 범주일 때, 이것들은 각각 확장된 심플리셜 집합과 확장된 코심플리셜 집합이라고 불린다.

확장된 단체 범주는 단체 범주와 달리 자연스러운 모노이드 범주 모노이드 구조를 허용한다. 모노이드 곱은 선형 순서의 연결에 의해 주어지며, 단위는 빈 순서수 $[-1]$ 이다 (단위가 없으면 $\Delta$ 에서 모노이드 구조로 자격을 얻지 못한다). 실제로 $\Delta_+$ 는 단일 모노이드 대상에 의해 자유롭게 생성된 모노이드 범주이며, 이는 고유한 가능한 단위와 곱셈을 갖는 $[0]$ 으로 주어진다. 이 설명은 모노이드 범주에서 모든 코모노이드 대상이 심플리셜 대상을 어떻게 생성하는지 이해하는 데 유용하다. 왜냐하면 그것은 $\Delta_+^\text{op}$ 에서 코모노이드가 포함된 모노이드 범주로의 함자의 이미지로 볼 수 있기 때문이다. 확장을 잊어버림으로써 심플리셜 대상을 얻을 수 있다. 마찬가지로, 이것은 또한 모나드 (및 따라서 수반 함자)에서 심플리셜 대상의 구성을 밝혀준다. 왜냐하면 모나드는 자기 함자 범주에서 모노이드 대상으로 볼 수 있기 때문이다.

2. 3. 위상수학적 정의

'''첨가 단체 범주의 반대 범주'''

\triangle_+^{\operatorname{op}}

는 다음과 같은 작은 범주이다.

$\triangle_+^{\operatorname{op}}$ 의 대상은 −1 이상의 정수 $n \in \mathbb{N} \cup \{-1\}$ 에 대하여 $\Delta_n$ 이다. 이를 ''' $n$ 차원 단체'''( $n$ -simplex^영어)라고 부른다.

이 범주의 사상들은 다음 생성 사상들의 유한 번 합성을 통해 얻어진다.

각 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 및 $i \in \{0, 1, \dots, n\}$ 에 대하여, 사상 $\partial_{n,i} \colon \Delta_n \to \Delta_{n-1}$ 가 존재한다. 이를 '''면 사상'''(面寫像, face morphism^영어)이라고 하며, 이는 $n+1$ 개의 면을 갖는 $n$ 차원 단체의 $i$ 번째 면으로 해석될 수 있다.
각 자연수 $n \in \mathbb{N}$ 및 $i \in \{0, 1, \dots, n\}$ 에 대하여, 사상 $s_{n,i} \colon \Delta_n \to \Delta_{n+1}$ 가 존재한다. 이를 '''퇴화 사상'''(退化寫像, degeneracy map^영어)이라고 하며, 이는 $i$ 번째 꼭짓점과 $i+1$ 번째 꼭짓점이 같은 퇴화 단체로 해석될 수 있다.

이 사상들은 다음과 같은 '''단체 항등식'''(單體恒等式, simplicial identity^영어)들을 만족해야 한다.

(면의 면) $\partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} = \partial_{n-1,j-1} \circ \partial_{n,i} \qquad (0 \le i < j \le n)$
(퇴화 단체의 퇴화 단체) $s_{n+1,i} \circ s_{n,j} = s_{n+1,j+1} \circ s_{n,i} \qquad (0 \le i \le j \le n)$
(퇴화 단체의 면) $\partial_{n+1,i} \circ s_{n,j} =$

\begin{cases} s_{n-1,j-1} \circ \partial_{n,i} & i < j \\ \operatorname{id}_{\Delta_n} & i = j, j+1 \\ s_{n-1,j} \circ \partial_{n,i-1} & i > j+1 \end{cases} \qquad (0 \le i \le n+1, \; 0 \le j \le n)

위 정의에서 기하학적으로 해석하기 어려운 대상

\Delta_{-1}

과 사상

\partial_{0,0} \colon \Delta_0 \to \Delta_{-1}

을 제외하면, '''단체 범주의 반대 범주'''

\triangle^{\operatorname{op}}

를 얻는다. 즉,

\triangle_+^{\operatorname{op}}

는

\triangle^{\operatorname{op}}

에 비해 대상

\Delta_{-1}

(“−1차원 단체”)과 사상

\partial_{0,0}

(“0차원 단체의 유일한 −1차원 면”)을 추가로 갖는 범주이다.

단체 범주의 반대 범주

\triangle^{\operatorname{op}}

에서 퇴화 사상(

s_{n,i}

)들을 포함하는 모든 사상을 제외하여 얻는, 충만하지 않은 부분 범주를 '''준단체 범주의 반대 범주'''

\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}

라고 한다.

'''단체 범주'''

\triangle

는

\triangle^{\operatorname{op}}

의 반대 범주이다. 마찬가지로, '''첨가 단체 범주'''

\triangle_+

는

\triangle_+^{\operatorname{op}}

의 반대 범주이며, '''준단체 범주'''

\triangle_{\operatorname{pre}}

는

\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}

의 반대 범주이다.

3. 성질

$\mathcal C$ 가 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주라고 가정하자. 이 경우, 쌍대곱 함자

: $\mathcal C\times\operatorname{Set}\to\mathcal C$

: $(X,S)\mapsto X^{\sqcup S}=\coprod_{s\in S}X$

가 존재한다. 여기서 $\operatorname{Set}$ 은 집합 범주를 나타낸다. 또한, 다음과 같은 자연 동형 관계가 성립한다.

: $\hom_{\mathcal C}(X^{\sqcup S},Y)\cong \hom_{\operatorname{Set}}(S,\hom_{\mathcal C}(X,Y))$

이 관계는 $\mathcal C$ 에서의 사상 집합과 집합 범주에서의 사상 집합 사이의 대응을 보여준다.

이러한 성질로부터 자연스럽게 함자

: $\operatorname s(\mathcal C)\times\operatorname s(\operatorname{Set})\to\operatorname s(\mathcal C)$

가 유도된다. 여기서 $\operatorname s(\mathcal C)$ 는 $\mathcal C$ 에서의 단체 대상들의 범주를, $\operatorname s(\operatorname{Set})$ 는 단체 집합들의 범주를 의미한다. 결과적으로, 단체 대상 범주 $\operatorname s(\mathcal C)$ 의 두 대상 $X, Y$ 사이의 사상 집합

: $\hom_{\operatorname s(\mathcal C)}(X,Y)$

은 자연스럽게 단체 집합의 구조를 가지게 된다.

따라서, 단체 대상 범주 $\operatorname s(\mathcal C)$ 는 단체 집합의 데카르트 모노이드 범주 위에서 풍성한 범주를 이룬다. 이는 단체 대상 범주가 단체 집합의 구조와 밀접하게 연관되어 있음을 의미한다.

3. 1. 첨가 단체 범주

첨가 단체 범주

\triangle_+

는 '''FinOrd'''로 표기하기도 하며, 모든 유한 순서수와 순서를 보존하는 사상들의 범주이다. 이는 일반적인 단체 범주

\Delta

에 공집합에 해당하는 대상

[-1]=\emptyset

을 추가한 것과 같다 (

\Delta_+=\Delta\cup [-1]

). 때때로

\Delta_+

는 '''대수학자의 단체 범주'''라고 불리며,

\Delta

는 위상학자의 단체 범주라고 구분하기도 한다.

첨가 단체 범주

\triangle_+

는 다음과 같은 모노이드 범주 구조를 가진다. 두 대상

[m-1] = \{0,1,\dotsc,m-1\}

와

[n-1] = \{0,1,\dotsc,n-1\}

의 텐서 곱은 순서수의 합병으로 정의된다.

:

[m-1] \otimes [n-1] = [m+n-1]

:

\{0,1,\dotsc,m-1\} \otimes \{0,1,\dotsc,n-1\} = \{0,1,\dotsc,m+n-1\}

이 모노이드 구조의 항등원은 빈 순서수

[-1]

(즉, 공집합

\emptyset

)이다. 일반적인 단체 범주

\Delta

는 이러한 항등원을 가지지 않으므로 자연스러운 모노이드 범주 구조를 갖지 않는다.

\Delta_+

에서 다른 범주

\mathcal{C}

로 가는 함자와 관련된 개념들도 있다.

'''확장된 심플리셜 대상'''(augmented simplicial object): $\Delta_+$ 에서 $\mathcal{C}$ 로 가는 반변 함자 $X: \Delta_+^\text{op} \to \mathcal{C}$ 를 의미한다.
'''확장된 코심플리셜 대상'''(augmented cosimplicial object): $\Delta_+$ 에서 $\mathcal{C}$ 로 가는 공변 함자 $Y: \Delta_+ \to \mathcal{C}$ 를 의미한다.

예를 들어, 공역 범주

\mathcal{C}

가 집합 범주

\mathbf{Set}

일 경우, 이들은 각각 '''확장된 심플리셜 집합'''과 '''확장된 코심플리셜 집합'''이라고 불린다.

첨가 단체 범주

\Delta_+

는 단일 모노이드 대상인

[0]

에 의해 자유롭게 생성된 모노이드 범주로 볼 수 있다. 이 대상

[0]

은 유일하게 가능한 항등원 사상과 곱셈 사상을 가진다. 이러한 관점은 모노이드 범주 내의 모든 코모노이드 대상이 어떻게 심플리셜 대상을 생성하는지 이해하는 데 유용하다. 왜냐하면 이는

\Delta_+^\text{op}

에서 코모노이드가 포함된 모노이드 범주로 가는 함자의 상으로 볼 수 있기 때문이다. 확장을 잊는 함자(forgetful functor)를 통해 일반적인 심플리셜 대상을 얻을 수 있다. 비슷하게, 이 관점은 모나드로부터 심플리셜 대상을 구성하는 방법을 설명하는 데도 도움이 된다. 모나드는 함자 범주 내에서 모노이드 대상으로 간주될 수 있기 때문이다.

3. 2. 호몰로지

아벨 범주

\mathcal A

속의 준단체 대상

M_\bullet

을 생각하자. 면 사상이

:

\partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n-1} \qquad (0\le i \le n)

이라고 할 때, 다음과 같이 경계 사상

\partial_n

을 정의할 수 있다.

:

\partial_n \colon M_n \to M_{n-1}

:

\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i}

이렇게 정의된

(M_\bullet,\partial_\bullet)

은 사슬 복합체를 이룬다.

이 사슬 복합체를

M_\bullet

의 '''무어 복합체'''(Moore complex^영어)라고 부른다.

M_\bullet

의 '''호몰로지'''는 바로 이 무어 복합체의 호몰로지를 의미한다.^[5]

4. 예

단체 범주는 다양한 수학 분야에서 중요한 예시를 가진다. 대표적으로 위상 공간의 조합론적 모형으로 사용되는 단체 집합이 있다. 또한, 모노이드 대상과 관련된 쌍대 모노이드 대상 개념, 호몰로지 대수학에서 사용되는 막대 복합체 등이 단체 범주의 예시에 해당한다. 더 나아가, 단체 대상과 사슬 복합체 사이의 관계를 설명하는 돌트-칸 대응 및 그 확장인 모노이드 돌트-칸 대응도 중요한 예시로 들 수 있다.

4. 1. 단체 집합

집합과 함수의 범주 속의 단체 대상은 '''단체 집합'''이라고 한다. 이는 위상 공간의 조합론적 모형으로 여겨질 수 있으며, 단체 집합의 범주는 그로텐디크 토포스를 이룬다. 이 때문에 단체 집합은 위상 공간을 대체하기 위하여 호모토피 이론에서 널리 쓰인다.

4. 2. 쌍대 모노이드 대상

첨가 단체 범주

\triangle_+

는 하나의 원소로 생성되는 자유 모노이드 범주이다. 따라서 다음 세 개념은 서로 동치이다.

모노이드 범주 $(\mathcal C,\otimes)$ 속의 모노이드 대상
모노이드 함자 $\triangle_+ \to \mathcal C$
$\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 속의 첨가 단체 대상

특히, 모든 모노이드 대상은 그 반대 범주 속의 단체 대상을 이룬다.

만약

\mathcal C=\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal D,\mathcal D)

가 자기 함자의 범주라고 가정하면, 그 속의 모노이드 대상은 모나드이다. 이 개념은 반대 범주

\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal D,\mathcal D)^{\operatorname{op}}

속의 첨가 단체 대상과 동치이다.

확장된 단체 범주

\Delta_+

는 자연스러운 모노이드 범주 모노이드 구조를 가진다. 이 구조에서 모노이드 곱은 선형 순서의 연결로 주어지며, 단위는 빈 순서수

[-1]

이다.

\Delta_+

는 단일 모노이드 대상

[0]

에 의해 자유롭게 생성된 모노이드 범주로 볼 수 있다. 이 설명은 모노이드 범주에서 모든 코모노이드 대상이 어떻게 단체 대상을 생성하는지 이해하는 데 유용하다. 또한, 모나드는 자기 함자 범주에서 모노이드 대상으로 간주될 수 있으므로, 모나드에서 단체 대상의 구성을 이해하는 데에도 도움이 된다.

4. 3. 막대 복합체

호몰로지 대수학에서 등장하는 막대 복합체와 호흐실트 사슬 복합체는 둘 다 가군 범주 속의 단체 대상을 이룬다.

4. 4. 돌트-칸 대응

\mathcal A

가 아벨 범주라고 하고, 그 속의 단체 대상들의 범주를

\operatorname s(\mathcal A)=[\triangle^{\operatorname{op}},\mathcal A]

라고 하자. 그렇다면, 이 범주는

\mathcal A

위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급을 갖는 사슬 복합체들의 범주

\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

와 동치이며, 이는 또한 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. 이를 '''돌트-칸 대응'''이라고 한다.

:

\operatorname s(\mathcal A)\simeq\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)

4. 5. 모노이드 돌트-칸 대응

표수 0의 체

K

가 주어졌다고 하자.

이때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.

$K$ 위의 가환 결합 대수들의 범주 $\operatorname{CRing}/K$ . 이는 가환환의 범주를 $K$ 위에서 생각하는 조각 범주이다.
$K$ -벡터 공간 위의 가환 미분 등급 대수들의 모형 범주 $\operatorname{CDGA}_K$ 를 생각하자. 이 범주 안에서, 0차 성분이 자명한( $\dim_K A^0 \le 1$ ) 대상들로 구성된 충만한 부분 범주를 $\operatorname{CDGA}^{\operatorname{conn}}_K$ 라고 표기한다.

이 두 모형 범주 사이에는 퀼런 동치가 존재하며, 이를 '''모노이드 돌트-칸 대응'''(monoidal Dold–Kan correspondence^영어)이라고 부른다.

:

\operatorname s(\operatorname{CRing}/K) \leftrightarrows \operatorname{CDGA}_K^{\operatorname{conn}}

여기서

\operatorname s(\operatorname{CRing}/K)

는

\operatorname{CRing}/K

위의 단체 대상들의 범주를 나타낸다.

참조

_[1] 서적 Simplicial homotopy theory Birkhäuser 1999
_[2] 서적 Methods of homological algebra Springer
_[3] 저널 Simplicial homotopy theory 1971-04
_[4] 저널 An elementary illustrated introduction to simplicial sets 2012
_[5] 서적 Cyclic homology Springer-Verlag 1998

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